ferida dwi p tugas pengganti uts

8/19/2019 Ferida Dwi P Tugas Pengganti UTS

http://slidepdf.com/reader/full/ferida-dwi-p-tugas-pengganti-uts 1/16

Ferida Dwi Prasetyoningrum

13301241052

Pendidikan Matematika A 2013

TUGAS Pengganti UTS

1. Deketahui deret e x

=1+ x

1!+ x

2

2 !+ x

3

3 !+… ,−∞< x<∞ . Gunakan deret tersebut

tu!iskan "erintah#"erintah atau "rogram MA$%A&#nya' untuk menghitung

ham"iran ni!ai e

a. Dengan menggunakan 10 suku "ertama deret tersebut( setia" suku

dibu!atkan hasi!nya sam"ai ) angka signi*kan. +itung ga!at ni!ai

ham"irannya.

Penyelesaian:

,, -1/ n110/ s-.n#1'.atoria!n#1'/,, s"rint6.)g (s '

ans

1 1 0.5 0.1))))7 0.041)))7 0.00833333 0.00138889 0.0001984132.4801)e#005 2.75573e#00)

,, u:1 1 0.5 0.1))))7 0.041)))7 0.00833333 0.001388890.000198413 2.4801)e#005 2.75573e#00);/,, +am"iransumu'/

,, Ga!atabs+am"iran#e-"-''

Ga!at

).1871e#008

<adi ga!at ni!ai ham"irannya ada!ah 6.1871×10−8

b. Dengan menggunakan 10 suku "ertama deret tersebut( bu!atkan hasi!

akhirnya sam"ai ) angka signi*kan. +itung ga!at ni!ai ham"irannya.

Penyelesaian:,, -1/ n110/ s-.n#1'.atoria!n#1'/,, "rint+am"iran 6)g =n(sums''+am"iran 2.71828,, +am"iran 2.71828 /,, Ga!atabs+am"iran#e-"-''

Ga!at

1.8285e#00)

<adi ga!at ni!ai ham"irannya ada!ah 1.8285×10

−6

. Suku yang harus dihitung minimal agar diperoleh hampiran dengan galat kurang dari 0.000001

adalah 10 suku.



2. >i!ai x=π

2 meru"akan sa!ah satu akar "ersamaan xcos ( x )+sin2( x )=1

a. $entukan dera?at akar tersebut.

Penyelesaian:

f ( x )= x cos ( x )+sin2 ( x )=1

mempunyai akar

x=π

2

f ( π

2 )=π

2cos( π

2 )+sin2( π

2 )=1

Terbukti hasilnya = 1

f ' ( x )=cos ( x )− x sin

2 ( x )+2sin xcos x

f ' (

π

2)=cos( π

2 )− π

2sin

2( π

2 )+2sin π

2cos

π

2

f ' ( π

2 )=−π

2

Karenaf

' ( π

2 )≠1 maka derajat akarnya adalah 1

b. Gunakan metode >ewton#@a"hson tu!iskan "erintah#"erintah atau "rogram

MA$%A&#nya' untuk menghitung ham"iran akar tersebut

Penyelesaian:function [hasil]=newtonraphson(x0,n,tol); %digunakan untuk input x0 dan

maksimal banakna iterasi

f=inline(!x"cos(x)#sin(x)$&'!);

df=inline(!cos(x)'x"sin(x)#&"sin(x)"cos(x)! );

0=f(x0);

hasil=[0 x0 0];

if df(x0)==0, error(!terasi tidak akan kon*ergen+!), end

for i=n,

x=x0'f(x0)-df(x0); hasil=[hasil;i x f(x)];

if (abs(f(x0)).tol / abs(x'x0).tol), break, end

x0=x;

end

hasilend

No 3:

a. $entukan s"!ine kuadratik B-' yang menginter"o!asikan titik#titik 0( 1'( 1( 1'(2( 2' dan 4( 5'( dengan syarat B0' 0 dengan seara !angsung dan araa!ternati !ihat handout'

Penyelesaian:

Cara Langsung

Misalkan spline kuadratiknya adalahS ( x )={

a1 x

2+b1 x+c

1,0≤ x ≤1

a2 x

2+b2 x+c

2,1≤ x ≤2

a3 x

2+b3 x+c

3,2≤ x ≤4



1) S ( xk )= yk , k =1,2,3,4

sehingga diperoleh

c1=1

a2+b

2+c2=1

4 a3+2b

3+c

3=2

16a3+4b

3+c

3=5

2) Sk ( xk +1 )=Sk +1 ( xk +1 )= yk +1 , k =1,2

sehingga diperoleh

a1+b

1+c

1=1

4 a2+2b

2+c

2=2

3) Sk ' ( xk +1 )=Sk +1 ' ( xk +1 ) sehingga diperoleh

2a1+b

1=2a

2+b

2

4a2+b2=

4a3+b3

) Syarat Tambahan! S' (0 )=0 maka

b1=0

"ari persamaan linier yang diperoleh diatas didapatkan penyelesaian!

a1=0,b

1=0,c

1=1

a2=1,b

2=−2,c

2=2

a3=−1

4, b

3=3, c3

=−3

#adi$ spline kuadratiknya adalahS ( x )={

1,0≤ x ≤1

x2−2 x+2,1≤ x ≤2

−1

4 x

2+3 x−3,2≤ x≤ 4

Cara Alternatif

mk +mk +1=2( yk +1− yk ) xk +1− xk

, k =1,2,3…n−1 maka diperoleh

m1+m

2=

2(1−1)1−0

=0

m2+m

3=

2 (2−1 )2−1

=2

m3+m4=

2(5−2)

4−2 =3

m1=0

Maka didapatm

4=1 ; m

3=2 ; m

2=0 ; m

1=0



x− xk

¿¿

S ( x )=Sk ( x )=1

2

mk +1−mk

xk +1− xk

¿ maka diperoleh spline kuadratiknya adalah

S ( x )=

{ 1,0≤ x ≤1

x2−2 x+2,1≤ x ≤2

−14

x2+3 x−3,2≤ x ≤4

b. Gambar!ah kurCa s"!ine bersama titik#titik tersebut da!am satu bidang artesiustu!iskan "erintah#"erintah atau "rogram MA$%A&#nya'.

Penyelesaian:,, -:0(1(2(4;/,, y:1(1(2(5;/

,, E01.14/,, n!engthE'/,, or k1ni Ek'1(Bk'1/ e!sei Ek'2( Bk'Ek'.2#2Ek'H2/ e!se Bk'#14Ek'.2H3Ek'#3/endend,, "!ot-(y((E(B(#',, grid on

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 41

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

No 4:

a. $entukan s"!ine kubiknya dengan syarat B0' B4' 0 dengan seara!angsung dan ara a!ternati !ihat handout'

Penyelesaian:

Cara Langsung

Misalkan spline kubiknya adalah!



S ( x )={a1 x

3+b1 x

2+c1 x+d

1,0≤ x ≤1

a2 x

3+b2 x

2+c2 x+d

2,1≤ x ≤2

a3 x

3+b3 x

2+c3 x+d

3,2≤ x ≤4

Syarat%syarat yang harus dipenuhi!

1¿ S ( xk )= yk $ k =1$ 2$ 3$ $ sehingga diperoleh

d1=1

a2+b

2+c

2+d

2=1

8a3+4b

3+2 c

3+d

3=2

64a3+16 b

3+4 c

3+d

3=5

2¿Sk ( x

k +1

)=S

k +1

( x

k +1

)= y

k +1

$ k =1$ 2 diperoleh

a1+b

1+c

1+d

1=1

8a2+4b

2+2 c

2+d

2=2

3¿Sk ' ( xk +1 )=Sk +1 ' ( xk +1 ) $ sehingga diperoleh

3a1+2b

1+c

1=3a

2+2b

2+c

2

6a2+4b

2+c2=6 a

3+4 b3+c

3

4 ¿Sk ' ' ( xk +1 )=Sk +1 ' ' ( xk +1 ) $ sehingga diperoleh

6a1+2b

1=6 a2+2b

2

12a2+2b

2=12a

3+2b

3

1) Syarat tambahan! S' (0 )=S

' (4 )=0 $ sehingga diperolehc1=0

"ari persamaan linier yang diperoleh berdasarkan syarat 1 sampai di atas diperoleh

penyelesaian!

a1=0

$b1=0

$c1=0

$d

1=1

a2=1,

b2=−3

$c2=3

$d

2=0

a3=

−3

20 $b3=

39

10 $c3=

−177

10 $d

3=23

#adi spline kubiknya adalah!



S ( x )={ 1,0≤ x≤1

x3−3 x

2+3 x ,1≤ x ≤2

−3

20 x

3+39

10 x

2−177

10 x+23,2≤ x ≤4

b. Gambar!ah kurCa s"!ine dan titik#titik tersebut da!am satu bidang artesiustu!iskan "erintah#"erintah atau "rogram MA$%A&#nya'.

Penyelesaian:,, -:0(1(2(4;/,, y:1(1(2(5;/,, E01.14/,, n!engthE'/,, or k1ni Ek'1(Bk'1/ e!sei Ek'2( Bk'Ek'.3#3Ek'.2H3Ek'/ e!se Bk'#320Ek'.3H3910Ek'.2#17710Ek'H23/end

end,, "!ot-(y((E(B(#',, grid on

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 41

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5. Diketahui data ni!ai#ni!ai f ( x)

x #2 #1 0 1 2

f ( x) 5 #2(75 1 #4(75 #35

a. $entukan "o!inomia! inter"o!asinya

Penyelesaian:

,, -:#2/#1/0/1/2; / y:5/#2.75/1/#4.75/#35;/

,, I:-.0 -.1 -.2 -.3 -.4;

I



1 #2 4 #8 1)

1 #1 1 #1 1

1 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 2 4 8 1)

,, aI=y

a

1.0000

2.0000

#5.0000

#3.0000

0.2500

<adi( "o!ynomia! inter"o!asinya ada!ah P ( x )=1+2 x−5 x2−3 x

3+1

4 x

4

b. +itung ham"iran untuk f (−1

2) dan f (

1

2) .

Penyelesaian:

,, in!ine1H2-#5-.2#3-.3H0.25-.4'

Jn!ine untion

-' 1H2-#5-.2#3-.3H0.25-.4

,,#0.5'

ans

#0.8594

,,0.5'

ans

0.390)

<adi ham"iran untuk f (−1

2) ada!ah #0.8594 dan f (

1

2) ada!ah 0.390)



. +itung ham"iran ∫−2

2

f ( x )dx dengan menggunakan "o!inomia! inter"o!asi

tersebut tu!iskan "erintah#"erintah atau "rogram MA$%A&#nya'.

Penyelesaian:

,, integra!KLuad(#2(2'

integra!K

#19.4))7

d. +itung ham"iran ∫−2

2

f ( x )dx dengan menggunakan aturan &oo!e tu!iskan

"erintah#"erintah atau "rogram MA$%A&#nya'.

Penyelesaian:

,, n3/a#2/b2/hb#a'4n'/-ahb/1H2-#5-.2#

3-.3H0.25-.4/

,, &14h451'H4nH1''H)4h45sum224n''

H24h45sum344n#1''H28h45sum544n#3''

&

#19.4))7

<adi( ham"iran ∫−2

2

f ( x )dx dengan menggunakan aturan &oo!e ada!ah

#19.4))7

e. A"a yang da"at Anda sim"u!kan dari hasi! dan d

Kesimpulan:

"ari hasil & dan d$ dapat disimpulkan bah'a perhitungan hampiran menggunakan kuadratikdan menggunakan aturan &oo!e akan menda"atkan hasi! yang sama yaitu%1(.*. +erhitungan menggunakan kuadratik lebih mudah dibandingkan dengan perhitungan

menggunakan aturan ,oole.

No 6:

a. Gunakan trans!asi yang sesuai untuk menghitung ham"iran ∫a

b

f ( x ) dx

$u!iskan ham"iran untuk integra! tentu tersebut' dengan menggunakan rumusGauss#%egendre 2 titik.

Penyelesaian:



∫a

b

f ( x )dx=∫−1

1

g (u ) du=g (−1

√ 3 )+g( 1√ 3 )g (u )=1

2(b−a ) f (12 (b−a )u+ 1

2(b+a))

b. +itung!ah ∫−1

1

e−2 x

dx

i' seara eksak(Penyelesaian:

∫−1

1

e−2 x

dx=[−1

2e−2 x ]

−1

1

=[(−1

2e−2)−(−1

2e2)]=3,6269

ii' dengan Gauss#%egendre 2 titik( kemudian hitung ga!atnyaPenyelesaian:

e

−2 x

dx=¿(e−2

√ 3

)+(e2

√ 3

)=3,4882

∫−1

1

¿

Galat =3,6269−3,4882=0,1387

. +itung!ah ∫0

2

6 x2

dx ( ∫0

2

6 x3

dx ,∫0

2

6 x4

dx

i' seara eksak(

Penyelesaian:

1.∫0

2

6 x2dx=[2 x3 ]0

2

=16

2.∫0

2

6 x3

dx=[ 32 x4

]0

2

=24

3.∫0

2

6 x4dx=[ 65 x

5

]0

2

=192

5


1. ∫0

2

f ( x ) dx

¿∫−1

11

2(2−0) f (12 (2−0 ) u+

1

2(2+0 ))du

¿∫−1

1

f ( u+1 ) du



¿∫−1

1

6 (u+1)2du

¿∫−1

1

6 (u2+2u+1 ) du

¿6

((−1

√ 3

)

2

+2

(

−1

√ 3

)+1

)+6

(( 1

√ 3

)

2

+2

(

1

√ 3

)+1

)¿16

Galat =16−16=0

2. ∫0

2

f ( x ) dx

¿∫−1

1

1

2(2−0) f

(

1

2(2−0 ) u+

1

2(2+0 )

)du

¿∫−1

1

f ( u+1 ) du

¿∫−1

1

6 (u+1 )3du

¿∫−1

1

6 (u3+3u2+3u+1 ) du

¿6((−1

√ 3 )3

+3 (−1

√ 3 )2

+3(−1

√ 3 )+1)+6 (( 1

√ 3 )3

+3( 1√ 3 )2

+3 ( 1√ 3 )+1)¿24

Galat =24−24=0

3. ∫0

2

f ( x ) dx

¿∫−1

1 1

2(2−0) f (12 (2−0 ) u+

1

2(2+0 ))du

¿∫−1

1

f ( u+1 ) du

¿∫−1

1

6 (u+1)4 du

¿∫−1

1

6 (u4

+4u

3

+6u2

+4u+1 )du

¿6((−1

√ 3 )4

+4 (−1

√ 3 )3

+6 (−1

√ 3 )2

+4(−1

√ 3 )+1)+6(( 1√ 3 )4

+4 ( 1√ 3 )3

+6( 1√ 3 )2

+4 ( 1√ 3 )+1)



¿112

3

Galat =192

5−

112

3=

16

15=1,0667

iii' A"a yang da"at Anda sim"u!kanKesimpulan:

Dari i' dan ii' da"at disim"u!kan bahwa "erhitungan ∫0

2

6 x2

dx (

∫0

2

6 x3

dx ,∫0

2

6 x4

dx seara eksak mau"un menggunakan Gauss#%egendre

2 titik akan mem"ero!eh hasi! yang ham"er sama atau"un sama "ersis.

No7:

a. Gunakan trans!asi yang sesuai untuk menghitung ham"iran ∫a

b

f ( x ) dx

$u!iskan ham"iran untuk integra! tentu tersebut' dengan menggunakan rumusGauss#%egendre 3 titik.

Penyelesaian:

∫a

b

f ( x )dx=∫−1

1

g (u ) du=8

9g (0 )+ 5

9g

(−

√3

5

)+5

9g

(√3

5

)g (u )=1

2(b−a ) f (12 (b−a )u+ 1

2(b+a))

b. +itung!ah ∫−1

1

e−2 x

dx


∫−1

1

e−2 xdx=[−

12

e−2 x

]−1

1

=[(−12

e−2

)−(−12

e2

)]ii' dengan Gauss#%egendre 3 titik( kemudian hitung ga!atnya

Penyelesaian:

e−2 x

dx=¿8

9(e0 )+ 5

9(e

2√ 3

5)+ 5

9(e

−2√ 3

5)=3,6223

∫−1

1

¿

Galat =3,6223−3,6269=0,0046



. +itung!ah ∫0

2

6 x5dx


∫0

2

6 x5dx=[ x6 ]0

2

=64


∫0

2

f ( x ) dx

¿∫−1

1

1

2(2−0 ) f (12 (2−0 ) u+

1

2(2+0 ))du

¿∫−1

1

f (u+1 ) d=∫−1

1

6 (u+1 )5du

¿∫−1

1

6 (u5+5u4+10u3+10u2+5u+1)du

¿ 8

9

(6 )+5

9

(6

((−

√3

5

)

5

+5

(−

√3

5

)

4

+10

(−

√3

5

)

3

+10

(−

√3

5

)

2

+5

(−

√3

5

)+1

))+5

9

(6

((√3

5

)

5

+5

(√3

5

)

4

+10

(¿64

Galat =64−64=0

iii' A"a yang da"at Anda sim"u!kanKesimpulan:

Perhitungan ∫0

2

6 x5

dx seara eksak dan menggunakan Gauss#%egendre

3 titik akan mem"ero!eh hasi! yang sama yaitu )4( sehingga ga!atnya

samadengan no!.

8. Diketahui f ( x )=2sin ( x )e− x+ x

a. Gunakan metode @omberg untuk menentukan minimum banyaknya

subinterCa! yang harus digunakan untuk menda"atkan ham"iran ∫0

5

f ( x ) dx

agar ga!atnya kurang dari 0.000001i. Bertakan tabe! hasi! "erhitungan dengan metode @omberg'

Penyelesaian:



∫0

5

2sin ( x ) e− x+ x dx = 12$-33*-

galat =eksak −hamp!an

hampiran = eksak – galat

hampiran = 12$-33*- / 0.000001= 12$-33-

ii. <e!askan ?awaban AndaPenjelasan:hampiran harus melebihi hasil perhitungan se&ara eksak

n=3-a=0b=-h=b%a=a!hn!b4=25ep6%).56sin6))7

861$1)=h256461)74633))

862$1)=861$1)27h25461*)

863$1)=862$1)27h5sum646(!1!2-))

86$1)=863$1)27h5sum646-!!2())

86-$1)=86$1)27h15sum6463!!31))

86$1)=86-$1)27h325sum6462!2!32))

4or i=2!$

4or j=2!i$

86i$j)=696j%1)586i$j%1)%86i%1$j%1))696j%1)%1)

end

end

8

8 =

11.3** 0 0 0 0 0

11.**0 11.(23- 0 0 0 0

12.3102 12. 12.-220 0 0 0 12.* 12.-323 12.-3-- 12.-3-* 0 0

12.-20 12.-3( 12.-3-1 12.-3-1 12.-3-1 0

12.-31 12.-3-1 12.-3-1 12.-3-1 12.-3-1 12.-3-1

b. Gunakan rumus ekstra"o!asi @ihardson untuk menentukan bera"a titikyang harus digunakan untuk menda"atkan ham"iran 1' dengan !ebar!angkah 0.01 agar ga!atnya kurang dari 0.000001

Bertakan tabe! hasi! "erhitungan dengan rumus ekstra"o!asi @ihardson' <e!askan ?awaban Anda

Penyelesaian:4=inline6:25ep6%).56sin6))7:)

n=1!h=0.01861$!)=64627h)%462%h)).625h)

4or i=2!$

4or j=1!-%1$

86i$j)=696i%1)586i%1$j)%86i%1$j71))696i%1)%1)

end

end

8

8 =

0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12

0.12 0.12 0.12 0.12 0 0



0.12 0.12 0.12 0.0 0 0

0.12 0.12 0.0 0.(( 0 0

12.-20 12.-3( 12.-3-1 12.-3-1 12.-3-1 0

12.-31 12.-3-1 12.-3-1 12.-3-1 12.-3-1 12.-3-1

9. Diketahui M>A y' ( t )=e

−sin ( t )+cos ( t ) ( y (0)=1

a. $entukan "enye!esaian eksak M>A tersebutb. +itung!ah ham"iran "enye!esaian M>A tersebut dengan menggunakan

metode Nu!er( @O2( dan @O4 menggunakan !ebar !angkah h0.5 "adainterCa! :0( 5;

. Gambar!ah kurCa so!usi eksak bersama dengan titik#titik yang di"ero!ehdengan ketiga metode tersebut

d. Bim"u!kan hasi!nya

Penyelesaian:

m%4ile euler

function [t,]=eulerpdb(f,n,a,b)

h=(b'a)-n;

t=[a];=[];

for k=&n#

t=[t; a#(k')"h];

=[; (k')#h"f(t(k'))];

end

end

nilai eksak

ye1=ep6%sin6t1))7&os6t1)

ye1 =

2.0000

1.(*

0.(*1

0.3(- %0.0133

%0.2-1-

%0.121

0.3*

1.**

2.*1

2.(2

4=inline6:ep6%sin6t))7&os6t):)



4 =

;nline 4un&tion!

46t) = ep6%sin6t))7&os6t)

<t1 y1=eulerpdb64$10$0$-)

tabel=<t1 y1

tabel =

0 1.0000

0.-000 2.0000

1.0000 2.*

1.-000 3.230

2.0000 3.-3

2.-000 3.*1

3.0000 3.321

3.-000 3.20

.0000 3.-02-

.-000 .21

-.0000 -.(

8K2

function hasil=rk&

h=0$1;



tn=1;

t0=0;0=;h=[t0 0];

for k=tn-h

t=t0#h;

=0#h-&"((t0'0)-&#(t'0'h"(t0'0)-&)-&);

t0=t; hasil=[h;t ]; 0=;

end

rk2

ans =

0 1.0000

-.0000 3.2-1

ferida dwi p tugas pengganti uts

Documents