eulerian graf hamiltonian graf
TRANSCRIPT
@tiarindarto FKIP UHAMKA (Math_H) 0901125227
EULERIAN GRAF & HAMILTONIAN GRAF
A. Eulerian Graf
Graf yang memuat sirkut euler.
Lintasan euler
Lintasan pada graf G dikatakan lintasan euler, ketika melalui setiap sisi di graf tepat
satu kali. Karena melalui setiap sisi tepat satu kali atau melalui sisi yang berlainan,
bisa dikatakan jejak euler. Sehingga lintasan euler sudah tentu jejak euler.
Sirkuit euler
Lintasan euler adalah simpul awal = simpul akhir/lintasan euler (tertutup) yang
merupakan sirkuit berarti sirkuit euler. Sehingga suatu graf yang memiliki sirkuit
euler atau berarti graf tersebut merupakan graf euler.
Teorema 1
Graf terhubung G adalah euler jika dan hanya jika derajat dari masing-masing vertex
adalah genap.1
Teorema 2
a. Jika graf G memiliki lebih dari dua vertex berderajat ganjil, maka G adalah graf
non euler.
b. Jika G memiliki dua vertex berderajat ganjil, maka G memiliki lintasan euler dan
ini berlaku juga ketika memiliki satu vertex berderajat ganjil.2
Teorema 3
Suatu graf terhubung adalah graf semi euler jika dan hanya jika memiliki tepat dua
vertex yang berderajat ganjil.3
Teorema 4
Graf berarah G memiliki sirkuit euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap
simpul memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama. G memiliki lintasan euler
jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat masuk dan
derajat keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat keluar satu
lebih besar dari derajat masuk, dan yang kedua memiliki derajat masuk lebih besar
dari derajat keluar.4
(i) Graf berarah euler
(ii) Graf berarah semi
euler
(iii) Graf berarah bukan
euler & semi euler
1 C. Vasudev. Graph Theory With Applications. New Delhi: New Age International. hlm 69
2 Ibid. hlm 70
3 Ibid.
4 Politeknik Telkom. Graf. (Dalam Bentuk Slide Power Point). Bandung: Politeknik Telkom. Slide ke 79
@tiarindarto FKIP UHAMKA (Math_H) 0901125227
Jadi, dikatakan graf G memiliki sitkuit euler, ada beberapa poin yang harus
diperhatikan :
1. Jika ada vertex yang berderajat nol, maka graf adalah graf tak terhubung dan
tidak memiliki lintasan euler dan sirkuit euler.
2. Jika semua vertex memiliki derajat genap, maka memiliki lintasan euler dan
sirkuit euler.
3. Jika terdapat dua vertex yang memiliki derajat ganjil, maka memiliki lintasan
euler dan tidak memiliki sirkuit euler.
4. Jika terdapat lebih dari dua vertex yang memiliki derajat ganjil, maka tidak
memiliki lintasan euler dan sirkuit euler.
Graf yang hanya memiliki lintasan euler (terbuka) merupakan graf semi euler.
Graf yang tidak memiliki lintasan euler dan sirkuit euler merupakan graf non euler.
Contoh 1 :
lintasan euler.
ABCDEFCGA, ABCFEDCGA, dan lainnya.
Lintasan euler merupakan sirkuit berarti
graf euler.
Contoh 2 :
lintasan euler.
ABEDCB, BCDEBA, dan lainnya.
Lintasan euler tidak termasuk sirkuit atau graf tidak memiliki
sirkuit euler. Sehingga graf merupakan graf semi euler.
Contoh 3 :
lintasan euler.
SRQSTQPT, SRQSTPQT, dan lainnya.
Lintasan euler tidak termasuk sirkuit atau graf
tidak memiliki sirkuit euler. Sehingga graf
merupakan graf semi euler.
@tiarindarto FKIP UHAMKA (Math_H) 0901125227
Contoh 4 :
deg(K)=deg(L)=deg(M)=deg(P)=deg(O)=deg(N)=3
berdasarkan teorema 2 dapat dikatakan graf di
samping adalah graf non euler, karena memiliki
vertex berderajat ganjil lebih dari dua.
Fleury’s algoritm
Menggunakan fleury algoritm untuk mengkontruksi sirkuit euler.
Langkah 1 : pilihlah sebuah simpul sebagai simpul awal, misalnya simpul a.
Langkah 2 : laluilah sebuah sisi yang dapat ditelusuri. Pilihlah sebuah jembatan jika
tidak ada sisi lain sebagai alternatif yang dapat dilewati.
Langkah 3 : setelah melewati setiap sisi tepat satu kali, hapuslah sisi tersebut, hapus
pula simpul yang berderajat nol yang muncul akibat penghapusan sisi
tersebut. Kemudian lewatilah sisi lain yang masih tersedia.
Langkah 4 : stop jika tidak ada sisi lagi. Kalau masih ada sisi yang bisa dilewati,
kembalilah ke langkah 2.5
Contoh graf untuk fleury’s algoritm.
5 Kartika Yulianti. Hand Out Mata Kuliah Teori Graf (MT 424) Jilid Satu . Bandung: UPI. hlm 11
@tiarindarto FKIP UHAMKA (Math_H) 0901125227
B. Hamiltonian Graf
Graf hamilton diambil dari nama sir william rowan hamilton.
Suatu graf terhubung adalah graf hamilton memuat sirkuit yang melalui setiap vertex
tepat satu kali disebut sirkuit hamilton.
Lintasan hamilton adalah lintasan yang melalui tiap vertex di dalam graf tepat satu
kali.
Graf yang hanya memiliki lintasan hamilton disebut graf semi hamilton.
Contoh 1 :
(i) Graf yang memiliki lintasan hamilton (misalnya ABCD)
(ii) Graf yang memiliki sirkuit hamilton (misalnya DCBA)
(iii) Graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit hamilton
Teorema 1
Syarat cukup (jadi bukan syarat perlu) supaya graf sederhana G dengan n 3 buah
vertex adalah graf hamilton ialah bila tiap vertex paling sedikit
(yaitu, d(v)
untuk setiap simpul v di G).
Contoh :
(i) n = 3, dengan tiap vertex memiliki d(v) = 1,5 2
(ii) n = 4, dengan tiap vertex memiliki d(v) = 2
Teorema 2
Setiap graf lengkap adalah graf hamilton.
Ingat : graf lengkap dengan n buah simpul dilabangkan dengan Kn. Jumlah sisi pada
graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah ( )
.
Contoh :
dan seterusnya
@tiarindarto FKIP UHAMKA (Math_H) 0901125227
Teorema 3
Di dalam graf lengkap G dengan n buah vertex (n 3), terdapat ( )
buah sirkuit
hamilton.
Contoh :
(i) Graf lengkap n = 3, memiliki sirkuit
hamilton 1 yaitu 1231
(ii) Graf lengkap n = 4, memiliki sirkuit
hamilton 3 yaitu, ABCDA, BDCAB,
dan CADBC
Teorema 4
Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n 3 dan n ganjil), terdapat ( )
buah sirkuit hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap
dan n 4, maka di dalam G terdapat ( )
buah sirkuit hamilton yang saling lepas.
Contoh :
(persoalan pengaturan tempat duduk). Sembilan anggota sebuah klub yang bertemu
tiap hari untuk makan siang pada sebuah meja bundar. Mereka memutuskan duduk
sedemikian sehingga setiap anggota mempunyai tetangga duduk berbeda setiap
makan siang. Berapa hari pengaturan tersebut dapat dilaksanakan?
Jumlah pengaturan tempat duduk yang berbeda adalah ( )
Graf yang merepresentasikan :
@tiarindarto FKIP UHAMKA (Math_H) 0901125227
Teorema 5
Misalkan G adalah graf terhubung sederhana dengan n titik, dengan n 3 dan deg v +
deg w n. Untuk tiap-tiap pasangan titik yang tidak berdekatan v dan w, maka G
adalah graf hamilton.
Contoh :
Untuk graf yang ditunjukkan pada gambar berikut deg v + deg w 5 untuk masing-
masing vertex yang tidak berdekatan v dan w. Jadi menurut teorema 5 graf ini adalah
graf hamilton.
Teorema 6
Misalkan G adalah graf sederhana dengan n vertex. Jika jumlah dari derajat masing-
masing vertex di G paling sedikit n – 1, maka ada lintasan hamilton di G.
Contoh :
deg(a)+deg(b)+deg(c)+deg(d)+deg(e) = 1 + 2 + 2 + 2 + 1 = 8
jumlah derajat dari masing-masing vertex lebih dari n – 1 =
5 – 1 = 4
C. Referensi
Bondy, J. A, & Murty, U. S. R. 2000. Graduate Texts In Mathematics Graph Theory.
Springer
. 1976. Graph Theory With Applications. New York: Elsevier Science
Publishing
Chartrand, G, & Lesniak, L. 1996. Graphs & Digraphs Third Edition. Florida: Chapman
& Hall (CRC)
http://syaifulhamzah.files.wordpress.com/2012/10/course-note-graph-hamilton.pdf
(diakses 20 November 2012 pukul 08:56 WIB)
http://syaifulhamzah.files.wordpress.com/2012/10/course-note-4-graph-euler-dan-
hamilton.pdf (diakses 20 November 2012 pukul 08:56 WIB)
http://www.slideshare.net/CliquerzJavaneze/bab-9-graf#btnNext
(diakses 20 November 2012 pukul 19:45 WIB)
@tiarindarto FKIP UHAMKA (Math_H) 0901125227
Politeknik Telkom. Graf. (Dalam bentuk slide power point). Bandung: Politeknik
Telkom
Yulianti, K. 2008. Hand Out mata Kuliah Teori Graf (MT 424) Jilid Satu . Bandung: UPI
Vasudev, C. 2006. Graph Theory With Applications. New Delhi: New Age International
Publishers
www.repository.upi.edu