Rambu Rambu Jawaban Latihan

35

Berdasarkan apa yang sudah kita pelajari dalam modul 4 kegiatan belajar 1, maka dapat kita simpulkan sebagai berikut : ruang Hilbert adalah ruang vektor linier dengan dimensi tak hingga yang memiliki produk skalar dan bersifat lengkap. Elemen - elemen dari ruang Hilbert ialah vektor ket dan vektor bra. Hubungan antara vektor ket dan vektor bra adalah antilinier. Analogi ruang Hilbert dengan ruang fungsi gelombang adalah sebagai berikut ruang gelombang

EMBED Equation.3 . Suatu set dikatakan basis dalam ruang bila setiap dapat dijabarkan kedalam basis tersebut . Dua hubungan antar basis dalam ruang adalah orthonormal dan relasi closure. Suatu vektor dijabarkan ke dalam komponen. Suatu vektor dijabarkan kedalam komponen komponen vektornya, sedangkan suatu operator dijabarkan oleh elemen- elemen matriksnya. Representasi matriks suatu vektor ket ialah berupa matriks kolom, sedangkan vektor bra berupa matriks baris. Berdasarkan haltersebuat maka perkalian sklar dua vektor ket adalah berupa bilangan. Elemen elemen matriks suatu operator dalam basis didefinisikan sebagai berikut . Matriks matriks dari sebuah operator mempunyai sifat sifat diantaranya simetris, antisimetris, orthogonal dan lain- lain. Representasi keadaan suatu sistem dalam ruang Hilbert menurut notasi dirac ini umum digunakan dalam menjabarkan permasalahan- permasalahan mekanika kuantum.I. Pilihlah satu jawaban yang benar untuk soal soal dari no. 1 no. 4.

1. Hermitian adjoint dari pernyataan berikut ( dengan A adalah operator dan bilangana kompleks) ialahA.

B.

C.

D.

2. Manakah diantara matriks matriks dibawah ini yang hermitianA.

B.

C.

D.

3. Manakah diantara operator- operator matriks dibawah ini yang bersifat uniter

A. , bila hermitian

B. , bila tak hermitian

C. , bila hermitianD. , bila tak hermitian4. Tarce dari operator berikut, dengan ialahA.

B.

C.

D.

II. ESSAI1. Fungsi eigen dari operator hermitian ialah . Kita asumsiskan bahwa keadaan membentuk basis orthonormal diskrit. Suatu operator didefinisikan sebagai berikut

a) Hitunglah

b) Hitunglah komutator dari

c) Buktikanlah

d) Misalkan adalah operator dengan elemen elemen matriks buktikan lah bahwa

2. Representasi matriks untuk persamaan nilai eigen dapat diungkapkan sebagai berikut . Tentukanlah persamaan keadaan tersebut dalam bentuk matriks untuk .Kunci jawaban Tes Formatif KB 1

I. Pilihan ganda

1. Cpenjelasan

2. B

Penjelasan

Harus dibuktikan bahwa

3. A

PenjelasanHarus dibuktikan bahwa atau , untuk dengan hermitian.

karena hermit maka , sehingga

, maka

bila anda memilih dengan tak hermitian. , karena tak hermit maka , maka

4. D

PenjelasanLihat definisi trace suatu operator

yaitu trace dari suatu operator sama dengan jumlah dari elemen elemen diagonalnya.

II. ESSAI1. d

a)

b) dari persamaan nilai eigen

maka persamaan diatas menjadi

c)

diketahui bahwa keadaan membentuk basis orthonormal diskrit, maka

jadi terbukti bahwa

d) bukti

2.

produk skalarkan kedua ruas dengan basis dari kiri

gunakan relasi closure

untuk maka

TRANSFORMASI UNITER2.1. Transformasi UniterTransformasi Uniter ialah transformasi yang menghubungkan dari satu basis ke basis lainya dalam ruang Hilbert basis lama basis baru . Perubahan basis didefinisikan oleh komponen spesifiknya

matriks transformasi S ini bersifat uniter

buktikanlah bahwa S bersifat uniter.

Transformasi Komponen Komponen Vektor Keadaan (ket)

sekarang mari kita pelajari bagaimana komponen komponen dari sembarang vektor keadaan dalam basis lama di transformasi ke komponen dalam basis baru dan sebaliknya. Misalkan vektor keadaan semula dalam basis lama ingin ditransformasi ke basis baru maka dilakukan sebagai berikut:

pada persamaan tersebut adalah komponen dalam basis lama, adalah matriks transformasi yang akan mentransformasikan komponen dalam basis lama ke komponen dalam basis baru .Kebalikanya dapat dijelaskan dengan cara yang sama

komponen dalam basis baru di transformasi oleh matriks transformasi sehingga berubah menjadi komponen dalam basis lama .

Jika dan adalah dua vektor sembarang dalam ruang Hilbert maka dengan transformasi basis S, vektor vektor tersebut ditransformasi menjadi dan sebagai berikut

dengan transformasi seperti itu perkalian skalar kedua vektor tersebut tidak akan berubah

bila kita misalkan maka akan diperoleh

jadi dengan demikian Transformasi Uniter tidak mengubah panjang vektor dan sudut antara kedua vektor tersebut.

Transformasi Uniter Komponen Komponen suatu bra Misalkan kita ingin mentransformasi komponen suatu Bra yang semula dalam basis lama menjadi komponen bra dalam basis baru . Untuk melakukan perubahan basis tersebut dilakukan Transformasi Uniter berikut :

dengan cara yang sama kebalikanya dapat dilakukan Transformasi Uniter sebagai berikut :

Transformasi Uniter Komponen - Komponen Matriks Suatu OperatorPada uraian sebelumnya anda sudah mempelajari bagaimana menentukan elemen elemen suatu operator. Sekarang kita pelajari bagaimana mentransformasi elemen matriks suatu operator dalam basisi lama menjadi elemen elemen operator yang sama dalam basis baru atau sebaliknya. Untuk melakukan perubahan tersebut dilakukan Transformasi Uniter sebagai berikut :

karena S bersifat uniter maka bisa juga ditulis

sebaliknya elemen - elemen matriksdalam basis lama ingin dinyatakan atau dijabarkan dalam elemen elemen basis baru, maka dilakukan Transformasi Uniter berikut :

atau

2.2. Representasi Energi Kotak satu dimensi

Dalam representasi energi, Hamiltonian adalah diagonal. Representasi ini mencakup basis berupa fungsi fungsi eigen dari operator Hamiltonian. Dalam modul pengantar fisika kuantum atau dalam fisika modern, anda sudah mempelajari bagaimana menentukan fungsi eigen dan nilai eigen dari partikel yang terperangkap dalam kotak satu dimensi . Energi partikel diungkapkan oleh

dengan fungsi eigen atau spektrum fungsi eigen

Basis dimana Hamiltonianya diagonal ialah

dan representasi Hamiltonianya adalah

Osilator harmonik sederhanaAnda sudah mempelajari bagaimana menentukan spektrum nilai eigen dan spektrum fungsi eigen pada permasalahan osilator harmonis sederhana satu dimensi dalam pengantar fisika kuantum. Spektrum fungsi eigenya diungkapkan oleh

dengan adalah konstanta normalisasi

dan adalah polynomial hermite.

Untuk osilator harmonis ini basis yang mendiagonalkan Hamiltonian adalah

Spektrum energi dari osilator harmonis satu dimensi ini adalah

reprexentasi matriks dari Hamiltonian ini adalah

Operator posisi dan MomentumSekarang marilah kita hitung representasi matriks dari operator posisi dan operator momentum untuk osilator harmonik dalam representasi energi. Hubungan antara observable atau besaran dinamis posisi dam momentum dengan operator operatornya ialah

sedangkan untuk Hamiltonian ialah

didefinisikan operator kreasi dan anihilasi yang dinotasikan oleh dan hubungan kedua operator tersebut dengan operator posisi dan momentum adalah sebagai berikut

atau

Bila operator kreasi dan anihilasi itu dioperasikan pada sembarang vektor ket maka

Dapat kita lihat bahwa operator kreasi akan menaikan sedangkan operator anihilasi menurunkan. Bila kedua operator itu di operasikan pada vektor bra maka

Sekarang tinjau suatu observable bekerja pada suatu vektor ket

Repersentasi matriks dari operator posisi tersebut ialah

Dengnan k dan n adalah integer positif

Representasi matriksnya ialah

sedangkan untuk operator momentum ialah

representasi matriksnya ialah

Representasi matriks operator kreasi dan anihilasi

dari persamaan sebelumnya

kalikan dengan dari sebelah kiri maka

matriksnya ialah

dan untuk operator anihilasi

matriksnya adalah

kita dapat mempelajari lebih jauh bagaimana pengaruh operator kreasi dan anihilasi terhadap fungsi eigen. Sudah kita pelajari sebelumnya bahwa fungsi eigen fungsi eigen untuk Hamiltonian osilator harmonik adalaha vektor kolom dengan elemen yang tak nol hanya pada baris ke seperti berikut

keadaan eigen bergantung waktu dari operator adalah

Sekarang kita coba operasikan dan pada ket diatas misalkan pada untuk operator anihilasi dapat diungkapkan sebagai berikut :

Dapatkah anda melihat bagaimana peranan ? ternyata operator menurunkan fungsi eigen yang asalnya menjadi . operasi pada ket adalah

Ternyata operator kreasi yang bekerja pada fungsi eigen , hasil operasinya mengakibatkan fungsi eigen menjadi bertambah atau naik yaitu jadi . Dari kedua contoh itu anda dapat menyimpulkan bagaimana pengaruh kerja operator dan pada suatu fungsi eigen.

LATIHAN

1. Tunjukanlah bahwa dengan elemen elemen matriks adalah uniter.

Dimana set basis dan adalah lengkap dan orthonormal.

2. Tunjukan bahwa perkalian skalar tidak berubah dibawah Transformasi Uniter.

3. Elemen elemen matriks dalam basis adalah sedangkan basis adalah . Tunjukan bahwa

4. Tentukanlah matriks komutator untuk osilator harmonik dalam representasi energi. Gunakan reperesentasi matriks untuk dan yang sudah kita peroleh sebelumnya.

5. komponen vektor dalam basis lama dinyatakan oleh . Nyatakanlah komponen vektor tersebut dalam term basis baru .

Rambu Rambu Jawaban Latihan1. Anda harus menunjukan bahwa atau yang setara dengan hal itu adalah anda harus menunjukan bahwa

kemudian gunakan definisi matriks transformasi

2. Misalkan dan . Anda harus membuktikan bahwa

3. Anda harus menempatkan operator identitas dalam basis pada operator .

gunakan definisi matriks transformasi s dan definisi elemen matriks suatuoperator . kemudian jumlahkan untuk seluruh dan

4. Anda harus menghitung

gunakan definisi komutator

gantikan dan masing masing dengan komutsinya kemudian kalikan

kemudian ganti

hitung dan .

Hasilnya subtitusikan pada dan lau hitung.5. Tuliskan lalu masukan operator identitas dalam basis baru.

dan seterusnya.

RANGKUMAN

Kita dapat mengubah suatu basis lama ke basis baru dengan menggunakan Transformasi Uniter . dengan Transformasi Uniter ini juga kita dapat menjabarkan komponen suatu ket ke dalam basis baru dan sebaliknya. Selain itu kita juga dapat mengubah elemen elemen matriks dari suatu operator dalam suatu basis menjadi elemen elemen matriks dari suatu operator yang sama tapi dinyatakan dalam basis lain dan sebaliknya.

Transformasi Uniter itu sendiri ialah transformasi yang menghubungkan dari suatu basis ke basis lainyadalam ruang Hilbert. Perubahan basis didefinisikan oleh komponen komponen spesifiknya, yaitu melalui matriks perubah basis. Matriks perubah basis ini akan memproyeksikan dari suatubasis ke basis lain. Matriks perubah basis itu bersifat uniter. Dalam kegiatan belajar ini juga kita sudah mempelajari bagaimana menentukan elemen elemen matriks suatu operator dalam representasi energi. Dalam representasi energi, Hamiltonian adalah diagonal. Representasi ini mencakup basis beruopa fungsi fungsi eigen dari operator Hamiltonian. Beberapa contoh sederhana seperti kotak satu dimensi dan osilator harmonik telah kita tentukan basis basis nya dan representasi matriks dari Hamiltonianya.

TES FORMATIF 2

1. Set adalah basis lama dalam ruang Hilbert dan set adalah basis baru. Komponen suatu vektor semula dinyatakan dalam basis lama sebagai berikut . Bagaimanakah komponen vektor tersebut bila dinyatakan dalam basis baru?2. Elemen elemen suatu operator dinyatakan dalam basis baru ialah . Transformasikanlah elemen operator tersebut sehingga menjadi elemen operator dalam basis lama.

3. Suatu operator kreasi bila diopersikan pada sembarang ket akan memenuhi relasi

Tunjukanlah relasi tersebut bila .4. Hitung representasi matriks operator untuk osilator harmonik dalam representasi energi.

5. Hitunglah representasi matriks oprerator untuk osilator harmonik dalam representasi energi.

Bobot Soal

Soal no1 dan no3 masing masing bernilai 1

Soal no 2 diberi nilai 2

Soal no 4 dan 5 masing masing bernilai 3 jadi total nilai seluruh soal ialah 10.

Umpan Balik dan Tindak Lanjut

Cocokanlah jawaban anda dengan kunci jawaban tes formatif 2 yang ada di bagian akhir modul ini. hitunglah skor jawaban anada. Kemudian gunakan rumus berikut ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi kegiatan belajar.

Rumus :

arti tingkat penguasaan yang anda capai:

90% - 100%: baik sekali

80% - 89%: baik

70% - 79%: cukup

... 69%: kurang

kalau anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih Anda dapat meneruskan dengan modul berikutnya Bagus !. tetapi kalau kurang dari 80% anda harus mengulangi kegiatan belajar , terutama bagian yang belum anda kuasai.

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF 2

1.

dengan adalahkomponen vektor dalam basis lama dan adalah matriks yang mentransformasikan komponen dalam basis lama ke komponen dalam basis baru. 2.

3.

jadi terbukti bahwa

atau

4. Dalam representasi energi hubungan antara observable posisi dan operatornya ialah

: operator posisi

: observable

hubungan antara operator posisi dengan operator kreasi dan anihilasi ialah

sedangkan bila operator kreasi dan anihilasi dioperasikan pada sembarang ket, maka

dari dua persamaan diatas

.representasi matriksnya adalah

5. Dalam representasi energi hubungan antara observable momentum dan operatornya ialah

hubungan antara operator dengan operator kreasi dan anihilasi ialah

maka dari dua persamaan tersebut

representasi matriksnya adalah

Daftar Pustaka1. Richard, L Liboff. Introductory Quantum Mechanics second edition Addison-Wesley Publishing Company (1992).

2. Cohen-Tannoudji, Diu,Laloe. Quantum Mechanics volume 1 Willey Interscience Paris (1977).3. P. Sinaga. Fisika Kuantum (diktat)

_1174561868.unknown

_1174628330.unknown

_1174634461.unknown

_1174638332.unknown

_1174644411.unknown

_1174646145.unknown

_1174649729.unknown

_1174651161.unknown

_1174651295.unknown

_1174651312.unknown

_1174651267.unknown

_1174651141.unknown

_1174647256.unknown

_1174647752.unknown

_1174647970.unknown

_1174648252.unknown

_1174647954.unknown

_1174647290.unknown

_1174647029.unknown

_1174644836.unknown

_1174645683.unknown

_1174645711.unknown

_1174644844.unknown

_1174644521.unknown

_1174644658.unknown

_1174644482.unknown

_1174644061.unknown

_1174644126.unknown

_1174644261.unknown

_1174644081.unknown

_1174638484.unknown

_1174638576.unknown

_1174638346.unknown

_1174635167.unknown

_1174637066.unknown

_1174637128.unknown

_1174637893.unknown

_1174638316.unknown

_1174637101.unknown

_1174636974.unknown

_1174637047.unknown

_1174636922.unknown

_1174634942.unknown

_1174635047.unknown

_1174635065.unknown

_1174634960.unknown

_1174635039.unknown

_1174634725.unknown

_1174634803.unknown

_1174634470.unknown

_1174630697.unknown

_1174633334.unknown

_1174633616.unknown

_1174633780.unknown

_1174633808.unknown

_1174633774.unknown

_1174633529.unknown

_1174633541.unknown

_1174633383.unknown

_1174633431.unknown

_1174633346.unknown

_1174630793.unknown

_1174633049.unknown

_1174633151.unknown

_1174630818.unknown

_1174630756.unknown

_1174630773.unknown

_1174630724.unknown

_1174628870.unknown

_1174630314.unknown

_1174630359.unknown

_1174630345.unknown

_1174630200.unknown

_1174630224.unknown

_1174630283.unknown

_1174628928.unknown

_1174628371.unknown

_1174628460.unknown

_1174628379.unknown

_1174628340.unknown

_1174618276.unknown

_1174625588.unknown

_1174628103.unknown

_1174628142.unknown

_1174628319.unknown

_1174628305.unknown

_1174628136.unknown

_1174626042.unknown

_1174627370.unknown

_1174627523.unknown

_1174627997.unknown

_1174627979.unknown

_1174627479.unknown

_1174627027.unknown

_1174625914.unknown

_1174625977.unknown

_1174625597.unknown

_1174624637.unknown

_1174624787.unknown

_1174625021.unknown

_1174625443.unknown

_1174625506.unknown

_1174625418.unknown

_1174624979.unknown

_1174624771.unknown

_1174619628.unknown

_1174619649.unknown

_1174620046.unknown

_1174618989.unknown

_1174564418.unknown

_1174617448.unknown

_1174617873.unknown

_1174618212.unknown

_1174617609.unknown

_1174617190.unknown

_1174617382.unknown

_1174570981.unknown

_1174617178.unknown

_1174565112.unknown

_1174563238.unknown

_1174564060.unknown

_1174564165.unknown

_1174563953.unknown

_1174562125.unknown

_1174563209.unknown

_1174562081.unknown

_1174477627.unknown

_1174558096.unknown

_1174558839.unknown

_1174560444.unknown

_1174560720.unknown

_1174560987.unknown

_1174561485.unknown

_1174560525.unknown

_1174559660.unknown

_1174559704.unknown

_1174559154.unknown

_1174558637.unknown

_1174558784.unknown

_1174558799.unknown

_1174558654.unknown

_1174558154.unknown

_1174558543.unknown

_1174558113.unknown

_1174543647.unknown

_1174546725.unknown

_1174548263.unknown

_1174557907.unknown

_1174557985.unknown

_1174557891.unknown

_1174546889.unknown

_1174546473.unknown

_1174546576.unknown

_1174544069.unknown

_1174546345.unknown

_1174546404.unknown

_1174544274.unknown

_1174543816.unknown

_1174542446.unknown

_1174542746.unknown

_1174543297.unknown

_1174543622.unknown

_1174542882.unknown

_1174542678.unknown

_1174542692.unknown

_1174542602.unknown

_1174478062.unknown

_1174542246.unknown

_1174542377.unknown

_1174541720.unknown

_1174542243.unknown

_1174541614.unknown

_1174477926.unknown

_1174478014.unknown

_1174477916.unknown

_1174477813.unknown

_1174469401.unknown

_1174471641.unknown

_1174475518.unknown

_1174476713.unknown

_1174476980.unknown

_1174477608.unknown

_1174476932.unknown

_1174476365.unknown

_1174476636.unknown

_1174475623.unknown

_1174472460.unknown

_1174473131.unknown

_1174473241.unknown

_1174473939.unknown

_1174472865.unknown

_1174472339.unknown

_1174472394.unknown

_1174471661.unknown

_1174470550.unknown

_1174471220.unknown

_1174471514.unknown

_1174471529.unknown

_1174471274.unknown

_1174471101.unknown

_1174471181.unknown

_1174470643.unknown

_1174469583.unknown

_1174470453.unknown

_1174470530.unknown

_1174470240.unknown

_1174470258.unknown

_1174469610.unknown

_1174469444.unknown

_1174456902.unknown

_1174458809.unknown

_1174469297.unknown

_1174469306.unknown

_1174469264.unknown

_1174458617.unknown

_1174458736.unknown

_1174457559.unknown

_1174454077.unknown

_1174456795.unknown

_1174456836.unknown

_1174454097.unknown

_1174456729.unknown

_1174454035.unknown