graf theory
Embed Size (px)
DESCRIPTION
graf theoryTRANSCRIPT

DIMENSI PARTISI GRAF MULTIPARTIT DAN GRAF HASILKORONA DUA GRAF TERHUBUNG
DISERTASI
Karya tulis sebagai salah satu syaratuntuk memperoleh gelar Doktor dari
Institut Teknologi Bandung
Oleh
DARMAJI
NIM: 30107003
Program Studi Doktor Matematika
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG2011

Abstrak
DIMENSI PARTISI GRAF MULTIPARTIT DAN GRAF HASILKORONA DUA GRAF TERHUBUNG
Oleh
Darmaji
NIM: 30107003
Penentuan basis/partisi pembeda dari suatu graf adalah kajian menarik dalam teorigraf karena mempunyai banyak aplikasi. Klasifikasi senyawa kimia, navigasi robotdan jaringan, dan perancangan sensor adalah tiga contoh aplikasi tersebut. Slater(1975) dan Harary dan Melter (1976) mengenalkan konsep himpunan pembedadalam suatu graf. Misalkan G = (V,E) adalah suatu graf terhubung. UntukW = {w1, w2, · · · , wk} ⊆ V (G) dan v ∈ V (G), representasi v terhadap W adalahr(v|W ) = (d(v, w1), d(v, w2), · · · , d(v, wk)). Himpunan W disebut himpunanpembeda dari V (G) jika r(u|W ) 6= r(v|W ) untuk sebarang dua simpul berbedau, v ∈ V (G). Dimensi metrik dari suatu graf G, disimbolkan dim(G), adalahbilangan bulat terkecil k sedemikian hingga G mempunyai sebuah himpunanpembeda dengan k anggota.
Selanjutnya, Chartrand dkk. (1998) mengenalkan ragam lain dari konsepdimensi metrik yang disebut dimensi partisi graf. Misalkan v ∈ V (G) danS ⊆ V (G), jarak antara v dan S adalah d(v, S) = min {d(v, x)|x ∈ S}. Untuksebuah partisi Π = {S1, S2, · · · , Sk} dari V (G), representasi v terhadap Π adalahr(v|Π) = (d(v, S1), d(v, S2), · · · , d(v, Sk)). Partisi Π disebut partisi pembeda dariG jika semua representasi dari setiap simpul v ∈ V (G) berbeda. Dimensi partisipd(G) adalah bilangan bulat terkecil k sedemikian hingga G mempunyai sebuahpartisi pembeda dengan k anggota.
Penelitian dalam dimensi partisi graf telah mendapatkan banyak perhatian.Sebagai hasil pertama, Chartrand dkk. (1998) menentukan dimensi partisi daribeberapa kelas pohon, yaitu graf bintang ganda dan graf ulat. Selanjutnya, dalam(Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000), mereka mengkarakterisasi semua graf ordern dengan dimensi partisi 2, n dan n − 1 berturut-turut. Mereka juga menunjukkanbahwa pd(Km,n) = max{m,n}. Kemudian, Tomescu (2008) mengkarakterisasisemua graf order n dengan partisi dimensi n − 2. Mereka juga meneliti dimensipartisi beberapa graf tak-hingga. Akan tetapi, penentuan dimensi partisi darisebarang graf secara umum diklasifikasikan sebagai NP-hard problem (Chartrand,Salehi dan Zhang, 2000).
Dalam disertasi ini, kami menentukan dimensi partisi dari pohon kelas tertentu,yaitu graf ulat (caterpillar), graf kembang api (firecracker), dan graf pohon
ii

pisang (banana tree). Kami juga menentukan dimensi partisi graf multipartit, grafbipartit lengkap minus matching, dan graf tripartit lengkap minus matching. Hasilpenelitian ini memperbaiki hasil dari Chartrand dkk. (1998) dan Chartrand, Salehidan Zhang (2000).
Untuk graf G dan H , graf hasil korona G � H didefinisikan sebagai grafyang yang diperoleh dari G dan H dengan mengambil sebuah kopi graf G dan|V (G)| kopi grafH dan kemudian menghubungkan setiap simpul dari kopi ke-i grafH dengan sebuah titik ke-i dari G. Kami mendapatkan batas atas dimensi partisigraf G�H jika diameter H paling banyak 2, yaitu pd(G�H) ≤ pd(G) + pd(H).Kami menunjukkan bahwa batas atas ini ketat. Untuk kasus tertentu, kamimendapatkan pd(G � H), jika G adalah graf lintasan Pm, graf bintang K1,m ataugraf lengkap Km dan H adalah graf lengkap Km, graf bintang K1,m atau beberapakopi saling lepas dari graf lengkap Km.
Kata kunci: himpunan pembeda, partisi pembeda, dimensi metrik, dimensi partisi,graf multipartisi, matching, graf hasil korona.
iii

Abstract
THE PARTITION DIMENSION OF MULTIPARTITEGRAPHS AND CORONA PRODUCT OF TWO CONNECTED
GRAPHS
by
Darmaji
NIM: 30107003
Finding a set of vertices of a connected graph so that representations of allvertices to such a set are distinct is an interesting research domain in GraphTheory, due to many applications. Compound classification in chemistry, roboticnavigation and network, and censor design are some examples for these appli-cations. Slater (1975) dan Harary dan Melter (1976) introduced the concept ofa resolving partition for a graph. Let G = (V,E) be a connected graph. ForW = {w1, w2, · · · , wk} ⊆ V (G) and v ∈ V (G), the representation of v withrespect to W is r(v|W ) = (d(v, w1), d(v, w2), · · · , d(v, wk)). The set W is called aresolving set for V (G) if r(u|W ) 6= r(v|W ) for any two vertices u, v ∈ V (G). Themetric dimension dim(G) is the smallest integer k such that G has a resolving setwith k elements.
Furthermore, Chartrand dkk. (1998) introduced a variant of metric dimensionconcept called partition dimension of a graph, as follows. Let v ∈ V (G) andS ⊆ V (G), the distance between v and S is d(v, S) = min {d(v, x)|x ∈ S}.For an ordered partition Π = {S1, S2, · · · , Sk} of V (G), the representation of vwith respect to Π is r(v|Π) = (d(v, S1), d(v, S2), · · · , d(v, Sk)). The partition Πis called a resolving partition of G if all representations of vertices are distinct.The partition dimension of a graph G is the smallest integer k such that G has aresolving partition with k elements.
The investigations on the partition dimension of graphs have been receivingmuch attention. As the first result, Chartrand dkk. (1998) determined the partitiondimension of special classes of trees, namely double stars and certain caterpillars.Furthermore, in Chartrand, Salehi dan Zhang (2000), they characterized all graphson n vertices with partition dimension 2, n and n − 1 respectively. They alsoshowed that pd(Km,n) = max{m,n}. Lately, Tomescu (2008) characterized allgraphs on n vertices with partition dimension (n − 2). They also investigated thepartition dimension for some infinite graphs. However, determining of the partitiondimension of any graph in general is classified as an NP -hard problem (Chartrand,Salehi dan Zhang, 2000).
In this dissertation, we determine the partition dimension of specified classes
iv

of trees, namely caterpillars, firecrackers and banana trees. Our result for cater-pillars improved the result of Chartrand dkk. (1998). We also determine thepartition dimension of multipartite graphs, complete bipartite graphs minus amatchings and complete tripartite graphs minus matchings. These works are animprovement of the results in Chartrand dkk. (1998) dan Chartrand, Salehi danZhang (2000).
For graphs G and H , the corona product G � H is defined as the graphobtained from G and H by taking one copy of G and |V (G)| copies of H and thenjoining each vertex of the ith-copy of H with the ith-vertex of G by an edge . Weshall derive an upper bound of the partition dimension of G�H if the diameter ofH is at most 2, namely pd(G�H) ≤ pd(G) + pd(H). We show that this bound istight. For specific cases, we investigate pd(G�H), if G is either a path Pm, a starK1,m or a complete graph Km and H is a complete graph Km, a star K1,m or somedisjoin copies of Km.
Key words: resolving set, resolving partition, metric dimension, partitiondimension, multipartite graph, matching, corona product graph.
v

DIMENSI PARTISI GRAF MULTIPARTIT DAN GRAF HASILKORONA DUA GRAF TERHUBUNG
Oleh
Darmaji
NIM: 30107003
Program Studi Doktor Matematika
Institut Teknologi Bandung
Menyetujui
Tim Pembimbing
Tanggal 14 Juni 2011
Ketua
Prof. Dr. Edy Tri Baskoro
Anggota Anggota
Dr. Saladin Uttunggadewa Dr. Rinovia Simanjuntak
vi

Karena paduka memintaku terus berguru maka aku terus berguru.Peluh dalam berguru adalah kegembiraan tiada berbilang
karena cinta paduka menebar tak berkesudahan,di dalam setiap ihtiar dan perolehan.
vii

Pedoman Penggunaan Disertasi
Disertasi Doktor yang tidak dipublikasikan ini terdaftar dan tersedia di Perpus-
takaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan
bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku
di Institut Teknologi Bandung.
Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan
hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah
untuk menyebutkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh disertasi haruslah seizin
Dekan Sekolah Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
viii

Ucapan Terima Kasih
Yang ada hanya cinta karena yang kita sebut sebagai bukan cinta sesungguhnya
adalah cinta jua, hanya saja ia tak menemukan wilayah untuk tumbuh dan bersemi.
Karena cinta pula penulis dapat menyelesaikan pendidikan Program Doktor
Matematika ITB. Kegembiraan penulis adalah kegembiraan karena cinta yang
menebar.
Cinta dari Prof. Dr. Edy Tri Baskoro (promotor), Dr. Saladin Uttunggadewa
(ko-promotor I) dan Dr. Rinovia Simanjuntak (ko-promotor II) adalah cinta yang
melimpah mengalir tak berkesudahan dalam diskusi dan pembimbingan. Cinta
beliau adalah cinta yang menggerakkan untuk menjadi matematikawan yang baik
karena beliau matematikawan yang sangat baik. Beliau mumpuni dalam keilmuan,
jernih dalam penyampaian, dan terampil dalam memadukan kepakaran akademik
dan indahnya silaturahim.
Cinta dari Prof. Martin Baca adalah cinta yang memberi makna pada indahnya
keragaman dan hangatnya komunikasi akademik pada tiga bulan masa-masa
program sandwich-like di Technical University of Kosice, Republik Slovakia.
Cinta dari segenap kolega di Institut Teknologi Bandung adalah cinta yang
menguak cakrawala keilmuan, memberi sejumlah petunjuk dan memandu bergerak
ke depan. Terus bergerak. Belajar tak berkesudahan sambil tetap menjaga
kerendah-hatian.
Cinta dari segenap kolega di Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya
adalah cinta sawah ladang yang memberi kesuburan bagi tumbuh-kembangnya
kehidupan akademik penulis. Cinta dari segenap kolega di Jurusan Matematika ITS
adalah cinta yang memberi kerelaan ketika harus melakoni tugas, yang semestinya
menjadi tugas penulis, selama masa-masa menempuh jenjang pendidikan S3.
Cinta dari Kementerian Negara Pendidikan Nasional dan Direktorat Jendral
Pendidikan Tinggi adalah cinta yang memfasilitasi dengan beragam skema
pendanaan: BPPS (Beasiswa Pendidikan Pasca Sarjana), Program Sandwich-like,
Program Penelitian Doktor, dan Program Insentif Penulisan untuk Jurnal Interna-
ix

sional.
Cinta dari istri, anak, dan keluarga besar adalah cinta yang men-samudra.
Ke mana hendak berlayar, samudra memberi air dan kapal. Ke mana hendak
bergerak, samudra memberi layar, angin dan bintang. Ketika letih menjadi kenis-
cayaan, samudra dan segala anasirnya bersekutu memberi energi. Cinta istri dan
anak adalah cinta yang juga mewujud dalam bentuk kesanggupan mengambil porsi
sangat besar peran ayah pada masa-masa si ayah menempuh jenjang pendidikan S3.
Cinta dari kawan-kawan di Program Doktor Matematika Program Pasca Sarjana
(PPS) ITB adalah cinta yang memurnikan melaui beragam diskusi dan perbin-
cangan yang mencerahkan; adalah cinta yang tak memberi ruang bagi segala
hal yang tak membahagiakan; adalah cinta yang selalu hadir ketika semua yang
bernama keluarga berada dalam jarak ratusan kilometer dari Bandung.
Karena cinta dan atas nama cinta, penulis menghaturkan terima kasih tak
berkesudahan kepada semua yang telah memberikan cinta kepada penulis.
Karena cinta penulis tumbuh dari ketulusan, tentulah ia bergerak meninggi,
menjangkau langit, dan sampai jua ke Sang Maha Cinta.
Bandung, 14 Juni 2011
Penulis
x

Daftar Isi
Abstrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Pedoman Penggunaan Disertasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
Ucapan Terima Kasih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Daftar Isi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Daftar Gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Daftar Lambang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Bab I Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 Tujuan dan Lingkup Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.3 Sistematika Penulisan Disertasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Bab II Berbagai Konsep Dimensi dalam Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II.1 Definisi dan operasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II.2 Dimensi metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II.3 Dimensi partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II.4 Kaitan antara dimensi partisi dan parameter lainnya . . . . . . . . 14II.5 Dimensi partisi graf asal dan graf hasil operasi . . . . . . . . . . . . . 18
Bab III Dimensi Partisi Sejumlah Graf Pohon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28III.1 Dimensi partisi graf ulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28III.2 Dimensi partisi graf kembang api . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36III.3 Dimensi partisi graf pohon pisang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Bab IV Dimensi Partisi Graf Multipartit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48IV.1 Dimensi partisi graf multipartit lengkap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48IV.2 Dimensi partisi graf bipartit minus matching . . . . . . . . . . . . . . . 52IV.3 Dimensi partisi graf tripartit minus matching . . . . . . . . . . . . . . 59
Bab V Dimensi Partisi Graf Hasil Operasi Korona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63V.1 Batas atas dimensi partisi graf hasil operasi korona . . . . . . . . . 63V.2 Dimensi partisi graf lintasan korona graf lengkap . . . . . . . . . . . 64V.3 Dimensi partisi graf lintasan korona graf bintang . . . . . . . . . . . 68V.4 Dimensi partisi graf lengkap korona graf lengkap . . . . . . . . . . 73V.5 Dimensi partisi graf persahabatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78V.6 Dimensi partisi graf kincir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79V.7 Dimensi partisi graf bintang korona graf lengkap . . . . . . . . . . . 81
Bab VI Simpulan dan Masalah Terbuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85VI.1 Simpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85VI.2 Masalah terbuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
xi

Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
xii

Daftar Gambar
Gambar II.1 Graf terhubung G dengan diam(G) = 4 . . . . . . . . . . . . . . 6Gambar II.2 a.Union graf lintasan P3 dan P5, dan b.Join graf
lintasan P3 dan P5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Gambar II.3 a.Graf lengkap K3 dan graf lintasan P3, b.Graf hasil
kartesian P3 ×K3, dan c.Graf hasil korona P3 �K3 . . . 8Gambar II.4 Himpunan pembeda dari K2,4: a.W1 = {a1, b1, b2, b3,
b4}, b.W2 = {a1, b1, b2, b3}, dan c.W3 = {a1, b1, b2} . . . . 9Gambar II.5 Sebuah graf G dengan q ∈ ∂(G) dan p /∈ ∂(G) . . . . . . . . 10Gambar II.6 Partisi pembeda dariK2,4: a.Π1 = {S1, S2, S3, S4, S5},
b.Π2 = {S1, S2, S3, S4}, dan c.Π3 = {S1, S2, S3} . . . . . . 13Gambar II.7 a.pd(Z2, ε4) = 3 dan b.pd(Z2, ε8) = 4, namun dimensi
metrik kedua graf tak berhingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Gambar II.8 a.Dimensi partisi dari graf G dinyatakan oleh banyak
simpul anting pada simpul x1 dan b.Dimensi metrikdari graf G dinyatakan oleh banyak simpul putih padagraf tersebut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Gambar II.9 Graf bintang ganda T (r, s) dengan deg(u) = r+ 1 dandeg(v) = s+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Gambar II.10 Graf pohon dengan4t(T ) = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Gambar II.11 Graf gir G8 dan graf helm H4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Gambar II.12 Graf bunga matahari SF4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Gambar III.1 a.Graf ulat homogen C(3; 4) dan b.Graf ulat tak-homogen C(4; 4, 3, 2, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Gambar III.2 Dua kondisi subgraf graf ulat K1,nidan K1,nj
yangberjarak sama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Gambar III.3 Partisi pembeda minimum graf C(10; 3, 4, 3, 1, 3, 4,2, 2, 4, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Gambar III.4 Partisi pembeda minimum graf C(11; 3, 4, 3, 1, 3, 4, 2,2, 4, 4, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Gambar III.5 a.Partisi pembeda minimum graf C(6; 1, 1, 1, 1, 1, 1)dan b.Partisi pembeda minimum graf C(4; 2, 2, 2, 2) . . . . 35
Gambar III.6 a.Graf kembang api homogen dan b.Graf kembang apitak-homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Gambar III.7 Dua kondisi subgraf kembang api K1,nidan K1,nj
berjarak sama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Gambar III.8 a.Partisi pembeda minimum dari graf F (2; 3) dan
b.Partisi pembeda minimum dari graf F (2; 4) . . . . . . . . . 41Gambar III.9 Partisi pembeda minimum graf F (6; 2, 2, 2, 2, 2, 2) . . . . . 42Gambar III.10 Graf pohon pisang homogen B(3; 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Gambar III.11 Partisi pembeda minimum graf pohon pisang B(3; 5) . . . 45Gambar III.12 Partisi pembeda minimum graf pohon pisang B(16; 4) . . 46
xiii

Gambar IV.1 a.Graf tripartit K4,4,4 dan b.Contoh himpunan ber-indeks Ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Gambar IV.2 a.Graf bipartit K4,4 minus perfect matching dan b.Grafbipartit K4,6 minus maximum matching . . . . . . . . . . . . . . 52
Gambar IV.3 a.Sisi perfect matching graf K4,4,4 dan b.Sisi near-perfect matching graf K5,5,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Gambar V.1 Partisi pembeda graf P6 �K4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Gambar V.2 a.Partisi pembeda graf Pm � K1,2 dengan m = 3 dan
b.Partisi pembeda graf Pm �K1,2 dengan m = 4 . . . . . . 72Gambar V.3 Partisi pembeda graf K11 �K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Gambar V.4 a.Graf persahabatan f4 dan b.Graf kincir W 4
4 . . . . . . . . . . 80Gambar V.5 Graf K1,m korona Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
xiv

Daftar Lambang
PemakaianLambang Keterangan pertama kali
pada halaman
B(m;n) Graf pohon pisang homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
C(m;n) Graf ulat homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
C(m;n1, n2, · · · , nm) Graf ulat tak-homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
cpd(G) Dimensi partisi terhubung graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
deg(v) Derajat simpul v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
diam(G) Diameter graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
dim(G) Dimensi metrik graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
d(u, v) Jarak dari simpul u ke v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
d(v, S) Jarak dari simpul u ke subhimpunan S . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4t(T ) = 3 Derajat terminal maksimum simpul mayor eksterior daripohon T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
F (m;n) Graf kembang api homogen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
F (m;n1, n2, · · · , nm) Graf kembang api tak-homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
g(n, d) Bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga (d +1)k ≥ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
G1 +G2 Graf G1 join G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
G1 ×G2 Graf G1 kartesian G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
G1 �G2 Graf G1 korona G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
G1 ∪G2 Graf G1 union G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
G2n Graf gir order 2n+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
xv

Hn Graf helm order 2n+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
K1,n Graf bintang order n+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Kn Graf lengkap order n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Kn1,n2,··· ,nr Graf r-partit lengkap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Kn,n,n Graf tripartit homogen lengkap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
mKn m buah kopi disjoin dari graf lengkap Kn . . . . . . . . . . . . . 4
pd(G) Dimensi partisi graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
ppd(G) Dimensi partisi lintasan graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Pn Graf lintasan order n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
spd(G) Dimensi partisi bintang graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
SFn Graf bunga matahari order 2n+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
V (G) Himpunan simpul graf G = (V,E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
w ∈ W Simpul w anggota himpunan W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Wmn Graf kincir order mn+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Wn Graf roda order n+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
W ⊆ V (G) W himpunan bagian dari atau sama dengan V (G) . . . . . . 1
(Z2, ε4) Graf planar teratur-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
(Z2, ε8) Graf teratur-8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
xvi

Bab I Pendahuluan
Pada Bab I ini diberikan latar belakang pemilihan topik penelitian dalam disertasi,
tujuan dan ruang lingkup, dan sistematika penulisan.
I.1 Latar Belakang
Representasi dan klasifikasi senyawa kimia adalah salah satu masalah yang dihadapi
oleh para kimiawan. Permasalahan ini dapat diuraikan sebagai berikut: Pertama,
bagaimana merepresentasikan dua atau lebih senyawa kimia yang mempunyai
rumus kimia sama tetapi mempunyai struktur berbeda. Kedua, bagaimana
merepresentasikan dua senyawa kimia yang mempunyai rumus kimia berbeda
tetapi mempunyai struktur sama. Dalam reaksi kimia, struktur sebuah senyawa
kimia menentukan karakteristik senyawa tersebut. Representasi yang unik akan
memudahkan klasifikasi sebuah senyawa kimia.
Johnson (1993), seorang kimiawan pada sebuah perusahaan farmasi, menggunakan
konsep himpunan pembeda yang dikenalkan secara terpisah oleh Slater (1975) dan
oleh Harary dan Melter (1976). Dengan konsep ini, senyawa kimia direpresen-
tasikan secara unik sebagai objek matematika. Klasifikasi senyawa kimia dilakukan
dengan mempelajari dan mengklasifikasi objek matematika ini (Chartrand dan
Zhang, 2003). Senyawa kimia direpresentasikan dalam bentuk graf. Simpul
graf menyatakan atom, dan sisi graf menyatakan ikatan valensi antara dua atom.
Misalkan V (G) adalah himpunan semua simpul di graf G dan W adalah himpunan
sejumlah simpul terurut, dengan W ⊆ V (G). Dengan menghitung jarak setiap
simpul v ∈ V (G) terhadap setiap simpul w ∈ W , konsep himpunan pembeda
memastikan setiap simpul v ∈ V (G) mempunyai representasi berbeda. Jika dua
senyawa berbeda mempunyai himpunan V (G) dan jarak v ke w yang sama, untuk
semua v ∈ V (G) dan w ∈ W , maka kedua senyawa tersebut dalam satu klasifikasi.
Selanjutnya, Chartrand dkk. (1998) mengenalkan konsep partisi pembeda yang
merupakan bentuk serupa dari himpunan pembeda suatu graf. Chartrand dkk.
(1998) melakukan pengelompokan simpul di graf G ke dalam sejumlah kelas
partisi dan menghitung jarak setiap simpul di G terhadap semua kelas partisi untuk
1

merepresentasikan setiap simpul pada graf G.
Himpunan pembeda W memastikan representasi berbeda untuk semua simpul di
grafG, yaitu dengan menunjukkan jarak simpul v ∈ V (G) ke semua simpul diW ⊆V (G) dan dimensi metrik memastikan kardinalitas W adalah minimal. Sedangkan
partisi pembeda Π memastikan representasi berbeda untuk semua simpul di graf G,
yaitu dengan menunjukkan jarak simpul v ∈ V (G) ke semua kelas partisi dalam Π
dan dimensi partisi memastikan kardinalitas Π adalah minimal.
Pada paper pertama tentang dimensi partisi, Chartrand dkk. (1998) menunjukkan
dimensi partisi graf bintang ganda T dan memberikan batas atas dan batas bawah
dimensi partisi graf ulat (caterpillar). Dua tahun kemudian Chartrand, Salehi dan
Zhang (2000) membuktikan bahwa sebuah graf G mempunyai pd(G) = 2 jika dan
hanya jika G adalah graf lintasan Pn dan menunjukkan bahwa graf G mempunyai
pd(G) = n jika dan hanya jika G ∼= Kn.
Selain itu, Chartrand, Salehi dan Zhang (2000) mengkarakterisasi semua graf
terhubung G order n yang mempunyai dimensi partisi (n − 1). Jika G adalah graf
terhubung order n ≥ 2 maka pd(G) = n−1 jika dan hanya jika G adalah salah satu
dari graf berikut: K1,n−1, Kn− e, atau K1 + (K1∪Kn−2). Karakterisasi berikutnya
dilakukan oleh Tomescu (2008), yaitu mengkarakterisasi semua graf terhubung G
order n yang mempunyai dimensi partisi (n − 2). Tomescu (2008) menunjukkan
hanya terdapat 23 graf tak-isomorfik yang mempunyai dimensi partisi n−2. Dengan
demikian, dimensi partisi dari sebarang graf terhubung G order n lainnya terletak
pada selang [3, (n−3)]. Namun, problem penentuan dimensi partisi untuk sebarang
graf terhubung G adalah NP-Complete (Garey dan Johnson, 1979).
Dimensi partisi untuk beberapa kelas graf tertentu telah dikaji oleh banyak peneliti,
misalnya dimensi partisi graf pohon (graf bintang ganda, graf ulat (Chartrand dkk.,
1998), graf bintang, graf bipartit (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000)), graf roda
(Tomescu dkk., 2007), dan graf mirip roda (graf gir, graf helm, graf bunga matahari
(Javaid dan Shokat, 2008)). Lebih jauh, Chartrand dkk. (1998) dan Yero dkk. (2010)
menentukan dimensi partisi graf hasil operasi kartesian antara dua graf terhubung.
Penelitian dimensi partisi untuk graf tak hingga dimulai oleh Tomescu (2008). Ia
menunjukkan graf planar teratur-4 (Z2, ε4) mempunyai dimensi partisi 3 dan graf
teratur-8 (Z2, ε8) mempunyai dimensi partisi 4. Graf planar teratur-4 (Z2, ε4)
adalah graf yang memiliki himpunan simpul V ((Z2, ε4)) = Z2 dan himpunan sisi
2

graf (Z2, ε4) adalah semua pasangan simpul di (Z2, ε4) yang memiliki jarak blok
kota 1. Jarak blok kota dari dua simpul (i, j) dan (i′, j′) pada (Z2, ε4) didefi-
nisikan dengan d4((i, j), (i′, j′)) = |i − i′| + |j − j′|. Semua daerah pada graf
planar teratur-4 (Z2, ε4) berupa bujursangkar. Graf teratur-8 (Z2, ε8) adalah graf
yang memiliki himpunan simpul V ((Z2, ε8)) = Z2 dan himpunan sisi graf (Z2, ε8)
adalah semua pasangan simpul di (Z2, ε8) yang memiliki jarak papan catur 1. Jarak
papan catur dari dua simpul (i, j) dan (i′, j′) pada (Z2, ε8) didefinisikan sebagai
d8((i, j), (i′, j′)) = maks(|i − i′|, |j − j′|). Graf teratur-8 (Z2, ε8) dapat diperoleh
dengan menggambarkan semua diagonal pada setiap daerah bujursangkar dari graf
(Z2, ε4).
Dalam hal nilai dimensi partisi dari suatu graf belum dapat ditentukan, peneliti
memberikan batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari graf tersebut. Misalkan
graf rodaWn, dimensi partisi graf roda pd(Wn) diberikan dalam selang d(2n)1/3e ≤pd(Wn) ≤ p + 1, dengan p adalah bilangan prima terkecil sedemikian hingga
p(p− 1) ≥ n (Tomescu dkk., 2007).
Di antara banyak kelas graf, graf pohon termasuk kelas graf sederhana yang penting
karena digunakan secara luas tidak hanya di banyak bidang aplikasi tetapi juga
dalam Teori Graf sendiri. Graf pohon adalah graf terhubung yang tidak memuat
siklus. Graf pohon digunakan antara lain pada analisis hirarki bisnis, penentuan
biaya minimum pada jaringan transportasi, dan dasar struktur data pada ilmu
komputer (Bona, 2002). Ketika berdiskusi tentang suatu konsep atau dugaan dalam
teroi graf, biasanya orang mengkaji konsep tersebut atau memeriksa dugaan tersebut
pada kelas pohon terlebih dahulu (Bin dan Zhongyi, 2010).
Dalam hal dimensi metrik, Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann (2000) telah
berhasil memberikan dimensi metrik untuk sebarang graf pohon T secara lengkap.
Namun, tidak demikian untuk dimensi partisi graf pohon. Hanya beberapa graf
dalam kelas pohon yang telah diketahui dimensi partisinya, seperti graf bintang
ganda dan graf bintang. Lebih jauh, dimensi partisi graf ulat baru didapatkan batas
atas dan batas bawahnya (Chartrand dkk., 1998). Untuk itu, kami akan membahas
dimensi partisi beberapa graf dalam kelas pohon, yaitu graf ulat (caterpillar), graf
kembang api (firecracker), dan graf pohon pisang (banana tree).
Chartrand, Salehi dan Zhang (2000) mengawali penelitian dimensi partisi untuk
kelas graf multipartit dengan menentukan dimensi partisi graf bipartit. Oleh karena
3

baru dimensi partisi graf bipartit yang telah diketahui, dalam disertasi ini kami
membahas pula dimensi partisi graf r-partit, graf bipartit minus sebuah matching,
dan graf tripartit minus sebuah matching.
Demikian pula halnya dengan penentuan dimensi partisi graf hasil operasi biner
antara dua graf. Chartrand dkk. (1998) dan Yero dkk. (2010) memberikan dimensi
partisi graf hasil operasi kartesian antara dua graf terhubung. Dalam disertasi ini
kami membahas dimensi partisi graf hasil operasi korona antara dua graf terhubung.
I.2 Tujuan dan Lingkup Penelitian
Penelitian dalam disertasi ini mempunyai 3 tujuan berikut:
Pertama, menentukan dimensi partisi graf kelas pohon, yaitu graf ulat, graf
kembang api, dan graf pohon pisang .
Kedua, menentukan dimensi partisi graf r-partit. Tujuan kedua ini dapat dipandang
sebagai perumuman dari dimensi partisi graf bipartit hasil penelitian (Chartrand,
Salehi dan Zhang, 2000). Lebih dari itu, kami juga menentukan dimensi partisi graf
bipartit minus sebuah matching dan graf tripartit minus sebuah matching.
Ketiga, menentukan dimensi partisi graf hasil operasi korona antara dua graf
terhubung, yaitu F ∼= G�H . Kami menentukan batas atas dimensi partisi G�Huntuk sebarang graf G dan graf H berdiameter paling banyak 2. Untuk kasus
tertentu, kami menentukan dimensi partisi graf dari: Pm�Kn, Pm�K1,n,Km�Kn,
K1�mKn, danK1,m�Kn, dengan Pm, Km, K1,m danmKn masing-masing adalah
graf lintasan order m, graf lengkap order m, graf bintang order m + 1, dan m kopi
disjoin graf lengkap Kn. Graf K1 �mKn isomorf dengan graf kincir Wmn . Untuk
n = 2 graf kincir Wmn isomorf dengan graf persahabatan fm.
I.3 Sistematika Penulisan Disertasi
Disertasi ini ditulis dengan sistematika sebagai berikut.
Bab I memberi paparan tentang latar belakang dan perumusan masalah. Peta
jalan (road map) penelitian dalam bidang dimensi partisi, dari sejak awal sebagai
topik penelitian sampai penelitian terbaru, juga diberikan dalam bab ini. Dengan
demikian, pembaca akan menemukan keterkaitan penelitian dalam disertasi ini
4

dengan hasil-hasil yang sudah diperoleh oleh para peneliti sebelumnya dan, pada
saat yang sama, dapat melihat kecenderungan penelitian dalam bidang ini pada
masa yang akan datang.
Dasar-dasar teori graf, definisi dan peristilahan yang diperlukan dalam pembahasan
dimensi partisi sebuah graf diberikan dalam Bab II. Seperti disampaikan di atas,
dimensi partisi dapat dipandang sebagai ragam lain dari konsep himpunan pembeda
dan dimensi metrik sebuah graf. Dengan demikian, agar pembaca lebih mudah
memahami konsep dimensi partisi, paparan tentang dimensi metrik diberikan
mendahului paparan tentang konsep dimensi partisi. Pada bagian akhir Bab II
diberikan teorema-teorema dimensi partisi hasil penelitian peneliti sebelumnya.
Sejumlah teorema yang terkait langsung dengan penelitian dalam disertasi ini
disertai dengan pembuktiannya.
Hasil-hasil penelitian dalam disertasi ini diberikan dalam Bab III dan Bab IV. Bab
III berisi bahasan dimensi partisi dari sejumlah graf dalam kelas pohon, seperti graf
ulat, graf kembang api, dan graf pohon pisang. Pada bagian akhir Bab III diberikan
bahasan dimensi partisi dari graf multipartit, graf bipartit minus sebuah matching,
dan graf tripartit minus sebuah matching.
Hasil-hasil dan pembahasan dimensi partisi graf hasil operasi korona antara dua graf
terhubung G dan H diberikan dalam Bab IV. Pembahasan diawali dengan teorema
yang memberi batas atas dari dimensi partisi graf F ∼= G � H dengan diameter
diam(H) ≤ 2. Graf hasil operasi korona yang juga dibahas dimensi partisinya
dalam bab ini adalah graf Pm�Kn, Pm�K1,n,Km�Kn,K1�mKn, danK1,m�Kn.
Bab V berisi simpulan dan sejumlah masalah terbuka dalam penelitian dimensi
partisi. Masalah terbuka pada bab ini diharapkan dapat menjadi bahan diskusi
dan stimulasi dimulainya penelitian lanjut dalam bidang dimensi partisi sebuah graf
terhubung G.
Hasil utama penelitian disertasi ini dinyatakan dalam bentuk lema, teorema, dan
akibat yang diberi tanda ♦.
5

Bab II Berbagai Konsep Dimensi dalam Graf
Pada Bab II ini akan dipaparkan beberapa definisi dan istilah dalam teori graf yang
terkait dengan dimensi partisi sebuah graf terhubung G. Di bagian akhir bab ini
juga diberikan hasil-hasil penelitian dalam bidang dimensi partisi dari para peneliti
sebelumnya.
II.1 Definisi dan operasi
GrafG = (V,E) didefinisikan sebagai suatu sistem yang terdiri atas dua himpunan,
yaitu himpunan tak kosong V (G) yang elemennya disebut simpul (vertex) dan
himpunan (mungkin kosong) E(G) ⊆ V 2 = {{u, v}|u, v ∈ V }. Setiap elemen di
E(G) disebut sisi (edge). Jika e = {u, v} ∈ E(G) maka u dikatakan bertetangga
dengan v dan sisi e dikatakan melekat pada simpul u dan v. Untuk penyederhanaan
penulisan, sisi e = {u, v} ditulis e = uv dan graf G = (V,E) ditulis G.
Simpul u dikatakan terhubung dengan simpul v jika terdapat lintasan dari u ke v
di G. Dalam hal ini, simpul v disebut dapat dicapai (accessible) dari simpul u.
Jika simpul u dan v terhubung maka panjang lintasan terpendek dari u ke v disebut
jarak dari u ke v dan dinotasikan dengan d(u, v). Jika G tidak memiliki lintasan
dari u ke v maka didefinisikan d(u, v) =∞. GrafG dikatakan terhubung jika setiap
dua simpul berbeda u, v ∈ V (G) terhubung. Graf G pada Gambar II.1 adalah graf
terhubung. Jarak simpul a ke g, d(a, g) = 3.
Jika simpul u ∈ V (G) dan subhimpunan S ⊂ V (G), maka jarak dari u ke
S didefinisikan sebagai min{d(u, x)|x ∈ S} dan dinotasikan dengan d(u, S).
Jelas, untuk u ∈ S, d(u, S) = 0. Diameter dari graf G didefinisikan sebagai
D
D D
D
D
D D
D
a
D
b c
d
ef
g
h
i
S
Gambar II.1: Graf terhubung G dengan diam(G) = 4
.
6

DDD D
DD D
DDD D
DD D
D D
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 31 2 3
Gambar II.2: a.Union graf lintasan P3 dan P5, dan b.Join graf lintasan P3 dan P5
.
max{d(x, y)|x, y ∈ V (G)} dan dinotasikan dengan diam(G). Perhatikan graf G
pada Gambar II.1, d(a, S) = 2 dan diam(G) = 4.
Misalkan G1 = (V1, E1) dan G2 = (V2, E2) dua graf terhubung. Suatu graf baru
G dapat dibangun dengan mengenakan operasi biner pada graf G1 dan G2. Berikut
ini diberikan empat contoh operasi biner, yaitu union, join, kartesian, dan korona.
Union G ∼= G1 ∪ G2 adalah graf G(V,E) dengan V (G) = V (G1) ∪ V (G2) dan
E(G) = E(G1) ∪ E(G2). Jadi, graf G ∼= G1 ∪G2 terdiri atas sebuah kopi graf G1
bersama-sama dengan sebuah kopi graf G2. Gambar II.2.a memberikan gambaran
graf hasil operasi union P3 dan P4.
Join dua graf G1 dan G2, dinotasikan dengan G ∼= G1 +G2, mempunyai himpunan
simpul V (G) = V (G1) ∪ V (G2) dan himpunan sisi E(G) = E(G1) ∪ E(G2) ∪{uv|u ∈ V (G1) dan v ∈ V (G2)}. Dengan kata lain, graf G ∼= G1 + G2 diperoleh
dengan menambahkan pada G1∪G2 sisi-sisi yang mempunyai satu simpul ujung di
G1 dan simpul ujung lainnya di G2. Jika graf G1 dan G2 masing-masing berorder
m dan n, maka untuk mendapatkan graf G1 + G2 kita menambahkan mn buah sisi
pada graf G1 ∪G2. Gambar II.2.b memberikan gambaran graf hasil operasi join P3
dan P4.
Hasil kali kartesian antara graf G1 dan graf G2, dinotasikan dengan G ∼= G1 ×G2, menghasilkan sebuah graf baru G yang mempunyai himpunan simpul V (G) =
V (G1) × V (G2) dan himpunan sisi E(G) = E(G1) × V (G2) ∪ V (G1) × E(G2).
Simpul ujung sisi (d, v) ∈ E(G) × V (G2) adalah simpul-simpul (x, v) dan (y, v)
dengan x dan y adalah simpul ujung dari sisi d ∈ E(G1). Simpul ujung sisi (u, e) ∈V (G)×E(G2) adalah simpul (u, s) dan (u, t), dengan s dan t adalah simpul ujung
dari sisi e ∈ E(G2). Gambar II.3.b mengilustrasikan graf hasil kali kartesian P3 ×K3.
7

D
x
D
D
D
b1
(c)
a1
D
y
D
D
D
D
zD
D
D
DD
D
DD
D
DD
D
(a,x)
(a)DD
D
DD
D
x
y
z
a
b c (c,x)(b,x)
(a,y)
(c,y)(b,y)
(a,z)
(c,z)(b,z)
K3 :
P3 :
c1 b2 b3c2 c3
a2 a3
(b)
Gambar II.3: a.Graf lengkap K3 dan graf lintasan P3, b.Graf hasil kartesian P3 ×K3, dan c.Graf hasil korona P3 �K3
Hasil kali korona G ∼= G1 � G2 didefinisikan sebagai graf yang yang diperoleh
dari G1 dan G2 dengan mengambil sebuah kopi dari G1 dan |V (G1)| kopi dari G2
dan kemudian menghubungkan dengan sebuah sisi setiap simpul dari kopi ke-i dari
G2 dengan sebuah simpul ke-i dari G1, dengan 1 ≤ i ≤ |V (G1)|, Gambar II.3.b
mengilustrasikan graf hasil kali korona P3 �K3.
Misalkan Gi2 adalah kopi ke-i dari graf G2 dalam G1 � G2. Karena semua simpul
pada Gi2 dihubungkan dengan sebuah simpul di G1, dan bila diam(G2) ≥ 3,
maka operasi korona menyebabkan diam(Gi2 � K1) = 2. Jika diam(G2) ≤ 2,
maka diam(Gi2)�K1 tidak berubah. Seperti ditunjukkan pada Gambar II.3.b, graf
lengkapK3 mempunyai diam(K3) = 1 = diam(Ki3�xi) untuk suatu i pada selang
[1, 3].
II.2 Dimensi metrik
Slater (1975) mengenalkan konsep himpunan pembeda dengan istilah locating
set, sedangkan Harary dan Melter (1976) menamakan konsep tersebut dengan
resolving set. Misalkan G = (V,E) adalah graf dengan himpunan simpul
V (G) dan himpunan sisi E(G). Jika subhimpunan terurut W ⊆ V (G), dengan
W = {w1,w2,· · · , wk}, dan v ∈ V (G) maka representasi v terhadap W didefini-
sikan sebagai pasangan-k terurut (d(v, w1),d(v, w2),· · · , d(v, wk)) dan dinotasikan
dengan r(v|W ). Jika untuk setiap dua simpul berbeda u, v ∈ V (G) berlaku
r(u|W ) 6= r(v|W ), maka W disebut himpunan pembeda dari V (G). Himpunan
pembeda W dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum
atau basis dari G. Semua simpul anggota basis dari G disebut simpul basis dari G.
Dimensi metrik dari grafG, dinotasikan dim(G), adalah banyak simpul dalam basis
8

(c)(a) (b)
D
a1 a2
b1 b2 b3 b4
D
a1 a2
b1 b2 b3 b4
D
a1 a2
b1 b2 b3 b4
Gambar II.4: Himpunan pembeda dari K2,4: a.W1 = {a1, b1, b2, b3, b4}, b.W2 ={a1, b1, b2, b3}, dan c.W3 = {a1, b1, b2}
G. Jika dim(G) = k maka G dikatakan berdimensi metrik k.
Representasi dari dua sebarang simpul wi, wj ∈ W , dengan i 6= j, masing-
masing mempunyai ’0’ pada koordinat ke-i dan ke-j. Oleh karena itu, representasi
r(wi|W ) 6= r(wj|W ) berbeda untuk i 6= j .Dengan demikian, untuk menentukan
apakah W adalah sebuah himpunan pembeda pada graf G, pemeriksaan cukup
dilakukan pada semua simpul di V (G)−W . Jika d(u, x) 6= d(v, x) maka simpul x
dikatakan membedakan simpul u dan v, atau simpul u dan v dapat dibedakan oleh
simpul x. Hal yang sama, jika r(u|W ) 6= r(v|W ), maka dikatakan himpunan W
membedakan simpul u dan v, atau simpul u dan v dibedakan oleh himpunan W .
Gambar II.4 mengilustrasikan suatu himpunan terurut W ⊆ K2,4 untuk graf
bipartit lengkap K2,4. Gambar II.4.a menunjukkan bahwa W1 = {a1, b1, b2, b3, b4}adalah himpunan pembeda karena semua simpul di K2,4 mempunyai representasi
yang berbeda. Akan tetapi, kardinalitas W1 tidak minimum, karena pada Gambar
II.4.b dapat ditunjukkan bahwa W2 = {a1, b1, b2, b3} adalah himpunan pembeda.
Himpunan W3 = {a1, b1, b2} pada Gambar II.4.c bukanlah himpunan pembeda,
karena representasi r(b3|W3) = r(b4|W3) = (1, 2, 2). Selanjutnya, kami
menunjukkan himpunan pembeda dari K2,4 mempunyai kardinalitas sedikitnya 4.
Misalkan terdapat himpunan pembeda W dari K2,4 dengan |W | = 3 dan V1 dan
V2 masing-masing adalah partisi dari K2,4. Karena order K2,4 sama dengan 6,
maka sedikitnya terdapat dua simpul u, v ∈ V1 atau u, v ∈ V2 sedemikian hingga
u, v 6∈ W . Oleh karena d(u,w) = d(v, w) untuk semua w ∈ V (K2,4) − {u, v},maka r(u|W ) = r(v|W ), kontradiksi dengan pemisalan W sebagai himpunan
pembeda. Jadi, |W | ≥ 4. Dengan demikian, W2 adalah salah satu himpunan
pembeda minimum dari K2,4 dan karena itu dimensi metrik dari graf K2,4 adalah 4.
Saputro dkk. (2010) memberikan Teorema II.1 untuk menentukan dimensi metrik
dari graf r-partit lengkap untuk r ≥ 2.
9

DD D D
DD D D
D D
Gambar II.5: Sebuah graf G dengan q ∈ ∂(G) dan p /∈ ∂(G)
.
Teorema II.1. (Saputro dkk., 2010) Jika G ∼= Kn1,n2,··· ,nr adalah graf multipartit
lengkap untuk r ≥ 2 dengan m partisi tunggal, maka
dim(G) =
{|V (G)| − 1− (r −m) , jika m > 0,
|V (G)| − r , jika m=0.
Lebih jauh, Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann (2000) memberikan batas
bawah dan batas atas untuk dimensi metrik G, dim(G), yang dinyatakan dalam
diameter dari G pada Teorema II.2 berikut ini.
Teorema II.2. (Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann, 2000) Misalkan G
adalah graf terhubung dengan diameter k dan orde n ≥ 2, dimana k < n. Maka,
berlaku
f(n, k) ≤ dim(G) ≤ n− k,
f(n, k) adalah bilangan bulat positif terkecil r sedemikian hingga k + kr ≥ n.
Pandang sebuah graf G = (V,E). Misalkan u, v ∈ V (G). Simpul u disebut
simpul batas dari simpul v jika d(w, v) ≤ d(u, v) untuk setiap w ∈ N(u), dengan
N(u) adalah himpunan semua simpul di G yang bertetangga dengan u. Selan-
jutnya, simpul u disebut simpul batas dari G jika u adalah sebuah simpul batas
untuk suatu simpul di G. Himpunan semua simpul batas dari G disebut batas dari
G, dinotasikan dengan ∂(G) (Chartrand dkk., 2003). Gambar II.5 menunjukkan
bahwa simpul q adalah simpul batas dari p tapi tidak untuk sebaliknya. Lebih jauh,
simpul p /∈ ∂(G).
Caceres dkk. (2005) menyatakan bahwa batas atas dimensi metrik suatu graf
G adalah kardinalitas himpunan batas G sebagaimana yang dinyatakan dalam
10

Teorema II.3 berikut ini.
Teorema II.3. (Caceres dkk., 2005) Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial
dan ∂(G) adalah himpunan batas dari G. Maka dim(G) ≤ ∂(G).
Dimensi metrik untuk beberapa graf G dapat ditentukan dengan menggunakan
Teorema II.2. Jika G = Pn maka diameter G adalah n − 1 dan fungsi f(n, k)
pada II.2 bernilai 1. Dengan menggunakan Teorema II.2, diperoleh dim(Pn) = 1.
Selanjutnya, andaikan ada graf lain G yang terhubung orde n dengan dim(G) = 1
dan basis W = {w}. Untuk setiap simpul v ∈ G, r(v|W ) = d(v, w) adalah
suatu bilangan bulat tak negatif yang kurang dari n. Karena representasi dari setiap
simpul v ∈ V (G) terhadap W berbeda maka terdapat sebuah simpul u ∈ V (G)
sedemikian hingga d(u,w) = n− 1. Oleh karena itu, diameter G adalah n− 1 dan
mengakibatkan G ∼= Pn.
Misalkan G = Kn dengan n ≥ 2 dan W adalah basis dari G. Jika u /∈ W maka
setiap komponen dari representasi r(u|W ) bernilai 1. Sehingga setiap himpunan
pembeda pada G harus memuat semua simpul kecuali satu simpul dari G. Jadi,
dim(Kn) = n−1. Dengan menggunakan Teorema II.2, jikaG graf terhubung yang
bukan graf lengkap maka dim(G) ≤ n−2. Dengan demikian, jika dim(G) ≤ n−2
maka haruslah graf G 6∼= Kn.
Selain mengkarakterisasi dim(G) = 1 dan n− 1 seperti pada dua paragraf di atas,
Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann (2000) juga menunjukkan karakterisasi
dim(G) = n − 2, dan menentukan dimensi metrik dari graf lingkaran Cn dan graf
pohon T . Hasil-hasil di atas ditulis dalam Teorema II.4 berikut ini dan merupakan
hasil fundamental untuk dimensi metrik graf G.
Teorema II.4. (Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann, 2000) Misalkan G
adalah sebuah graf terhubung dengan orde n ≥ 2.
(i) dim(G) = 1 jika dan hanya jika G = Pn.
(ii) dim(G) = n− 1 jika dan hanya jika G = Kn.
(iii) Untuk n ≥ 3, dim(Cn) = 2.
(iv) Untuk n ≥ 4, dim(G) = n − 2 jika dan hanya jika G = Kr,s, (r, s ≥ 1),
G = Kr +Ks, (r ≥ 1, s ≥ 2), atau G = Kr + (K1 ∪Ks), (r, s ≥ 1).
11

(v) Jika T adalah graf pohon yang bukan lintasan maka dim(T ) = σ(T )− ex(T ),
dimana σ(T ) menyatakan jumlah derajat terminal dari simpul utama T , dan
ex(T ) menyatakan jumlah simpul utama bagian luar T .
II.3 Dimensi partisi
Dimensi partisi dari sebuah graf G dikenalkan oleh Chartrand dkk. pada tahun
1998. Mereka mengelompokkan semua simpul diG ke dalam sejumlah kelas partisi
dan menentukan jarak setiap simpul terhadap setiap kelas partisi tersebut. Secara
tepat, misalkan Π = {S1, S2, · · · , Sk} merupakan partisi terurut dari V (G) dan
v ∈ V (G). Representasi dari v ∈ V (G) terhadap Π didefinisikan sebagai pasangan-
k terurut (d(v, S1), d(v, S2), · · · , d(v, Sk)). Jika untuk setiap dua simpul berbeda
u, v ∈ V (G) berlaku r(u|Π) 6= r(v|Π), maka Π disebut partisi pembeda dari V (G).
Partisi pembeda Π dengan kardinalitas minimum disebut partisi pembeda minimum
dari G. Dimensi partisi pd(G) dari graf G adalah kardinalitas dari partisi pembeda
minimum dari G.
Misalkan Π = {S1, S2, · · · , Sk} adalah partisi terurut dari V (G). Jika u ∈ Si dan
v ∈ Sj , dan i 6= j, maka jelas bahwa r(u|Π) 6= r(v|Π) (karena d(u, Si) = 0
tetapi d(v, Si) 6= 0). Dengan demikian, ketika diberikan sebuah partisi Π dari
V (G) dan hendak menentukan apakah Π adalah partisi pembeda untuk V (G) atau
bukan, pemeriksaan cukup dilakukan pada semua simpul yang termasuk dalam
suatu kelas partisi yang sama. Jika semua simpul dalam setiap kelas partisi yang
sama mempunyai representasi berbeda terhadap Π, maka Π merupakan partisi
pembeda. Jika d(u, Si) 6= d(v, Si), maka kelas partisi Si dikatakan memisahkan
simpul u dan v di G. Sebuah kelas partisi yang mempunyai satu anggota disebut
kelas partisi singleton. Dengan sendirinya, simpul dalam kelas partisi singleton
mempunyai representasi yang unik.
Sekarang, pandang dua simpul berbeda u, v ∈ V (G). Jika d(u,w) = d(v, w) untuk
setiap w ∈ V (G) − {u, v} maka u dan v harus termuat dalam kelas partisi yang
berbeda di G. Hal ini jelas, karena jika tidak demikian, r(u|Π) = r(v|Π). Dengan
demikian diperoleh Lema II.1 berikut ini.
Lema II.1. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) Misalkan G suatu graf
terhubung tak-trivial. Misalkan Π suatu partisi pembeda dari G dan u, v ∈ V (G).
12

(c)(a) (b)
D
a1 a2
b1 b2 b3 b4
D
a1 a2
b1 b2 b3 b4
D
a1 a2
b1 b2 b3 b4
S1
S2 S3
S4S1
S2 S3
S4 S5 S3
S2S1
Gambar II.6: Partisi pembeda dari K2,4: a.Π1 = {S1, S2, S3, S4, S5}, b.Π2 ={S1, S2, S3, S4}, dan c.Π3 = {S1, S2, S3}
Jika d(u,w) = d(v, w) untuk setiap w ∈ V (G) − {u, v}, maka u dan v harus
termuat dalam kelas partisi yang berbeda di Π.
Pada bab-bab selanjutnya Lema II.1 ini banyak digunakan dalam menentukan
dimensi partisi sebuah graf terhubung G.
Pada Gambar II.6, diilustrasikan sebuah partisi untuk graf bipartit lengkap K2,4.
Gambar II.6.a menunjukkan bahwa Π1 = {S1, S2, S3, S4, S5}, dengan S1 = {b1},S2 = {a1, b2}, S3 = {a2},S4 = {b3} dan S5 = {b4}, adalah partisi pembeda
karena semua simpul di K2,4 mempunyai representasi terhadap Π1) yang berbeda.
Akan tetapi Π1 bukan partisi pembeda minimum karena pada Gambar II.4.b dapat
ditunjukkan bahwa Π2 = {S1, S2, S3, S4} dengan S1 = {b1}, S2 = {a1, b2},S3 = {a2, b3} dan S4 = {b4}, adalah partisi pembeda dari G juga. Partisi
Π3 = {S1, S2, S3}, dengan S1 = {a1, b1}, S2 = {a2, b2} dan S3 = {b3, b4}, pada
Gambar II.6.c bukanlah partisi pembeda karena r(b3|Π3) = r(b4|Π3) = (1, 1, 0).
Untuk menunjukkan pd(K2,4) = 4, andaikan terdapat partisi pembeda Π dari K2,4
dan |Π| = 3. Misalkan V (K2,4) terdiri atas partit V1 dan V2 dengan |V1| = 2 dan
|V2| = 4. Maka, sedikitnya terdapat dua simpul u, v ∈ V2 sedemikian hingga u, v
termuat dalam kelas partisi yang sama. Oleh karena d(u,w) = d(v, w) untuk semua
w ∈ V (K2,4) − {u, v}, maka r(u|W ) = r(v|W ), kontradiksi dengan pemisalan Π
sebagai partisi pembeda. Jadi, |Π| ≥ 4 dan karena Gambar II.6.b telah memberikan
partisi pembeda dengan 4 anggota dari K2,4 maka pd(K2,4) = 4.
Fehr dkk. (2006) mengembangkan konsep dimensi partisi graf berarah dengan
menerapkan dimensi partisi pada graf berarah D. Misalkan D adalah sebuah graf
berarah dan u, v ∈ V (D). Sisi berarah e ∈ E(D) disebut busur. Kemudian
jarak dari u ke v, dinotasikan dengan d(u, v), adalah jumlah busur dalam lintasan
13

terpendek dari u ke v. Jika S ⊂ V (D), jarak v ke S didefinisikan dengan
d(v, S) = min{d(v, x)|x ∈ S}. Sebagaimana pada graf tak berarah, simpul
x ∈ V (D) (atau subhimpunan S ⊂ V (D)) membedakan dua simpul u dan v jika
d(u, x) 6= d(v, x) (atau d(u, S) 6= d(v, S).
Saenpholphat dan Zhang (2002) mengenalkan konsep partisi pembeda terhubung.
Suatu himpunan partisi Π = {S1, S2, · · · , Sk} disebut partisi pembeda terhubung
jika (1) Π suatu partisi pembeda dari G dan (2) setiap subgraf yang diinduksi oleh
Si adalah graf terhubung di G, dengan 1 ≤ i ≤ k. Nilai minimum k sedemikian
hingga terdapat suatu k-partisi pembeda terhubung dari V (G) adalah nilai dimensi
partisi terhubung dari G dan ditulis cpd(G) = k.
Selanjutnya, Ruxandra (2009) mengkaji partisi pembeda dari suatu graf yang setiap
subgraf 〈Si〉 berbentuk lintasan. Suatu himpunan partisi Π = {S1, S2, · · · , Sk}disebut partisi pembeda lintasan jika (1) Π suatu partisi pembeda dan (2) setiap
subgraf yang diinduksi oleh Si adalah graf lintasan di G, dengan 1 ≤ i ≤ k. Jika
k adalah kardinalitas minimum dari sebarang partisi pembeda lintasan untuk V (G)
maka dimensi partisi lintasan dari G adalah k dan ditulis ppd(G) = k.
Lebih jauh, Marinescu-Ghemeci dan Tomescu (2010) mengenalkan partisi pembeda
bintang. Suatu himpunan partisi Π = {S1, S2, · · · , Sk} disebut partisi pembeda
bintang jika (1) Π suatu partisi pembeda dan (2) setiap subgraf yang diinduksi oleh
Si adalah graf bintang di G, dengan 1 ≤ i ≤ k. Nilai k minimum sedemikian
hingga terdapat suatu k-partisi pembeda bintang dari V (G) adalah nilai dimensi
partisi bintang dari G dan ditulis spd(G) = k.
II.4 Kaitan antara dimensi partisi dan parameter lainnya
MisalkanG suatu graf dengan dimensi metrik k danW = {w1, w2, · · · , wk} adalah
himpunan pembeda dari G. Pandang partisi terurut Π = {S1, S2, · · · , Sk+1} dari
V (G), dengan Si = {wi}, bila i ∈ [1, k], dan Sk+1 = V (G)−W . Maka, diperoleh
r(v|Π) = (d(v, {w1}), d(v, {w2}), · · · , d(v, {wk}), 0) berbeda untuk semua simpul
v ∈ Sk+1 karena W himpunan pembeda dari G. Selain itu, bila v = wi, untuk
suatu i ∈ [1, k], maka r(wi|Π) mempunyai nilai 0 pada entri ke-i tetapi tidak untuk
entri lainnya. Dengan demikian, r(wi|Π) juga unik. Oleh karena itu, Π merupakan
partisi pembeda dari G. Sehingga diperoleh Teorema II.5 berikut ini.
14

Teorema II.5. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) Jika G adalah graf
terhubung tak-trivial, maka pd(G) ≤ dim(G) + 1.
Batas atas Teorema II.5 dipenuhi di antaranya oleh graf lintasan Pn, graf siklus Cn,
graf lengkap Kn dan graf bintang K1,n.
Dimensi partisi dari graf G tidak selalu sedikit lebih kecil dari dimensi metriknya.
Hal ini ditunjukkan oleh graf planar teratur-4 (Z2, ε4) dan graf teratur-8 (Z2, ε8)
yang memiliki dimensi metrik tidak berhingga (Melter dan Tomescu, 1984), namun
dimensi partisinya berturut-turut 3 dan 4 (Tomescu, 2008). Graf (Z2, ε4) adalah graf
planar teratur-4 yang daerahnya berbentuk bujursangkar, sedangkan graf teratur-
8 (Z2, ε8) dapat diperoleh dengan menggambarkan semua diagonal pada daerah
bujursangkar pada graf (Z2, ε4). Indeks 4 dan 8 masing-masing menunjukkan
banyak simpul berjarak 1 dari sebarang simpul pada graf tersebut. Simpul u pada
Gambar II.7.a mempunyai empat buah simpul tetangga dan simpul v pada Gambar
II.7.b mempunyai delapan buah simpul tetangga.
Teorema II.6. (Tomescu, 2008) Dimensi partisi graf planar teratur 4
pd(Z2, ε4) = 3 dan dimensi partisi graf teratur 8 pd(Z2, ε8) = 4.
Bukti. Misalkan Π1 = {S1, S2, S3} adalah partisi pembeda dari graf (Z2, ε4)
dengan S1 = {(x, y) ∈ Z2|x ≥ 0, y ≥ 0}, S2 = {(x, y) ∈ Z2|x ≤ −1, y ≥ 0}dan S3 = {(x, y) ∈ Z2|y ≤ −1} (lihat Gambar II.7.a). Maka, dapat ditun-
jukkan bahwa setiap simpul v ∈ V ((Z2, ε4)) mempunyai representasi r(v|Π1)
unik. Dengan demikian, pd(Z2, ε4) ≤ 3. Selanjutnya, Chartrand, Salehi dan Zhang
(2000) menunjukkan bahwa pd(G) = 2 jika dan hanya jika G adalah graf lintasan.
Oleh karena itu, pd(Z2, ε4) ≥ 3. Jadi, pd(Z2, ε4) = 3.
Selanjutnya, misalkan Π2 = {S1, S2, S3, S4} adalah partisi pembeda dari graf
(Z2, ε8) dengan S1 = {(x, y) ∈ Z2|x ≥ 0, y ≥ 0}, S2 = {(x, y) ∈ Z2|x ≤−1, y ≥ 0}, S3 = {(x, y) ∈ Z2|x ≥ 0, y ≤ −1} dan S4 = {(x, y) ∈ Z2|x ≤−1, y ≤ −1} (lihat Gambar II.7.b). Maka, dapat ditunjukkan bahwa setiap dua
simpul berbeda u, v ∈ V ((Z2, ε8)) mempunyai r(u|Π2) 6= r(v|Π2). Dengan
demikian, pd(Z2, ε8) ≤ 4. Lebih jauh, dapat ditunjukkan bahwa jika terdapat
suatu partisi pembeda Π2 dari graf (Z2, ε8) maka terdapat sedikitnya sebarang
dua simpul berbeda u, v ∈ V ((Z2, ε8)) sedemikian hingga r(u|Π2) = r(v|Π2),
kontradiksi. �
15

2 1
3 4
12
3
Gambar II.7: a.pd(Z2, ε4) = 3 dan b.pd(Z2, ε8) = 4, namun dimensi metrik keduagraf tak berhingga
Lebih jauh, dalam Teorema II.7 berikut, Chartrand, Salehi dan Zhang (2000)
menunjukkan bahwa untuk setiap pasang bilangan bulat positif a, b, dengan d b2e +
1 ≤ a ≤ b + 1, terdapat suatu graf terhubung G yang mempunyai pd(G) = a dan
dim(G) = b. Misalkan Ks,t adalah graf bipartit dengan s = a, t = b − a + 2,
dan memenuhi d b2e + 1 ≤ a ≤ b + 1. Teorema II.4 menunjukkan bahwa
dim(Ks,t) = s + t − 2 = a + (b − a + 2) − 2 = b. Selanjutnya, jelas dari
nilai s, t, dan syarat yang diberikan, bahwa s > t. Menurut Teorema II.17,
pd(Ks,t) = max{s, t} = s = a.
Teorema II.7. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) Untuk setiap pasang
bilangan bulat positif a, b dengan d b2e+1 ≤ a ≤ b+1, terdapat suatu graf terhubung
G yang mempunyai dimensi partisi pd(G) = a dan dimensi metrik dim(G) = b.
Dari Teorema II.7, muncul pertanyaan baru, yakni apakah ada grafG yang memiliki
dimensi partisi kurang dari separuh dimensi metriknya. Pertanyaan ini selanjutnya
dijawab oleh Chappell dkk. (2008) dengan menunjukkan bahwa graf seperti pada
Gambar II.8 mempunyai dim(G) = b, pd(G) = a dan 3 ≤ a ≤ b + 1 dengan
himpunan pembeda dan partisi pembedanya ditunjukkan pada Gambar II.8.a dan
Gambar II.8.b , berturut-turut.
Karena terdapat a buah simpul anting yang terkait dengan simpul x1, dan a adalah
banyak simpul anting maksimum di graf G, maka berdasarkan Lema II.1 pd(G) ≥a. Misalkan Π = {S1, S2, · · · , Sa} adalah suatu partisi untuk V (G), dengan S1 =
16

D D D
D
D...
D D
D
D D
D
D D
D ...
D D
D
x1 x2 x3 x4
D
D
...
D
D
D
D
D
D ...
D
D
(a) (b)a
b-a+1
a
b-a+2
xb-a+2 x1 x2 x3 x4 xb-a+2
1 2 a-1 a
1 1 1 1 1
1 1
1 1 22
2 2
Gambar II.8: a.Dimensi partisi dari graf G dinyatakan oleh banyak simpul antingpada simpul x1 dan b.Dimensi metrik dari graf G dinyatakan olehbanyak simpul putih pada graf tersebut
{xi, ui1|1 ≤ i ≤ b−a+2}, S2 = {ui2|1 ≤ i ≤ b−a+2} dan Si = {u1i|3 ≤ i ≤ a}.Karena semua r(u|Π) berbeda untuk semua simpul u ∈ G, maka Π adalah partisi
pembeda untuk V (G) dan pd(G) ≤ a. Jadi, pd(G) = a.
Misalkan grafGmempunyai simpul pemutus (cut-vertex) v dan U adalah himpunan
k simpul terisolasi pada grafG−{v}. Maka himpunan pembeda minimum dari graf
G terdiri atas paling sedikit k − 1 simpul di U . Pandang graf ulat G pada Gambar
II.8.b. Dengan demikian dim(G) = (a− 1) + (b− a+ 1) = b.
Teorema II.8. (Chappell dkk., 2008) Untuk setiap pasang bilangan bulat positif
a, b dengan 3 ≤ a ≤ b + 1, terdapat sebuah graf terhubung G sedemikian hingga
mempunyai dimensi partisi pd(G) = a dan dimensi metrik dim(G) = b.
Untuk beberapa graf, dimensi partisinya relatif konstan (tidak bergantung pada
order dari graf tersebut), misalnya lintasan dan siklus. Namun, secara umum,
Chartrand, Salehi dan Zhang (2000) menunjukkan hubungan antara dimensi partisi,
order dan diameter sebagai berikut.
Teorema II.9. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) Jika G adalah graf order
(n ≥ 3) dan diameter d, maka g(n, d) ≤ pd(G) ≤ n − d + 1, dengan g(n, d)
merupakan bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga (d+ 1)k ≥ n.
Bukti. Pandang sebuah graf G order n, diameter d dan V (G) =
{v1, v2, · · · ,vd, vd+1, · · · , vn}. Ambil u, v ∈ V (G) yang memenuhi d(u, v) = d.
Misalkan u = v1, v2, · · · , vd+1 = v adalah lintasan dari u ke v dengan panjang d.
Dapat ditunjukkan bahwa Π = {S1, S2, · · · , Sn−d+1} adalah partisi pembeda untuk
17

V (G), dengan S1 = {v1, v2, · · · , vd} dan Si = {vi+d−1} untuk 2 ≤ i ≤ n− d + 1.
Oleh karena itu, pd(G) ≤ n− d+ 1.
Selanjutnya, definisikan g(n, d) sebagai bilangan bulat positif terkecil k sedemikian
hingga (d + 1)k ≥ n. Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π untuk V (G)
dan |Π| = k. Karena representasi setiap simpul di G adalah vektor-k, maka
setiap koordinat dari vektor-k tersebut adalah bilangan bulat tak-negatif yang tidak
melebihi d. Karena Π adalah partisi pembeda, maka n buah simpul diGmempunyai
representasi berbeda terhadapnya. Oleh karena itu, (d + 1)k ≥ n. Jadi, dan
g(n, d) = k ≤ pd(G). �
Selanjutnya, Chappell dkk. (2008) menunjukkan hubungan antara dimensi partisi,
order dan diameter dari sebuah graf G pada Teorema II.10 berikut ini.
Teorema II.10. (Chappell dkk., 2008) Jika G adalah graf order n (≥ 3), dimensi
partisi k dan diameter d, maka n ≤ kdk−1.
Bukti. Pandang sebuah graf G order n dengan diameter d. Misalkan Π =
{S1, S2, · · · , Sk} adalah suatu partisi pembeda minimum dari graf G. Karena
Π adalah partisi pembeda, maka representasi r(v|Π) unik untuk setiap simpul
v ∈ V (G). Dengan kata lain, graf G mempunyai sedikitnya n buah representasi
berbeda. Karena simpul v berada tepat di satu Si ∈ Π, dengan 1 ≤ i ≤ k, maka
representasi r(v|Π) memuat tepat satu 0 dan koordinat lainnya adalah bilangan bulat
tak negatif dari 1 sampai k. Posisi 0 dalam r(v|Π) mempunyai k pilihan posisi.
Setiap koordinat pada k − 1 sisa representasi k-vektor adalah satu dari d nilai yang
berbeda. Oleh karena itu, n ≤ kdk−1. �
II.5 Dimensi partisi graf asal dan graf hasil operasi
Dalam subbab ini diberikan beberapa hasil yang telah diketahui dari beberapa graf
dalam kelas pohon, yaitu graf bintang ganda, dan graf ulat. Pada bagian lain,
diberikan juga pengetahuan tentang dimensi partisi dari graf mirip roda (seperti
graf gir, graf helm, dan graf bunga matahari) dan dimensi partisi graf hasil operasi
kartesian.
Sebuah graf pohon disebut graf bintang ganda jika graf pohon tersebut mempunyai
tepat dua simpul u dan v berderajat lebih dari satu. Jika u dan v berderajat r+1 dan
18

D
D
D
D
3
D
D
D
D
D
1
2
3
r
1
2
s
Gambar II.9: Graf bintang ganda T (r, s) dengan deg(u) = r+1 dan deg(v) = s+1
s+1 berturut-turut maka graf bintang ganda ini dinotasikan dengan T (r, s). Gambar
II.9 adalah graf bintang ganda T (r, s) dengan deg(u) = r+ 1 dan deg(v) = s+ 1.
Graf bintang ganda order 4 adalah sebuah lintasan P4 yang mempunyai dimensi
partisi 2. Graf bintang ganda order 5 mempunyai dimensi partisi 3. Secara umum,
dimensi partisi graf bintang ganda diberikan oleh Teorema II.11.
Teorema II.11. (Chartrand dkk., 1998) Misalkan T (r, s) adalah graf bintang
ganda order n ≥ 6, dengan u dan v adalah simpul yang berderajat r + 1 dan
s+ 1, berturut-turut. Maka, pd(T (r, s)) = max{r, s}.
Bukti. Misalkan r ≥ s, simpul u1, u2,· · · , ur adalah simpul ujung dari T (r, s)
yang terkait ke simpul u dan simpul v1, v2, · · · , vs adalah simpul ujung T (r, s) yang
terkait ke simpul v. Dua simpul sebarang ui, uj , dengan 1 ≤ i 6= j ≤ r, mempunyai
jarak sama ke semua simpul di T − {ui, uj}. Menurut Lema II.1 simpul ui dan uj
harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda. Karena r ≥ s, maka pd(T (r, s)) ≥r.
Sekarang akan ditunjukkan bahwa pd(T (r, s)) ≤ r. Pandang dua kasus berikut:
Kasus 1. r = s.
Misalkan Π = {S1, S2, · · · , Sr} adalah partisi pembeda dengan S1 = {u, u1, v1},S2 = {v, u2, v2} dan Si = {ui, vi} untuk 3 ≤ i ≤ r. Periksa representasi simpul
di S1: r(u1|Π) = (0, 2, 2, 2, · · · , 2), r(v1|Π) = (0, 1, 2, 2, · · · , 2) dan r(u|Π) =
(0, 1, 1, 1, · · · , 1). Demikian pula simpul di S2: r(u2|Π) = (1, 0, 2, 2, · · · , 2),
r(v2|Π) = (2, 0, 2, 2, · · · , 2) dan r(v|Π) = (1, 0, 1, 1, · · · , 1). Untuk 3 ≤ i ≤ r,
r(ui|Π) = (1, 2, · · · , 0, · · · ) dan r(vi|Π) = (2, 1, · · · , 0, · · · ) dengan koordinat ke-
i pada setiap representasi adalah 0. Dapat dilihat bahwa setiap simpul di T (r, s)
mempunyai representasi yang berbeda. Oleh karena itu, Π adalah partisi pembeda
dan pd(T (r, s)) ≤ r.
19

D
D
D
D
D
D
D
1
D
DD
D
D
2
3
4
5
6
7
1
234
5
Gambar II.10: Graf pohon dengan4t(T ) = 3
Kasus 2. r > s. Pandang dua subkasus dalam Kasus 2 ini.
Subkasus 2.1. s = 1.
Karena n ≥ 6, dengan sendirinya r ≥ 3. Misalkan Π = {S1, S2, · · · , Sr}adalah partisi pembeda dengan S1 = {u, u1}, S2 = {v, u2}, S3 = {u3, v1},dan Si = {ui} untuk 4 ≤ i ≤ r. Karena r(u1|Π) = (0, 2, 2, ∗, ∗, · · · , ∗),
r(u2|Π) = (1, 0, 2, ∗, ∗, · · · , ∗), r(u3|Π) = (1, 2, 0, ∗, ∗, · · · , ∗),
r(u|Π) = (0, 1, 1, ∗, ∗, · · · , ∗), r(v|Π) = (1, 0, 1, ∗, ∗, · · · , ∗) dan
r(v1|Π) = (2, 1, 0, ∗, ∗, · · · , ∗) dengan ∗ adalah koordinat yang tidak berpen-
garuh. Dengan demikian, Π adalah partisi pembeda dan pd(T (r, s)) ≤ r.
Subkasus 2.2. s ≥ 2.
Misalkan Π = {S1, S2, · · · , Sr} adalah partisi pembeda dengan S1 = {u, u1, v1},S2 = {v, u2, v2}, Si = {ui, vi} untuk 3 ≤ i ≤ s dan Si = {ui} untuk s+1 ≤ i ≤ r.
Dengan pembuktian yang serupa dengan Subkasus 2.1., dapat ditunjukkan bahwa
Π adalah partisi pembeda dan pd(T (r, s)) ≤ r. �
Graf ulat adalah sebuah graf pohon T yang mempunyai sifat apabila semua daunnya
dihilangkan, graf pohon tersebut menjadi sebuah lintasan. Sebuah simpul di graf
pohon T dengan derajat paling sedikit 3 disebut simpul mayor dari T . Simpul ujung
u ∈ V (T ) disebut simpul terminal dari simpul mayor v ∈ V (T ) jika d(u, v) <
d(u,w) untuk setiap simpul mayor w ∈ V (T )− {v}. Derajat terminal dari simpul
mayor v adalah banyak simpul terminal dari v. Sebuah simpul mayor v ∈ V (T )
disebut simpul mayor eksterior dari T jika v mempunyai derajat terminal positif.
Sebagai contoh, graf pohon pada Gambar II.10 mempunyai empat simpul mayor
v1, v2, v3, v4. Simpul terminal dari v1 adalah u1 dan u2, simpul terminal dari v3
adalah u3, u4 dan u5, dan simpul terminal dari v4 adalah u6 dan u7. Simpul mayor v2
20

8
0
1
2
3
4
5
6
7
4
0
1
2
3
0
1
2
3
Gambar II.11: Graf gir G8 dan graf helm H4
tidak mempunyai simpul terminal dan, karenanya, v2 bukan simpul mayor eksterior
dari T . Misalkan4t(T ) menyatakan derajat terminal maksimum dari semua simpul
mayor eksterior dari pohon T . Gambar II.10 menunjukkan sebuah graf pohon
T dengan 4t(T ) = 3. Maka, (Chartrand dkk., 1998) menunjukkan batas atas
dan batas bawah dari dimensi partisi graf T yang dinyatakan dalam 4t(T ) pada
Teorema II.12 berikut ini.
Teorema II.12. (Chartrand dkk., 1998) Misalkan T adalah graf ulat dengan
4t(T ) ≥ 3. Maka,4t(T )− 2 ≤ pd(T ) ≤ 4t(T ) + 1.
Selain graf pohon, graf mirip roda juga menjadi kajian menarik dalam penelitian
dimensi partisi. Graf mirip roda adalah graf yang diperoleh dengan memberi
perubahan kecil, misalkan dengan penambahan simpul atau sisi, pada sebuah graf
roda. Graf gir, graf helm, dan graf bunga matahari adalah tiga contoh graf mirip
roda.
Graf girG2n didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dari sebuah graf siklus genap
C2n dengan himpunan simpul V (C2n) = {v0, v1, · · · , v2n−1}, dengan n ≥ 2 dan
sebuah simpul baru c yang terkait dengan n buah simpul C2n, yaitu v0, v2, · · · v2n−2.
Graf gir G2n mempunyai order 2n + 1 dan 3n sisi. Dengan cara lain, graf gir
G2n diperoleh dari sebuah graf roda Wn dengan menambah sebuah simpul di antara
sepasang simpul (bukan pusat) yang bertetangga di graf roda Wn. Gambar II.11.a
memberi ilustrasi graf gir G8.
Teorema II.13. (Javaid dan Shokat, 2008) Misalkan n ≥ 2 dan k menyatakan
partisi dimensi dari graf gir G2n. Maka berlaku 2n+ 1 < 3k4(k + 2)2k−7.
21

0
1
2
3
0
12
3
Gambar II.12: Graf bunga matahari SF4
Graf Helm Hn adalah sebuah graf yang diperoleh dari sebuah roda Wn dengan
siklus Cn dengan menambah sebuah simpul anting (pendant) yang terkait dengan
setiap simpul (bukan pusat) dari siklus tersebut. Graf helmHn terdiri atas himpunan
simpul V (Hn) = {vi|0 ≤ i ≤ n− 1} ∪ {ai|0 ≤ i ≤ n− 1} ∪ c dan himpunan sisi
E(Hn) = {vivi+1|0 ≤ i ≤ n− 1} ∪ {viai|0 ≤ i ≤ n− 1} ∪ {vic|0 ≤ i ≤ n− 1}dengan i+ 1 diambil modulo n. Gambar II.11.b memberi ilustrasi graf gir H4.
Teorema II.14. (Javaid dan Shokat, 2008) Misalkan n ≥ 3 dan k menyatakan
partisi dimensi dari graf helm Hn. Maka, berlaku 2n + 1 < 2k−1+∑3
i=0 2k−i−1(k−1
i
)(k − i)+
∑1j=0
∑2i=0 2k−i−j−2
(k−1i,j
)(k − i− j + 1).
Graf bunga matahari didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dari sebuah graf
rodaWn, yang terdiri simpul pusat c dan n-siklus v0, v1, · · · , vn−1, dan penambahan
n buah simpul tambahan w0, w2, · · ·wn−1, dengan wi dihubungkan oleh sebuah sisi
ke vi, vi+1 untuk setiap i = 1, 2, · · · , n1 dan i + 1 diambil modulo n. Graf bunga
matahari SFn mempunyai order 2n+1 dan 4n sisi. Gambar II.12 memberi ilustrasi
graf bunga matahari SF4. SFn
Teorema II.15. (Javaid dan Shokat, 2008) Misalkan n ≥ 3 dan k menyatakan
partisi dimensi dari graf bunga matahari SFn. Maka, 2n+1 < 2k−1+∑4
i=0 2k−i−2(k−1
i
)(k − i+ 1)+
∑2j=0
∑4i=0 2k−i−j−1
(k−1i,j
)(k − i− j).
Selanjutnya, Chartrand, Salehi dan Zhang (2000) menunjukkan dimensi partisi graf
bipartitG((V1, V2), E) dalam Teorema II.16 berikut ini. Graf bipartit adalah sebuah
graf yang himpunan simpulnya dapat dipartisi dalam dua subhimpunan, katakan V1
dan V2, sedemikian hingga setiap sisi e ∈ E(G) mempunyai sebuah simpul ujung
di V1 dan simpul ujung lainnya di V2.
22

Teorema II.16. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) Jika graf G((V1, V2), E)
adalah graf bipartit dengan partisi V1 dan V2, dimana |V1| = m dan |V2| = n,
maka
pd(G((V1, V2), E)) ≤
{m+ 1 , jika m = n,
max{m,n} , jika m 6= n.
Bukti. MisalkanG((V1, V2), E) adalah graf bipartit, dengan V1 = {a1, a2, · · · , am}dan V2 = {b1, b2, · · · , bn}. Pandang dua kasus berikut:
Kasus 1. m = n.
Misalkan Π = {S1, S2, · · · , Sm+1} adalah partisi pembeda untuk graf
G((V1, V2), E), dengan Si = {ai, bi} dengan 1 ≤ i ≤ m − 1, Sm = {am} dan
Sm+1 = {bn}. Jarak d(ai, Sm) selalu genap dan jarak d(bi, Sm) selalu gasal. Jadi,
r(ai|Π) 6= r(bi|Π) untuk 1 ≤ i ≤ m − 1. Selanjutnya, Sm dan Sm+1 adalah kelas
partisi singleton, maka am dan bm mempunyai representasi yang unik. Oleh karena
itu, pd(Km,n) ≤ m+ 1.
Kasus 2. m 6= n.
Misalkan Π = {S1, S2, · · · , Sm} adalah partisi pembeda untuk graf G((V1, V2), E),
dengan Si = {ai, bi} untuk 1 ≤ i ≤ n dan Si = {ai} untuk n + 1 ≤ i ≤ m. Jarak
d(ai, Sm) selalu genap dan jarak d(bi, Sm) selalu gasal. Jadi, r(ai|Π) 6= r(bi|Π)
untuk 1 ≤ i ≤ n. Selanjutnya, karena Si untuk n + 1 ≤ i ≤ m adalah kelas partisi
singleton, maka ai ∈ Si mempunyai representasi yang unik. Dengan demikian
pd(Km,n) ≤ m. �
Pandang graf bipartit graf G((V1, V2), E). Jika setiap simpul u ∈ V1 bertetangga
dengan semua simpul v ∈ V2 dan setiap simpul v ∈ V2 bertetangga dengan semua
simpul u ∈ V1 maka graf bipartit G((V1, V2), E) disebut graf bipartit lengkap dan
dinotasikan dengan Km,n, dengan m dan n masing-masing adalah kardinalitas V1
dan V2. Teorema II.17 berikut ini menunjukkan bahwa batas atas Teorema II.16
dipenuhi oleh graf bipartit lengkap.
Teorema II.17. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) Jika Km,n adalah graf
23

bipartit lengkap dengan kardinalitas partisi masing-masing m dan n, maka
pd(Km,n) =
{m+ 1 , jika m = n,
max{m,n} , jika m 6= n.
Bukti. MisalkanKm,n adalah graf bipartit lengkap , dengan |V1| = m dan |V2| = n.
Pandang dua kasus berikut:
Kasus 1. m = n.
Menurut Teorema II.16, kita cukup menunjukkan batas bawah dari pd(Km,n). Jika
simpul ai, aj ∈ V (Km,n) dan ai, aj ∈ V1, dengan 1 ≤ i 6= j ≤ mmaka berdasarkan
Lema II.1, ai dan aj harus berada pada partisi yang berbeda. Lebih jauh, jika ai ∈V1, bi ∈ V2 dan keduanya termuat dalam kelas partisi yang sama, katakan Si ∈ Π,
maka ai dan bi harus dibedakan oleh sedikitnya sebuah kelas partisi yang beranggota
simpul-simpul di V1 saja (atau V2 saja). Jika tidak, r(ai|Π) = r(bi|Π). Oleh karena
itu, pd(Km,n) ≥ m+ 1.
Kasus 2. m 6= n.
Menurut Lema II.1 pd(Km,n) ≥ max{m,n} dan Teorema II.16 memberi batasnya,
yaitu pd(Km,n) ≤ max{m,n}. Dengan demikian, pd(Km,n) = max{m,n}. �
Menentukan dimensi partisi dari suatu graf baru yang dibangun dengan operasi
biner pada dua graf asal merupakan ranah riset yang menarik. Operasi biner adalah
operasi yang dikenakan pada dua buah graf operan, misalkan G dan H , untuk
mendapatkan sebuah graf baru F . Operasi kartesian dan operasi korona merupakan
dua contoh dari operasi biner. Caceres dkk. (2005) dan Caceres dkk. (2007) menun-
jukkan hubungan antara dimensi metrik graf hasil operasi kartesian dengan dimensi
metrik graf faktornya. Sedangkan Chartrand dkk. (1998) dan Yero dkk. (2010)
menunjukkan hubungan antara dimensi partisi graf hasil operasi kartesian dengan
dimensi partisi graf faktornya.
Teorema II.18. (Chartrand dkk., 1998) Untuk setiap graf terhubung tak-trivial
G, pd(G×K2) ≤ pd(G) + 1.
Bukti. Misalkan G ∼= H × K2, dengan H adalah graf terhubung non-trivial.
Misalkan pd(H) = k dan Π = {S1, S2, · · · , Sk} merupakan suatu partisi pembeda
dari V (H). Untuk dua kopi graf H dalam konstruksi G, misalkan H1 dan H2.
Selanjutnya, misalkan Π1 = {W1,W2, · · · ,Wk} dan Π2 = {U1, U2, · · · , Uk}
24

merupakan partisi pembeda masing-masing dari V (H1) dan V (H2). Kami klaim
bahwa
Π∗ = {W1 ∪ U1,W2 ∪ U2, · · · ,Wk−1 ∪ Uk−1,Wk, Uk}
merupakan partisi pembeda dari V (G). Misalkan x, y ∈ V (G) sedemikian hingga
r(x|Π∗) = r(y|Π∗). Akan ditunjukkan bahwa x = y. Pandang dua kasus berikut:
Kasus 1. x, y ∈ H1 (atau x, y ∈ H2).
Tanpa mengurangi keumuman, katakan x, y ∈ H1. Maka, untuk 1 ≤ i ≤ k − 1,
dG(x,Wi ∪ Ui) = dH1(x,Wi), dG(y,Wi ∪ Ui) = dH1(y,Wi) dG(x,Wk) =
dH1(x,Wk), dG(y,Wk) = dH1(y,Wk), dG(x, Uk) = dH1(x,Wk) + 1, dan
dG(y, Uk) = dH1(y,Wk) + 1. Andaikan x 6= y. Karena Π1 merupakan partisi
pembeda dari V (H1), maka dH1(x,Wi) 6= dH1(y,Wi) untuk sebuah i dengan
1 ≤ i ≤ k. Oleh karena itu, dG(x,Wi) 6= dG(y,Wi), kontradiksi dengan kenyataan
r(x|Π∗) = r(y|Π∗). Dengan demikian, x = y.
Kasus 2. x ∈ H1 dan y ∈ H2 (atau x ∈ H2 dan y ∈ H1).
Tanpa mengurangi keumuman, katakan x ∈ H1 dan y ∈ H2. Dalam kasus ini,
dG(x,Wk) = dG(x, Uk) − 1 dan dG(y,Wk) = dG(y, Uk) + 1. Jadi, dG(x,Wk) 6=dG(y,Wk) dan dG(x, Uk) 6= dG(y, Uk), kontradiksi dengan r(x|Π∗) = r(y|Π∗).
Dengan demikian, x = y. �
Secara umum, pada Teorema II.19, Yero dkk. (2010) menunjukkan batas atas dari
dimensi partisi graf hasil operasi kartesian antara dua graf terhubung G1 dan G2
sebarang, dan menyatakannya dalam pd(G1) dan pd(G2).
Teorema II.19. (Yero dkk., 2010) Untuk sebarang graf terhubung G1 dan G2,
pd(G1 ×G2) ≤ pd(G1) + pd(G2).
Bukti. Misalkan Π1 = {W1,W2, · · · ,Wk} dan Π2 = {U1, U2, · · · , Ul} masing-
masing merupakan partisi pembeda dari G1 = (V1, E1) dan G2 = (V2, E2). Kami
akan menunjukkan bahwa Π1 = {W1×U1,W1×U2, · · · ,W1×Ul,W2×U1,W3×U1, · · · ,Wk×U1, C}, dengan C = (V1×V2)−((V1×U1)∪(W1×V2)), merupakan
partisi pembeda dari G1 ×G2.
Pandang dua simpul berbeda (a, b), (c, d) ∈ V (V1 × V2). Jika a = c maka terdapat
Ui ∈ Π2 sedemikian hingga dG2(b, Ui) 6= dG2(d, Ui). Oleh karena itu, terdapat
dG1×G2((a, b),W1 × Ui) = dG1(a,W1) + dG2(b, Ui) 6= dG1(c,W1) + dG2(d, Ui) =
25

dG1×G2((c, d),W1 × Ui).
Sekarang, jika a 6= c, periksa dua kasus berikut:
Kasus 1. a ∈ Wi dan c ∈ Wj , dengan i 6= j.
Jika dG1×G2((a, b),Wi × U1) = dG1×G2((c, d),Wi × U1), dan dG1×G2((a, b),Wj ×U1) = dG1×G2((c, d),Wj × U1), maka dG2(b, U1) = dG1×G2((a, b),Wi ×U1) = dG1×G2((c, d),Wi × U1) = dG1(c,Wi) + dG2(d, U1) = dG1(c,Wi) +
dG1×G2((c, d),Wj × U1) = dG1(c,Wi) + dG1×G2((a, b),Wj × U1) = dG1(c,Wi) +
dG1(c,Wj) + dG2(b, U1), sebuah kontradiksi.
Kasus 2. a, c ∈ Wi.
Kasus 2.1. b, d ∈ Ul. Misalkan Wj ∈ Π1 sedemikian hingga dG1(a,Wj) 6=dG1(c,Wj). Dalam kasus ini, jika dG2(b, U1) = dG2(d, U1) maka terdapat
dG1×G2((a, b),Wj × U1) = dG1(a,Wj) + dG2(b, U1) 6= dG1(c,Wj) + dG2(d, U1) =
dG1×G2((c, d),Wj × U1). Sebaliknya, jika dG2(b, U1) 6= dG2(d, U1) maka terdapat
dG1×G2((a, b),Wi × U1) = dG2(b, U1) 6= dG2(d, U1) = dG1×G2((c, d),Wi × U1)
Kasus 2.2. b ∈ Uj dan d ∈ Ul, j 6= l.
Kasus ini serupa dengan Kasus 1. Oleh karena itu, setiap simpul berbeda
(a, b), (c, d) ∈ V (V1 × V2), terdapat r((a, b)|Π) 6= r((c, d)|Π). �
Dari Teorema II.5 dan Teorema II.19 diperoleh akibat berikut ini.
Akibat II.1. Untuk sebarang dua graf terhubung G1 dan G2, pd(G1 × G2) ≤pd(G1) + dim(G2) + 1.
Lebih jauh, Yero dkk. (2010) memperbaiki batas yang diberikan oleh Akibat II.1
dan menyatakannya dalam Teorema II.20.
Teorema II.20. (Yero dkk., 2010) Untuk sebarang graf terhubung G dan H ,
pd(G×H) ≤ pd(G) + dim(H).
Bukti. Misalkan Π1 = {W1,W2, · · · ,Wk} merupakan suatu partisi pembeda dari
G1 = (V1, E1) dan S = {u1, u2, · · · , ut} merupakan suatu himpunan pembeda
dari G2 = (V2, E2). Misalkan C = (V1 × V2) − ((V1 × {u1}) ∪ (W1 × {u2}) ∪· · · ∪ (W1×{ut})). Sekarang, kami menunjukkan bahwa Π1 = {W1×{u1},W2×{u1}, · · · ,Wk×{u1},W1×{u2},W1×{u3}, · · · ,W1×{ut}, C}merupakan suatu
26

partisi pembeda dari G1 ×G2.
Pandang dua simpul berbeda (a, b), (c, d) ∈ V (V1 × V2). Jika a = c maka b 6=d. Oleh karena itu, terdapat uj ∈ S sedemikian hingga dG2(b, uj) 6= dG2(d, uj).
Selanjutnya, dG1×G2((a, b),W1 × {uj}) = dG1(a,W1) + dG2(b, uj) 6= dG1(c,W1) +
dG2(d, uj) = dG1×G2((c, d),W1 × {uj}).
Sekarang, jika a 6= c, maka periksa dua kasus berikut:
Kasus 1. a ∈ Wi dan c ∈ Wj , i 6= j.
Misalkan, dG2(b, u1) ≤ dG2(d, u1). Dalam kasus ini terdapat dG1×G2((a, b),Wi ×{u1}) = dG2(b, u1) ≤ dG2(d, u1) < dG1(c,Wi) + dG2(d, u1) = dG1×G2((c, d),Wi ×{u1}). Dengan cara yang serupa, jika dG2(b, u1) ≥ dG2(d, u1), maka terdapat
dG1×G2((a, b),Wj × {u1}) > dG1×G2((c, d),Wj × {u1}).
Kasus 2. a, c ∈ Wi.
Misalkan dG2(b, u1) = dG2(d, u1). Karena terdapat j 6= i sedemikian hingga
dG(a,Wj) 6= dG(c,Wj), maka dG1×G2((a, b),Wj × {u1}) = dG1(a,Wj) +
dG2(b, u1) 6= dG1(c,Wj)+dG2(d, u1) = dG1×G2((c, d),Wj×{u1}). Jika dG2(b, u1) 6=dG2(d, u1), maka terdapat dG1×G2((a, b),Wi × {u1}) = dG2(b, u1) 6= dG2(d, u1) =
dG1×G2((c, d),Wi×{u1}). Oleh karena itu, untuk setiap simpul berbeda (a, b), (c, d)
terdapat r((a, b)|Π) 6= r((c, d)|Π). �
Dari Teorema II.5 dan Teorema II.20 diperoleh Akibat II.2 berikut ini.
Akibat II.2. Untuk sebarang dua graf terhubung G dan H , pd(G × H) ≤dim(G) + dim(H) + 1.
27

Bab III Dimensi Partisi Sejumlah Graf Pohon
Graf pohon termasuk kelas graf yang digunakan secara luas tidak hanya di banyak
bidang aplikasi tetapi juga dalam Teori Graf sendiri. Graf pohon digunakan antara
lain pada analisis hirarki bisnis, penentuan biaya minimum pada jaringan trans-
portasi, dan dasar struktur data pada ilmu komputer (Bona, 2002). Dalam Teori
Graf, Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann (2000) telah berhasil memberikan
dimensi metrik dari sebarang graf pohon secara lengkap. Namun, tidak demikian
halnya untuk dimensi partisi graf pohon, baru beberapa graf saja yang telah
diperoleh dimensi partisinya. Chartrand dkk. (1998) mengawali penelitian dalam
bidang dimensi partisi dari graf dalam kelas graf pohon, yaitu dengan menentukan
batas atas dan bawah dapatkan dimensi partisi graf ulat, dan dimensi partisi graf
bintang ganda. Selanjutnya, Chartrand, Salehi dan Zhang (2000) mengkarakterisasi
semua graf G order n dengan dimesi partisi 2, yaitu pd(G) = 2 jika dan hanya jika
G adalah graf lintasan Pn. Graf lintasan Pn adalah graf dalam kelas graf pohon
juga.
Pada Subbab III.1 dibahas dimensi partisi dari graf ulat (caterpillar) secara tepat.
Hasil ini merupakan penyempurnaan hasil dari Chartrand dkk. (1998). Selanjutnya,
pada Subbab III.2 dan Subbab III.3 dibahas dimensi partisi dari graf kembang
api (firecracker) dan graf pohon pisang (banana tree), berturut-turut. Kedua graf
tersebut termasuk dalam kelas pohon mempunyai struktur yang mirip dengan graf
ulat.
III.1 Dimensi partisi graf ulat
Misalkan terdapat graf lintasan Pm dengan himpunan simpul V (Pm) =
{x1, x2, · · · , xm} dan himpunan sisi E(Pm) = {x1x2, x2x3, · · · , xm−1xm}. Graf
ulat diperoleh dengan menambahkan ni buah sisi anting pada setiap simpul xi
dari sebuah graf lintasan Pm, dengan 1 ≤ i ≤ m, dan dinotasikan dengan
C(m;n1, n2, · · · , nm). Graf ulat C(m;n1, n2, · · · , nm) terdiri atas himpunan
simpul V (C(m;n1, n2, · · · , nm)) = {aij|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ ni} ∪ {xi|1 ≤i ≤ m} dan himpunan sisi E(C(m;n1, n2, · · · , nm)) = {xiaij|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤j ≤ ni} ∪ {xixi+1|1 ≤ i ≤ m − 1}. Untuk n1 = n2 = · · · = nm = n, graf
ulat disebut homogen dan dinotasikan dengan C(m;n). Gambar III.1.a mengilus-
28

DDDD
D
2
24232221
D D D D
D
1
31 32 33 34
D D D D
D
11 12 13 14
DDD
D
2
232221
D D D D
D
1
41 42 43 44
D D D D
D
11 12 13 14
DD
D
3
32
4
31
3
Gambar III.1: a.Graf ulat homogen C(3; 4) dan b.Graf ulat tak-homogen C(4; 4,3, 2, 4)
trasikan graf ulat homogen C(3; 4) dan Gambar III.1.b mengilustrasikan graf ulat
tak-homogen C(4; 4, 3, 2, 4).
Jelas, bahwa setiap graf C(m;n1, n2, · · · , nm) memuat tepat m buah subgraf
K1,ni. Notasikan himpunan simpul dan sisi dari K1,ni
sebagai berikut: V (K1,ni) =
{aij|1 ≤ j ≤ ni} ∪ {xi} dan E(K1,ni) = {xiaij|1 ≤ j ≤ ni}. Definisikan
nmaks = max{n1, n2, . . . , nm}. Subgraf K1,nmaksdisebut sebagai subgraf ulat
maksimum pada C(m;n1, n2, · · · , nm). Dalam hal terdapat p ≥ 1 buah K1,nmaks,
masing-masing subgraf, dari kiri ke kanan, dinotasikan dengan Ki1,nmaks
dengan
1 ≤ i ≤ p.
Pada Teorema II.12, Chartrand dkk. (1998) menunjukkan batas atas dan batas
bawah dimensi partisi graf ulat dan menyatakannya dalam 4t(T ), yaitu derajat
terminal maksimum simpul mayor eksterior dari T . Secara khusus untuk m = 2,
graf ulat C(2;n1, n2) disebut graf bintang ganda. Pada Teorema II.11, Chartrand
dkk. (1998) memberikan dimensi partisi graf bintang ganda secara tepat. Pemba-
hasan berikut akan memberikan dimensi partisi dari sebarang graf ulat secara tepat.
Definisi III.1. Misalkan K1,ni, K1,nj
⊂ C(m;n1, n2, . . . , nm), dengan 1 ≤ i 6=j ≤ m. Jika ni = nj = nmaks − 1, sedemikian hingga
1. d(xi, xm) = d(xj, xm), dengan xm anggota dari suatu K1,nmaks(Lihat Gambar
III.2.a), atau
2. d(xi, xo) = d(xj, xp), dengan xo dan xp masing-masing anggota dari suatu
K1,nmaksyang berbeda (Lihat Gambar III.2.b),
maka subgraf K1,nidan K1,nj
disebut subgraf ulat berjarak sama.
29

DDD
D
DDD
D
DDD D
DDD
D
DD
D
D D
D
xp
d(xi,xm)
xmxi xj xk
d(xj,xm) d(xk,xp)
DDD
D
DDD
D
DD
D
D D
d(xi,xm)
xmxi xj
d(xj,xm)
DDD
D
DDD D
D
xpxj
d(xj,xp)
DDD D
D
xo
DDD
D
xi
d(xi,xo)(a) (b)
Gambar III.2: Dua kondisi subgraf graf ulat K1,nidan K1,nj
yang berjarak sama
Lema II.1 secara langsung memberikan Akibat III.3 berikut ini:
Akibat III.1. ♦ Misalkan Π adalah partisi pembeda untuk V (C(m;n1,
n2, · · · , nm)) dan K1,ni⊂ C(m;n1, n2, · · · , nm). Jika u dan v adalah sebarang
dua simpul anting berbeda di K1,ni, dengan ni ≥ 2, maka u dan v harus berada
dalam kelas partisi yang berbeda di Π.
Bukti. Misalkan u dan v dua simpul anting berbeda di K1,ni. Karena jarak
d(u,w) = d(v, w) untuk semua simpul w ∈ V (C(m;n1, n2, · · · , nm)) − {u, v},maka menurut Lema II.1 simpul anting u dan v harus termuat dalam kelas partisi
yang berbeda di Π. �
Lema III.1. ♦ Misalkan Π adalah partisi pembeda untuk V (C(m;n1,
n2, · · · , nm)). Jika Ki1,nmaks
dan Kj1,nmaks
dua subgraf ulat maksimum, dengan
i 6= j, maka xi ∈ V (Ki1,nmaks
) dan xj ∈ V (Kj1,nmaks
) harus termuat dalam kelas
partisi yang berbeda di Π.
Bukti. Misalkan Π = {S1, S2, · · · , Snmaks} suatu partisi pembeda dari graf
C(m;n1, n2, · · · , nm). Akibat III.1 memastikan setiap simpul anting pada Ki1,nmaks
(atau Kj1,nmaks
) harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda. Oleh karena itu,
setiap simpul anting pada K1,nmaksdapat diasosiasikan dengan nmaks kelas partisi
di Π. Misalkan simpul xi ∈ V (Ki1,nmaks
) dan xj ∈ V (Kj1,nmaks
) berada dalam kelas
partisi yang sama. Maka, d(xi, Z) = d(xj, Z) = 0, dengan Z adalah kelas partisi
yang memuat simpul xi dan xj , dan d(xi, Y ) = d(xj, Y ) = 1, dengan Y adalah
kelas partisi selain Z. Dengan demikian, r(xi|Π) = r(xj|Π), kontradiksi. �
Lema III.2. ♦ Misalkan Π adalah partisi pembeda untuk V (C(m;n1,
n2, · · · , nm)) untuk m ≥ 2. Jika sebarang dua subgraf berbeda K1,ni, K1,nj
⊂
30

C(m;n1, n2, · · · , nm) berjarak sama dan sebarang dua simpul anting aik ∈ K1,ni
dan ajk ∈ K1,nj, dengan 1 ≤ k ≤ ni, termuat dalam kelas partisi yang sama, maka
xi dan xj harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda di Π.
Bukti. Misalkan Π = {S1, S2, · · · , Snmaks} suatu partisi pembeda dari graf
C(m;n1, n2, · · · , nm). Misalkan xi, xj ∈ X untuk suatu kelas partisi X ∈ Π.
Karena subgraf K1,nidan K1,nj
berjarak sama dan sebarang dua simpul anting
aik ∈ K1,nidan ajk ∈ K1,nj
, dengan 1 ≤ k ≤ ni, termuat dalam kelas partisi
yang sama, maka d(aik, X) = d(aik, X) = 1 untuk suatu kelas partisi X ∈ Π
yang memuat xi dan xj , dan d(aik, Y ) = d(ajk, Y ) = 2 untuk suatu kelas partisi
Y ∈ Π yang memuat simpul anting pada subgraf K1,ni(atau K1,nj
). Lebih jauh,
d(aik, Z) = d(ajk, Z) untuk suatu kelas partisi Z ∈ Π yang tidak memuat simpul
anting pada subgraf K1,ni(atau K1,nj
). Dengan demikian, r(ajk|Π) = r(aik|Π),
untuk suatu k pada selang tertutup [1, ni], kontradiksi. �
Teorema III.3 berikut ini menunjukkan dimensi partisi dari graf ulat C(m;n1,
n2, · · · , nm).
Teorema III.1. ♦ Misalkan K1,nmaksadalah subgraf ulat maksimum dari
C(m;n1, n2, · · · , nm) dan p menyatakan banyak subgraf K1,nmaks. Maka, untuk
nmaks ≥ 3, dimensi partisi graf ulat C(m;n1, n2, · · · , nm) adalah
pd(C(m;n1, n2, · · · , nm)) =
{nmaks , jika p ≤ nmaks,
nmaks + 1 , jika p > nmaks.
Bukti. Pandang dua kasus berikut:
Kasus 1: p ≤ nmaks
Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Sp} untuk grafC(m;n1,
n2, · · · , nm). Akibat III.1 memastikan setiap simpul anting pada K1,nitermuat
dalam kelas partisi yang berbeda. Karena K1,nmaksmemiliki nmaks simpul anting,
maka sedikitnya terdapat nmaks kelas partisi di Π untuk C(m;n1, n2, · · · , nm).
Dengan demikian p ≥ nmaks.
Sekarang, pandang graf C(m;n1, n2, · · · , nm). Misalkan terdapat suatu partisi
pembeda Π = {S1, S2, · · · , Snmaks} untuk graf V (C(m;n1, n2, · · · , nm)).
Letakkan setiap simpul v ∈ V (C(m;n1, n2, · · · , nm)) ke dalam kelas partisi
Sj ∈ Π, untuk suatu 1 ≤ j ≤ nmaks, menurut algoritma berikut ini:
31

a. Hitung banyak subgraf K1,nmaksdan nyatakan dengan p. Notasikan masing-
masing subgraf tersebut, secara berurut dari kiri ke kanan, dengan Kk1,nmaks
,
dengan 1 ≤ k ≤ p,
b. Setiap simpul xk ∈ V (Kk1,nmaks
) secara berurut diletakkan pada kelas partisi Sj ,
untuk suatu 1 ≤ j ≤ p,
c. Setiap simpul anting pada Kk1,nmaks
, secara berurut diletakkan pada kelas partisi
S1, S2, S3, · · · , Snmaks,
d. Definisikan A1 sebagai selang terbuka sebelum graf bintang K11,nmaks
, Ak+1
sebagai selang terbuka antara Kk1,nmaks
dan Kk+11,nmaks
, dengan 1 ≤ k ≤ p − 1,
dan Ap+1 sebagai selang terbuka setelah Kp1,nmaks
,
e. Definisikan himpunan T = {semua kombinasi-(nmaks−1) dari nmaks buah kelas
partisi di Π}, sedemikian hingga T = {T1, T2, · · · , Tnmaks} dengan Ti ∈ T
adalah kombinasi yang tidak memuat kelas partisi Si,
f. Identifikasi letak subgrafK1,nipada selang sebagaimana yang didefinisikan pada
item d,
g. Jika K1,niterletak pada selang A1 atau A2 maka setiap simpul anting pada K1,ni
secara berurut diletakkan pada kelas partisi yang berasosiasi dengan T1,
h. Jika K1,niterletak pada selang Ak, dengan 3 ≤ k ≤ p + 1 maka setiap simpul
anting pada K1,nisecara berurut diletakkan pada kelas partisi yang berasosiasi
dengan Tk−1
i. Jika K1,nidan K1,nj
berjarak sama terhadap suatu K1,nmaks, maka berdasarkan
Lema III.2 xi ∈ V (K1,ni) dan xj ∈ V (K1,nj
) harus termuat dalam kelas partisi
yang berbeda di Π.
j. Setiap simpul pusat xk ∈ V (Kk1,ni
), dengan Kk1,ni
bukan subgraf ulat maksimum
dan subgraf ulat berjarak sama, xk diletakkan pada kelas partisi yang memuat
salah satu antingnya.
Untuk memastikan bahwa Π adalah partisi pembeda dari graf C(m;n1,
n2, · · · , nm), pandang sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (C(m;n1,
n2, · · · , nm)) sedemikian hingga u dan v dalam kelas partisi yang sama. Jika simpul
anting u ∈ V (K1,ni) dan v ∈ V (K1,nj
), dengan ni = nj = nmaks, maka u dan v
dibedakan oleh sebuah kelas partisi yang memuat xi atau xj . Jika simpul anting
u ∈ V (K1,ni) dan v ∈ V (K1,nj
), dengan K1,nidan K1,nj
berada dalam selang yang
berbeda, katakan Ao dan Ap, maka u dan v dibedakan oleh kelas partisi So atau Sp.
Jika simpul anting u ∈ V (K1,ni) dan v ∈ V (K1,nj
), dengan K1,nidan K1,nj
berada
dalam selang sama, katakan Ao, dan subgraf K1,nidan K1,nj
tidak berjarak sama,
32

D D D
D
D
1
1
2 3 4
D D D
D
D
1
2
2 3 4
D D D
D
D
1
3
2 3 4
D D D
D
D
1
4
2 3 4
D D
DD D D
DD D D
DDD
D
D
DD D
DD
2 3 2 4 1 3
2 3 4 2 3 4 2 3 42 1 3 1 3
Gambar III.3: Partisi pembeda minimum graf C(10; 3, 4, 3, 1, 3, 4, 2, 2, 4, 4)
maka u dan v dibedakan oleh kelas partisi So. Jika K1,nidan K1,nj
berjarak sama
maka u dan v dibedakan kelas partisi yang memuat xi atau xj .
Selanjutnya, jika simpul anting u ∈ V (K1,ni) dan v ∈ V (K1,nj
), dengan salah satu
dari ni atau nj adalah nmaks, tanpa mengurangi keumunan katakan ni = nmaks dan
nj < nmaks, maka u dan v dibedakan kelas partisi X , dengan X adalah kelas partisi
yang memuat simpul antingK1,nitetapi tidak memuat simpul antingK1,nj
. Dengan
demikian, untuk setiap u, v ∈ V (C(m;n1, n2, · · · , nm)), r(u|Π) 6= r(v|Π). (Lihat
Gambar III.3).
Kasus 2: p > nmaks
Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Sp} untuk V (C(m;n1,
n2, · · · , nm)). Jika p > nmaks maka, menurut Lema III.1 terdapat paling sedikit dua
buah simpul xi ∈ V (Ki1,nmaks
) dan xj ∈ V (Kj1,nmaks
), sedemikian hingga simpul
xi dan xj termuat dalam kelas partisi yang sama, kontradiksi. Dengan demikian,
p ≥ nmaks + 1.
Selanjutnya, definisikan partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Snmaks+1} untuk graf
C(m;n1, n2, · · · , nm) menurut algoritma berikut ini:
a. Setiap simpul anting pada V (K1,ni), dengan 1 ≤ i ≤ m, secara berurut
diletakkan pada kelas partisi S1, S2, S3, · · · , Sni,
b. Letakkan simpul x1 pada kelas partisi Snmaks+1,
c. Letakkan simpul xi lainnya sedemikian hingga x2 ∈ S1, x3 ∈ S2, x4 ∈ S3,
x5 ∈ S1 dan seterusnya dengan pola pengulangan yang sama.
Pandang sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (C(m;n1, n2, · · · , nm)) sedemikian
hingga simpul u dan v termuat dalam kelas partisi yang sama. Jika u ∈ V (K1,ni)
dan v ∈ V (K1,nj), untuk i 6= j, maka jarak d(u, Snmaks+1) 6= d(v, Snmaks+1)
dan oleh karena itu r(u|Π) 6= r(v|Π). Jika simpul u ∈ V (K1,ni) − {xi} dan
33

D D D
D
D
1
1
2 3 4
D D D
D
D
1
2
2 3 4
D D D
D
D
1
2
2 3 4
D D D
D
D
1
1
2 3 4
D D
DD D D
DD D D
DDD
D
D
DD D
DD
5 2 3 1 3 1
1 2 3 1 2 3 1 2 31 1 2 1 2
DDD
D
D
1 2 3 4
3
Gambar III.4: Partisi pembeda minimum graf C(11; 3, 4, 3, 1, 3, 4, 2, 2, 4, 4, 4)
v = xi+1, untuk suatu i pada selang tertutup 1 ≤ i ≤ m − 1, maka u dan
v dibedakan oleh sedikitnya satu kelas partisi X ∈ Π, dengan X adalah kelas
partisi yang memuat simpul anting K1,ni+1, sedemikian hingga d(v,X) = 1
dan d(u,X) 6= 1. Oleh karena itu, r(u|Π) 6= r(v|Π). Dengan demikian,
setiap simpul v ∈ V (C(m;n1, n2, · · · , nm)) mempunyai representasi unik dan
pd(C(m;n1, n2, · · · , nm)) ≤ nmaks + 1. (Lihat Gambar III.4). �
Dalam hal ni = n untuk setiap i, Teorema III.1 memberikan akibat berikut ini:
Akibat III.2. ♦ Jika C(m;n) adalah graf ulat homogen yang dibangun dengan
menambahkan n buah sisi anting pada setiap simpul pada lintasan Pm, dengan
n ≥ 3, maka
pd(C(m;n) =
{n , jika m ≤ n,
n+ 1 , jika m > n.
Selanjutnya, pandang kasus khusus graf ulat homogen C(m;n), dengan n = 1
dan m ≤ 2, yaitu C(1; 1) dan C(2; 1). Keduanya adalah graf ulat yang isomorfik
masing-masing dengan graf lintasan P2 dan P4. Dengan demikian, pd(C(1; 1)) =
pd(C(2; 1)) = 2. Dimensi partisi graf ulat homogen C(m;n) untuk n = 1, 2 dan
m ≥ 3 mengikuti teorema berikut:
Teorema III.2. ♦ Jika m ≤ 3 maka pd(C(m; 1)) = pd(C(m; 2)) = 3.
Bukti. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) menunjukkan bahwa dimensi partisi
graf terhubung pd(G) = 2 jika dan hanya jika G adalah graf lintasan. Karena graf
C(m; 1) dan C(m; 2) bukan graf lintasan, maka pd(C(m; 1)) = pd(C(m; 2)) ≥ 3.
Sekarang, definisikan partisi pembeda Π = {S1, S2, S3} untuk V (C(m; 1))
34

DD
1
DD
DD
DD
DD
DD
1 11 11
3 2 22 22
D
D D
1 2
3
D
D D
1 2
2
D
D D
1 2
2
D
D D
1 2
2
(b)(a)
Gambar III.5: a.Partisi pembeda minimum graf C(6; 1, 1, 1, 1, 1, 1) dan b.Partisipembeda minimum graf C(4; 2, 2, 2, 2)
sedemikian hingga
Sq =
{ai1|3 ≤ i ≤ m} , jika q = 1,
{xi|2 ≤ i ≤ m} , jika q = 2,
{x1} , jika q = 3.
Pandang sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (C(m; 1)) sedemikian hingga u dan
v dalam kelas partisi yang sama. Jarak simpul anting d(ai1, S3) = d(a(i+1), S3)− 1
dan d(xi, S3) = d(x(i+1), S3) − 1, untuk 2 ≤ i ≤ m − 1. Dengan demikian, setiap
simpul u ∈ V (C(m; 1)) mempunyai representasi berbeda. Demikian pula halnya
simpul dalam kelas partisi S2, setiap simpul xi ∈ V (C(m; 1)) mempunyai repre-
sentasi yang berbeda. Karena kelas partisi S3 adalah singleton, dengan sendirinya
xm ∈ S3 mempunyai representasi yang unik. Jadi, pd(C(m; 1)) ≤ 3. (Lihat
Gambar III.5.a.
Batas atas dimensi partisi dari graf C(m; 2) dapat dapat ditunjukkan dengan
mendefinisikan partisi pembeda Π = {S1, S2, S3} untuk V (C(m; 2)) sedemikian
hingga
Sq =
{ai1|3 ≤ i ≤ m} , jika q = 1,
{ai2, xi|2 ≤ i ≤ m} , jika q = 2,
{x1} , jika q = 3.
Setiap simpul anggota S1 dibedakan oleh kelas partisi S3 dan setiap simpul di S2
dibedakan oleh oleh kelas partisi S1 dan S3. Oleh karena S3 merupakan kelas partisi
singleton, maka x1 ∈ S3 dengan sendirinya unik. Dengan demikian untuk sebarang
dua simpul berbeda u, v ∈ C(m; 2), r(u|Π) 6= r(v|Π). Jadi, pd(C(m; 2)) ≤ 3.
(Lihat Gambar III.5.b. �
35

DDDD
D
2
24232221
D D D D
D
1
31 32 33 34
D D D D
D
11 12 13 14
DDD
D
2
232221
D D D D
D
1
41 42 43 44
D D D D
D
11 12 13 14
DD
D
3
32
4
31
3
D D D
1
2
3
D D
D D
1
2 3
4
Gambar III.6: a.Graf kembang api homogen dan b.Graf kembang api tak-homogen
III.2 Dimensi partisi graf kembang api
Graf kembang api (firecracker) adalah sebuah graf yang diperoleh dengan
menghubungkan m buah graf bintang K1,nidengan cara menghubungkan satu
simpul anting dari setiap graf bintang K1,nidengan 1 ≤ i ≤ m (Chen dkk., 1997)
dan dinotasikan dengan F (m;n1, n2, · · · , nm). Graf kembang api F (m;n1,
n2, · · · , nm) terdiri atas himpunan simpul V (F (m;n1, n2, · · · , nm)) = {ci|1 ≤i ≤ m} ∪ {aij|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ ni − 1} ∪{xi|1 ≤ i ≤ m} dan himpunan sisi
E(F (m;n1, n2, · · · , nm)) = {cixi, ciaij|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ ni−1}∪{xixi+1|1 ≤i ≤ m−1}. Jika n1 = n2 = · · · = nm = n, graf kembang api disebut graf kembang
api homogen dan dinotasikan dengan F (m;n). Gambar III.6.a adalah graf kembang
api homogen F (3; 5) dan Gambar III.6.b adalah graf kembang api tak-homogen
F (4; 5, 4, 3, 5).
Untuk suatu i dalam selang tertutup [1,m], subgraf K1,ni⊂ F (m;n1, n2, . . . , nm)
adalah subgraf kembang api yang terdiri atas himpunan simpul V (K1,ni) =
{xi, ci, aij|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ ni − 1} dan himpunan sisi E(K1,ni) =
{xici, ciaij|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ ni−1}. Dalam hal nmaks = max{n1, n2, . . . , nm},maka K1,nmaks
disebut subgraf kembang api maksimum. Jika terdapat p buah
K1,nmaks, masing-masing subgraf ulat maksimum, secara berurut dari kiri ke kanan,
dinotasikan dengan Ki1,nmaks
dengan 1 ≤ i ≤ p.
Definisi III.2. Misalkan K1,ni, K1,nj
⊂ F (m;n1, n2, . . . , nm), dengan 1 ≤ i 6=j ≤ m. Jika ni = nj = nmaks − 2, sedemikian hingga
1. d(xi, xm) = d(xj, xm), dengan xm anggota dari suatu K1,nmaks(Lihat Gambar
III.7.a), atau
2. d(xi, xo) = d(xj, xp), dengan xo dan xp masing-masing anggota dari suatu
36

DDD
D
DDD
D
DD
D
D D
d(xi,xm)
cmci cj
d(xj,xm)
DDD
D
DDD D
D
xpxj
d(xj,xp)
DDD D
D co
DDD
D
xi
d(xi,xo)(a) (b)
D D D D D D D
xo
ci cj cp
xi xm xj
Gambar III.7: Dua kondisi subgraf kembang api K1,nidan K1,nj
berjarak sama
K1,nmaksyang berbeda (Lihat Gambar III.7.b),
maka subgraf K1,nidan K1,nj
disebut subgraf kembang api berjarak sama.
Akibat III.3 berikut ini adalah konsekuensi dari Lema II.1.
Akibat III.3. ♦ Misalkan Π adalah partisi pembeda untuk V (F (m;n1,
n2, · · · , nm)). Jika u dan v adalah sebarang dua simpul anting pada (K1,ni),
dengan ni ≥ 2, maka u dan v harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda
di Π.
Bukti. Misalkan sebarang dua simpul anting berbeda u, v ∈ V (K1,ni). Karena
d(u,w) = d(v, w) untuk setiap simpul w ∈ V (F (m;n1, n2, · · · , nm)) − {u, v},maka menurut Lema II.1 simpul anting u dan v harus termuat dalam kelas partisi
yang berbeda di Π. �
Lema III.3. ♦ Misalkan Π = {S1, S2, · · · , Snmaks−1} adalah partisi pembeda
untuk V (F (m;n1, n2, · · · , nm)). Jika subgrafKi1,nmaks
danKj1,nmaks
, dengan i 6= j,
maka simpul pusat ci ∈ V (Ki1,nmaks
) dan cj ∈ V (Kj1,nmaks
) harus termuat dalam
kelas partisi yang berbeda di Π.
Bukti. Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Snmaks−1} untuk
graf F (m;n1, n2, · · · , nm). Akibat III.3 memastikan setiap dua simpul anting di
K1,nitermuat dalam kelas partisi yang berbeda di Π. Oleh karena subgraf K1,ni
dan K1,njmasing-masing memiliki nmaks − 1 simpul anting, maka semua simpul
anting padaK1,nidanK1,nj
dapat diasosiasikan dengan nmaks−1 kelas partisi yang
terdapat di Π. Jika simpul pusat ci dan cj berada dalam kelas partisi yang sama,
37

katakan ci, cj ∈ X , maka d(ci, X) = d(cj, X) = 0, dan d(ci, Y ) = d(cj, Y ) = 1,
untuk setiap kelas partisi Y yang tidak memuat simpul ci dan cj . Oleh karena itu,
r(ci|Π) = r(cj|Π), kontradiksi. �
Lema III.4. ♦ Misalkan Π adalah partisi pembeda untuk V (C(m;n1,
n2, · · · , nm)) untuk m ≥ 2. Jika sebarang dua subgraf berbeda dari graf kembang
apiK1,nidanK1,nj
berjarak sama dan sebarang dua simpul anting aik ∈ K1,nidan
ajk ∈ K1,nj, dengan 1 ≤ k ≤ ni− 1, termuat dalam kelas partisi yang sama, maka
maka ci, xi ∈ X dan cj, xj ∈ Y , dengan X dan Y merupakan dua kelas partisi
berbeda di Π.
Bukti. Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Snmaks−1} untuk
V (F (m;n1, n2, · · · , nm)). Asumsikan X, Y ∈ Π dan X = Y sedemikian
hingga ci, xi, cj, xj ∈ X (atau ci, xi, cj, xj ∈ Y ). Tanpa kehilangan keumuman,
ambil kemungkinan yang pertama, yaitu ci, xi, cj, xj ∈ X . Karena simpul anting
dari K1,nidan K1,nj
didistribusikan ke sejumlah kelas partisi yang sama, maka
d(ci, X) = d(cj, X) = 0 dan d(ci, Z) = d(cj, Z) = 1 untuk setiap kelas partisi
Z di Π selain X serta d(ci,W ) = d(cj,W ) untuk sebuah kelas partisi W ∈ Π yang
memuat simpul dariK1,nktetapi tidak memuat simpul dariK1,ni
danK1,nj. Dengan
demikian, r(ci|Π) = r(cj|Π), kontradiksi. �
Teorema III.3 berikut ini memberikan dimensi partisi graf kembang api F (m;n1,
n2, · · · , nm) dengan m ≥ 2 dan nmaks ≥ 5.
Teorema III.3. ♦ Misalkan p menyatakan banyak subgraf K1,nmakspada graf
F (m;n1, n2, · · · , nm). Maka, untuk nmaks ≥ 5 dan m ≥ 2,
pd(F (m;n1, n2, · · · , nm)) =
{nmaks − 1 , jika p ≤ nmaks − 1,
nmaks , jika p > nmaks − 1.
Bukti. Pandang dua kasus berikut:
Kasus 1: p ≤ nmaks − 1
Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Sp} dari graf F (m;n1,
n2, · · · , nm). Akibat III.3 memastikan setiap simpul anting di K1,nitermuat dalam
kelas partisi yang berbeda di Π. Karena K1,nmaksmemiliki nmaks − 1 buah simpul
anting, maka sedikitnya terdapat nmaks−1 buah kelas partisi berbeda di Π. Dengan
38

demikian, p ≥ nmaks − 1.
Sekarang, definisikan suatu partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Snmaks−1} untuk
V (F (m;n1, n2, · · · , nm)) sedemikian hingga mengikuti algoritma berikut:
a. Hitung jumlah subgraf K1,nmaksdan nyatakan dengan p. Notasikan masing-
masing subgraf tersebut, berurut dari kiri ke kanan, dengan Kk1,nmaks
, dengan
1 ≤ k ≤ p,
b. Setiap simpul pusat ck ∈ V (Kk1,nmaks
) secara berurut diletakkan pada kelas
partisi Sk, dengan 1 ≤ k ≤ p,
c. Setiap simpul xk ∈ V (Kk1,nmaks
) secara berurut diletakkan pada kelas partisi
Snmaks−1, Snmaks−2, · · · , Snmaks−p,
d. Setiap simpul anting pada Kk1,nmaks
, secara berurut diletakkan pada kelas partisi
S1, S2, S3, · · · , Snmaks−1,
e. Definisikan A1 sebagai selang terbuka sebelum subgraf K11,nmaks
, Ak+1 sebagai
selang antaraKk1,nmaks
danKk+11,nmaks
, dengan 1 ≤ k ≤ p, danAp+1 sebagai selang
setelah subgraf Kp1,nmaks
,
f. Definisikan himpunan T = {semua kombinasi-(nmaks − 2) dari nmaks − 1 buah
kelas partisi di Π}, sedemikian hingga T = {T1, T2, · · · , Tnmaks−1} dengan Ti ∈
T , dengan Ti adalah kombinasi yang tidak memuat kelas partisi Si,
g. Identifikasi letak K1,nmaks−1pada selang sebagaimana didefinisikan pada item e,
h. Jika K1,nmaks−1terletak pada selang A1 atau A2 maka setiap simpul anting pada
K1,nmaks−1secara berurut diletakkan pada kelas partisi yang berasosiasi dengan
T1,
i. Jika K1,nmaks−1terletak pada selang Ak, dengan 3 ≤ k ≤ p + 1 maka setiap
simpul anting pada K1,nmaks−1secara berurut diletakkan pada kelas partisi yang
berasosiasi dengan Tk−1
j. Jika Ki1,nmaks−1
dan Kj1,nmaks−1
berjarak sama, dengan i 6= j, berdasarkan Lema
III.4, maka cl, xl ∈ X dan cm, xm ∈ Y sedemikian hingga kelas partisi X, Y ∈Π dan X 6= Y ,
Untuk memastikan bahwa Π adalah partisi pembeda untuk F (m;n1, n2, · · · , nm),
pandang sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (F (m;n1, n2, · · · , nm)) sedemikian
hingga u dan v dalam kelas partisi yang sama. Jika simpul anting u ∈ V (K1,nmaks)
dan v ∈ V (K1,nmaks), maka u dan v dibedakan oleh sebuah kelas partisi yang
memuat ci atau cj . Jika simpul u = ci dan v = xi, maka d(u,X) = 1 untuk
semua kelas partisi X di Π kecuali kelas partisi yang mememuat ci dan sedikitnya
39

terdapat suatu kelas partisi X sedemikian d(v,X) = 2, yaitu kelas partisi di Π yang
tidak memuat ci (atau xi), dan tidak memuat simpul yang bertetangga dengan xi.
Dengan demikian, r(u|Π) 6= r(v|Π).
Sekarang, pandang dua simpul anting berbeda u ∈ V (K1,ni) dan v ∈ V (K1,nj
),
dengan ni = nj < nmaks. Jika K1,nidan K1,nj
berjarak sama, maka u dan v
dibedakan oleh sebuah kelas partisi yang memuat ci atau cj . Sebaliknya, jika K1,ni
dan K1,njberjarak tidak sama maka u dan v dibedakan oleh sebuah kelas partisi Z
sedemikian hingga Z memuat simpul dari K1,nmaksdan tidak memuat simpul dari
K1,nimaupun K1,nj
. Demikian pula halnya jika u = ci dan v = xi maka u dan v
dibedakan oleh kelas partisi Z.
Selanjutnya, jika u ∈ V (K1,nmaks) dan v ∈ V (K1,nmaks
) dan kedua subgraf
tersebut terletak pada selang yang berbeda, maka simpul-simpul dari K1,nidan
K1,njdibedakan oleh sebuah kelas partisi Y , yaitu sebuah kelas partisi yang memuat
simpul dari K1,nitetapi tidak memuat simpul dari K1,nj
, atau sebaliknya. Dengan
demikian, r(u|Π) 6= r(v|Π).
Kasus 2: p > nmaks − 1
Kami akan menunjukkan bahwa pd(F (m;n1, n2, · · · , nm)) = nmaks. Misalkan
terdapat suatu partisi pembeda Π untuk V (F (m;n1, n2, · · · , nm)) dengan nmaks −1 buah kelas partisi, yaitu Π = {S1, S2, · · · , Snmaks−1}. Jika p > nmaks − 1,
maka sedikitnya terdapat dua simpul pusat, katakan ci dan cj , termuat dalam kelas
partisi yang sama. Oleh karena itu, Lema III.3 tidak terpenuhi. Dengan demikian,
pd(F (m;n1, n2, · · · , nm)) ≥ nmaks.
Selanjutnya akan ditunjukkan batas atas dimensi partisi untuk graf kembang
api F (m;n1, n2, · · · , nm). Definisikan suatu partisi pembeda Π = {S1,
S2, · · · , Snmaks} untuk graf F (m;n1, n2, · · · , nm) sedemikian hingga mengikuti
algoritma berikut ini:
a. Setiap simpul anting pada K1,ni, secara berurut diletakkan pada kelas partisi
S1, S2, S3, · · · , Sni, dengan 1 ≤ i ≤ m,
b. Letakkan simpul pusat c1 pada kelas partisi S1,
c. Letakkan simpul pusat x1 pada kelas partisi Snmaks,
c. Letakkan simpul c2 dan x2 pada kelas partisi S1, c3, x3 pada kelas partisi S2,
c4, x4 pada kelas partisi S3, c5, x5 pada kelas partisi S1 dan seterusnya dengan
pola pengulangan yang sama.
40

DD
D
1 2
1
D
3
DD
D
1 2
1
D
2
DD
D
1 3
1
D
3
DD
D
1 3
2
D
2
D D
2 2
(b)(a)
Gambar III.8: a.Partisi pembeda minimum dari graf F (2; 3) dan b.Partisi pembedaminimum dari graf F (2; 4)
Pandang sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (F (m;n1, n2, · · · , nm)) sedemikian
hingga simpul u dan v termuat dalam kelas partisi yang sama. Jika u ∈ V (K1,ni)
dan v ∈ V (K1,nj), untuk i 6= j, maka jarak d(u, x1) 6= d(v, x1). Selan-
jutnya, d(u, Snmaks) 6= d(v, Snmaks
) dan oleh karena itu r(u|Π) 6= r(v|Π). Jika
simpul u, v ∈ V (K1,ni), untuk sebuah i dalam selang tertutup 1 ≤ i ≤ m,
maka satu di antara dua simpul tersebut adalah simpul anting dan yang lainnya
adalah sebuah simpul pusat. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan u = ci dan
v ∈ V (K1,ni) − {xi, ci}. Oleh karena itu, d(u,H) = 1 dan jarak d(v,H) = 2,
dengan H adalah kelas partisi yang tidak memuat simpul u maupun v. Dengan
demikian, r(u|Π) 6= r(v|Π). Demikian pula halnya jika u = xi dan v = xj , dengan
i 6= j, representasi kedua simpul tersebut dibedakan oleh jaraknya terhadap kelas
partisi Snmaks. Dengan demikian, pd(F (m;n1, n2, · · · , nm)) ≤ nmaks. �
Sekarang, pandang beberapa kasus khusus dari graf kembang api, yaitu F (1;n)
dan F (2;n). Graf kembang api F (1;n) isomorfik dengan graf bintang K1,n. Oleh
karena dimensi partisi pd(K1,n) = n (Chartrand dkk., 1998), maka partisi dimensi
pd(F (1;n)) = pd(K1,n) = n.
Selanjutnya, pandang F (2;n) untuk n = 1, 2, 3, 4. Graf kembang api F (2; 1) dan
F (2; 2) adalah graf yang isomorfik dengan graf lintasan P4 dan P6, berturut-turut.
Dengan demikian dimensi partisi pd(F (2; 2)) = pd(F (2; 3)) = 2. Lebih jauh,
kami menunjukkan bahwa pd(F (2; 3)) = pd((2; 4)) = 3. Batas bawah untuk
dimensi partisi kedua graf tersebut adalah 3 karena graf F (2; 3) dan F (2; 4) adalah
graf terhubung dan bukan graf lintasan. Menurut Chartrand, Salehi dan Zhang
(2000), pd(G) = 2 jika dan hanya jika graf G adalah sebuah graf lintasan. Dengan
demikian, pd(F (2; 3)) = pd((2; 3)) ≥ 3. Batas atas pd(F (2; 3)) dapat ditunjukkan
dengan mendefinisikan Π = {S1, S2, S3} sebagai partisi pembeda untuk V (F (2; 3))
sedemikian hingga S1 = {a11, a21, c1, c2}, S2 = {a12, a22, x2} dan S3 = {x1}.Hasil pemeriksaan menunjukkan bahwa setiap simpul v ∈ V (F (2; 4)) mempunyai
41

DD
1
DD
DD
DD
DD
DD
1 11 11
3 2 22 22
D D DD DD
2 22 222
Gambar III.9: Partisi pembeda minimum graf F (6; 2, 2, 2, 2, 2, 2)
representasi unik. Jadi, pd(F (2; 3)) ≤ 3. (Lihat Gambar III.8.a).
Demikian pula halnya dengan batas atas dimensi partisi graf F (2; 4). Defini-
sikan Π = {S1, S2, S3} sebagai partisi pembeda untuk V (F (2; 4)) sedemikian
hingga S1 = {a11, a21, c1}, S2 = {a12, a22, c2, x2} dan S3 = {a13, a23, x1}. Hasil
pemeriksaan menunjukkan bahwa setiap simpul v ∈ V (F (2; 4)) mempunyai repre-
sentasi berbeda. Jadi, pd(F (2; 4)) ≤ 3. (Lihat Gambar III.8.b).
Teorema III.4. ♦ Jika m ≤ 3 maka pd(F (m; 1)) = pd(F (m; 2)) = 3.
Bukti. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) membuktikan bahwa dimensi partisi
graf terhubung pd(G) = 2 jika dan hanya jika G adalah graf lintasan. Karena graf
F (m; 1) dan F (m; 2) bukan graf lintasan, maka pd(F (m; 1)) = pd(F (m; 2)) ≥ 3.
Karena graf F (m; 1) isomorf dengan graf C(m; 1), maka menurut Teorema III.2
pd(F (m; 1) ≤ 3. Sekarang, definisikan partisi pembeda Π = {S1, S2, S3} untuk
V (F (m; 2)) sedemikian hingga
Sq =
{ai1|2 ≤ i ≤ m} , jika q = 1,
{ci, xi|1 ≤ i ≤ m} , jika q = 2,
{a11} , jika q = 3.
Setiap simpul anggota S1 dibedakan oleh kelas partisi S3 dan setiap simpul di S2
dibedakan oleh oleh kelas partisi S1 dan S3. Oleh karena S3 merupakan kelas partisi
singleton, maka x1 ∈ S3 dengan sendirinya unik. Dengan demikian untuk sebarang
dua simpul berbeda u, v ∈ C(m; 2), r(u|Π) 6= r(v|Π). Jadi, pd(F (m; 2)) ≤ 3.
(Lihat Gambar III.9.
�
42

Sekarang, pandang kasus khusus graf kembang api F (m;n), dengan n = 3, 4. Dari
pemeriksaan diperoleh bahwa pd(F (m, 3)) = 3 jika m ≤ 3, dan pd(F (m, 3)) = 4
jika m > 3. Selanjutnya, pd(F (m, 4)) = 3 jika m ≤ 2, dan pd(F (m, 3)) = 4
jika m > 2. Sementara itu, untuk dimensi partisi graf kembang api tak-homogen
dengan nmaks ≤ 4 masih merupakan masalah terbuka.
III.3 Dimensi partisi graf pohon pisang
Sebuah graf pohon pisang (banana tree)B(m;n) adalah sebuah graf yang diperoleh
dengan menghubungkan satu simpul anting dari setiap m buah kopi graf bintang
K1,n ke sebuah simpul baru yang disebut simpul akar r (Chen dkk., 1997). Oleh
karena graf bintang yang menyusun graf B(m;n) mempunyai order yang sama,
graf B(m;n) disebut graf pohon pisang homogen. Graf pohon pisang B(m;n)
terdiri atas himpunan simpul V (B(m;n)) = {ci|1 ≤ i ≤ m} ∪ {aij|1 ≤ i ≤m, 1 ≤ j ≤ n − 1} ∪ {xi|1 ≤ i ≤ m} ∪ {r} dan himpunan sisi E(B(m;n)) =
{ciaij|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n−1}∪{xici|1 ≤ i ≤ m}∪{rxi|1 ≤ i ≤ m}. Gambar
III.10 adalah graf pohon pisang homogen B(3; 5).
Selanjutnya, didefinisikan subgraf Ki1,n ⊂ B(m;n) adalah kopi ke-i dari graf
bintang K1,n di B(m;n) sedemikian hingga V (Ki1,n) = {xi, ci, aij|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤
j ≤ n− 1} dan E(Ki1,n) = {xici, ciaij|1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n− 1}.
Akibat III.4 berikut ini adalah konsekuensi dari Lema II.1.
Akibat III.4. ♦ Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π untuk graf pohon
pisang B(m;n). Jika sebarang dua simpul anting berbeda u, v ∈ V (Ki1,n) maka u
dan v harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda di Π.
Bukti. Misalkan sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (Ki1,n). Karena d(u,w) =
d(v, w) untuk semua w ∈ V (B(m;n))−{u, v}, maka menurut Lema II.1 simpul u
dan v harus berada pada kelas partisi berbeda di Π. �
Lema III.5. ♦Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Sn−1}untuk V (B(m;n)). Misalkan Ki
1,n dan Kj1,n adalah kopi ke-i dan ke-j dari bintang
K1,n di B(m;n). Jika ci dan cj masing-masing adalah simpul pusat Ki1,n dan Kj
1,n
maka ci dan cj harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda di Π.
43

DDDD
D
2
24232221DDDD
1
31 32 33 34DDDD
11 12 13 14
3
D D
D
D D
1 2
D
3
Gambar III.10: Graf pohon pisang homogen B(3; 5)
Bukti. Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Sn−1} untuk
V (B(m;n)) yang terdiri atas n − 1 buah kelas partisi. Akibat III.4 memastikan
bahwa setiap simpul anting di Ki1,n termuat dalam kelas partisi yang berbeda di Π.
Oleh karena itu, setiap simpul anting di Ki1,n, dengan 1 ≤ i ≤ m, dapat diasosi-
asikan dengan n − 1 buah kelas partisi di Π. Misalkan simpul pusat ci dan cj
termuat dalam kelas partisi yang sama, katakan ci, cj ∈ X dan X ∈ Π. Karena
d(ci, X) = d(cj, X) = 0 dan d(ci, Y ) = d(cj, Y ) = 1, dimana Y adalah kelas
partisi di Π dan X 6= Y , maka r(ci|Π) = r(cj|Π), kontradiksi. �
Lema III.6. ♦Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Sn−1}untuk V (B(m;n)). Jika r dan ci, dengan 1 ≤ i ≤ m, masing-masing adalah simpul
akar dan simpul pusat subgrafKi1,n ⊂ B(m;n), maka r dan ci harus termuat dalam
kelas partisi yang berbeda di Π.
Bukti. Misalkan simpul r, ci ∈ X , dengan X adalah sebuah kelas partisi di Π.
Pandanga subgraf Ki1,n. Karena kardinalitas Π adalah n − 1, maka terdapat n − 1
buah kelas partisi untuk simpul-simpul padaKi1,n. Lebih jauh, simpul xi dan sebuah
simpul anting Ki1,n, katakan aij , harus termuat dalam kelas partisi yang sama,
misalkan Y . Oleh karena itu, d(xi, Y ) = d(aij, Y ) = 0, d(xi, X) = d(aij, X) = 1
dan d(xi, Z) = d(aij, Z) = 2, dengan Z adalah kelas partisi di Π selain X dan Y .
Dengan demikian, r(aij|Π) = r(xi|Π), kontradiksi. �
Teorema III.5 berikut ini menunjukkan dimensi partisi graf pohon pisang B(m;n).
Teorema III.5. ♦ Untuk n ≥ 2, dimensi partisi dari graf pohon pisang B(m;n)
adalah sebagai berikut:
pd(B(m;n)) =
{n− 1 , jika m ≤ n− 2,
n , jika n− 2 < m ≤(
nn−1
)(n− 1),
44

DDD D D
D
DDD D D
D
DDD D D
D
DDD D D
D
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
D
1 2 3 4
5
Gambar III.11: Partisi pembeda minimum graf pohon pisang B(3; 5)
Bukti. Kasus 1: m ≤ n− 2
Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Sp} untuk V (B(m;n)).
Akibat III.4 memastikan setiap simpul anting di Ki1,n harus termuat dalam kelas
partisi yang berbeda. Oleh karena itu, p ≥ n− 1.
Sekarang, pandang graf pohon pisang B(m;n), dengan m ≤ n − 2. Definisikan
sebuah partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Sn−1} untuk V (B(m;n)) sedemikian
hingga
Sq =
{a1q, a2q, · · · , anq, cq, xq} , jika 1 ≤ q ≤ n,
{a1q, a2q, · · · , anq} , jika m ≤ q ≤ n− 2,
{a1q, a2q, · · · , anq, r} , jika q = n− 1.
Pandang sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (B(m;n)) yang termuat dalam
kelas partisi yang sama. Jika u dan v, masing-masing, adalah simpul anting di
Ki1,n dan Kj
1,n, untuk i 6= j, maka simpul u dan v dibedakan oleh kelas partisi
yang memuat kedua simpul ci maupun cj (Lema III.5). Jika u adalah simpul anting
di Ki1,n dan v = xi, maka kedua simpul tersebut dibedakan oleh kelas partisi yang
memuat simpul akar r (Lema III.6). Jika u = ci dan v = xi, maka u dan v dibedakan
oleh kelas partisi yang tidak memuat r. Oleh karena itu, r(u|Π) 6= r(v|Π) untuk
semua simpul u, v ∈ V (B(m;n)). Dengan demikian, pd(B(m;n)) ≤ n− 1 untuk
m ≤ n− 2. (Lihat Gambar III.11).
Kasus 2: n− 2 < m ≤(
nn−1
)(n− 1)
Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π untuk V (B(m;n)) dengan n − 1 buah
kelas partisi, yaitu Π = {S1, S2, · · · , Sn−1}. Karena m > n − 2, maka terdapat
sedikitnya sebuah simpul ci, untuk 1 ≤ i 6= j ≤ m, sedemikian hingga ci dan r
termuat dalam kelas partisi yang sama. Oleh karena itu, Lema III.6 tidak terpenuhi.
Dengan demikian, pd(B(m;n)) ≥ n.
45

DD DD
2 3 4
DD DD
2 3 4
DD DD
2 3 4
DD DD
1 3 4
DD DD
1 3 4
DD DD
1 3 4
DD DD
1 2 4
DD DD
1 2 4
DD DD
1 2 4
1 2 3 1 2 3 1 2 3
D
4
Gambar III.12: Partisi pembeda minimum graf pohon pisang B(16; 4)
Selanjutnya, pandang graf pohon pisangB(m;n) denganm ≤(
nn−1
)(n−1). Defini-
sikan sebuah himpunan T yang beranggotakan semua kombinasi-(n−1) dari n buah
kelas partisi di Π, yaitu T = {T1, T2, · · · , Tn} dengan Ti ∈ T adalah kombinasi-
(n − 1) yang tidak memuat kelas partisi Si untuk sebuah i dalam selang tertutup
[1, n]. Definisikan suatu partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Sn} untuk V (B(m;n))
dengan mengikuti algoritma berikut:
a. Definisikan n buah himpunan, katakan A1, A2, · · · , An, yang masing-masing
beranggotakan paling banyak n − 1 buah kopi subgraf Ki1,n. Subgraf Ki
1,n pada
himpunan Ak dinotasikan dengan Kki1,n,
b. Pandang himpunan Aj , dengan 1 ≤ j ≤ n. Simpul anting pada setiap kopi
subgraf Kji1,n, pada himpunan Aj , secara berurut diletakkan pada kelas partisi
yang berasosiasi dengan Ti,
c. Simpul pusat setiap kopi subgraf Kki1,n, pada kelompok Ak, diletakkan secara
berurut pada kelas partisi S1, S2, · · · , S|Ak|, dengan 1 ≤ k ≤ n,
d. Simpul xij pada setiap subgraf Kki1,n pada kelompok Ak diletakkan pada kelas
partisi Sk.
e. Simpul akar r diletakkan ke dalam kelas partisi Sn.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa Π adalah partisi pembeda dari V (B(m;n)).
Pandang sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ V (B(m;n)) sedemikian hingga u, v
dalam kelas patisi yang sama di Π. Jika simpul u dan v, masing-masing, adalah
simpul anting dari Kki1,n dan Kkj
1,n, dengan Kki1,n dan Kkj
1,n masing-masing adalah
subgraf Ki1,n dan Kj
1,n dalam himpunan yang sama Ak , maka u dan v dibedakan
oleh sebuah kelas partisi yang memuat simpul pusat cki atau ckj . Jika simpul u
dan v, masing-masing, adalah simpul anting pada Kki1,n dan K li
1,n, dengan subgraf
Kki1,ndanK
li1,n tidak dalam himpunan yang sama, katakan Ak dan Al, maka u dan
v dibedakan oleh Sk (atau Sl). Jika simpul u adalah simpul anting pada Kki1,n dan
v = xki (atau v = xkj), dengan i 6= j, maka u dan v dibedakan oleh Sn, yaitu kelas
46

partisi yang memuat simpul r. Oleh karena itu, r(u|Π) 6= r(v|Π) dan Π adalah
partisi pembeda untuk V (B(m;n)), dengan n − 2 < m ≤(
nn−1
)(n − 1). (Lihat
Gambar III.12). �
Dimensi partisi graf pohon pisang B(m;n) ditentukan oleh m dan n, yang masing-
masing menyatakan banyak subgraf Ki1,n pada graf B(m;n), dan banyak simpul
anting pada subgraf graf Ki1,n. Dalam hal m ≥
(n
n−1
)(n − 1), dimensi partisi dari
graf B(m;n) masih menjadi masalah terbuka.
47

Bab IV Dimensi Partisi Graf Multipartit
Graf bipartit digunakan dalam beberapa bidang aplikasi, seperti menentukan
jenis pekerjaan yang tepat bagi para pelamar sesuai dengan kualifikasi yang
dimilikinya, dan dalam penjejakan (tracking) sejumlah objek (misalkan kapal selam
dan peluru kendali) yang bergerak dalam suatu selang waktu tertentu) (Gross
dan Yellen, 2004). Dalam Teori Graf, Chartrand, Salehi dan Zhang (2000)
mengkaji graf bipartit untuk mendapatkan dimensi partisinya. Pada Subbab III.1
ini dibahas dimensi partisi graf multipartit dan merupakan perumuman dari hasil
dari Chartrand, Salehi dan Zhang (2000).
Selanjutnya, pada Subbab III.2 dan Subbab III.3 dikaji lebih lanjut dimensi dari graf
bipartit dan tripartit minus sisi matching, berturut-turut.
IV.1 Dimensi partisi graf multipartit lengkap
Suatu graf multipartit adalah sebuah graf yang himpunan simpulnya dapat
dipartisi ke dalam sejumlah subhimpunan simpul sedemikian hingga setiap sisinya
mempunyai simpul ujung pada subhimpunan simpul yang berbeda. Jika graf multi-
partit mempunyai r buah subhimpunan simpul, yaitu V1, V2, · · · , Vr, maka graf
tersebut disebut graf r-partit dan dinotasikan denganG((V1, V2, · · · , Vr), E). Setiap
sisi pada G((V1, V2, · · · , Vr), E) mempunyai simpul ujung di Vi dan Vj , dengan
i 6= j.
Pandang sebarang dua simpul berbeda u ∈ Vi dan v ∈ Vj , dengan 1 ≤ i 6=j ≤ r. Jika simpul u dan v selalu bertetangga maka graf r-partit disebut graf
r-partit lengkap dan disimbolkan dengan Kn1,n2,··· ,nr , dengan n1 = |V1|, n2 =
|V2|, · · · , nr = |Vr|. Sebuah simpul ke- j dalam subhimpunan simpul Vi disim-
bolkan dengan vi,j dengan 1 ≤ i ≤ r dan 1 ≤ j ≤ ni.
Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , St} untuk graf
Kn1,n2,··· ,nr . Untuk setiap subhimpunan simpul Vi didefinisikan sebuah himpunan
berindeks Ii sedemikian hingga j ∈ Ii jika dan hanya jika (Vi ∩ Sj) 6= ∅, dengan
1 ≤ i ≤ r dan 1 ≤ j ≤ t. Jika j ∈ Ii maka j merepresentasikan sebuah
simpul x ∈ Vi dan x ∈ Sj . Gambar IV.1.a adalah graf tripartit K4,4,4 dan Gambar
48

a24
a23
a22
a21
a31 a32 a33 a34
D
D
D
Da11
a12
a13
a14D
D
D
D
D D D D
V1 V2
V3
V1 V2 V3
D D D
D D D
D D D
D D D
S1
S2
S3
S4 S5 S6
(a) (b)
Gambar IV.1: a.Graf tripartit K4,4,4 dan b.Contoh himpunan ber-indeks Ii
IV.1.b contoh partisi graf K4,4,4. Himpunan indeks yang terkait dengan Gambar
IV.1 adalah I1 = {1, 2, 3, 4}, I2 = {1, 2, 3, 5} dan I3 = {1, 2, 3, 4}.
Lema IV.1. ♦ Jika Π adalah sebuah partisi pembeda untuk V (Kn1,n2,··· ,nr),
dimana n1 = n2 = · · · = nr = n, maka terdapat sebuah partisi pembeda Π′
sedemikian hingga:
a. Setiap himpunan berindeks mempunyai sebuah anggota yang termuat dalam
sebuah kelas partisi singleton, dan
b. Kardinalitas dari Π′ sama dengan kardinalitas dari Π.
Bukti. Misalkan Π adalah partisi pembeda sebarang untuk V (Kn1,n2,··· ,nr). Jika
setiap himpunan berindeks Ii, dengan 1 ≤ i ≤ r, telah memuat sebuah
anggota yang termuat ke dalam kelas partisi singleton, maka Π′ = Π. Jika
tidak, maka terdapat sedikitnya satu himpunan berindeks, katakan Ij , yang tidak
mempunyai kelas partisi singleton. Untuk setiap partisi berindeks Ij , tanpa mengu-
rangi keumuman, ambil anggota terakhir dari Ij , misalkan m. Karena Ij tidak
mempunyai kelas partisi singleton, maka setidaknya terdapat sebuah himpunan
berindeks lainnya yang memuat m, katakan Ik, dengan j 6= k. Gantilah m ∈ Ik
dengan sebuah nilai lain, misalkan o, sedemikian hingga o 6= m dan o /∈ Ik .
Prosedur tersebut diulang untuk setiap himpunan berindeks yang tidak mempunyai
kelas partisi singleton sampai terdapat kelas partisi singleton di setiap subhim-
punan simpul V1, V2, · · · , Vr. Partisi pembeda yang diperoleh setelah menjalankan
prosedur tersebut disimbolkan dengan Π′.
Karena kedua nilai m dan o pada prosedur penggantian di atas adalah anggota dari
I1 ∪ I2 ∪ · · · ∪ Ir, maka penggantian itu tidak mengubah banyak indeks dalam
I1 ∪ I2 ∪ · · · ∪ Ir. Karena banyak indeks menyatakan kardinalitas partisi pembeda,
49

maka |Π′| = |Π|.
Setiap simpul v ∈ Kn1,n2,··· ,nr mempunyai representasi terhadap Π′ yang unik,
karena mereka dibedakan oleh kelas partisi singleton. Dengan demikian, Π adalah
partisi pembeda. �
Akibat IV.1 berikut ini merupakan akibat dari Lema II.1.
Akibat IV.1. ♦ Misalkan Π adalah suatu partisi pembeda untuk V (Kn1,n2,··· ,nr)
dengan subhimpunan simpul V1, V2, · · · , Vr. Jika u, v ∈ Vi, dengan 1 ≤ i ≤ r
maka u dan v harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda di Π.
Bukti. Misalkan sebarang dua simpul berbeda u, v ∈ Vi, untuk suatu i pada
selang 1 ≤ i ≤ r. Karena jarak d(u,w) = d(v, w) untuk semua simpul
w ∈ V (Kn1,n2,··· ,nr) − {u, v}, maka berdasarkan Lema II.1, simpul u dan v harus
termuat dalam kelas partisi yang berbeda di Π. �
Dimensi partisi graf multipartit lengkap Kn1,n2,··· ,nr ditunjukkan oleh Teorema IV.1
berikut ini:
Teorema IV.1. ♦ Dimensi partisi graf lengkap r-partit Kn1,n2,··· ,nr adalah
pd(Kn1,n2,··· ,nr) =
{n+ r − 1 , jika ni = n untuk 1 ≤ i ≤ r,
n+ r − 2 , jika n = n1 ≥ n2 ≥ · · · > nr.
Bukti. Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , St} untuk
V (Kn1,n2,··· ,nr). Pandang dua kasus berikut:
Kasus 1: ni = n untuk 1 ≤ i ≤ r.
Lema IV.1 memastikan bahwa terdapat sebuah kelas partisi singleton pada setiap
himpunan berindeks. Oleh karena itu, pada setiap subhimpunan simpul Vi, dengan
1 ≤ i ≤ r, terdapat sebuah simpul yang termuat dalam kelas partisi singleton.
Berdasarkan Akibat IV.1, setiap simpul di Vi, dengan 1 ≤ i ≤ r, harus termuat
dalam kelas partisi yang berbeda di Π. Dengan demikian, partisi pembeda Π terdiri
atas r + n− 1 buah kelas partisi. Oleh karena itu, t ≥ r + n− 1.
50

Selanjutnya, definisikan partisi pembeda Π = {S1, S2, · · · , Sr+n−1} untuk
Kn1,n2,··· ,nr sedemikian hingga
Sj =
{{v1,j, v2,j, v3,j, · · · , vr,j} , jika 1 ≤ j ≤ n− 1,
{v(j−n+1),n} , jika n ≤ j ≤ r + n− 1.
Untuk memastikan bahwa Π adalah partisi pembeda, pandang sebarang dua simpul
berbeda u, v ∈ V (Kn1,n2,··· ,nr) sedemikian hingga u dan v dalam kelas partisi yang
sama. Jika u ∈ Vi dan v ∈ Vj , untuk 1 ≤ i 6= j ≤ r, maka d(u,X) = 2
dan d(v,X) = 1, dengan X adalah sebuah kelas partisi singleton yang memuat
satu simpul di Vi atau d(u, Y ) = 1 dan d(v, Y ) = 2, dengan Y adalah sebuah
kelas partisi singleton yang memuat satu simpul di Vj . Oleh karena itu, r(u|Π) 6=r(v|Π). Simpul dalam kelas partisi singleton dengan sendirinya mempunyai repre-
sentasi yang unik. Dengan demikian, Π adalah sebuah partisi pembeda untuk
V (Kn1,n2,··· ,nr).
Kasus 2: n = n1 ≥ n2 ≥ · · · > nr.
Kardinalitas maksimum Vi, dimana 1 ≤ i ≤ r, adalah n. Pandang subhimpunan
simpul V1 dan Vr, dengan kardilatas V1 maksimum dan kardinalitas Vr minimum.
Dengan Lema IV.1, terdapat kelas partisi singleton sebanyak r di Π. Dengan Akibat
IV.1, sisa simpul dalam himpunan berindeks I1 harus didistribusikan ke dalam n−1
buah kelas partisi yang berbeda. Oleh karena itu, partisi pembeda Π terdiri atas
r+n−1 buah kelas partisi. Selanjutnya, dengan mengganti Ir dengan I ′r ⊆ Ij−{c}untuk sebuah j ∈ {1, 2, · · · , r − 1}, dan c adalah anggota yang termuat dalam
sebuah kelas partisi singleton, seluruh simpul diKn1,n2,··· ,nr masih dapat dibedakan.
Dengan demikian, t ≥ (r + n− 1)− 1 = r + n− 2.
Untuk menunjukkan bahwa pd(Kn1,n2,··· ,nr) ≤ r+n−2, definisikan partisi pembeda
Π = {S1, S2, · · · , Sr+n−2} dengan Si = {vi,ni}, untuk i = 1, 2, · · · , r − 1; dan
S(r−1)+j ⊇ {v1,j} untuk j = 1, 2, · · · , n − 1 dan seluruh simpul lainnya dalam
V2∪V3∪ · · · ∪Vn didistribusikan ke dalam S(r−1)+j sedemikian hingga Akibat IV.1
terpenuhi. Dengan demikian, setiap simpul dalam setiap kelas partisi mempunyai
representasi berbeda terhadap Π karena simpul-simpul tersebut dibedakan oleh
kelas partisi singleton. �
51

DDDD
1 2 3 4
D DDD
2 3 41
DDDD
1 2 3 4
D DDD
2 3 41
D D
5 6
Gambar IV.2: a.Graf bipartit K4,4 minus perfect matching dan b.Graf bipartit K4,6
minus maximum matching
IV.2 Dimensi partisi graf bipartit minus matching
Sebuah graf bipartit lengkap dengan subhimpunan simpul V1 dan V2, dengan |V1| =m dan |V2| = n, disimbolkan dengan Km,n. Dimensi partisi dari graf bipartit telah
ditunjukkan oleh (Chartrand, Salehi dan Zhang, 2000) sebagaimana telah ditun-
jukkan dalam Teorema II.16 dan II.17. Pada subbab ini akan ditunjukkan dimensi
partisi graf bipartit minus sebuah matching.
Sebuah matching dalam grafG adalah subhimpunanM ⊆ E(G) sedemikian hingga
tidak ada dua sisi di M mempunyai titik ujung bersama. Perfect matching, disim-
bolkan dengan Mp adalah sebuah matching sedemikian hingga setiap simpul v ∈V (G) merupakan simpul ujung dari sisi-sisi matching. Matching dengan banyak
sisi terbesar pada sebuah graf G disebut maximum matching dan disimbolkan
dengan Mq. Misalkan V1 = {ai|i = 1, 2, · · · , n} dan V2 = {bi|i = 1, 2, · · · , n}adalah subhimpunan simpul graf bipartit Kn,n. Sebuah perfect matching dari graf
Kn,n adalah himpunan sisiMp sedemikian hinggaM = {aibi|i = 1, 2, · · · , n}. Sisi
putus-putus Gambar IV.2.a menunjukkan sebuah perfect matching Mp pada graf
bipartit K4,4 dan sisi putus-putus Gambar IV.2.b menunjukkan sebuah maximum
matching Mm pada graf bipartit K4,6.
Pandang sebuah graf bipartit minus sebuah perfect matching, yaitu G ∼= Kn,n−M .
Andaikan terdapat suatu partisi pembeda Π untuk V (G). Untuk setiap simpul v ∈V (G), notasi [v] dimaksudkan untuk menyatakan bahwa sebuah kelas partisi di Π
yang memuat simpul v. Dengan demikian, untuk dua simpul sebarang u, v ∈ V (G),
jika [u] = [v] maka simpul u dan v termuat dalam kelas partisi yang sama, katakan
u, v ∈ X dimana X ∈ Π.
Lema IV.2. ♦ Misalkan Kn,n adalah graf bipartit order 2n dengan dua subhim-
52

punan V1 dan V2. Misalkan simpul ai, aj ∈ V1 dan bi, bj ∈ V2, dengan 1 ≤ i 6= j ≤n. Jika [ai] = [aj], dimana 1 ≤ i 6= j ≤ n, maka [bi] 6= [bj].
Bukti. Misalkan [bi] = [bj]. Karena simpul bi dan bj termuat dalam kelas partisi
yang sama, katakan bi, bj ∈ X dengan X ∈ Π, maka d(ai, X) = d(aj, X) = 1.
Lebih jauh, d(ai, Y ) = d(aj, Y ) = 1 untuk semua kelas partisi Y ∈ Π. Dengan
demikian, r(ai|Π) = r(aj|Π), sebuah kontradiksi. �
Lema IV.3. ♦ Misalkan Kn,n adalah graf bipartit order 2n dengan dua subhim-
punan V1 dan V2. Misalkan simpul ai, aj, ak, al ∈ V1 dan bi, bj, bk, bl ∈ V2,
dengan 1 ≤ i 6= j 6= k 6= l ≤ n. Jika [ai] = [aj] dan [ak] = [al], dengan
1 ≤ i 6= j 6= k 6= l ≤ n, maka simpul bi, bj, bk dan bl harus termuat dalam kelas
partisi yang berbeda di Π.
Bukti. Misalkan terdapat sedikitnya dua simpul bi, bj, bk dan bl termuat dalam kelas
partisi yang sama. Tanpa kehilangan keumuman, misalkan [bj] = [bk] = X dengan
X ∈ Π. Oleh karena itu, d(bj, X) = d(bk, X) = 0. Selanjutnya, karena [ai] =
[aj], katakan [ai] = [aj] = Y dengan Y ∈ Π, maka d(bj, Y ) = d(bk, Y ) = 1.
Demikian pula halnya dengan d(bj, Z) = d(bk, Z) untuk sebuah kelas partisi Z di
Π sedemikian hingga X 6= Y 6= Z. Dengan demikian, r(bj|Π) = r(bk|Π), sebuah
kontradiksi. �
Teorema IV.2 berikut ini menunjukkan dimensi partisi sebuah graf bipartit minus
sebuah perfect matching.
Teorema IV.2. ♦ Misalkan Kn,n adalah graf bipartit order 2n dengan dua
subhimpunan V1 dan V2 dan Mp adalah sebuah perfect matching di Kn,n. Maka,
untuk n ≥ 3,
pd(Kn,n −Mp) =
{bn
2c+ 2 , jika n gasal,
bn2c+ 1 , jika n genap.
Bukti. Misalkan terdapat suatu partisi pembeda Π = {S1, S2,· · · , Sk} untuk
V (Kn,n −Mp) sedemikian hingga:
53

Untuk n gasal:
Sk =
{a1, a2, · · · , adn
2e} , jika k = 1,
{bdn2e, bdn
2e+1, · · · , bn} , jika k = 2,
{adn2e+k−2, bk−2} , jika 3 ≤ k ≤ bn
2c+ 2.
Untuk n genap:
Sk =
{a1, a2, · · · , an
2, bn
2, bn
2+1, · · · , bn} , jika k = 1,
{an} , jika k = 2,
{an2+k−2, bk−2} , jika 3 ≤ k ≤ bn
2c+ 1.
Untuk memastikan bahwa Π adalah partisi pembeda, pandang sebarang dua simpul
berbeda u, v ∈ V (Kn,n − Mp) sedemikian hingga u, v dalam kelas partisi yang
sama. Tinjau dua kasus berikut:
Kasus 1: n gasal
Jika u = ai dan v = aj sedemikian hingga u, v ∈ S1 maka u dan v dibedakan oleh
[bi] dan [bj]. Demikian pula jika u = bi dan v = bj sedemikian hingga u, v ∈ S2
maka u dan v dibedakan oleh [ai] dan [aj]. Selanjutnya, jika u = ai dan v = bj
sedemikian hingga u, v ∈ Sq, dimana 3 ≤ q ≤ bn2c+2 maka u dan v dibedakan oleh
S1 dan S2. Oleh karena itu, untuk setiap v ∈ V (Kn,n −Mp), simpul v mempunyai
representasi unik.
Kasus 2: n genap
Pandang sebarang dua simpul berbeda u dan v sedemikian hingga u, v ∈ S1. Jika
u = ai dan v = aj (atau u = bi dan v = bj) maka u dan v dibedakan oleh [bi] dan
[bj] atau [ai] dan [aj]. Jika u = ai dan v = bj maka u dan v dibedakan oleh kelas
partisi S2. Kelas partisi S2 adalah kelas partisi singleton, dengan demikian simpul
yang termuat dalam S2 mempunyai representasi yang unik. Selanjutnya, jika u = ai
dan v = bj sedemikian hingga u, v ∈ Sq, dimana 3 ≤ q ≤ bn2c + 1, maka u dan v
dibedakan oleh S2. Oleh karena itu, untuk setiap dua simpul u, v ∈ V (Kn,n−Mp),
maka r(u|Π) 6= r(u|Π).
Dengan demikian, pd(Kn,n −Mp) ≤ bn2c+ c, dengan c = 2 jika n gasal dan c = 1
jika n genap.
54

Selanjutnya, untuk menunjukkan batas bawah dimensi partisi untuk graf Kn,n −Mp, misalkan Π = {S1, S2, · · · , Sr} suatu partisi pembeda dari V (Kn,n − Mp).
Definisikan A1 = {S ∈ Π : |S ∩ V1| = 1} dan A2 = {S ∈ Π : |S ∩ V1| > 1}.Karena setiap simpul v ∈ V1 harus termuat dalam sebuah kelas partisi, maka simpul
v termuat dalam A1 atau A2. Sekarang, pandang tiga kasus berikut:
Kasus 1: |A1| ≥ bn2c+ 1
Jika n genap maka |Π| ≥ |A1| = bn2c + 1 dan oleh karena itu, Kasus 1 terpenuhi.
Sekarang, pandang n gasal untuk n ≥ 5. Maka, A2 harus mempunyai paling sedikit
satu anggota yang berbeda dengan seluruh anggota A1. Oleh karena itu, ketika
digabung dengan seluruh kelas partisi di A1 diperoleh |Π| ≥ |A1| + 1 = bn2c + 2.
Jika n = 3 maka |A1| haruslah bernilai tiga. Oleh karena itu, dalam kasus ini juga
diperoleh |Π| ≥ bn2c+ 2.
Kasus 2: |A1| = bn2c
Karena A2 mempunyai paling sedikit satu anggota, maka untuk kasus dengan n
genap diperoleh |Π| ≥ |A1|+|A2| = bn2c+1 dan, oleh karena itu, Kasus 2 terpenuhi.
Sekarang, misalkan n adalah sebuah bilangan gasal dan [a1], [a2], · · · , [abn2c]
anggota dari A1. Jika A2 mempunyai dua anggota maka |Π| ≥ bn2c + 2 dan,
oleh karena itu, Kasus 2 terpenuhi. Asumsikan A2 mempunyai satu anggota, dan
misalkan T ∈ A2. Perhatikan bahwa T = [abn2c+1] = {abn
2c+1, abn
2c+2, · · · , an}.
Sekarang, kami menunjukkan bahwa himpunan yang membentuk Π bukan hanya T
dan himpunan di A1. Asumsikan Π = A1 ∪ {T}. Misalkan K1 = {1, 2, · · · , bn2c}
dan K2 = {bn2c + 1, bn
2c + 2, · · · , n}. Berdasarkan Lema IV.2, [bi] 6= [bj]
untuk sebarang i, j ∈ K2 yang berbeda. Oleh karena itu, terdapat suatu bijeksi
f : K2 → K1 ∪ {bn2c + 1} sedemikian hingga [bx] = [af(x)] untuk setiap x ∈ K2.
Hal ini berarti terdapat satu simpul bj0 , untuk suatu j0 ∈ K2, yang harus termuat
dalam kelas partisi T . Oleh karena itu, r(bj0|Π) = r(aj0|Π), suatau kontradiksi,
karena terdapat dua simpul berjarak 1 ke seluruh himpunan kelas partisi yang lain
di Π. Dengan demikian, pd(G) ≥ bn2c+ c, dengan c = 2 jika n gasal dan c = 1 jika
n genap.
Kasus 3: 1 ≤ |A1| ≤ bn2c − 1
Banyaknya simpul yang tidak termuat dalam A1 paling sedikit sebesar bn2c + c,
dengan c = 2 jika n gasal dan c = 1 jika n genap. Simpul-simpul ini membentuk
kelas partisi tidak singleton ( di A2). Oleh karena itu, berdasarkan Lemma IV.3,
simpul yang bersesuaian di V2 haruslah termuat dalam kelas partisi yang berbeda.
55

Oleh karena itu, |Π| ≥ bn2c + c, dengan c = 2 jika n gasal dan c = 1 jika n
genap. �
Untuk n = 1 dan n = 2, graf Kn,n − Mp, yaitu graf K1,1 − Mp dan K2,2 −Mp merupakan graf tak terhubung. Dengan demikian, dimensi partisi kedua graf
tersebut tidak didefinisikan.
Sekarang, pandang sebuah graf bipartit Km,n, dengan m > n. Karena setiap sisi
pada Km,n mempunyai satu simpul ujung di ai ∈ V1 dan simpul ujung lainnya di
bj ∈ V2 untuk suatu i dan j pada selang tertutup 1 ≤ i ≤ m dan 1 ≤ j ≤ n, maka
maksimum matching Mq di Km,n mempunyai kardinalitas n. Tanpa kehilangan
keumuman, misalkan Mq = {aibi|ai ∈ V1, bi ∈ V2 dan 1 ≤ i ≤ n}.
Akibat IV.2 berikut ini merupakan akibat dari Lema II.1.
Akibat IV.2. ♦ Misalkan Π adalah suatu partisi pembeda untuk V (Km,n −Mq)
dengan kardinalitas subhimpunan simpul |V1| = m dan |V2| = n. Jika ai, aj ∈ V1,
dengan n+1 ≤ i 6= j ≤ m, maka ai dan aj harus termuat dalam kelas partisi yang
berbeda di Π.
Bukti. Misalkan ai, aj ∈ V1 sedemikian hingga n + 1 ≤ i 6= j ≤ m.
Karena d(ai, w) = d(aj, w) untuk semua simpul w ∈ V (Km,n) − {ai, aj}, maka
berdasarkan Lema II.1, simpul ai dan aj harus termuat dalam k