DINAMIKA KISI

Pada bab sebelumnya kita menganggap bahwa kristal tersusun atas atom-atom yang

menduduki titik kisi dalam keadaan diam. Sesungguhnya, atom-atom tersebut tidaklah diam,

tetapi bergetar pada posisi kesetimbangannya. Getaran atom-atom pada suhu ruang adalah

sebagai akibat dari energi termal, yaitu energi panas yang dimiliki atom-atom pada suhu tersebut.

Getaran atom dapat pula disebabkan oleh gelombang yang merambat pada kristal.

Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar

atom dalam kristal, dapat dibedakan pendekatan gelombang pendek dan pedekatan gelombang

panjang.

Pendekatan Gelombang Pendek

Disebut pendekatan gelombang pendek apabila gelombang yang digunakan memiliki panjang

gelombang yang lebih kecil dari pada jarak antar atom. Dalam keadaan ini, gelombang akan

“melihat” kristal sebagai tersusun oleh atom-atom yang diskrit, sehingga pendekatan ini sering

disebut pendekatan kisi diskrit.

Pendekatan Gelombang Panjang

Bila dipakai gelombang yang panjang gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom, kisi akan

“nampak” malar (kontinyu) sebagai suatu media perambatan gelombang. Oleh karena itu,

pendekatan ini sering disbut sebagai pendekatan kisi malar.

1. Gelombang Elastik

Atom-atom berosilasi di sekitar kedudukan setimbangnya. Ini berarti atom-atom

bervibrasi dengan vibrasi gelombang elastik. Dalam pendekatan gelombang panjang, tinjau

sebuah batang berpenampang A dengan rapat massa ρ, yang dirambati gelombang mekanik

ke arah memanjang batang x. Pada setiap titik x dalam batang terjadi perubahan panjang u

(x) sebagai akibat adanya tegangan σ(x) dari gelombang.

Nama : Fiki Layyinatun Najwa

NIM : 4201412097

Mata Kuliah : Fisika Zat Padat

Rombel : 03

Gambar 1.

Regangan (Strain)

e=d u (x )

dx

Tegangan (Stress)

σ= FA

atau σ=Ye

Dengan Y adalah modulus young. Menurut hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja

pada elemen batang dx menghasilkan gaya sebesar :

F=A {σ ( x+dx )−σ (x )}

Karena F=ma atau F=ρA dx∂2u( x)

∂ x2 , sehingga

ρA dx∂2u (x)

∂t 2 =A {σ ( x+dx )−σ (x )}

ρ dx∂2u(x )

∂ t 2 =σ ( x+dx )−σ (x)

ρ dx∂2u(x )

∂ t 2 =∂ σ∂ x

dx

ρ dx∂2u(x )

∂ t 2 =Y∂ e∂ x

dx

ρ∂2u (x)

∂t 2 =Y∂2u(x )

∂ x2

Sehingga,

ρY

∂2u (x)∂ t2 −

∂2u ( x )∂ x2 =0

Maka menurut persamaan gelombang umum 1

vs2

∂2 u(x )∂ t 2 −

∂2 u ( x )∂ x2 =0, maka diperoleh

kecepatan gelombang

vs=(Yρ )

1/2

Jelas bahwa kecepatan gelombang mekanik pada zat pada) bergantung pada “besaran

elastik” bahan tersebut, yakni modulus Young. Karena perambatan gelombang tersebut

bergantung pada besaran elastik maka gelombang yang bersangkutan disebut gelombang

elastik.

Solusi untuk penjalaran gelombang di atas adalah

u(x )=A e i(kx−ωt )

Dengan k=2 πλ

, dan ω adalah frekuensi gelombang dan A adalah amplitudo gelombang.

Hubungan antara frekuensi dan bilangan gelombang dapat dirunut dari fase gelombang.

ω=vs k

2. Fonon

Kuantisasi energi gelombang elastik dari vibrasi kekisi ternyata merupakan energi

elastik dari gelombang bunyi. Ini merupakan analogi foton sebagai kuantum energi dari

gelombang elektromagetik. Kuantum energi di dalam vibrasi kekisi disebut sebagai fonon.

Sehingga dapat dikatakan pula bahwa gelombang bunyi dalam kristal adalah tersusun dari

fonon-fonon. Energi fonon besarnya :

E=ħω

Di dalam kristal atom-atom tersusun sedemikian teraturnya dalam arah 3 dimensi,

sehingga gerakan atom pada kedudukan setimbangnya tidak sukar untuk disebut sebagai

vibrasi kekisi yang sangat berperan dalam pembentukan energi pada kristal. Ragam (modus)

getarannya akan sangat menentukan sifat termal zat padat.

3. Vibrasi kristal Monoatomik

Kita mulai dengan kasus yang sederhana. Yaitu kasus yang melibatkan getaran kristal

akibat adanya gelombang elastis yang merambat dalam arah [1 0 0] ; [1 1 0] ; [1 1 1].

Untuk setiap vektor gelombang (k⃗) terdapat 3 model getaran yaitu :

1 buah longitudinal dan 2 buah transversal. Kita anggap bahwa kristal

akan merespon,

Gelombang elastik linier terhadap gaya. Artinya, gaya yang bekerja

pada bidang kristal yang ke-s adalah sebanding dengan selisih

simpangannya, sehingga

F s=c (us+1−us )+c (us+1−us )

F s=c (us+1+us−1−2us )Persamaan gerak dari atom s menurut hokum Newton :

md2 us

dt 2 =c (us+1+us−1−2us )

Persamaan di atas adalah bentuk persamaan gerak untuk semua atom.

Untuk mencari penyelesaian us, kita ambil bentuk umum gelombang

dengan frekuensi ω dan vektor gelombang k=2 πλ

yang berjalan pada arah-

x dengan syarat batas kedua ujung tetap u0 = 0 dan uN= 0 adalah

sebagai:

us ( xs )=A e i(k x s−ωt)

Jika jarak antar atom adalah a, maka pergeseran us=A e i(ksa−ωt),

us+1=A e i(k (s+1)a−ωt ), dan us−1=A ei (k(s−1)a−ωt ). Maka akan didapatkan

−m ω2=c ( eika+e−ika−2 )

Dengan 2 coska=e ika+e−ika, maka hubungan dispersi ω (k ) adalah

ω2=2cm

(1−coska )

ω=√ 4 cm

sinka2

Jika dilukiskan dalam grafik, maka

Gambar. Relasi dispersi kisi monoatomik

4. Vibrasi Kristal Dwiatomik

Gambar. Rantai Kristal Dwiatom

Persamaan gerak suatu kelompok yang terdiri atas 2 jenis atom dengan massa berbeda

(m1 dan m2) dengan m1 > m2 dapat dinyatakan

m1( d2us

dt2 )=c ( vs+v s−1−2us )

m2( d2us

dt2 )=c (us+1+us−2 vs )

Sehingga penyelesaiannya menjadi

u ( x )=A e i(ωt−kx )

v ( x )=B e i(ω t−kx)

Maka diperoleh harga-harga us± 1 dan vs ±1 setelah disubstitusikan ke persamaan di atas maka

akan diperoleh

−ω2m1u=cv (1+e−ika )−2cu

(ω2 m1−2 c)u+cv ( 1+e−ika )=0

dan

−ω2m2 v=cu (1+e−ika )−2cv

(ω¿¿2m2−2c )v+cu (1+e ika )=0¿

Jika kedua persamaan di atas dibuat determinan, maka

|2c−m1 ω2 −c(1+e−ika)−c(1+eika) 2c−m2ω2 ||u

v|=0

|2c−m1 ω2 −c(1+eika)−c(1+eika) 2 c−m2 ω2|=0

Maka,

{(2 c−m1 ω2)(2 c−m2ω2)}−{(−c (1+e ika) )(−c (1+e−ika ))}=0

m1 m2 ω4−2c ( m1+m2 ) ω2+c2 (2+e ika+e−ika )=0

m1 m2 ω4−2c ( m1+m2 ) ω2+2 c2 ¿

Untuk mendapatkan hasil yang eksak, diambil harga-harga istimewa dari ka dalam

syarat batas periodik. Pada ka yang relatif kecil berlaku cos ka≈ 1− k2 a2

2+…, sehingga kedua

akarnya berharga

ω2≈ 2 c ( 1m1

+1

m2) cabang optik

ω2≈c

2(m1+m2)k 2a2

cabang akustik

Sedangkan untuk ka=± π kedua akarnya berharga

ω2=2cm1

; ω2=2c

m2

Jika dilukiskan dalam grafik, maka dispersi vibrasi dwiatom akan berbentuk seperti

pada gambar di bawah ini

Gambar. Relasi dispersi kisi dwiatom

Terlihat adanya dua lengkungan dispersi atau adanya dua cabang yaitu cabang optik

dan cabang akustik. Daerah frekuensi pada k= π2a

antara √ 2 cm2

dan √ 2 cm1

disebut “gap” atau

daerah larangan yang artinya dalam keadaan demikian kisi tidak dapat meneruskan

gelombang. Perbedaan cabang optik dan cabang akustik dapat dijelaskan pada daerah k 0

atau λ≫.

5. Kapasitas Termal

Energi yang ditimbulkan akibat getaran atom sangat berperan dalam menentukan sifat

termal zat padat pada bahan isolator, konduksi elektron pada bahan logam, dan keberaturan

magnetik pada bahan magnet.

Sejumlah panas U yang diperlukan per mol zat untuk menaikkan suhunya disebut

kapasitas kalor. Bila kenaikan suhu zat T, maka kapasitas panas adalah :

C v=∂ U∂ T

Menurut hasil eksperimen Dulong-Petit C v tidak tetap terhadap perubahan temperatur.

C v pada suhu tinggi (suhu kamar dan di atasnya) mendekati 3 R=5,97 kkal /kmol0 K .

Gambar. Kebergantungan kapasitas panas zat padat pada suhu

Model Teori Klasik

Menurut fisika klasik, getaran atom-atom zat padat dapat dipandang sebagai osilator

harmonik. Osilator harmonik merupakan suatu konsep/model yang secara makroskopik dapat

dibayangkan sebagai sebuah massa m yang terkait pada sebuah pegas dengan tetapan pegas

C.

Untuk osilator harmonik satu dimensi, energinya dapat dirumuskan :

E=12

m v2+ 12

c x2

E=m2

( v2+ω2 x2 )

Dengan, v adalah laju getaran osilator, x adalah simpangan osilator, dan ω adalah

frekuensi sudut getaran osilator. Untuk osilator harmonik satu dimensi yang mempunyai dua

derajad bebas mempunyai energi rata-rata :

E=12

kT+ 12

kT=kT

Selanjutnya, karena atom-atom dalam kristal membentuk susunan tiga dimensi, maka

untuk satu mol osilator harmonik tiga dimensi, energi dalamnya :

U=3 N A E=3 N A kT

Sehingga kapasitas termalnya

C v=∂ U∂ T

=3 R

dari hasil ini terlihat bahwa menurut model fisika klasik, kapasitas panas zat padat

tidak bergantung suhu dan berharga 3R. Hal ini sesuai dengan hukum Dulong-Petit yang

hanya berlaku untuk suhu tinggi. Teori klasik ini mempunyai kelemahan yaitu beberapa zat

padat ringan ternyata C v ≠ 3 R, seperti boron (C v=3,34 kal /mol0 K ¿, berelium (

C v=3,85 kal /mol0 K) dan karbon (C v=1,46 kal /mol0 K).

Teori Einstein

Dalam model ini, atomatom dianggap sebagai osilator-osilator bebas yang bergetar

tanpa terpengaruh oleh osilator lain di sekitarnya. Energi osilator dirumuskan secara

kuantum (berdasarkan teori kuantum) yang berharga diskrit :

En=nhf

Pada tingkat dasar n =0, maka E = 0. Pada tingkat-tingkat selanjutnya, perbedaan

energi antar tingkat adalah sebesar hf . Pada kesetimbangan termal, energi rata-rata osilator

adalah

E=∑n=0

En e−( En

kT )

∑n=0

∞

e−( En

kT )

Persaman di atas dalam bentuk deret tersebut ekuivalen dengan ungkapan :

E= hf

e( hf

kT )−1

Sehingga total energi dalam untuk 1 mol zat padat adalah

U=3 N A E=3 N Ahf

ehf /kT−1

Sedangkan besarnya kapasitas termal atau kalor jenis adalah

C v=∂ U∂ T

=3 R( hfkT )

2 ehf / kT

(ehf / kT−1 )2

Pada suhu tinggi, hf ≪kT , sehingga

ehf /KT ≈ 1+ hfkT

Karena ex=1+x+ x2

2!+…

Dan jika disubstitusikan ke persamaan energi rata-rata vibrator akan menghasilkan

E ≈ kT . Untuk pendekatan ini kita akan mendapatkan C v ≈ 3 R sebagaimana yang dihasilkan

oleh Dulong-Petit.

Pada suhu rendah hf ≫kT , sehingga

E ≈ hf e−hf /kT

U=3 N A E ≈ 3 RT ( hfkT )e−hf / kT

C v=∂ U∂ T

=3 R( hfkT )

2

e−hf / kT

oleh karena itu C vakan mendekati nol pada suhu-suhu rendah. Dan apabila T → 0 maka

C v mendekati nol secara eksponensial.

Gambar. Grafik C v terhadap perubahan temperatur model Einstein dan eksperimen

Teori Debye

Dalam model Einstein, atom atom dianggap bergetar secara terisolasi dari atom di

sekitarnya. Anggapan ini jelas tidak dapat diterapkan, karena gerakan atom akan saling

berinteraksi dengan atom-atom lainnya. Seperti dalam kasus penjalaran gelombang mekanik

dalam zat padat, oleh karena rambatan gelombang tersebut atom-atom akan bergerak

kolektif. Debye berusaha memperbaiki dengan asumsi bahwa antara titik kesetimbangan

atom kristal seolah dihubungkan oleh pegas, sehingga getarannya terikat oleh pegas. Jadi

suatu gangguan dalam arah A akan menyebabkan keseluruhan sistem bola atom bergetar.

Bila kristal mengandung sejumlah N atom, dalam koordinat 3-D maka sistem tersebut

mempunyai 3N derajat kebebasan. Osilasinya akan mempunyai 3N ragam vibrasi yang

masing-masing vibrator mempunyai frekuensi tertentu. Sehingga energi totalnya sistem

tersebut:

U =∫0

∞

En g ( f ) df

En adalah energi rata rata osilator seperti pada model Einstein sedangkan g ( f ) adalah

rapat keadaan. Pemikiran ini didasarkan atas kenyataan bahwa ragam frekuensi di dalam

kristal sesuai dengan rambatan gelombang bunyi yang merupakan gelombang elastik

berfrekuensi rendah. Dalam hal ini panjang gelombang bunyi sangat besar dibandingkan

dengan jarak atom λ≫a ,sehingga kediskritan susunan atom dalam kristal dapat diabaikan

dan menggantikannya menjadi medium elastik yang homogen. Dengan itu, maka energi

totalnya menjadi

U=9 N A kT 4

θ3 ∫0

θT

x3

e x−1dx

Dengan x=hfkT

dan θ=h f D

k. θdi sini juga bermakna sebagai temperatur Debye.

Rumusan kapasitas termal adalah

C v=9 R [4(Tθ )

3

∫0

θ /Tx3

ex−1dx−( θ

T ) 1eθ /T−1 ]

Pada suhu tinggi, maka θT

sangat kecil dan x=hfkT

juga sangat kecil, sehingga

eθ /T ≈ 1+ θT

dan ex ≈ 1+ x . Maka didapatkan

C v ≈ 9R ( 43−1)≈ 3 R

Pada suhu rendah θT

→ ∞, sehingga diperoleh

C v ≈ 9R [4(Tθ )

3( π 4

15 )]≈ 12 π4 R5θ3 T3

Gambar. Perbandingan model Einstein dan Deybe

Dengan demikian teori Deybe dapat membuktikan bahwa C v sebanding dengan T 3

pada suhu rendah. Hasil ini sesuai dengan hasil eksperimen.