fisika - 2.pembahasan_vektor_matematika dasar.ppt
TRANSCRIPT
Fisika Dasar
Feriska Handayani Irka, M.SiJurusan Fisika-FMIPA Universitas
Trigonometri dan Vektor
Pembahasan Hari Ini
• Pengulangan hal-hal dasar dalam Matematika
• Besaran & Satuan• Analisa Vektor
3
Pengulangan Trigonometri
• Teorema Pitagoras untuk sebuah sudut 900
a2+b2 = c2 a
b
c
4
Pengulangan Trigonometri
• Definisi untuk sinus dan cosinus dari sudut .
• sin = b/c atau– sin = sisi depan/sisi
miring
• cos = b/c– cos = sisi terdekat / sis
miring
• tan = b/a– tan = sisi depan / sisi
terdekat
a
b
c
5
Pengulangan Trigonometri
• Definisi yang umum digunakan:– x =arah horizontal – y = arah vertical
• sin = y/r atau– sin = sisi depan/ sisi miring
• cos = x/r– cos = sisi terdekat/ sisi
miring
• tan = y/x– tan = sisi depan / sisi
terdekat
x
y
r
6
Jika Diputar
• Jika saya putar, persamaan dasarnya tetap sama hanya variabelnya yang berubah– x =arah horizontal– y = arah vertikal
• sin = x/r atau– sin = sisi depan / sisi miring
• cos = y/r– cos = sisi terdekat /sisi miring
• tan = x/y– tan = sisi depan/ sisi terdekat
y
x
r
7
Satuan Lingkaran
• Misalkan r merupakan jari-jari, dan adalah sudut yang dibentuk oleh r dan sumbu-x
• Kita bisa mentransformasi dari koordinat “Cartesian” (x-y) ke koordinat bidang-polar (r-)
x
y
r
III
III IV
8
Slope/kemiringan sebuah garis lurus
• Sebuah garis tidak vertikal seperti pada gambar – y = mx +b– dimana– m = slope– b = y-intercept
• Slope/kemiringan dapat bernilai positif dan negatif– Ditentukan apakah y
= positif atau negatif ketika x >0
Positif slope
Negatif slope
9
Menghitung slope
x1 , y1
x2 , y2
12
12
xxyym
10
Slope Lingkaran
• Keempat titik pada lingkaran mempunyai slope yang berbeda.– Slope dihitung dengan
menggambar garis tegak lurus terhadap permukaan lingkaran
– Kemudian sebuah garis tegak lurus terhadap garis pertama dan paralel terhap permukaan lingkaran digambar.
• Jadi jumlah garis slope lingkaran hampir tidak hingga
11
Slope/Kemiringan suatu Kurva
• Konsep slope berlaku untuk semua kasus!
• Misal kita punya fungsi f(x), dan x sebuah variabel
• Sekarang kita menggambarkan slope f(x) pada titik x, yang kemudian dikenal dengan nama turunan dari f(x)– Turunan/diferensial =
f’(x)
f’(x)
f(x)
12
Mendiferensialkan sebuah garis lurus
• f(x)= mx +b – Maka– f’(x)=m– Turunan sebuah garis lurus konstant
• Jika f(x)=b (Apakah fungsi konstant ?)– Slope =0 maka f’(x)=0
13
Aturan Kepangkatan
• f(x)=axn
• Turunannya adalah :– f’(x) = a*n*xn-1
• Contoh:
2
312
1
2
1
2
1
2
1)('
)(
1)(
xxxf
xxf
orx
xf
14
Operator Differensial
• Untuk x, dalam memudahkan operasi turunan/diferensial maka operasi ini diberi operator
dx
d
32
1)('
1)(
1)(
xxf
xdx
dxf
dx
d
xxf
15
3 Aturan
• Aturan Pengali konstant
• Aturan penjumlahan
• Aturan kepangkatan
)()()(
)()(
constant a,)()(
1 xfdx
dxfnxf
dx
d
xgdx
dxf
dx
dg(x)f(x)
dx
d
kxfdx
dkxfk
dx
d
nn
16
Dapatkah Kita Membalikkan Proses
Turunan/Differensial ? • Dengan membalikkan, dapatkah kita
mengetahui dan menemukan fungsi asal ?
• Dalam kata lain f’(x) → f(x)?
• Proses ini mempunyai 2 nama:– “anti-differensial”– “integral” atau integration
17
Kenapa disebut “integration”?
• Karena kita menjumlahkan semua slope (mengintegrasikan mereka) ke dalam sebuah fungsi tunggal).
• Seperti halnya differensial, integral juga punya operator:
)()(' xfdxxf
Pada abad ke-18 simbol untuk “s”Sekarang disebut tanda integral !
Disebut “integral tak terdefinisi/ indefinite integral”
18
Konstanta dari hasil integral
• Dua fungsi yang berbeda bisa memiliki turunan yang sama. Misal– f(x)=x4 + 5– f(x)=x4 + 6– f’(x)=4x
• Maka untuk integralnya kita tulis
• Dimana C adalah sebuah konstanta.• Kita perlu informasi tambahan untuk
menghitung C.
Cxdxx 44
19
Aturan Kepangkatan Untuk Integral
Cxn
adxax nn
1
1
20
Integral Tertutup/Terdefinisi
b
a
afbfdxxf )()()('
x=a x=b
f(x) Luas dibawah kurva yang dievaluasi dari x=a ke x=b
Besaran & Satuan
22
Besaran Pokok
Panjang (Length) [L]KakiMeter Furlong
Waktu (Time) [T]DetikMenitJamAbad
Massa (Mass) [M] KilogramSlug
23
Besaran Turunan
• Dari satu Besaran pokok– Luas (Area) = Length Length
[L]2
– Volume (Volume) = Length Length Length [L]3
• Kombinasi besaran-besaran pokok– Kecepatan (Velocity) = Length / Time
[L/T]– Percepatan (Acceleration) = Length / (Time Time)
[L/T2]– Gaya (Force) = Mass Length / (Time Time) [M
L/T2]
24
Satuan
• SISI (Système Internationale)(Système Internationale) Satuan: Satuan:– mks: L = meters (m), M = kilograms (kg), T =
seconds (s)– cgs: L = centimeters (cm), M = grams (g), T
= seconds (s)
• Satuan inggrisSatuan inggris::– Inches, feet, miles, pounds, slugs...
25
Konversi Satuan
• Konversi satuan ke satuan yang lain kadang diperlukan. Contoh konversi satuan:– 1 inch = 2.54 cm– 1 m = 3.28 ft– 1 mile = 5280 ft – 1 mile = 1.61 km
• contoh: konversi miles per hour ke meters per second:
s
m447.0
s
hr
3600
1
ft
m
28.3
1
mi
ft5280
hr
mi1
hr
mi 1
26
Tingkatan Besaran Dalam Fisika
• Besaran fisika membentang dalam jarak yang sangat besar, misalnya– Length size of nucleus ~ 10-15 m
size of universe ~ 1030 m– Time nuclear vibration ~ 10-20 s
age of universe ~ 1018 s– Mass electron ~ 10-30 kg
universe ~ 1028 kg
• Tingkatan besaran membentuk skala– Atomic Physics ~ 10-10 m– Basketball ~ 10 m– Planetary Motion ~ 1010 m
• Mengetahui skala membantu kita memperkirakan hasil (jika di luar skala ada kemungkinan perhitungan kita salah)
27
Analisa Dimensi
• Besaran pokok– Panjang (Length) - [L]
– Waktu (Time) - [T]
– Massa (Mass) - [M]
• Besaran turunan– Kecepatan (Velocity) - [L]/[T]
– Kerapatan (Density) - [M]/[L]3
– Energi (Energy) - [M][L]2/[T]2
28
Besaran Fisika
• Harus selalu punya dimensi• Hanya dapat membandingkan besaran
yang dimensinya sama– v = v(0) + a t– [L]/[T] = [L]/[T] + [L]/[T]2 [T]
• Membandingkan besaran dengan dimensi berbeda artinya tidak ada– v = a t2
– [L]/[T] = [L]/[T]2 [T]2 = [L]
Analisa Vektor
SKALAR DAN VEKTOR Skalar
• Hanya mempunyai besar• Contoh : massa, volume, temperatur, energi
Vektor
• Mempunyai besar dan arah• Contoh : gaya, kecepatan, percepatan
Medan skalar
• Besarnya tergantung pada posisinya dalam ruang• Contoh : EP = m g h
Medan vektor
• Besar dan arahnya tergantung pada posisinya dalam ruang• Contoh : F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az
ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
• Metoda jajaran genjang• Metoda poligon
A
BC = A + B
B
A
C = A + B
A
- B
D = A - B
D = A – B = A + (- B)
Perkalian titik Hasilnya skalar
AProyeksi B pada A
AB
B
Proyeksi A pada B
ABcosAB
cosBABA
AB
AB
Perkalian Silang Hasilnya vektor
ABasinBABA NAB
A
AB
A B
B
aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)
AB
SISTEM KOORDINAT KARTESIAN Titik
• dinyatakan dengan 3 buah koordinat x, y dan z P(x, y, z)• Contoh : P(1, 2, 3) Q(2, - 2, 1)
Vektor
• dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ax, ay dan az
• Contoh : r = x + y + z = x ax + y ay + z az
• vektor posisi dari sebuah titik dalam ruang
• Vektor Posisi
zyxP
zyxP
aa2a2r
a3a2ar
• Vektor antara 2 titik
zyx
zyxQPPQ
a2a4a
a)31(a)22(a)12(rrR
• Titik asal O(0, 0, 0)• Bidang x = 0 (bidang ZOY) y = 0 (bidang ZOX) z = 0 (bidang XOY)
Elemen Luas (vektor) dy dz ax dx dz ay dx dy az
Elemen Volume (skalar)dx dy dz
Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesian
zzyyxx
yzzyxzzxxyyx
zzyyxx
oo
B2z
2y
2x
2z
2y
2x
zzyyxxzzyyxx
BABABABA
0aaaa0aaaa0aaaa
1aa1aa1aa
090cos10cos
B
BaBBBBAAAA
B,AcosBABA
aBaBaBBaAaAaAA
• Proyeksi vektor A pada vektor B
B
A
AB
Proyeksi A pada B
BB a)aA(
Contoh Soal Diketahui tiga buah titik A(2, 5, - 1), B(3, - 2, 4) dan C(- 2, 3, 1). Tentukan :a). RAB RAC
b). Sudut antara RAB dan RAC
c). Proyeksi vektor RAB pada RAC
Jawab :
899,44416R660,825491R
20)2)(5()2)(7()4)(1(RR
a2a2a4Ra5a7aR
ACAB
ACAB
zyxACzyxAB
zyxzyx
AC
ACAC a408,0a408,0a816,0
899,4
a2a2a4
R
Ra
o
ACAB
ACAB 9,61471,0)899,4)(660,8(
20
RR
RRcos
Proyeksi RAB pada RAC :
)a665,1a665,1a330,3
)a408,0a408,0a816,0(08,4
a)]408,0)(5()408,0)(7()816,0)(1[(a)aR(
zyx
zyx
ACACACAB
Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesian
A
AB
A B
B
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA
zzyyxxzzyyxx aBaBaBBaAaAaAA
190sin00sin
ABasinBABA
oo
NAB
yzxzy
xzyzxxyzyx
zzyyxx
aaaaa
aaaaaaaaaa
0aa0aa0aa
zxyyxyzxxzxyzzy a)BABA(a)BABA(a)BABA(BA
Contoh Soal:Sebuah segitiga dibentuk oleh A(2, - 5, 1), B(- 3, 2, 4) dan C(0, 3, 1). Tentukan :a). RBC RBA
b). Luas segitiga ABCc). Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab :
899,44416R660,825491R ACAB
zyx
zyx
zyx
BABC
a26a6a24
a)]5)(1()7)(3[(a)]5)(3()3)(3[(a)]7)(3()3)(1[(
375
313
aaa
RR
944,172
888,35
2
26624
2
RRABC
222BABC
zyxzyx
N a725,0a167,0a669,0888,35
a16a6a24a