SKEMA IMPLISIT DAN SKEMA CRANK-NICHOLSON

Disusun Oleh Andi Sutriawan Wiranata E’ed Tri Giandari Bhakti Anton Wijaya Gani Budi AtmadiDeki Ferial Gunawan Fattahillah UtomoTri Purwanti Vendy Mediannoor

LABORATORIUM FISIKA KOMPUTASI DAN PEMODELANFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

UNIVERSITAS MULAWARMANSAMARINDA

2016

Latar BelakangPersamaan diferensial merupakan suatu persamaan yang mengandung turunan

fungsi. Berdasarkan variabel bebas, persamaan diferensial dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial biasa (hanya mengandung satu variabel bebas) dan persamaan diferensial parsial (mengandung lebih dari satu variabel bebas).

Ada beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Pertama, persamaan diferensial biasa, metode yang digunakan adalah metode Euler, metode Runge-Kutta, metode Heun, dan sebagainya. Kedua, persamaan diferensial parsial, metode yang digunakan adalah metode beda hingga skema Eksplisit, skema Implisit, skema Crank-Nicholson dan sebagainya.

Penyelesaian suatu persamaan diferensial dilakukan pada titik-titik yang ditentukan berurutan. Untuk mendapatkan hasil yang lebih teliti, maka interval antara titik-titik yang berurutan dibuat semakin kecil.

Rumusan Masalah 1. Dalam penelitian ini, diberikan beberapa rumusan masalah sebagai berikut :2. Bagaimana penyelesaian integrasi numerik menggunakan persamaan diferensial parsial dan metode beda hingga skema Implicit Crank Nicholson ?3. Bagaimana penyelesaian persamaan diferensial parsial dengan metode beda hingga skema Implicit Crank Nicholson ?4. Bagaimana analisis perbandingan metode beda hingga skema Implicit Crank Nicholson pada persamaan diferensial parsial ?

Batasan MasalahDalam pembahasan ini penulis membatasi ruang lingkup permasalahan penelitian ini, antara lain :

1. Panjang Kanal (L) yang dimodelkan 2000 meter,2. Lebar Grid (Δx) = 100 meter,3. Koefisien Difusi (AD) = 10 m2/detik, 4. Konsentrasi di kanan persamaan 5. Lama Simulasi (T) = 200 detik,6. Langkah Waktu (Δt) = 40 detik

Tujuan Berdasarkan rumusan masalah diatas, penelitian ini mempunyai tujuan sebagai berikut :

1. Mempelajari persamaan diferensial parsial dan metode beda hingga skema Implicit Crank Nicholson untuk penyelesaian integrasi numerik.

2. Mengetahui penyelesaian persamaan diferensial parsial dengan metode beda hingga skema Implicit Crank Nicholson.

3. Menganalisis metode beda hingga skema Implicit Crank Nicholson.

Manfaat1. Dapat mempelajari persamaan diferensial parsial dan metode beda hingga hingga skema

Implicit Crank Nicholson untuk penyelesaian integrasi numerik.2. Dapat mengetahui penyelesaian persamaan diferensial parsial dengan metode beda hingga

skema Implicit Crank Nicholson.3. Dapat menganalisis metode beda hingga skema Implicit Crank Nicholson.

TINJAUAN PUSTAKA Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ini adalah contoh persamaan diferensial:

Metode Algoritma

1. Mulai 2. Diinput semua parameter batas :

a. Panjang Kanal (L) yang dimodelkan 2000 meter,b. Lebar Grid (Δx) = 100 meter, c. Koefisien Difusi (AD) = 10 m2/detik,d. Konsentrasi di kanan persamaan = ,\e. Lama Simulasi (T) = 200 detik,f. Langkah Waktu (Δt) = 40 detik

3. Disubtitusi semua nilai yang telah diketahui ke bentuk skema beda hingga (skema Implisit Crank-Nicholson)

4. Dihasilkan grafik5. Selesai

Flowchart

Hasil dan Pembahasan

Hasil

Grafik Konsentrasi terhadap Waktu

Grafik Konsentrasi terhadap Waktu (3 Dimensi)

PembahasanMetode Crank Nicholson yaitu metode yang menghilangkan ketergantungan terhadap

syarat kestabilan, dan menggunakan metode implisit dimana turunan kedua fungsi turunan kedua fungsi didekati dengan harga harga rata-rata pada langkah ke n+1 dan ke n. Seharusnya metode crank nicholson adalah metode yang hasil penyebaran konsentrasinya lebih baik dan stabil, tetapi terdapat kesalahan pada pemograman sehingga praktikan tidak mendapat hasil yang lebih baik

Dengan beberapa parameter acuan yaitu 1. Panjang Kanal (L) yang dimodelkan 2000 meter,2. Lebar Grid (Δx) = 100 meter,3. Koefisien Difusi (AD) = 10 m2/detik,4. Konsentrasi di kanan persamaan 5. Lama Simulasi (T) = 200 detik,6. Langkah Waktu (Δt) = 40 detik

setelah menjadi matriks hasil dari pengolahan data tersebut diproses menggunakan software Matlab sehingga menjadi grafik konsentrasi terhadap waktu.

Grafik 4.1. yaitu grafik konsentrasi terhadap waktu, pada iterasi 1 bergerak perlahan mendekati nilai konsentrasi pada iterasi 2 sedangkan pada iterasi selanjutnya khususnya iterasi 2, 5, 10 dan 15 bergerak lurus sampai pada konsentrasi 0,04.

Grafik 4.2. merupakan grafik 3 dimensi dengan menggunakan perintah mesh pada software Matlab, grafik tersebut menampilkan nilai jarak atau ruang dan juga nilai waktu serta nilai kosentrasi difusi dari hasil perhitungan.

 Kesimpulan1. Metode Implicit Crank Nicholson ini menggunakan beda maju untuk waktu dan beda pusat

untuk ruang yang didekati dengan harga rata-rata pada langkah waktu ke-(n+1) dan ke-n.2. Hasil diskritisasi mendekati solusi analitik dikarenakan dari skema Implicit Crank Nicholson

pada persamaan difusi stabil pada saat Δ dan Δ berapapun,𝑡 𝑥 hasil diskritisasi memenuhi syarat konsistensi karena error pemotongannya menuju nol untuk Δ →0 dan Δt→0.𝑥

3. Suatu syarat batas (bukan syarat batas yang berlaku untuk seluruh kondisi waktu) dapat digunakan untuk mengetahui seberapa lama dan panjang pengaruh dari suatu konsentrasi hingga taraf yang aman sesuai ketetapan.

SaranPenulis menyarankan untuk menambahkan metode lainnya seperti dengan

menggunakan metode Explicit agar dapat diketahui perbandingannya di setiap metode.

Penutup

 DAFTAR PUSTAKA  

Ames, William F. 1977. Computer Science and Applied Mathematics Numerical Methods For Partial Differential Equations, 2nd Edition. London-USA: Academic Press. INC

Djojodihardjo, Harijono. 1983. Metoda Numerik. Jakarta: ErlanggaPamuntjak & Santoso. 1990. Persamaan Diferensil Biasa, fakultas MIPA.

Bandung: Institut Teknologi Bandung.Yang, Won Yung. 2005. Applied Numerical Methode Using Matlab. USA: Wiley

Interscience

Sekian & Terima Kasih