estimasi berbasis mcmc untuk returns volatilitydi pasar...

ESTIMASI BERBASIS MCMC UNTUK RETURNS VOLATILITY

DI PASAR VALAS INDONESIA MELALUI MODEL ARCH

BERDISTRIBUSI NORMAL DAN STUDENT-T

Oleh,

IMAM MALIK SAFRUDIN

NIM : 662011001

TUGAS AKHIR

Diajukan kepada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

Salatiga

2015

v

MOTTO

Esensi hidup adalah shalat dan bertemu dengan Allah SWT.

(sahabat saya, Mumun Majnun)

vi

PERSEMBAHAN

Dipersembahkan untuk

My Family

vii

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim,

Assalamualaikum wa Rahmatullah wa Barakatuh,

Penulis mengucapkan rasa syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan segala Rahmat

dan HidayahNya, sholawat serta salam semoga tercurahkan kepada junjungan Nabi besar

Muhammad SAW. Sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir (skripsi) sebagai syarat

menyelesaikan Studi Strata 1 (S1) di Program Studi Matematika pada Fakultas Sains dan

Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana.

Skripsi ini terdiri dari dua makalah. Makalah pertama berjudul “Estimasi Berbasis

MCMC untuk Returns Volatility di Pasar Valas Indonesia melalui Model ARCH” dan

makalah kedua berjudul “Estimasi MCMC untuk Return Volatility dalam Model ARCH

dengan Return Error berdistribusi Student-t” yang telah dipublikasikan dalam Seminar

Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema “Peran Matematika &

Pendidikan Matematika Abad 21” pada tanggal 9 Mei 2015 yang diselenggarakan oleh

Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Muhammadiyah Purworejo.

Penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dari berbagai pihak yang telah

memberikan dorongan kepada penulis baik itu berupa materil maupun spiritual. Untuk itu

dalam kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Dr. Suryasatriya Trihandaru, M.Sc.nat. selaku Dekan Fakultas Sains dan Matematika.

2. Dr. Bambang Susanto, MS selaku Ketua Program Studi Matematika.

3. Dra. Lilik Linawati, M.Kom. selaku Wali Studi yang selalu memberikan banyak

saran dan nasihat kepada penulis.

4. Didit Budi Nugroho, D.Sc. selaku pembimbing utama dan Dr. Adi Setiawan, M.Sc.

selaku pembimbing pendamping yang dengan sabar membimbing, mengarahkan dan

memberikan motivasi kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini sehingga

laporan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.

5. Dosen pengajar di Program Studi Matematika, Dr. Bambang Susanto, MS, Dra. Lilik

Linawati, M.Kom., Dr. Adi Setiawan, M.Sc, Tundjung Mahatma, M.Kom, Didit Budi

Nugroho, D.Sc., Dr. Hanna Arini Parhusip, M.Sc., Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si

yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama studi di FSM

UKSW serta Pak Edy sebagai Laboran yang telah memberikan bantuan kepada

penulis.

viii

6. Staf TU FSM: Mbak Eny, Bu Ketut dan Mas Basuki.

7. Family atas do’a yang telah diberikan.

8. Teman-teman BSM (Basecamp Samping Masjid): Aziz, Azhar dan Icol.

9. Teman seperjuangan Progdi Matematika 2011: Dewi, Daivi, Purwoto, Dwi, Titis,

Priska, dan Kevin.

Semoga Allah SWT memberikan balasan atas segala amal baik yang telah membantu penulis

dalam menyelesaikan skripsi.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh sebab itu

penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk penulis. Akhirnya

semoga Allah SWT meridhoi amal kita semua. Amin.

Salatiga, 17 Juni 2015

Penulis

ix

DAFTAR ISI

Lembar Pengesahan ......................................................................................................... ii

Lembar Pernyataan Keaslian ........................................................................................... iii

Lembar Pernyataan Bebas Royalty dan Publikasi ............................................................iv

Motto ................................................................................................................................. v

Persembahan .....................................................................................................................vi

Kata Pengantar ................................................................................................................ vii

Daftar Isi ...........................................................................................................................ix

Daftar Lampiran ................................................................................................................ x

Abstrak .............................................................................................................................xi

Pendahuluan ...................................................................................................................... 1

Makalah I: Estimasi Berbasis MCMC untuk Returns Volatility di Pasar Valas

Indonesia melalui Model ARCH

Makalah II: Estimasi MCMC untuk Return Volatility dalam Model ARCH dengan

Return Error Berdistribusi Student-t

Lampiran-lampiran

x

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1: Skema MCMC untuk model ARCH berdistribusi Student-t

Lampiran 2: Kode Matlab

Lampiran 3: Sertifikat Seminar

xi

ABSTRAK

Studi ini membangun suatu algoritma Markov chain Monte Carlo (MCMC) untuk

mengestimasi returns volatility dalam model ARCH dengan returns error berdistribusi

normal dan student-t. Metode Metropolis–Hastings digunakan dalam MCMC untuk

memperbarui nilai-nilai parameter model. Model dan algoritma diaplikasikan menggunakan

data harian kurs beli yen Jepang, dolar Amerika, dan euro Eropa terhadap rupiah Indonesia

pada periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang diambil dari laman Bank

Indonesia. Studi empiris menunjukkan bahwa metode yang dibangun sangat efisien dan

memberikan hasil estimasi yang serupa dengan hasil Matlab untuk kasus model berdistribusi

normal. Sementara itu untuk kasus model dengan returns error berdistribusi student-t

ditunjukkan adanya bukti sangat kuat untuk penggunaan distribusi student-t pada ketiga data

di atas.

Kata kunci: ARCH, distribusi normal, Student-t, kurs beli, MCMC, returns volatility

1

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Menurut Hady (seperti yang dirujuk dalam Nurjanah (2005)), pasar valuta asing dapat

diartikan sebagai suatu wadah atau sistem dimana perorangan, perusahaan, dan bank dapat

melakukan transaksi keuangan internasional dengan jalan melakukan pembelian atau

permintaan, penjualan dan penawaran. Dalam referensi keuangan ekonomi internasional,

valuta asing (foreign exchange atau disingkat forex) adalah mata uang asing atau alat

pembayaran lainnya yang didasarkan pada kurs resmi yang telah ditetapkan oleh bank sentral

(Khalwaty dalam Nurjanah (2005)). Sementara itu harga/nilai dimana mata uang suatu negara

dipertukarkan dengan mata uang negara lain disebut nilai tukar (kurs).

Pada umumnya, para pelaku ekonomi di pasar valuta asing dan pasar modal memerlukan

pengukuran volatiy harga aset (Aklimawati dan Wahyudi, 2013). Taksiran volatility

diperlukan dalam strategi keuangan, misalnya untuk penghitungan harga opsi (kontrak jual

beli aset). Secara khusus, volatility adalah akar kuadrat dari variansi (besaran yang

menunjukkan besarnya penyebaran data pada suatu kelompok data).

Kebanyakan studi keuangan melibatkan return (perubahan logaritma harga aset)

daripada harga aset. Campbell dkk. (seperti dirujuk dalam Tsay (2010)), memberikan dua

alasan mengapa menggunakan return. Salah satunya yaitu runtun return lebih mudah untuk

ditangani dari pada runtun harga, karena return memiliki sifat statistik yang lebih menarik.

Pemodelan volatility pada return aset diawali dengan klas autoregressive conditional

heteroscedasticity (ARCH) yang diperkenalkan oleh Engle (1982). Nastiti (2012) dan

Aklimawati–Wahyudi (2013) mendiskusikan volatility yang mengikuti model ARCH

berturut-turut pada saham dan komoditas kakao yang mengasumsikan returns error

berdistribusi normal dan model diselesaikan dengan metode pengali Lagrange. Dalam studi

ini akan difokuskan pada model volatility menggunakan ARCH model dengan

mengasumsikan bahwa returns error berdistribusi normal dan student-t. Selanjutnya model

akan diselesaikan dengan menggunakan metode Markov chain Monte Carlo (MCMC). Carlin

dan Chib (1995) menjelaskan bahwa metode MCMC dapat memudahkan pemodelan yang

cukup kompleks dalam analisis Bayes.

Studi empiris terhadap volatility dilakukan dengan menggunakan data kurs beli Euro

(EUR), Japanese Yen (JPY), dan US Dollar (USD) terhadap rupiah Indonesia (IDR) atas

periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang diambil dari laman Bank

Indonesia (BI).

2

2. Rumusan Masalah

Bagaimana menganalisis returns volatility dalam pasar valuta asing Indonesia dengan

menggunakan model ARCH.

3. Tujuan

Untuk mencapai analisis di atas, studi ini secara khusus bertujuan untuk:

(i) Menyajikan model ARCH untuk volatility dengan asset returns error berdistribusi

normal dan student-t.

(ii) Menyediakan algoritma MCMC untuk mengestimasi volatility dalam model ARCH.

(iii) Mendapatkan analisis volatility untuk kurs beli valuta asing terhadap IDR menggunakan

data nyata.

4. Batasan Masalah

Studi ini mempunyai batasan-batasan seperti berikut:

(i) Analisis difokuskan pada data kurs beli yen Jepang (JPY), Dolar Amerika (USD) dan

euro Eropa (EUR), dan terhadap rupiah periode 5 Januari 2009–31 Desember 2014 yang

diambil dari arsip Bank Indonesia (BI).

(ii) Penghitungan menggunakan alat bantu Matlab R2012a.

5. Hasil Penelitian

Hasil penelitian ini dituangkan dalam dua makalah yang telah dipublikasikan dalam

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema “Peran Matematika

& Pendidikan Matematika Abad 21” pada tanggal 9 Mei 2015 yang diselenggarakan oleh

Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Muhammadiyah Purworejo, dan termuat

dalam prosiding ber-ISSN 2459-962X Vol. 1 No. 1 2015. Kedua makalah tersebut berjudul:

1. “Estimasi Berbasis MCMC untuk Returns Volatility di Pasar Valas Indonesia melalui

Model ARCH”, halaman 2933.

2. “Estimasi MCMC untuk Return Volatility dalam Model ARCH dengan Return Error

Berdistribusi Student-t”, halaman 3439.

6. Kesimpulan

Berdasarkan bahasan dari kedua makalah dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. Algoritma MCMC yang dibangun menghasikan simulasi yang sangat efisien.

2. Hasil empiris menunjukkan bukti yang sangat kuat untuk penggunaan distribusi

Student-t pada ketiga data tersebut (JPY, USD dan EUR).

3

7. Hasil Review

Paper 1: Di halaman kedua kolom 1 baris ke-26 tertulis “=”, seharusnya “∝”.

Paper 1: Di halaman kedua kolom 2 baris ke-15 tertulis “𝜆”, seharusnya “𝜆𝑎”.

Paper 1 dan 2: Kata “return” seharusnya “returns”.

Paper 2: Di halaman kedua kolom 1 baris ke-15 tertulis “𝒛 = (𝑧, 𝑧2, … , 𝑧𝑇)”, seharusnya “𝒛 =(𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑇)”.

Paper 2: halaman kedua kolom 2 baris ke-20 tertulis “=”, seharusnya “∝”.

Paper 2: Ditambahkan daftar pustaka:

Safrudin, I., M., Nugroho, D., B., dan Setiawan, A. (2015). Estimasi Berbasis

MCMC untuk Returns Volatility di Pasar Valas Indonesia melalui Model ARCH,

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMP, 1(1),

2933.

Notasi:

𝑁 : Menyatakan distribusi normal

𝑁[𝑎,𝑏] : Menyatakan distribusi normal terpotong pada [a,b]

𝐼𝐺 : Menyatakan distribusi inverse gamma

𝐺 : Menyatakan distribusi gamma

Daftar Pustaka

Aklimawati, L. dan Wahyudi, T. 2013. Estimasi Volatilitas Return Harga Kakao

Menggunakan Model ARCH dan GARCH, Pelita Perkebunan 29 (2), pp. 142158.

Carlin, B. P., dan Chib, S. (1995). Bayesian model choice via Markov chain Monte Carlo

methods, Journal of The Royal Statistical Society, 57 (3), pp. 473–484.

Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates

of the variance of the united kingdom inflation. Econometrica, 50, pp. 987–1007.

Nastiti, K. L. A. dan Suharsono A. (2012). Analisis volatilitas saham perusahaan go public

dengan metode ARCHGARCH. Jurnal Sains dan Seni ITS, 1, (1), pp. D259D264.

Nurjanah, E. (2005). Pengaruh Nilai Tukar Rupiah atas Dollar AS Terhadap Tingkat Inflasi

di Indonesia pada Periode 1999-2004 (Data Diperoleh Pada Bank Indonesia). Skripsi,

UNIKOM, Bandung.

Tsay, R. S., (2010). Analysis of financial time series. John Willey and Sons, Inc. New York.

MAKALAH 1

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015

langkah (Nugroho, 2014), yaitu

membangun rantai Markov dan menggunakan

metode Monte Carlo untuk meringkas

distribusi posterior pada parameter sebagai

keluaran MCMC.

Dimisalkan 𝑹 = (𝑅1, 𝑅2, … , 𝑅𝑇) dan 𝝈 =(𝜎1, 𝜎2, … , 𝜎𝑇). Berdasarkan Teorema Bayes

(lihat Koop dkk. (2007)), distribusi gabungan

untuk model di atas yaitu

𝑝(𝑎, 𝑏, 𝝈|𝑹) = 𝑝(𝑹|𝝈) ∙ 𝑝(𝑎, 𝑏), dimana 𝑝(𝑹|𝝈) adalah fungsi likelihood dan

𝑝(𝑎, 𝑏) adalah distribusi prior pada (𝑎, 𝑏).

Untuk memenuhi kendala parameter a dan b,

ditetapkan prior seperti berikut:

𝑎~exp(𝜆) dan 𝑏~𝐵𝑒𝑡𝑎(𝛼, 𝛽), maka dipunyai distribusi gabungan yaitu

𝑝(𝑎, 𝑏, 𝝈|𝑹)

∝ ∏ 𝜎𝑡−1exp {−

𝑅𝑡2

2𝜎𝑡2}

𝑇

𝑡=1∙ exp{−𝜆𝑎}

∙ 𝑏𝛼−1(1 − 𝑏)𝛽−1

= (1 − 𝑏

𝑎)

12

exp {−(1 − 𝑏)𝑅1

2

2𝑎}

∏ (𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 ) −

12 ∙ exp {−

𝑅𝑡2

2(𝑎+𝑏𝑅𝑡−12 )

}𝑇

𝑡=2

∙ exp{−𝜆𝑎} ∙ 𝑏𝛼−1(1 − 𝑏)𝛽−1. atau dengan pengambilan logaritma natural

diperoleh

ln 𝑝(𝑎, 𝑏|𝑹)

∝1

2ln

1 − 𝑏

𝑎−

(1 − 𝑏)𝑅12

2𝑎

−1

2∑ ln(𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−1

2 )𝑇

𝑡=2

−1

2∑

𝑅𝑡2

𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12

𝑇

𝑡=2− 𝜆𝑎

+(𝛼 − 1) ln 𝑏 + (𝛽 − 1) ln(1 − 𝑏). (1)

Pembangkitan nilai parameter a

Berdasarkan persamaan (1), log distribusi

posterior untuk a dinyatakan oleh

𝐹(𝑎) = ln 𝑝(𝑎|𝑏, 𝑹)

∝ −1

2ln 𝑎 −

(1 − 𝑏)𝑅12

2𝑎

−1


2 )𝑇

𝑡=2

−1

2∑

𝑅𝑡2


𝑇

𝑡=2− 𝜆.

Masalah yang muncul di sini yaitu

posterior tersebut tidak mengikuti suatu

distribusi tertentu. Karena itu a dibangkitkan

menggunakan metode Independence Chain

Metropolis–Hastings (IC-MH) yang

diperkenalkan oleh Tierney (1994) seperti

berikut:

Langkah 1: Menentukan proposal untuk a,

yaitu 𝑎∗~𝑁(0,1](𝜇𝑎∗ , 𝑉𝑎∗)

Langkah 2: Menghitung rasio

𝑟(𝑎, 𝑎∗) =𝑝(𝑎∗|𝑏, 𝑹)

𝑝(𝑎|𝑏, 𝑹).

Langkah 3: Membangkitkan 𝑢 dari distribusi

seragam [0,1]. Langkah 4: Jika 𝑢 < min{1, 𝑟(𝑎, 𝑎∗)}, maka

proposal diterima, jika tidak, maka proposal

ditolak.

Rata-rata 𝜇𝑎∗ dan variansi 𝑉𝑎∗ dicari

dengan menggunakan metode yang didasarkan

pada tingkah laku distribusi di sekitar modus

(lihat Albert (2009)). Modus �̂� dari 𝐹(𝑎),

artinya 𝐹′(�̂�) = 0, dicari menggunakan

metode bagi dua. Selanjutnya diambil 𝜇𝑎∗ = �̂�

dan 𝑉𝑎∗ = −[𝐹′′(�̂�)]−1. Masalahnya adalah

𝐹′′(�̂�) bisa bernilai positif, karena itu diambil

𝑉𝑎∗ = −[𝐷𝑎(�̂�)]−1 dengan

𝐷𝑎(�̂�) = min {−0.0001, 𝐹′′(�̂�) }.

Pembangkitan nilai parameter b


posterior untuk b dinyatakan oleh

𝐹(𝑏) = ln 𝑝(𝑏|𝑎, 𝑹)

∝ −1

2ln(1 − 𝑏) −

(1 − 𝑏)𝑅12

2𝑎

−1


2 )𝑇

𝑡=2

−1

2∑

𝑅𝑡2


𝑇

𝑡=2

+(𝛼 − 1) ln 𝑏 + (𝛽 − 1) ln(1 − 𝑏), yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu.

Karena itu nilai parameter b dibangkitkan

menggunakan cara yang sama seperti pada

pembangkitan nilai parameter a.

Metode MCMC mensimulasi suatu nilai

baru untuk setiap parameter dari distribusi

posteriornya dengan mengasumsikan bahwa

nilai saat ini untuk parameter lain adalah

benar. Sacara ringkas skema MCMC yaitu

(i) Inisialisasi a dan b.

(ii) Membangkitkan sampel a dengan metode

IC-MH.

(iii) Membangkitkan sampel b dengan metode

IC-MH.

(iv) Menghitung variansi (volatility kuadrat):

𝜎𝑡2 = 𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−1

2 .


1. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Data Pengamatan

Selanjutnya model dan metode di atas

diaplikasikan pada data kurs beli Euro (EUR),

Japanese Yen (JPY), dan US Dollar (USD)

terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 2009

sampai dengan 31 Desember 2014 yang terdiri

dari 1472 observasi. Dalam penelitian ini

penghitungan dilakukan dengan alat bantu

software Matlab 2012a. Gambar 1

menampilkan plot runtun waktu untuk returns

dan Tabel 1 menyajikan statistik deskriptif.

Gambar 1. Plot runtun waktu returns harian untuk kurs

beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah dari Januari

2009 sampai Desember 2014.

Tabel 1. Statistik deskriptif dari returns harian untuk kurs

beli JPY, USD, dan EUR terhadar Rupiah dari Januari


Mata

Uang Mean SD

JB Test

(normali

tas)

LB Q test

(auto

korelasi)

JPY – 0.004 0.363 tidak

normal

tidak ada

korelasi

USD – 0.004 0.215 tidak

normal ada korelasi

EUR 0.000 0.294 tidak

normal

tidak ada

korelasi

4.2 Pengaturan MCMC

Algoritma MCMC dijalankan dengan

menggunakan 15000 iterasi, dimana 5000

iterasi pertama dihilangkan dan sisanya, N =

10000, disimpan untuk menghitug rata-rata

posterior, simpangan baku, interval Bayes,

numerical standard error (NSE), dan diagnosa

konvergensi. Di sini, dipilih interval highest

posterior density (HPD) yang disajikan oleh

Chen dan Shao (1999) sebagai pendekatan

untuk interval Bayes. Diagnosa konvergensi

dilakukan dengan menghitung integrated

autocorrelation time (IACT), lihat Geweke

(2005), untuk mengetahui berapa banyak

sampel yang harus dibangkitkan untuk

mendapatkan sampel yang saling bebas

(seberapa cepat konvergensi simulasi).

Sementara itu konvergensi rantai Markov

diperiksa berdasarkan pada uji z-score Geweke

(1992) dan NSE dihitung menggunakan

metode yang disajikan oleh Geweke (2005).

Dalam aplikasi algoritma MCMC, model

dilengkapi dengan prior dimana 𝜆 = 1, 𝛼 =2.5, dan 𝛽 = 3. Untuk nilai-nilai awal

parameter ditetapkan 𝑎0 = 𝑏0 = 0.1.

4.3 Estimasi Parameter

Tabel 2, 3 dan 4 meringkas hasil simulasi

posterior parameter dalam model ARCH(1)

berturut-turut untuk data kurs beli JPY, USD,

dan EUR terhadap Rupiah. p-value yang

berasosiasi dengan Geweke’s convergence

diagnostic (G-CD) mengindikasikan bahwa

semua rantai Markov sudah konvergen. Nilai-

nilai IACT menunjukkan bahwa metode IC-

MH adalah sangat efisien.

Tabel 2. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data

kurs beli JPY terhadap Rupiah. LB dan UB menyatakan

berturut-turut batas bawah dan batas atas interval HPD 95%.

Parameter a b

Matlab 0.0994 0.2619

Mean 0.1022 0.2548

SD 0.0050 0.0464

LB 0.0928 0.1648

UB 0.1121 0.3446

IACT 1.4620 1.2613

NSE 0.0000 0.0005

G-CD 0.0036 0.0648

p-value 0.9971 0.9484

CPU time (detik): 131.14


kurs beli USD terhadap Rupiah.

Parameter a b

Matlab 0.0237 0.6532

Mean 0.0244 0.6255

SD 0.0012 0.0682

LB 0.0220 0.4903

UB 0.0267 0.7547

IACT 1.0000 1.0000

0 500 1000 1500-2

0

2JPY

kurs

beli

0 500 1000 1500-2

0

2USD

kurs

beli

0 500 1000 1500-2

0

2EUR

waktu

kurs

beli


NSE 0.0000 0.0006

G-CD – 0.0036 – 0.0260

p-value 0.9971 0.9792


Tabel 4. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk

data kurs beli EUR terhadap Rupiah

Parameter a B

Matlab 0.0704 0.1878

Mean 0.0713 0.1900

SD 0.0030 0.0372

LB 0.0650 0.1186

UB 0.0771 0.2630

IACT 1.0000 1.0000

NSE 0.0000 0.0004

G-CD – 0.0159 0.0047

p-value 0.9873 0.9962


Plot sampel posterior dan histogram

distribusi posterior parameter-parameter a dan

b ditampilkan berturut-turut pada Gambar 2

dan Gambar 3. Plot sampel mengindikasikan

bahwa sampel berfluktuasi disekitar rata-rata

posterior, yang berarti bahwa sampel telah

bercampur dengan baik (good mixing).

Gambar 2. Plot sampel untuk parameter a dan b pada

model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD

(tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah dari Januari


Gambar 3. Histogram distribusi posterior parameter a

dan b pada model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY

(atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah

dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

Terkait dengan estimasi parameter, hasil

menunjukkan bahwa nilai estimasi a dan b

serupa dengan hasil yang diperoleh dari

penggunaan fungsi garch(p,q) di Matlab. Rata-

rata posterior untuk variansi (volatility

kuadrat) returns disajikan dalam Gambar 4.

Diperoleh bahwa variansi untuk returns kurs

beli JPY, USD, dan EUR terhadap rupiah

berturut-turut yaitu 0.102–0.984, 0.024–1.080,

dan 0.071–0.430, dimana rata-ratanya

berturut-turut yaitu 0.136, 0.053, 0.088. Nilai

variansi tertinggi terjadi pada periode April

2013 untuk JPY, Februari 2009 untuk USD,

dan September 2011 untuk EUR.

Gambar 4. Plot runtun waktu variansi untuk returns kurs

beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

Jadi, model volatility untuk returns kurs

beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah

berturut-turut:

𝜎𝑡2 = 0.1022 + 0.2548𝑅𝑡−1

2 ,

𝜎𝑡2 = 0.0244 + 0.6255𝑅𝑡−1

2 ,

𝜎𝑡2 = 0.0713 + 0.1900𝑅𝑡−1

2 .

0 5000 10000

0.08

0.1

0.12

a

0 5000 10000

0.2

0.4

b

0 5000 10000

0.02

0.025

0.03

0 5000 10000

0.5

1

0 5000 100000.06

0.07

0.08

0 5000 100000

0.2

0.4

0.05 0.1 0.150

500

1000

1500a

0 0.2 0.4 0.6 0.80

500

1000

1500b

0.015 0.02 0.025 0.030

500

1000

1500

0.2 0.4 0.6 0.8 10

500

1000

0.06 0.07 0.08 0.090

500

1000

0 0.1 0.2 0.3 0.40

500

1000

1500

0 500 1000 15000

0.5

1JPY

t2

0 500 1000 15000

1

2USD

t2

0 500 1000 15000

0.5EUR

waktu

t2


2. KESIMPULAN

Studi ini menyajikan model ARCH(1)

untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR

terhadap Rupiah. Algoritma MCMC yang

efisien dibangun untuk membangkitkan

sampel dari distribusi posterior model. Hasil

empiris menunjukkan bahwa rata-rata

volatility untuk returns kurs beli JPY adalah

yang tertinggi.

Model yang disajikan dalam studi ini bisa

diperluas dengan memperhatikan distribusi tak

normal untuk returns error. Selain itu, model

bisa diperluas ke model GARCH.

3. REFERENSI

1. Albert, J. (2009). Bayesian computation

with R, 2nd ed., Springer.

2. Carlin, B. P., dan Chib, S. (1995).

Bayesian model choice via Markov

chain Monte Carlo methods, Journal of

The Royal Statistical Society, 57 (3),

473–484.

3. Casella, G. dan Berger R., L. (2002).

Statistical inference, Thomson

Learning, Duxbury.

4. Chen, M. H. dan Shao, Q. M. (1999).

Monte Carlo estimation of Bayesian

credible and HPD

intervals. Journal of Computational and

Graphical Statistics, 8, 69–92.

5. Engle, R. F. (1982). Autoregressive

conditional heteroskedasticity with

estimates

of the variance of the united kingdom

inflation. Econometrica, 50, 987–1007.

6. Geweke, J. (1992). Evaluating the

accuracy of sampling-based approaches

to the calculation of posterior moments,

Bayesian Statistics 4 (eds. J. M.

Bernardo, J. O. Berger, A. P. Dawid dan

A. F. M. Smith), 169–194.

7. Geweke, J. (2005). Contemporary

Bayesian econometrics and statistics.

John Wiley & Sons.

8. Jones, C. P., and Wilson, J. W. (1989).

Is stock price volatility increasing?,

Financial Analysts Journal, 45 (6), 20–

26.

9. Koop. G., Poirier, D. J. dan Tobias, J. L.

(2007). Bayesian econometri methods.

Cambridge University Press, New York.

10. Muklis, I. (2011). Analisis volatilitas

nilai tukar mata uang Rupiah terhadap

dolar. Journal of Indonesian Apllied

Economics, 5 (2), 172–182.

11. Nastiti, K. L. A. dan Suharsono A.

(2012). Analisis volatilitas saham

perusahaa go public dengan metode

ARCHGARCH. Jurnal Sains dan Seni

ITS, 1, (1), D259D264.

12. Nugroho, D. B. (2014). Realized

stocastic volatility model using

generalized student’s t-error

distributions and power

transformations, Dissertation. Kwansei

Gakuin University, Japan.

13. Tierney, L. (1994). Markov chain for

exploring posterior distributions.

Annals of Statistics,

22 (4), 1701–1762. 14. Tsay, R. S., (2010). Analysis of financial

time series. John Willey and Sons, Inc.

New York.

MAKALAH 2


𝑝(𝑎, 𝑏, 𝑣, 𝒛, 𝝈|𝑹)

= 𝑝(𝑹|𝒛, 𝝈) ∙ 𝑝(𝒛|𝑣) ∙ 𝑝(𝑎, 𝑏, 𝑣), dimana 𝑝(𝑹|𝒛, 𝝈) adalah fungsi likelihood dan

𝑝(𝑎, 𝑏, 𝑣) adalah distribusi prior pada (𝑎, 𝑏, 𝑣).

Selanjutnya ditetapkan prior seperti berikut:

𝑎~exp(𝜆), 𝑏~𝐵𝑒𝑡𝑎(𝛼𝑏, 𝛽𝑏), 𝑣 = 𝐺(𝛼𝜈 , 𝛽𝜈), dimana prior (a,b) tersebut dipilih untuk

memenuhi kendala-kendala model. Sekarang

dipunyai distribusi gabungan yaitu

𝑝(𝑎, 𝑏, 𝑣, 𝒛|𝑹)

∝ (1−𝑏

𝑎)

12

𝑧1

−12 exp {−

(1−𝑏)𝑅12

2𝑎𝑧1}

∙ (𝑣

2)

𝑣𝑇2

[Γ (𝑣

2)]

−𝑇

∏ (𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 ) −

12𝑧𝑡

−12

𝑇

𝑡=2

exp {−𝑅𝑡

2

2(𝑎+𝑏𝑅𝑡−12 )𝑧𝑡

}

∏ 𝑧𝑡−

𝑣2−1

𝑇

𝑡=1

exp (−𝑣

2𝑧𝑡) ∙ exp{−𝜆𝑎}

∙ 𝑏𝛼−1(1 − 𝑏)𝛽−1 ∙ 𝑣𝛼𝑣−1 exp(−𝛽𝑣𝑣). atau dengan pengambilan logaritma natural

diperoleh

ln 𝑝(𝑎, 𝑏, 𝜈, 𝒛|𝑹)

∝1

2ln

1 − 𝑏

𝑎−

1

2ln(𝑧1) −

(1 − 𝑏)𝑅12

2𝑎𝑧1

+𝑣𝑇

2ln (

𝑣

2) − 𝑇 ln (Γ (

𝑣

2))

−1


2 )𝑇

𝑡=2

−1

2∑ ln(𝑧𝑡)

𝑇

𝑡=2

−1

2∑

𝑅𝑡2

(𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 )𝑧𝑡

𝑇

𝑡=2

− (𝑣

2+ 1) ∑ ln(𝑧𝑡)

𝑇

𝑡=1

−𝑣

2∑ 𝑧𝑡

−1

𝑇

𝑡=1

− 𝜆𝑎

+(𝛼𝑏 − 1) ln 𝑏 + (𝛽𝑏 − 1) ln(1 − 𝑏)

+(𝛼𝑣 − 1) ln 𝑣 − 𝛽𝑣𝑣. (1)

Pembangkitan parameter a


posterior untuk a dinyatakan oleh

𝐹(𝑎) = ln 𝑝(𝑎|𝑏, 𝒛, 𝑹)

−1

2ln 𝑎 −

(1 − 𝑏)𝑅12

2𝑎𝑧1

−1


2 )𝑇

𝑡=2

−1

2∑

𝑅𝑡2


𝑇

𝑡=2− 𝜆𝑎

Masalah yang muncul di sini yaitu posterior

tersebut tidak mengikuti suatu distribusi

tertentu. Oleh karena itu, a dibangkitkan

menggunakan metode Independence Chain

Metropolis–Hastings (IC-MH) yang

diperkenalkan oleh Tierney (1994) seperti

berikut:

Langkah 1: Menentukan proposal untuk a, yaitu

𝑎∗~𝑁(0,1](𝜇𝑎∗ , 𝑉𝑎∗)

Langkah 2: Menghitung rasio

𝑟(𝑎, 𝑎∗) =𝑝(𝑎∗|𝑏, 𝑹)

𝑝(𝑎|𝑏, 𝑹).

Langkah 3: Membangkitkan 𝑢 dari distribusi

seragam [0,1]. Langkah 4: Jika 𝑢 < min{1, 𝑟(𝑎, 𝑎∗)}, maka

proposal diterima, jika tidak, maka proposal

ditolak.

Rata-rata 𝜇𝑎∗ dan variansi 𝑉𝑎∗ dicari dengan

menggunakan metode yang didasarkan pada

tingkah laku distribusi di sekitar modus (lihat

Albert (2009)). Modus �̂� dari 𝐹(𝑎), artinya

𝐹′(�̂�) = 0, dicari menggunakan metode bagi

dua. Selanjutnya diambil 𝜇𝑎∗ = �̂� dan 𝑉𝑎∗ =−[𝐹′′(�̂�)]−1. Masalahnya adalah 𝐹′′(�̂�) bisa

bernilai positif, karena itu diambil 𝑉𝑎∗ =−[𝐷𝑎(�̂�)]−1 dengan

𝐷𝑎(�̂�) = min {−0.0001, 𝐹′′(�̂�) }.

Pembangkitan parameter b


posterior untuk b dinyatakan oleh

𝐹(𝑏) = ln 𝑝(𝑏|𝑎, 𝒛, 𝑹)

∝1

2ln(1 − 𝑏) −

(1 − 𝑏)𝑅12

2𝑎𝑧1

−1


2 )𝑇

𝑡=2

−1

2∑

𝑅𝑡2


𝑇

𝑡=2

+(𝛼𝑏 − 1) ln 𝑏 + (𝛽𝑏 − 1) ln(1 − 𝑏), yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu.

Karena itu nilai parameter b dibangkitkan


pembangkitan parameter a.

Pembangkitan nilai parameter 𝑣


posterior untuk 𝑣 dinyatakan oleh

𝐹(𝑣) = ln 𝑝(𝜈|𝑎, 𝑏, 𝒛, 𝑹)

∝𝑣𝑇

2ln (

𝑣

2) − 𝑇 ln (Γ (

𝑣

2))

−𝑣

2∑[ln(𝑧𝑡) + 𝑧𝑡

−1]

𝑇

𝑡=1

+(𝛼𝑣 − 1) ln 𝑣 − 𝛽𝑣𝑣,


yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu.

Oleh karena itu, parameter 𝑣 dibangkitkan


pembangkitan parameter a, dimana proposalnya yaitu 𝑣∗~𝑁[3,40](𝜇𝜈∗ , 𝑉𝑣∗).

Pembangkitan nilai vektor parameter z

Berdasarkan persamaan (1), distribusi

posterior untuk z dinyatakan oleh

𝑝(𝒛|𝑎, 𝑏, 𝑣, 𝑹)

∝ 𝑧1−

𝑣+12 −1 exp (−

(1 − 𝑏)𝑅12 + 𝑎𝑣

2𝑎𝑧1)

∏ 𝑧𝑡

−𝑣+1

2 −1exp {−

𝑅𝑡2 + (𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−1

2 )𝑣

2(𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 )𝑧𝑡

}𝑇

𝑡=2.

Dalam kasus ini, 𝒛 bisa dibangkitkan secara

langsung dari distribusi invers gamma, yaitu

𝑧1~𝐼𝐺 (𝑣 + 1

2,(1 − 𝑏)𝑅1

2 + 𝑎𝑣

2𝑎),

𝑧𝑡~𝐼𝐺 (𝑣 + 1

2,𝑅𝑡

2 + (𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 )𝑣

2(𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 )

),

untuk 𝑡 = 2,3 … , 𝑇.

Metode MCMC mensimulasi suatu nilai

baru untuk setiap parameter dari distribusi

posteriornya dengan mengasumsikan bahwa

nilai saat ini untuk parameter lain adalah benar.

Sacara ringkas skema MCMC untuk model

dalam studi ini yaitu

(i) Inisialisasi a, b, dan 𝑣.

(ii) Membangkitkan sampel z secara langsung.

(iii) Membangkitkan sampel 𝑣 dengan metode

IC-MH.

(iv) Membangkitkan sampel a dengan metode

IC-MH.

(v) Membangkitkan sampel b dengan metode

IC-MH.

(vi) Menghitung variansi (volatility kuadrat):

𝜎𝑡2 = 𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−1

2 .

1. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Data Pengamatan

Selanjutnya model dan metode di atas

diaplikasikan pada data kurs beli Euro (EUR),

Japanese Yen (JPY), dan US Dollar (USD)

terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 2009

sampai dengan 31 Desember 2014 yang terdiri

dari 1472 observasi. Dalam penelitian ini

penghitungan dilakukan dengan alat bantu

software Matlab 2012a. Lihat Safrudin dkk.

(2015) untuk plot runtun waktu untuk returns

dan statistik deskriptif.

4.2 Pengaturan MCMC

Algoritma MCMC dijalankan dengan

menggunakan 15000 iterasi, dimana 5000

iterasi pertama dihilangkan dan sisanya, N =

10000, disimpan untuk menghitug rata-rata

posterior, simpangan baku, interval Bayes,

numerical standard error (NSE), dan diagnosa

konvergensi. Di sini, dipilih interval highest

posterior density (HPD) yang disajikan oleh

Chen dan Shao (1999) sebagai pendekatan

untuk interval Bayes. Diagnosa konvergensi

dilakukan dengan menghitung integrated

autocorrelation time (IACT), lihat Geweke

(2005), untuk mengetahui berapa banyak

sampel yang harus dibangkitkan untuk

mendapatkan sampel yang saling bebas

(seberapa cepat konvergensi simulasi).

Sementara itu konvergensi rantai Markov

diperiksa berdasarkan pada uji z-score Geweke

(1992) dan NSE dihitung menggunakan metode

yang disajikan oleh Geweke (2005).

Dalam aplikasi algoritma MCMC, model

dilengkapi dengan prior dimana 𝜆 = 1, 𝛼𝑏 =2.5, 𝛽𝑏 = 3, 𝛼𝑣 = 16 dan 𝛽𝑣 = 0.8. Untuk

nilai-nilai awal parameter ditetapkan 𝑎0 =𝑏0 = 0.1 dan v = 20.

4.3 Estimasi Parameter

Tabel 1, 2 dan 3 meringkas hasil simulasi

posterior parameter dalam model ARCH(1),

dimana returns error berdistribusi Student-t,

berturut-turut untuk data kurs beli JPY, USD,

dan EUR terhadap IDR. p-value yang

berasosiasi dengan Geweke’s convergence

diagnostic (G-CD) mengindikasikan bahwa

semua rantai Markov sudah konvergen. Nilai-

nilai IACT menunjukkan bahwa metode IC-

MH adalah sangat efisien.

Tabel 1. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli JPY terhadap IDR. LB dan UB menyatakan

berturut-turut batas bawah dan batas atas interval HPD

95%.

Parameter a b v

Mean 0.0547 0.2180 5.1708

SD 0.0030 0.0414 0.5779

LB 0.0495 0.1386 4.0913

UB 0.0598 0.2998 6.3289

IACT 8.1819 5.9936 22.9946


NSE 0.0000 0.0009 0.0233

G-CD – 0.0063 0.0686 0.1160

p-value 0.9949 0.9453 0.9076



kurs beli USD terhadap IDR. Parameter a b v

Mean 0.0078 0.3809 3.1140

SD 0.0004 0.0497 0.2386

LB 0.0069 0.2882 2.6469

UB 0.0087 0.4832 3.5717

IACT 1.0000 5.3140 10.0292

NSE 0.0000 0.0011 0.0070

G-CD – 0.0059 – 0.0003 – 0.1576

p-value 0.9953 0.9998 0.8747



kurs beli EUR terhadap IDR. Parameter A b v

Mean 0.0546 0.1612 10.4858

SD 0.0026 0.0353 1.6553

LB 0.0502 0.0958 7.6162

UB 0.0595 0.2339 13.9917

IACT 12.2060 5.2695 66.3636

NSE 0.0000 0.0007 0.0799

G-CD 0.0045 0.0408 0.3283

p-value 0.9964 0.9674 0.7427


Plot sampel posterior dan histogram

distribusi posterior parameter-parameter a dan

b ditampilkan berturut-turut pada Gambar 1 dan

Gambar 2. Plot sampel mengindikasikan bahwa

sampel berfluktuasi disekitar rata-rata

posterior, yang berarti bahwa sampel telah

bercampur dengan baik (good mixing).

Gambar 1. Plot sampel untuk parameter a, b, dan v pada

model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD

(tengah), dan EUR (bawah) terhadap IDR dari Januari


Gambar 2. Histogram distribusi posterior parameter a, b,

dan v pada model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY

(atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah

dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

Penyimpangan returns dari asumsi

normalitas dinyatakan oleh 𝑣. Derajat

kebebasan 𝑣 mengambil nilai dari 4 sampai 7

untuk JPY, dari sampai 4 untuk USD, dan dari

7 sampai 14 untuk EUR, mengindikasikan bukti

kuat adanya karakteristik distribusi Student-t

pada ketiga data pengamatan. Sementara itu,

dalam kasus data kurs beli JPY dan EUR,

estimasi parameter a dan b adalah serupa

dengan estimasi dari ARCH(1) yang

berdistribusi normal di Safrudin dkk. (2015).

Terkait dengan volatility, rata-rata posterior

untuk variansi (volatility kuadrat) returns

disajikan dalam Gambar 3. Diperoleh bahwa

variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan

EUR terhadap IDR berturut-turut yaitu dari

0.0550 sampai 0.8084, dari 0.0078 sampai

0.6505, dan dari 0.0546 sampai 0.3584, dimana

rata-ratanya berturut-turut yaitu 0.0835,

0.0254, 0.0686. Nilai variansi tertinggi terjadi

pada periode September 2013 untuk JPY,

Februari 2009 untuk USD, dan September 2011

untuk EUR. Dibandingkan dengan hasil di

Safrudin dkk. (2015), pada data JPY

menunjukkan perbedaan periode untuk

variansi tertinggi.

Jadi, model volatility untuk returns kurs beli

JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah berturut-

turut:

𝜎𝑡2 = 0.0547 + 0.2180𝑅𝑡−1

2 ,

𝜎𝑡2 = 0.0078 + 0.3809𝑅𝑡−1

2 ,

𝜎𝑡2 = 0.0546 + 0.1612𝑅𝑡−1

2 .

0 5000 10000

0.04

0.06

0.08a

0 5000 100000

0.5b

0 5000 10000

4

6

8

0 5000 10000

6

8

10x 10

-3

0 5000 10000

0.2

0.4

0.6

0 5000 100002

3

4

0 5000 10000

0.04

0.06

0.08

0 5000 100000

0.2

0 5000 10000

5

10

15

20


Gambar 3. Plot runtun waktu variansi untuk returns kurs

beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

2. KESIMPULAN

Studi ini menyajikan model ARCH(1)

dengan returns error berdistribusi Student-t

untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR

terhadap IDR. Algoritma MCMC yang efisien

dibangun untuk membangkitkan sampel dari

distribusi posterior model. Hasil empiris

menunjukkan bukti sangat kuat untuk

penggunaan distribusi Student-t pada ketiga

data tersebut.

Model yang disajikan dalam studi ini bisa

diperluas dengan memperhatikan distribusi

Student-t yang umum, seperti non-central

Student-t dan generalized skew Student-t yang

mengakomodasi heavy tails dan skewness.

Lebih lanjut model bisa diperluas ke model

GARCH.

3. REFERENSI

1. Bollerslev, T. (1987). A Conditionally

Heteroskedastic Time Series Model for

Speculative Prices and Rates of Return,

Review of Economics and Statistics, 69,

542–547.

2. Casella, G. dan Berger R., L. (2002).

Statistical inference, Thomson Learning,

Duxbury.

3. Chen, M. H. dan Shao, Q. M. (1999).

Monte Carlo estimation of Bayesian

credible and HPD intervals. Journal of

Computational and Graphical Statistics,

8, 69–92.

4. Engle, R. F. (1982). Autoregressive

conditional heteroskedasticity with

estimates of the variance of the united

kingdom inflation. Econometrica, 50,

987–1007.

5. Geweke, J. (1992). Evaluating the

accuracy of sampling-based approaches

to the calculation of posterior moments,

Bayesian Statistics 4 (eds. J. M.

Bernardo, J. O. Berger, A. P. Dawid dan

A. F. M. Smith), 169–194.

6. Geweke, J. (2005). Contemporary

Bayesian econometrics and statistics.

John Wiley & Sons.

7. Koop. G., Poirier, D. J. dan Tobias, J. L.

(2007). Bayesian econometri methods.

Cambridge University Press, New York.

8. Nugroho, D. B. (2014). Realized

stocastic volatility model using

generalized student’s t-error

distributions and power transformations,

Dissertation. Kwansei Gakuin

University, Japan.

9. Tierney, L. (1994). Markov chain for

exploring posterior distributions. Annals

of Statistics, 22 (4), 1701–1762. 10. Tsay, R. S., (2010). Analysis of financial

time series. John Willey and Sons, Inc.

New York.

LAMPIRAN

Lampiran 1. Skema MCMC untuk model ARCH berdistribusi Student-t

1. Inisialisasi a, b, dan 𝜈.

2. Pembangkitan 𝒛|𝑎, 𝑏, 𝑣, 𝑹.

Distribusi posterior bersyarat untuk z diberikan oleh

𝑝(𝒛|𝑎, 𝑏, 𝑣, 𝑹)

∝ 𝑧1−

𝑣+12

−1 exp (−(1 − 𝑏)𝑅1

2 + 𝑎𝑣

2𝑎𝑧1) ∏ 𝑧𝑡

−𝑣+1

2−1

exp {−𝑅𝑡

2 + (𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 )𝑣

2(𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 )𝑧𝑡

}𝑇

𝑡=2.

Dalam kasus ini, 𝒛 bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi inverse gamma,

yaitu 𝑧1~𝐼𝐺 (𝑣+1

2,

(1−𝑏)𝑅12+𝑎𝑣

2𝑎) dan 𝑧𝑡~𝐼𝐺 (

𝑣+1

2,

𝑅𝑡2+(𝑎+𝑏𝑅𝑡−1

2 )𝑣

2(𝑎+𝑏𝑅𝑡−12 )

), untuk 𝑡 = 2,3 … , 𝑇.

3. Pembangkitan 𝜈|𝒛

Distribusi posterior bersyarat untuk v diberikan oleh

𝑝( 𝜈|𝒛) ∝ (𝑣

2)

𝑣𝑇

2[Γ (

𝑣

2)]

−𝑇∏ 𝑧𝑡

−𝑣

2−1𝑇

𝑡=1 exp (−𝑣

2𝑧𝑡) 𝑣𝛼𝑣−1 exp(−𝛽𝑣𝑣).

Nilai 𝑣 dibangkitkan menggunakan metode IC-MH, yang mana proposal untuk 𝑣 yaitu

𝑣∗~𝑁[3,40](𝜇𝜈∗ , 𝑉𝑣∗) dan probabilitas penerimaannya yaitu min {1,𝑝(𝑣∗|𝒛)

𝑝(𝑣|𝒛)}. Diambil

logaritma distribusi posterior bersyarat untuk 𝑣:

𝐹(𝑣) = ln 𝑝(𝜈|𝒛)

∝𝑣𝑇

2ln (

𝑣

2) − 𝑇 ln (Γ (

𝑣

2)) −

𝑣


−1]

𝑇

𝑡=1

+ (𝛼𝑣 − 1) ln 𝑣

− 𝛽𝑣𝑣,

Dicari modus posterior �̂� dari 𝐹(𝑣), artinya bahwa 𝐹′(�̂�) = 0, berdasarkan metode bagi

dua. Rata-rata 𝜇𝑣∗ dan variansi 𝑉𝑣∗ ditentukan dengan menggunakan metode yang

didasarkan pada tingkah laku distribusi di sekitar modus (atau modus hampiran). Dicatat

bahwa derivatif pertama dan kedua dari 𝐹(𝑣) berturut-turut yaitu

𝐹′(𝑣) =𝑇

2[ln (

𝑣

2) + 1 − ψ (

𝑣

2)] −

1


−1]

𝑇

𝑡=1

+𝛼𝑣 − 1

𝑣− 𝛽𝑣 ,

dimana ψ(𝑥) =𝑑 lnΓ(𝑥)

𝑑𝑥, dan

𝐹′′(𝑣) =𝑇

2𝑣−

𝑇

4ψ′ (

𝑣

2) −

𝛼𝑣 − 1

𝑣2.

Selanjutnya diambil 𝜇𝑣∗ = �̂� dan 𝑉𝑣∗ = −[𝐹′′(�̂�)]−1. Masalahnya adalah 𝐹′′(�̂�) bisa

bernilai positif, karena itu diambil 𝑉𝑣∗ = −[𝐷𝑣(�̂�)]−1 dengan 𝐷𝑣(�̂�) =

min {−0.0001, 𝐹′′(�̂�) }.

4. Pembangkitan 𝑎|𝑏, 𝒛, 𝑹

Distribusi posterior bersyarat untuk a diberikan oleh

𝑝(𝑎|𝑏, 𝒛, 𝑹) ∝ (1 − 𝑏

𝑎)

12

exp {−(1 − 𝑏)𝑅1

2

2𝑎𝑧1}

∏ (𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 ) −

12𝑧𝑡

−12exp {−

𝑅𝑡2


}𝑇

𝑡=2exp{−𝜆𝑎}.

Nilai a dibangkitkan menggunakan metode IC-MH, yang mana proposal untuk a yaitu

𝑎∗~𝑁(𝜇𝑎∗ , 𝑉𝑎∗) dan probabilitas penerimaannya yaitu min {1,𝑝(𝑎∗|𝑏, 𝒛, 𝑹)

𝑝(𝑎|𝑏, 𝒛, 𝑹)}. Diambil

logaritma distribusi posterior bersyarat untuk a:

𝐹(𝑎) = ln 𝑝(𝑎|𝑏, 𝒛, 𝑹) ∝ −1

2ln 𝑎 −

(1 − 𝑏)𝑅12

2𝑎𝑧1−

1


2 )𝑇

𝑡=2

−1

2∑

𝑅𝑡2

(𝑎+𝑏𝑅𝑡−12 )𝑧𝑡

𝑇𝑡=2 − 𝜆𝑎.

Dicari modus posterior �̂� dari 𝐹(𝑎), artinya bahwa 𝐹′(�̂�) = 0, berdasarkan metode bagi

dua. Dicatat bahwa derivatif pertama dan kedua dari 𝐹(𝑎) berturut-turut yaitu

𝐹′(𝑎) =𝑑𝐹(𝑎)

𝑑𝑎= −

1

2𝑎+

(1 − 𝑏)𝑅12

2𝑎2𝑧1−

1

2∑

1


𝑇

𝑡=2

+1

2∑

𝑅𝑡2

(𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 )2𝑧𝑡

𝑇

𝑡=2

− 𝜆

𝐹′′(𝑎) =𝑑2𝐹(𝑎)

𝑑𝑎2=

1

2𝑎2−

(1 − 𝑏)𝑅12

2𝑎3𝑧1+

1

2∑

1

(𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 )2

𝑇

𝑡=2

− ∑𝑅𝑡

2

(𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 )3𝑧𝑡

𝑇

𝑡=2

.

Selanjutnya diambil 𝜇𝑎∗ = �̂� dan 𝑉𝑎∗ = −[𝐹′′(�̂�)]−1. Masalahnya adalah 𝐹′′(�̂�) bisa

bernilai positif, karena itu diambil 𝑉𝑎∗ = −[𝐷𝑎(�̂�)]−1 dengan 𝐷𝑎(�̂�) =

min {−0.0001, 𝐹′′(�̂�) }.

5. Pembangkitan b

Distribusi posterior bersyarat untuk b diberikan oleh

𝑝(𝑏|𝑎, 𝒛, 𝑹) ∝ (1 − 𝑏

𝑎)

12

exp {−(1 − 𝑏)𝑅1

2

2𝑎𝑧1}

∏ (𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 ) −

12𝑧𝑡

−12exp {−

𝑅𝑡2


}𝑇

𝑡=2𝑏𝛼−1(1 − 𝑏)𝛽−1.

Nilai b dibangkitkan menggunakan metode IC-MH, yang mana proposal untuk b yaitu

𝑏∗~𝑁(𝜇𝑏∗ , 𝑉𝑏∗) dan probabilitas penerimaannya yaitu min {1,𝑝(𝑏∗|𝑎, 𝒛, 𝑹)

𝑝(𝑏|𝑎, 𝒛, 𝑹)}. Diambil

logaritma distribusi posterior bersyarat untuk b:

𝐹(𝑏) = ln 𝑝(𝑏|𝑎, 𝒛, 𝑹)

∝1

2ln(1 − 𝑏) −

(1 − 𝑏)𝑅12

2𝑎𝑧1−

1


2 )𝑇

𝑡=2

−1

2∑

𝑅𝑡2


𝑇

𝑡=2+ (𝛼𝑏 − 1) ln 𝑏 + (𝛽𝑏 − 1) ln(1 − 𝑏)

Dicari modus posterior �̂� dari 𝐹(𝑏), artinya bahwa 𝐹′(�̂�) = 0, berdasarkan metode bagi

dua. Dicatat bahwa derivatif pertama dan kedua dari 𝐹(𝑏) berturut-turut yaitu

𝐹′(𝑏) =𝑑𝐹(𝑏)

𝑑𝑏= −

1

2(1 − 𝑏)+

𝑅12

2𝑎𝑧1−

1

2∑

𝑅𝑡−12


𝑇

𝑡=2

+1

2∑

𝑅𝑡−12 𝑅𝑡

2

(𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 )2𝑧𝑡

𝑇

𝑡=2

+𝛼𝑏 − 1

𝑏−

𝛽𝑏 − 1

1 − 𝑏,

𝐹′′(𝑏) =𝑑2𝐹(𝑏)

𝑑𝑏2= −

1

2(1 − 𝑏)2+

1

2∑

𝑅𝑡−14

(𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 )2

𝑇

𝑡=2

− ∑𝑅𝑡−1

4 𝑅𝑡2

(𝑎 + 𝑏𝑅𝑡−12 )3𝑧𝑡

𝑇

𝑡=2

−𝛼𝑏 − 1

𝑏2−

𝛽𝑏 − 1

(1 − 𝑏)2.

Selanjutnya diambil 𝜇𝑏∗ = �̂� dan 𝑉𝑏∗ = −[𝐹′′(�̂�)]−1

. Masalahnya adalah 𝐹′′(�̂�) bisa

bernilai positif, karena itu diambil 𝑉𝑎∗ = −[𝐷𝑏(�̂�)]−1

dengan 𝐷𝑏(�̂�) =

min {−0.0001, 𝐹′′(�̂�) }.

Lampiran 2. Kode Matlab

Lampiran 2.1 Kode Matlab untuk Estimasi Model ARCH Berdistribusi Normal

2.1.1 Kode Utama

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

function hasil=arch_mcmc(Rt,HP)

% Tujuan: Mengestimasi parameter-parameter dalam model ARCH

% R_t = sigma_t*epsilon_t, epsilon_t~N(0,1)

% sigma_t^2 = a + b*R_{t-1}^2

% -------------------------------------------------------------------------

% Algoritma: MCMC

% -------------------------------------------------------------------------

% Masukan: Rt = Return = 100*[log(S_t)-log(S_{t-1}],

% dimana S_t = nilai kurs pada saat t

% HP = Hyperparameter = [lambda alpha beta], untuk prior

% a ~ exp(lambda) dan b ~ beta(alpha,beta)

% -------------------------------------------------------------------------

% Keluaran: hasil.av = sampel-sampel parameter a

% hasil.bv = sampel-sampel parameter b

% Ditulis oleh Imam Malik Safrudin (FSM UKSW)

% CP: [email protected]

% ----- Inisialisasi

T = length(Rt);

% prior untuk a

lamd = HP(1);

% prior untuk b

alp = HP(2); bet = HP(3);

% nilai awal

a = 0.1; b = 0.1;

% banyaknya replikasi

Nits = 15000;

BI = 5000;

N = Nits-BI;

% alokasi penyimpanan sampel

av = zeros(N,1);

bv = zeros(N,1);

vol = zeros(T,1);

% ----- Algoritma MCMC. Step 1: Membangkitkan Rantai Markov

tic

for its = 1:Nits

% --- pembangkitan sampel a

% mencari rata-rata dan variansi untuk distribusi proposal

hp1 = lamd;

m_a = bisection(Rt,a,b,hp1,'a'); %rata-rata dengan metode bagi dua

d2a = 0.5/m_a^2-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/m_a^3...

-0.5*sum((2*Rt(2:end).^2-m_a-b*Rt(1:end-1).^2)...

./(m_a+b*Rt(1:end-1).^2).^3);

Da = min(-0.0001,d2a);

s2_a =-1/Da; % variansi

% algoritma IC-MH

% 1: pembangkitan proposal a*

pr = truncnormrnd(1,m_a,sqrt(s2_a),1e-4,1);

% 2: mengevaluasi probabilitas penerimaan

log_pa = -0.5*log(pr)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/pr...

-0.5*sum(log(pr+b*Rt(1:end-1).^2))...

-0.5*sum(Rt(2:end).^2./(pr+b*Rt(1:end-1).^2))-lamd*pr; % F(pr)

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

post_pr = exp(log_pa);

log_pa = -0.5*log(a)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/a...

-0.5*sum(log(a+b*Rt(1:end-1).^2))...

-0.5*sum(Rt(2:end).^2./(a+b*Rt(1:end-1).^2))-lamd*a; %F(a)

post_o = exp(log_pa);

ratio = post_pr/post_o;

ap = min(1,ratio);

% 3: pembangkitan bilangan acak seragam

u = rand(1);

% 4: pembaruan

if u <= ap, a = pr; end

% --- pembangkitan sampel b


mup = alp; Vp = bet;

hp1 = [mup Vp];

m_b = bisection(Rt,a,b,hp1,'b'); % rata-rata

d2b = -0.5/(1-m_b)^2+0.5*sum((Rt(1:end-1).^4)...

./((a+m_b*Rt(1:end-1).^2).^2))...

-sum(((Rt(1:end-1).^4).*(Rt(2:end).^2))...

./((a+m_b*Rt(1:end-1).^2).^3))...

-(alp-1)/m_b^2-(bet-1)/(1-m_b)^2;

Db = min(-0.0001,d2b);

s2_b = -1/Db; % variansi

% algoritma IC-MH

% 1: pembangkitan proposal b*

pr = truncnormrnd(1,m_b,sqrt(s2_b),0,1);


log_pb = 0.5*log(1-pr)-0.5*(1-pr)*Rt(1)^2/a...

-0.5*sum(log(a+pr*Rt(1:end-1).^2))...

-0.5*sum(Rt(2:end).^2./(a+pr*Rt(1:end-1).^2))...

+(alp-1)*log(pr)+(bet-1)*log(1-pr); % F(pr)

post_pr = exp(log_pb);

log_pb = 0.5*log(1-b)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/a...

-0.5*sum(log(a+b*Rt(1:end-1).^2))...

-0.5*sum(Rt(2:end).^2./(a+b*Rt(1:end-1).^2))...

+(alp-1)*log(b)+(bet-1)*log(1-b); %F(b)

post_o = exp(log_pb);


ap = min(1,ratio);

% 3: pembangkitan bilangan acak seragam

u = rand(1);

% 4: pembaruan

if u <= ap, b = pr; end

% pengestimasian sigma

Volt = a+b*Rt(1:end-1).^2;

Volt = [a/(1-b); volt];

% simpan a dan b

if its > BI

av(its-BI,1) = a;

bv(its-BI,1) = b;

vol = ((its-BI-1)*vol+volt)/(its-BI);

end

end

toc

% ----- Algoritma MCMC. Step 2: Menghitung rata-rata Monte Carlo

draws = [av bv];

MP = mean(draws);

SP = std(draws);

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

% ===== Integrated Autocorrelation Time (IACT) ============================

% Berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel

% yang independen (seberapa cepat konvergensi simulasi)

resultsIAT = IACT(draws);

IAT = [resultsIAT.iact];

% ===== Uji Konvergensi Geweke ============================================

idraw1 = round(.1*N);

resultCV = momentg(draws(1:idraw1,:));

meansa = [resultCV.pmean];

nsea = [resultCV.nse1];

idraw2 = round(.5*N)+1;

resultCV = momentg(draws(idraw2:N,:));

meansb = [resultCV.pmean];

nseb = [resultCV.nse1];

CD = (meansa - meansb)./sqrt(nsea+nseb);

onetail = 1-normcdf(abs(CD),0,1);

pV = 2*onetail;

% ===== 95% Highest Posterior Density (HPD) Interval ======================

resultsHPD = HPD(draws,0.05);

LB = [resultsHPD.LB];

UB = [resultsHPD.UB];

% ===== Numerical Standard Error (NSE) ====================================

resultsNSE = NSE(draws);

NSEd = [resultsNSE.nse];

%====================== Mengatur hasil pencetakan =========================

%----- Statistik Parameter:

in.cnames = char('a','b');

in.rnames = char('Parameter','Mean','SD','LB','UB','IACT','NSE','G-CD','p-

Value');

in.fmt = '%16.6f';

tmp = [MP; SP; LB; UB; IAT; NSEd; CD; pV];

fprintf(1,’Estimasi menggunakan MCMC dan Uji Diagnosa\n'); % cetak hasil

mprint(tmp,in);

hasil.vol = vol;

hasil.av = av;

hasil.bv = bv;

2.1.2 Kode bisection 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

function mab = bisection(Rt,a,b,hp1,par)

% Tujuan : Mencari akar dari F’(a)=0 atau F’(b)=0 menggunakan metode

% bagi dua

%

% --------------------------------------------------------------------------

% Masukan : Rt = return

% a = nilai a

% b = nilai b

% hp1 = nilai prior

% par = 'a' atau 'b'

% -------------------------------------------------------------------------

% keluaran : mab = akar penyelesaian

eps_step = 1e-2;

if par == 'a'

bb = 1e-3;

ba = 1;

elseif par == 'b'

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

bb = 0;

ba = 1;

end

if diffARCH(Rt,a,b,hp1,bb,par) == 0 % derivatif pertama

mab = bb;

return;

elseif diffARCH (Rt,a,b,hp1,ba,par) == 0

mab = ba;

return;

elseif diffARCH(Rt,a,b,hp1,ba,par)*diffARCH(Rt,a,b,hp1,bb,par) > 0

error( 'diffARCH(ba) dan diffARCH(bb) tidak mempunyai tanda

berlawanan' );

end

while abs(bb - ba) >= eps_step

c = (ba + bb)/2;

if diffARCH(Rt,a,b,hp1,c,par) == 0

mab = c;

return;

elseif diffARCH(Rt,a,b,hp1,c,par)*diffARCH(Rt,a,b,hp1,ba,par) < 0

bb = c;

else

ba = c;

end

end

mab = c;

2.1.3 Kode untuk turunan pertama F(a) dan F(b) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

function Fab = diffARCH(Rt,a,b,hp1,bts,par)

% Tujuan : Mengitung F’(a) atau F’(b)

%

% -----------------------------------------------------------------------


% a = nilai a

% b = nilai b

% hp1 = nilai prior

% bts = batas kiri/kanan interval pada metode bagi dua


% -----------------------------------------------------------------------

% keluaran : Fab = nilai turunan pertama

if par == 'a'% derivatif pertama terhadap a

a = bts;

lamd = hp1;

Fab = -1/(2*a)+(1-b)*Rt(1)^2/(2*a^2)...

-0.5*sum((a+b*Rt(1:end-1).^2-Rt(2:end).^2)...

./(a+b*Rt(1:end-1).^2).^2)-lamd;

elseif par == 'b' % derivatif pertama terhadap b

b = bts;

alp = hp1(1); bet=hp1(2);

Fab = -1/(2*(1-b))+Rt(1)^2/2*a...

-0.5*sum(Rt(1:end-1).^2./(a+b*Rt(1:end-1).^2)) ...

+0.5*sum(Rt(1:end-1).^2.*Rt(2:end).^2

./((a+b*Rt(1:end-1).^2).^2))+(alp-1)/b-(bet-1)/(1-b);

end

2.1.4 Kode Pendukung

Kode truncnormrnd, IACT, momentg, HPD, NSE, dan mprint dapat dilihat dalam

Nugroho (2014).

Lampiran 2.2 Kode Matlab untuk Estimasi Model ARCH Berdistribusi Student-t

2.2.1 Kode Utama 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

function hasil=archt_mcmc(Rt,HP)

% Tujuan: Mengestimasi parameter-parameter dalam model ARCH

% R_t = sigma_t*z_t^0.5*eta_t, eta_t~N(0,1)

% sigma_t^2 = a + b*R_{t-1}^2

% -------------------------------------------------------------------------

% Algoritma: MCMC

% -------------------------------------------------------------------------

% Masukan: Rt = Return = 100*[log(S_t)-log(S_{t-1}],

% dimana S_t = nilai kurs pada saat t

% HP = Hyperparameter = [lambda alpha beta], untuk prior

% a ~ exp(lambda) dan b ~ beta(alpha_b,beta_b)

% -------------------------------------------------------------------------

% Keluaran: hasil.vol = sampel-sampel parameter vol

% Hasil.zv = sampel-sampel parameter z_t

% hasil.av = sampel-sampel parameter a

% hasil.bv = sampel-sampel parameter b

% Hasil.nuv = sampel-sampel parameter nu

% Ditulis oleh Imam Malik Safrudin (FSM UKSW)

% CP: [email protected]

% ----- I: Inisialisasi

T = length(Rt);

% prior untuk a

lamd = HP(1);

% prior untuk b

alp = HP(2); bet = HP(3);

% prior untuk nu

alpnu = HP(4); betnu = HP(5);

% nilai awal

a = 0.1; b = 0.1; nu = 20;

% banyaknya replikasi

Nits = 15000;

BI = 5000;

N = Nits-BI;

% alokasi penyimpanan sampel

av = zeros(N,1);

bv = zeros(N,1);

nuv = zeros(N,1);

zv = zeros(T,1);

vol = zeros(T,1);

% ----- Algoritma MCMC. Step 1: Membangkitkan Rantai Markov

tic

for its = 1:Nits

% --- pembangkitan sampel z

alpz = (nu+1)/2;

betz1 = 0.5*((1-b)*Rt(1)^2+a*nu)/a;

betz2T = (Rt(2:end).^2+(a+b*Rt(1:end-1).^2)*nu)...

./(2*(a+b*Rt(1:end-1).^2));

betz = [betz1; betz2T];

z = 1./gamrnd(alpz,1./betz);

% --- pembangkitan sampel nu

% mencari rata-rata dan variansi untuk proposal bersyarat

Hpv = [alpnu betnu];

mv = bisection_nu(hpv,z); % rata-rata

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

d2v = 0.5*T/mv-T/4*psi(1,mv/2)-(alpnu-1)/mv^2;

Dv = min(-0.0001,d2v);

s2v = -1/Dv; %variansi

% algoritma IC-MH

% 1: pembangkitan proposal nu*

pr = truncnormrnd(1,mv,sqrt(s2v),2.1,40);


log_pv = 0.5*pr*T*log(pr/2)-T*gammaln(pr/2)-pr/2...

*sum(log(z)+1./z)+(alpnu-1)*log(pr)-betnu*pr;

post_pr = exp(log_pv);

log_pv = 0.5*nu*T*log(nu/2)-T*gammaln(nu/2)-nu/2...

*sum(log(z)+1./z)+(alpnu-1)*log(nu)-betnu*nu;

post_o = exp(log_pv);


ap = min(1,ratio);

% 3: pembangkitan variabel acak seragam

u = rand(1);

% 4: pembaruan

if u <= ap, nu = pr; end

nu

% --- pembangkitan sampel a


hp1 = lamd;

m_a = bisection_st(Rt,a,b,hp1,z,'a'); % rata-rata

d2a = 1/(2*m_a^2)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/(m_a^3*z(1))+0.5*...

sum(1./(m_a+b*Rt(1:end-1).^2).^2)-...

sum(Rt(2:end).^2./((m_a+b*Rt(1:end-1).^2).^3.*z(2:end)));

Da = min(-0.0001,d2a);

s2_a = -1/Da; % variansi

% algoritma IC-MH

% 1: pembagkitan proposal a*

pr = truncnormrnd(1,m_a,sqrt(s2_a),1e-4,1);


log_pa = -0.5*log(pr)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/(pr*z(1))-...

0.5*sum(log(pr+b*Rt(1:end-1).^2))-...

0.5*sum(Rt(2:end).^2./((pr+b*Rt(1:end-1).^2).*z(2:end)))-...

lamd*pr; % F(pr)

post_pr = exp(log_pa);

log_pa = -0.5*log(a)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/(a*z(1))-...

0.5*sum(log(a+b*Rt(1:end-1).^2))-...

0.5*sum(Rt(2:end).^2./((a+b*Rt(1:end-1).^2).*z(2:end)))-...

lamd*a; % F(a)

post_o = exp(log_pa);


ap = min(1,ratio);


u = rand(1);

% 4: pembaruan

if u <= ap, a = pr; end

% --- pembangkitan sampel b


mup = alp; Vp = bet;

hp1 = [mup Vp];

m_b = bisection_st(Rt,a,b,hp1,z,'b'); % rata-rata

d2b = -0.5/(1-m_b)^2+0.5*sum((Rt(1:end-1).^4)...

./((a+m_b*Rt(1:end-1).^2).^2))...

-sum(((Rt(1:end-1).^4).*(Rt(2:end).^2))...

./((a+m_b*Rt(1:end-1).^2).^3.*z(2:end)))...

-(alp-1)/m_b^2-(bet-1)/(1-m_b)^2;

Db = min(-0.0001,d2b);

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

s2_b = -1/Db; % variansi

% algoritma IC-MH

% 1: pembangkitan proposal b*

pr = truncnormrnd(1,m_b,sqrt(s2_b),0,1);


log_pb = 0.5*log(1-pr)-0.5*(1-pr)*Rt(1)^2/(a*z(1))-...

0.5*sum(log(a+pr*Rt(1:end-1).^2))-...

0.5*sum(Rt(2:end).^2./(a+pr*Rt(1:end-1).^2.*z(2:end)))...

+(alp-1)*log(pr)+(bet-1)*log(1-pr); % F(pr)

post_pr = exp(log_pb);

log_pb = 0.5*log(1-b)-0.5*(1-b)*Rt(1)^2/(a*z(1))-...

0.5*sum(log(a+b*Rt(1:end-1).^2))-...

0.5*sum(Rt(2:end).^2./(a+b*Rt(1:end-1).^2.*z(2:end)))...

+(alp-1)*log(b)+(bet-1)*log(1-b); %F(b)

post_o = exp(log_pb);


ap = min(1,ratio);


u = rand(1);

% 4: pembaruan

if u <= ap, b = pr; end

% pengestimasian sigma

volt = a+b*Rt(1:end-1).^2;

volt = [a/(1-b); volt];

% simpan a dan b

if its > BI

av(its-BI,1) = a;

bv(its-BI,1) = b;

nuv(its-BI,1) = nu;

zv = ((its-BI-1)*zv+z)/(its-BI);

vol = ((its-BI-1)*vol+volt)/(its-BI);

end

end

toc

% ----- Algoritma MCMC. Step 2: Menghitung rata-rata Monte Carlo

draws = [av bv nuv];

MP = mean(draws);

SP = std(draws);

% ===== Integrated Autocorrelation Time (IACT) ============================

% Berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel

% yang independen (seberapa cepat konvergensi simulasi)

resultsIAT = IACT(draws);

IAT = [resultsIAT.iact];

% ===== Uji Konvergensi Geweke ============================================

idraw1 = round(.1*N);

resultCV = momentg(draws(1:idraw1,:));

meansa = [resultCV.pmean];

nsea = [resultCV.nse1];

idraw2 = round(.5*N)+1;

resultCV = momentg(draws(idraw2:N,:));

meansb = [resultCV.pmean];

nseb = [resultCV.nse1];

CD = (meansa - meansb)./sqrt(nsea+nseb);

onetail = 1-normcdf(abs(CD),0,1);

pV = 2*onetail;

% ===== 95% Highest Posterior Density (HPD) Interval ======================

resultsHPD = HPD(draws,0.05);

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

LB = [resultsHPD.LB];

UB = [resultsHPD.UB];

% ===== Numerical Standard Error (NSE) ====================================

resultsNSE = NSE(draws);

NSEd = [resultsNSE.nse];

%====================== Pengaturan Pencetakan Hasil =======================

%----- Statistik Parameter

in.cnames = char('a','b','nu');

in.rnames = char('Parameter','Mean','SD','LB','UB','IACT','NSE','G-CD','p-

Value');

in.fmt = '%16.6f';

tmp = [MP; SP; LB; UB; IAT; NSEd; CD; pV];

fprintf(1,'Estimasi menggunakan MCMC dan Uji Diagnostik\n');

mprint(tmp,in);

hasil.vol = vol;

hasil.zv = zv;

hasil.av = av;

hasil.bv = bv;

hasil.nuv = nuv;

2.2.2 Kode metode bagi dua untuk 𝑭′(𝒂) = 𝟎 atau 𝑭′(𝒃) = 𝟎 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

function mab = bisection_st(Rt,a,b,hp1,z,par)

% Tujuan : Mencari akar dari F’(a)=0 atau F’(b)=0 menggunakan metode

% bagi dua

%

% ----------------------------------------------------------------------


% a = nilai a

% b = nilai b

% hp1 = nilai prior

% z = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]


% ----------------------------------------------------------------------

% keluaran : mab = akar penyelesaian

eps_step = 1e-2;

if par == 'a'

bb = 1e-5;

ba = 1;

elseif par == 'b'

bb = 0;

ba = 1;

end

if diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,bb,par) == 0 %derivatif pertama

mab = bb;

return;

elseif diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,ba,par) == 0

mab = ba;

return;

elseif diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,ba,par)*diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,bb,par)

> 0

error( 'diffARCH(ba) and diffARCH(bb) do not have opposite signs' );

end

while abs(bb - ba) >= eps_step % || abs(diffARCH(a,b,y,T,bb))>=eps_abs

&& abs(diffARCH(a,b,y,T,ba)) >= eps_abs

c = (ba + bb)/2;

if diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,c,par) == 0

mab = c;

return;

41

42

43

44

45

46

47

48

elseif

diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,c,par)*diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,ba,par) < 0

bb = c;

else

ba = c;

end

end

mab = c;

2.2.3 Kode metode bagi dua untuk 𝑭′(𝝂) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

function mv = bisection_nu(hpv,z)

% Tujuan : Mencari akar dari F’(v)= 0 menggunakan metode bagi dua

%

% -------------------------------------------------------------------------

% Masukan : hpv = nilai prior v

% z = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]

% -------------------------------------------------------------------------

% keluaran : mv = akar penyelesaian

eps_step = 1e-2;

bb = 2.1;

ba = 100;

if diffFnu(hpv,z,bb) == 0 % derivatif pertama

mv = bb;

return;

elseif diffFnu(hpv,z,ba) == 0

mv = ba;

return;

elseif diffFnu(hpv,z,bb)*diffFnu(hpv,z,ba) > 0

error( 'diffFnu(a) and diffFnu(b) do not have opposite signs' );

end

while abs(ba - bb) >= eps_step % || abs(LV1(a,b,y,T,bb))>=eps_abs &&

abs(LV1(a,b,y,T,ba)) >= eps_abs

c = (ba + bb)/2;

if diffFnu(hpv,z,c) == 0

mv = c;

return;

elseif diffFnu(hpv,z,c)*diffFnu(hpv,z,ba) < 0

bb = c;

else

ba = c;

end

end

mv = c;

2.2.4 Kode penghitungan 𝑭′(𝝂) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

function Fab = diffARCH_st(Rt,a,b,hp1,z,bts,par)

% Tujuan : Mengitung F’(v)

% -----------------------------------------------------------------------


% a = nilai a

% b = nilai b

% hp1 = nilai prior

% z = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]

% bts = batas kiri/kanan interval pada metode bagi dua


% -----------------------------------------------------------------------

% keluaran : Fab = nilai turunan pertama

if par =='a'% derivatif pertama terhadap a

a = bts;

lamd = hp1;

Fab = -1/(2*a)+0.5*(1-b)*Rt(1)^2/(a^2*z(1))...

-0.5*sum(1./(a+b*Rt(1:end-1).^2))...

+0.5*sum((Rt(2:end).^2)./((a+b*Rt(1:end-1).^2).^2...

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

.*z(2:end)))-lamd;

elseif par == 'b' % derivatif pertama terhadap b

b = bts;

alp = hp1(1); bet=hp1(2);

Fab = -1/(2*(1-b))+Rt(1)^2/(2*a*z(1))...

-0.5*sum(Rt(1:end-1).^2./(a+b*Rt(1:end-1).^2))...

+0.5*sum(Rt(1:end-1).^2.*Rt(2:end).^2...

./((a+b*Rt(1:end-1).^2).^2.*z(2:end)))...

+(alp-1)/b-(bet-1)/(1-b);

end

Lampiran 3. Sertifikat Seminar

estimasi berbasis mcmc untuk returns volatilitydi pasar...

Documents