elemen hingga dinamik-1

8/17/2019 Elemen Hingga Dinamik-1

1/8

Bahan Kuliah : Metode Elemen Hingga (Dinamik)Dr. Ir. Bambang Supriyadi, ES, DE!

"ahiduddin Ba#ry ($%&%' I* $%+ %-)

1. CST (Constant Strain Triangle)

Elemen hingga 2 Dimensi berbentuk segitiga dengan tebal t seperti yang diperlihatkanpada gambar 1.1 mempunyai bentuk perpindahan umum (translasi) dalam bidang / y sebagai berikut :

u = {u,0 } (1.1)

Gambar 1.1. Segitiga regangan knstan

!ada setiap titik ndal terdapat dua translasi dalam arah dan arah y " dengan translasiarah diberi nmr lebih ke#il daripada arah y nya. Sehingga :

{ } { }332211654321 v,u,v,u,v,uq,q,q,q,q,qq == (1.2)$ungsi perpindahan asumsi untuk elemen :

ycxccv

ycxccu

654

321

++=

++=(1.%)

Dalam bentuk matriks :

=

6

5

4

3

2

1

c

c

c

c

c

c

yx1000

000yx1

v

u(1.&)

Dari 'ungsi ini dapat dibentuk matriks g :

=

yx1000

000yx1]g[

Dengan mengalikan matriks g dengan transpsenya g *" akan menghasilkan :

1

Vij

Vik

j

k

i u

v

q1

q2 q

3

q4

q5

q6

y

x


2/8



=

=

2

2

2

2

T

yyxy000

xyxx000

yx1000

000yyxy

000xyxx

000yx1

yx1000

000yx1

y0

x0

10

0y

0x

01

]g[]g[

(1.+)

,ntuk penyederhanaan persamaan (1.+) dapat ditulis dalam bentuk :

=

W0

0W]g][g[ T (1.-)

dengan sub matriks sebagai berikut :

=

2

2

yxyy

xyxx

yx1

]W[ (1./)

,ntuk masing0masing ndal :dal i = (i"yi)

=

ii

ii

iyx1000

000yx1]g[

dal 3 = ( 3"y 3)

=

j j

j j

jyx1000000yx1]g[

dal k = (k"yk)

=

k k

k k

k yx1000

000yx1]g[

Dengan menghitung g pada setiap ndal akan menghasilkan matriks h :

=

=

kk

kk

j j

j j

ii

ii

k

j

i

yx1000

000yx1

yx1000000yx1

yx1000

000yx1

g

g

g

]h[ (1.4)

,ntuk men#ari in5ersnya" matriks h diubah dahulu ke dalam bentuk h* :

[ ]

==

1

1

Th0

0h]h][T[h (1.6)

2


3/8



dengan peratr penyusun ulang (rearrangement operator ) * :

=

100000

001000

000010

010000

000100

000001

]T[ (1.17)

dan sub matriks h1 :

[ ]

=

k k

j j

ii

1

yx1

yx1

yx1

h (1.11)

8atriks in5ers h01 dapat diperleh dari :

[ ] ]T[h0

0h]T[h]h[

1

1

1

11

T

1

==

−

−−−

(1.12)

Dalam persamaan (1.12)" sub matriks in5ersnya h 101 adalah :

[ ] ( )

−−−

−−−

===−

ijki jk

ijki jk

i j jik iik jk k j

11

Tc

1

1

a

11

1

xxx

yyy

yxyxyxyxyxyx

h

1

h

h

h

hh (1.1%)

dengan :

h1 menun3ukkan a3in dari matriksa

1h danc

1h adalah matriks k'aktrnya" serta

1h merupakan determinannya. Dalam persamaan (1.1%) 3uga dide'inisikan i3 =

3 9 i dan yi3 = y 3 9 yi" dan seterusnya.

Sehingga in5ers matriks h01 yang diberikan dalam persamaan (1.12) men3adi :

[ ]

−−−

−−−

−−−

−−−

=−

ijki jk

ijki jk

i j jik iik jk k j

ijki jk

ijki jk

i j jik iik jk k j

ijk

1

x0x0x0

y0y0y0

yxyx0yxyx0yxyx0

0x0x0x

0y0y0y

0yxyx0yxyx0yxyx

A2

1h

(1.1&)dengan :

i3k merupakan luas segitiga i3k

;entuk persamaan untuk matriks massa knsisten :

%


4/8



∫ ρ= vTfdVf M

(1.1+)dalam bentuk lain dapat ditulis seperti berikut ini :

1

v

TT dVhgghM −− ∫ ρ=(1.1-)

Substitusi persamaan (1.12) ke dalam persamaan (1.1-) akan menghasilkan :

[ ] [ ] [ ][ ]TMTM TT= (1.1/)dengan :

[ ] 1T

v

TT

TT dVhgghM −− ∫ ρ= (1.14)

Dilakukan perkalian serta integrasi terhadap persamaan (1.14)" maka bentuk matriks 8 *yang dihasilkan :

[ ]

ρ=

211000

121000

112000

000211

000121

000112

12

VMT (1.16)

dengan :< = .t

!ersamaan (1.16) dapat ditulis dalam bentuk :

[ ]

=1

1

TM0

0MM

dengan :

[ ]

ρ

=

211

121

112

12

VM1 (1.27)

,ntuk mendapatkan matriks massa 8 seperti diberikan pada persamaan (1.1/) dengan#ara memasukkan nilai0nilainya :

[ ] [ ] [ ][ ]TMTM TT=

ρ

=

100000

001000

000010

010000

000100000001

211000

121000

112000

000211

000121000112

12

V

100000

000100

010000

000010

001000000001

]M[

&


5/8



ρ=

201010

020101

102010

010201

101020

010102

12

V(1.21)

esulitan gemetri yang ter3adi pada saat persamaan (1.14) diterapkan pada sebuahelemen segitiga dapat diatasi dengan menggunakan krdinat luas. ,ntuk tu3uan inipersamaan (1.14) ditulis kembali men3adi :

[ ] ∫ ρ= dVf f M TTTT (1.22)dengan :

1

TT ghf

−

= (1.2%)

Gambar 1.2. rdinat alami untuk elemen segitiga

Sebuah elemen segitiga dengan luas seperti pada gambar 1.2. *itik sudutnya diberinmr 1"2 dan %" sedangkan letak titik & ditentukan dengan membagi segitiga tersebutmen3adi segitiga0segitiga lain dengan luas 1" 2 dan %. rdinat luas yang tidakberdimensi untuk segitiga tersebut dide'inisikan men3adi :

A

A;

A

A;

A

A 33

2

2

1

1 =ξ=ξ=ξ

arena 1 > 2 > % = " maka :

ξ1 > ξ2 > ξ% = 1 (1.2&);ila krdinat glbal dan y dinyatakan dalam krdinat lkal" akan diperleh :

332211

332211

yyyy

xxxx

ξ+ξ+ξ=

ξ+ξ+ξ=(1.2+)

Sebaliknya 3ika krdinat lkal dinyatakan dalam dan y dengan men#ari nilai ξ1" ξ2 danξ% dari persamaan (1.2&) dan (1.2+) sebagai berikut :

+

ξ2=1

2

3

1

4

A1

y

x

A3

A2

3

2

1

ξ1=1 ξ1=12

ξ1= 0

ξ3=1

ξ2=12

ξ3=12

ξ2= 0

ξ3= 0


6/8



−−

−− −−=

ξ

ξξ

12121221

31313113

23232332

3

2

1

xyyxyx

xyyxyxxyyxyx

A2

1(1.2-)

,ntuk menyederhanakan persamaan (1.2-)" dide'inisikan i1 adalah luas segitiga dengantitik ndal i dan 1 dengan pusat krdinat glbal yang terletak di u3ung" selain itu ditentukanbah?a :a1 = 2% a2 = %1 a% = 12

b1 = 0y2% b2 = 0y%1 b% = 0y12Dengan menggunakan ketentuan tersebut" pers. (1.2-) dapat ditulis kembali men3adi :

=

ξξ

ξ

y

x

1

a"A2

a"A2

a"A2

A21

3312

2231

1123

3

2

1

(1.2/)

;ila 'ungsi '(ξ1"ξ2"ξ%) diturunkan terhadap dan y " dengan #ara berantai (2hain rule) akandiperleh :

∑

∑

=

=

∂

ξ∂

ξ∂

∂=

∂

ξ∂

ξ∂

∂+

∂

ξ∂

ξ∂

∂+

∂

ξ∂

ξ∂

∂=

∂

∂

∂

ξ∂

ξ∂

∂=

∂

ξ∂

ξ∂

∂+

∂

ξ∂

ξ∂

∂+

∂

ξ∂

ξ∂

∂=

∂

∂

3

1i

i

i

3

3

2

2

1

1

3

1i

i

i

3

3

2

2

1

1

y

f

y

f

y

f

y

f

y

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

(1.24)

Dari persamaan (1.2/) terlihat bah?a :

A2

a

y

A2

"

x

iiii =

∂

ξ∂=

∂

ξ∂

-


7/8



@leh karena itu" persamaan (1.24) berubah men3adi :

∑∑

=

=

ξ∂∂

=∂∂

ξ∂

∂

=∂

∂

3

1i i

i

3

1i ii

f a

A2

1

y

f

f

"A2

1

x

f

(1.26)

Aasil integral suku plinm dalam krdinat luas ξ1" ξ2 dan ξ% adalah seperti berikut :

( )A2#$2c "a%

$c$ "$adA

A

c

3

"

2

a

1 +++=ξξξ∫ (1.%7)

!ersamaan (1.2+) 3ika ditulis dalam bentuk matriks :

ξξξ

ξξξ=

3

2

1

3

2

1

321

321

yy

y

x

x

x

000

000

y

x(1.%1)

Dari 'ungsi ini dapat dibentuk matriks '* :

ξξξ

ξξξ=

321

321

T000

000]f [ (1.%2)

Dengan mengalikan matriks '* dengan transpsenya '**" akan menghasilkan :

ξξξξξ

ξξξξξ

ξξξξξ

ξξξξξ

ξξξξξ

ξξξξξ

=

ξξξ

ξξξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

=

233231

322

221

31212

1

233231

322

221

31212

1

321

321

3

2

1

3

2

1

TT

T

000

000

000

000

000

000

000

000

0

0

0

0

0

0

]f []f [

(1.%2),ntuk penyederhanaan persamaan (1.%2) dapat ditulis dalam bentuk :

/


8/8



=

&0

0&]f []f [ T

T

T (1.%%)

dengan sub matriks B sebagai berikut :

ξξξξξ

ξξξξξ

ξξξξξ

=2

33231

32

2

221

3121

2

1

]&[ (1.%&)

Selan3utnya dengan mengintegrasikan ρB terhadap 5lume dengan menggunakanpersamaan (1.%7) akan diperleh suku0suku seperti yang telah diberikan pada persamaan(1.27) :

[ ]iv

2

33231

32

2

221

3121

2

1

M

211

121

112

12

VdV =

ρ=

ξξξξξ

ξξξξξ

ξξξξξ

ρ∫

,ntuk mendapatkan matriks massa 8 sama dengan seperti diberikan pada persamaan(1.1/) dengan #ara memasukkan nilai0nilainya :

[ ] [ ] [ ][ ]TMTM TT=

ρ=

201010

020101

102010010201

101020

010102

12V]M[

Matriks Massa Elemen Segitiga

4

elemen hingga dinamik-1

Documents