MAKALAH

SIFAT-SIFAT KEKONGRUENAN

Disusun untuk memenuhi tugas Program Linear dan Kalkulus Lanjut

Dosen Pembimbing :

AHMAD MUDZAKIR, M.Pd

Disusun Oleh :

Nama : Eka Sulistyawati

NIM : 08310912

Semester : V A Sore

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (FKIP)

UNIVERSITAS ISLAM DARUL ULUM LAMONGAN

UNISDA LAMONGAN

Februari, 2011

DAFTAR ISI

1. Pengantar

2. Tujuan instruksional Umum

3. Tujuan instruksional Khusus

4. Kegiatan belajar

4.1 Kegiatan Belajar 1 :Sifat Lebih Lanjut tentang KekongruenanUraian dan Contoh Latihan 1RangkumanTes Formatif 1Umpan Balik dan Tidak Lanjut

4.2 Kegiatan Belajar 2: Kekongruenan Antar Ruas Garis Dan Antar SudutUrain dan contohLatihan 2Rankuman Tes Formatif 2Umpan balik dan tindak lanjut

5. Kunci jawaban Tes Formatif

6. Referensi

SIFAT-SIFAT KEKONGRUENAN

1. Pengantar

Dalam modul ini, pertama-tama pada kegiatan belajar 1,akan di kembangkan lebih lanjut sifat-sifat kekongruenenan. Kemudian kita susun konsep konruenan segi tiga. Dengan demikian terbentuklah sebuah geometri yang menganut tiga jenis aksioma, aksioma insidensi, aksioma urutan, dan aksioma kekonruenan geometri yang di dasari oleh tiga jenis aksiome itu di namakan geometri netral atau geometri obsolut. Geometri ini merupakan landasaan bagi dua geometri yang amat penting, Geometri Eucludes, dan Geometri Lobachevsky. Pada kegiatan belajar 2, Selajutnya secara khusus di bahas masalah kekongruenen antar ruas baris dan antar sudut.

2. Tujuan Intruksional Umum

Setelah mempelajari modul ini anda di harapkan dapat memahami konruenan, Segi tiga ruas garis., dan sudut.

3. Tujuan Intruksional Khusus

Setelah mempelajari modul ini anda di harapkan dapat:a. Menjelaskan konkruenan dua segi tiga ;b. Menjelaskan hubungan konsep urutan dan konsep kekongruenan ;c. Menjelaskan kekongruenan dua ruas garis dan kekongruenan sudut ;d. Menjelaskan konsep kekongruenan gambar , Khususnya segi tiga ; e. Menjelaskan konsep urutan untuk ruas garis ;f. Menjelaskan penjumlahan dua ruas garis ;g. Menjelaskan penjumlahan dua sudut .

4. Kegiatan Belajar

4.1. Kegiatan Belajar

SIFAT LEBIH LANJUTTENTANG KEKONGRUENAN

4.1.1Uraian dan contoh

1) Kekongruenan segi tiga

Definisi :Andaikan titik-titik A,B, C berbeda dan tak segaris.Himpunan AB U BC U CA U {A } U {B } U {C} dinamakan segi tiga ABC ;ditulis ABC .Titik A,B , C Dinamakan titik sudut .Ruas AB ,BC , CA ,dinamakan sisi-sisi

Garis AB, BC ,CA, dinamakan garis-sisi <ABC , <BCA ,<CAB ,dinamakan sudut-sudut segi tiga ABC

Kita hendak mendenifisikan pengertiandua segi –tiga yang kongruen .Sebelumya kita didefinisikan pengertian “seletak”.Definisi

Padanan satu-satu antara himpunan titik – sudut dua segi- tiga {A,B,C} dari ∆ ABC dan {D,E,F} DARI ∆ DEF Misalnya A D, B E; C F dinamakan padanan antara titik – titik sudut dua segi tiga ABC dan DEF; kita tulis ABC → DEF.

Padanan antara titik- titik sudut itu mengakibatkan padanan antara sisi – sisinya:1) AB DE; BC EF; AC DF.

Begitu pula padanan antara titik- titik sudut mengakibatkan pula suatu padanan antara sudut- sudutnya, yaitu : ABC DEF ; BCA EFD; CAB FDE.

Apabila dalam padanan ABC DEF sisi-sisi yang terletak atau sisi – sisi yang berpadanan kongruen dan sudut – sudut yang seletak juga kongruen kita katakan bahwa dua segi – tiga itu kongruen . Ditulis ∆ ABC ∆ DEF, dan padanan dinamakan suatu kongruen . Dikatakan juga bahwa dua segi - tiga kongruen apabila ada padanan antara titik – titik sudut yang merupakan suatu kongruen.

Definisi :Dalam ∆ ABC , sisi AB DAN BCA dinamakan berhadapan dengan sudut BCA. ABC dikatakan sudut apit antara sisi AB dan BC . sisi AB diapit oleh CAB dan ABC.

Untuk melengkapkan pengertian kekongrenan, kita cantumkan aksioma K8 tentang kekongrenan dua segi – tiga , yaitu : K8 : (Aksioma sisi – sudut – sisi atau aksioma S – Sd – S).

Apabila padanan antara titik – titik sudut dua segi – tiga sedemikian hingga dua sisi dan sudut api tiga pada segi- tiga yang satu masing-masing kongruen dengan dua sisidan sudut apitnya pada segi-tiga yang lain, maka padanan itu adalah suatu kekongruen.

Geometri yang hingga sekarang kita bentuk, memenuhi sistem aksima insiden I1 – I 6; sistem aksima urutan B1 – B6; dan sistem aksima kekongruen K1 – K8. Geometridemikian dinamakan sebuah geometri kekongruen. Jadi suatu geometri kekongruenan dalam bahasa Inggris: Congruence Geometri) adalah suatu geometri insidensi terurut yang didalamnya telah didefinisikansuatu ruas garis dan ukuran sudut.

2) Beberapa akibat Aksioma K8

Teorema 1:Apabila dalam sebuah segi – tiga, ada dua sisi yang kongruen maka sudut-sudut hadapnya juga kongruen .Bukti : Andaikan dalam ∆ ABC, AB AC. Perhatikan padanan ABC → ACB. Oleh karena AB—AC, AC—AB dan < CAB --< CAB -- < BAC , maka menurut k8 , padanan tersebut adalah suatu kekongruenan . Jadi < ABC --< ABC. Artinya :sudut – sudut hadap sisi yang kekongruen juga kongruen .

Definisi :Jika dalam sebuah segi – tiga ada dua sisi yang kongruen juga kongruen , segi tiga tersebut dinamakan segi – tiga sama kaki . Jika semua sisinya kongruen , segi tiga dinamakan segi – tiga sama sisi.

Akibat :Dalam sebuah segi – tiga sama sisi , semua sudut sama .

Teorema 2 (teorema Sd – S – Sd) :

Jika dalam suatu padanan antara himpunan titik – titik sudut sebuah segi – tiga dan himpunan titik –titik sudut segi – tiga lain ,ada dua sudut dalam segi – tiga yangsatu kongruen dengan dua sudut dalam segi – tiga yang lain dan sisi yang diapitnya dalam segi – tiga yang satu juga kongruen dengan sisi yang diapit dalam segi – tiga yang lain , maka padanan tersebut adalah suatu kongruen.

Bukti

Perhatikan padanan ABC DEF. Andaikan dalam padanan ini CAB FDE, ABC DEF dan AB DE maka ada F’ DF sehingga DF , AC ; Perhatikan bahwa EDF EDF’. Perhatikan padanan ABC DEF . Oleh karena AC DF, AB DE dan CAB F’ DE, maka padanan itu suatu kekongruenan (Aksioma.8). Jadi ABC DEF’. Oleh karena ABC DEF maka DEF DEF’. Oleh karena F’ DF. Maka F dan F’ terletak pada sisi DE yang sama. Jadi EF dan EF’ juga pada sisi DE yang sama. Ini berarti bahwa EF = EF’. Jadi F’ titik potong DF dan EF, sehingga F’ = F. sehingga kekongruenan ABC DEF adalah suatu kekongruenan.

Akibat : jika dalam sebua segi-tiga ada dua sudut yang kongruen maka sisi-sisi hadapnya juga kongruen.

C

BA

F

ED

F’

Gambar 1

Bukti : andaikan dalam segitiga ABC diketahui bahwa . Perhatikan padanan

disini ; dan .maka menurut teorema diatas padanan

tersebut adalah suatu kekongruenan. Jadi .3) Sumbu ruas garis

Definisi : Titik P dikatakan berjarak sama dari A dan B apabila PA – PB

Definisi : Garis dinamakan suhu ruas AB jika g memuat titik tengah dan g tegak lurus garis AB.Akibat : Andaikan bidang V memuat ruas AB. Telah dibuktikan bahwa AB memiliki titik tengah yang tunggal, misalnya N. juga telah dibuktikan bahwa adanya garis tunggal g sehingga N g C V dan g AB. Jadi pada V, AB memiliki sumbu tunggal.

Teorema 3 : Pada garis bidang, sebuah titik berjarak sama dari ujung sebuah ruas garis, jika dan hanya jika titik itu terletak pada sumbu ruas tersebut. Bukti :

Andaikan pada bidang V diketahui ruas AB, sedangkan sumbu dari AB. Andaikan N titik tengah AB maka N AB dan AN BN.

Apabila P g dan juga P = N, maka PA PB. Andaikan P N. maka <PNA dan <PNB

sudut siku sehingga <PNA <PNB. Berhubung PN, NA NB, maka padanan PNA PNB sebuah kekongruenan ( aksioma S – Sd _ S ). Jadi PA PB.

Sebaliknya andaikan dan andaikan . Akan kita buktikan perhatikan

terlebih dahulu oleh karena Q,A,B berlainan dan segaris, maka , atau

atau . Andaikan , dan . Berhubungan , maka, haruslah

A=B. ini berlawanan dengan pengandaian bahwa . Jadi tak mungkin . Jadi

tinggallah kemungkinan atau . Hal juga tak mungkin. Jadi haruslah

, sehingga dan dan .

Andaikan . (Gambar 3). Oleh karena , maka . Jadi

, berhubung dan . Jadi

padanan adalah kekongruenan.

. Sehingga . Oleh karena itu kedua judul ini membentuk suatu ganda dua

linier maka sudut siku – siku sehingga

di N. jadi dan .

P

B

g

A

N

Gambar 2

AB

N

Q

Gambar 3

Bukti.

Perhatikan padanan dengan

Andaikan II setengah bidang dengan tepi AC yang memuat B. maka ada Sinar sehingga

dan . Juga ada titik sehingga , sedangkan

. Jadi . Oleh karena itu , maka padanan

adalah suatu kekongruenan (SAS). Jadi . Berhubung

. Ini berarti bahwa A sama jauhnya dari B dan B”. dan juga C sama jauhnya dari B dan B”

Andaikan , maka A dan C terletak pada sumbu ruas pada bidang ABC. Sehingga AC adalah sumbu tersebut. Ini berarti bahwa BB” memotong AC; jadi B dan B” terletak pada sisi AC yang berhadapan terletak pada sisi AC yang berhadapan. Ini tak mungkin, sebab B” AD H. jadi pengandaian salah sehingga haruslah . Jadi

.

4) Teorema Sudut Luar

Definisi :

Diketahui andaikan memenuhi dinamakan sebuah sudut luar dari

. Begitu pula kalau , maka adalah sebuah sudut luar jika

maka juga salah satu sudut luar . Apabila maka salah satu sudut

luar juga jika , maka sudut luar dan jika , sudut luar.

Sedangkan dinamakan sudut dalam (lihat Gb. 5).

Pada tiap sudut luar segi tiga ABC, kita padankan dua sudut dalam dari segi tiga yang kita namakan sudut dalam yang berjauhan dari sudut luar itu. Mereka adalah sudut dalam yang titik sudutnya tidak berimpit dengan titik sudut – sudut luar yang bersangkutan.Jadi ABC dan BCA adalah sudut dalam yang berjauhan dari sudut luar BAB’ dan dari

sudut luar adalah sudut dalam yang berjauhan dari sudut –luar BAB’ dan dari sudut luar CBC’ , sedangkan CAB dan ABC adalah sudut dalam berjauhan dari sudut luar BCB” dan dari sudut luar .

Teorema 5.

A

CB A’

B”

B’ C”

A”

C’

Ukuran setiap sudut luar sebuah segi tiga melebihi ukuran setiap sudut dalam ruang berjauhan.

Andaikan diketahui dan andaikan . Maka sebuah sudut luar. Akan kita

buktikan u > u dan u > u .

Andaikan N titik tengah maka dan . Pertama akan kita buktikan bahwa

berlainan dan tak segaris, begitu pula berlainan dan tak segaris. Ada

sehingga . Maka jadi bertolak belakang, sehingga

. Sedangkan . Jadi padanan suatu

kekongruenan. Oleh karena itu maka dan maka dan

. Sehingga . Jadi . Oleh karena itu

berlainan dan tak segaris, maka pula berlainan dan segaris, jadi berlainan

dan tidak berlawanan arah, sedangkan mengakibatkan . Oleh karena

dan maka , sedangkan dari diperoleh dari dan

berlawanan arah. Jadi mengakibatkan . Sehingga u > u

. Berhubung , maka . Sehingga u > u .

Tugas : buktikan u > u .

5) Garis tegak lurus pada garis lain yang melalui sebuah titik.Telah dibuktikan adanya garis pada sebuah bidang yang tegak lurus pada garis lain dibidang itu di sebuah titik garis tersebut. Kita bahas sekarang apabila titik itu tidak terletak pada garis.

Teorema 6.

Jika titik , maka ada tepat suatu garis melalui C yang tegak lurus g.

Bukti:

QA

CB

N

A’

A

C

B

Andaikan . Perhatikan setengah bidang g/C. maka ada sinar sehingga

. Selanjutnya ada titik sehingga . Perhatikan bahwa

dan bahwa maka menurut S – Sd – S, padanan adalah

suatu kekongruenan jadi . Maka A sama jauhnya C dan C’, begitu pula B sama

jauhnya dari C dan C’. oleh karena , maka C dan C’ letaknya pada sisi g yang

berhadapan. Jadi dan AB adalah sumbu pada bidang gC. Maka dan ada paling sedikit satu garis yang memenuhi persyaratan dalam dalil.Untuk membuktikan bahwa ada tepat satu garis, kita andaikan ada dua garis yang melalui C dan tegak lurus g = AB. Maka ada titik – titik D dan E yang berlainan dengan dan

sehingga dan (Gb.8)

Andaikan . Maka sudut luar .

Menurut teorema sudut luar, u > u .

Padahal u = u = 90. Jadi bertentangan, maka haruslah D=E, yang berarti CD=CE.

6) Sudut dalam berseberangan dan garis – garis sejajar

Definisi : andaikan garis – garis l, l’ dam m berlainan dan sebidangAndaikan m memotong l di bidang B dan memotong l di C. . Andaikan ,sehingga A dan D terletak pada sisi – sisi m yang berhadapan maka dan dinamakan sepasang sudut dalam berseberangan.

Teorema 7 :Andaikan m dan l dan m dan l’ membentuk sepasang sudut dalam bersebrangan yang kongruen, maka l // l’.

3). ABCD adalah segi-4 saccheri dengan alas . Buktikan bahwa

C1

C

DE

F

A

CD

B

I

I1

MM

Gambar .8

Gambar .9

4). ABCD adalah segi-4 saccheri dengan alas . E titik tengah dan F titik tengah . Buktikan bahwa .

5). Dalam diketahui bahwa u < u . Buktikan bahwa u < u .

6). Dalam diketahui bahwa u < u . Buktikan bahwa u < u .

7). Buktikan bahwa dalam setiap berlaku u < u + u .

8). Diketahui dan sehingga u = u , u = u dan u < u

. Buktikan u < u .

9). Diketahui dan sehingga u = u , u = u dan u < u

.

Buktikan bahwa u < u .10). Diketahui dua segi-3. Ada padanan antara himpunan titik – titik sudut segi-3 yang satu dan

himpunan titik – titik sudut segi-3 yang lain. Dalam padanan itu, dua sudut dan sebuah sisi segi-3 yang satu kongruen dengan dua sudut dan sebuah sisi yang sepadan kongruen . buktikan bahwa padanan antara dua segi-3 tersebut adalah suatu kekongruenan.

4.1.5 umpan Balik dan tindak lanjutCocokanlah jawaban anda dengan kunci jawaban tes Formatif 1 yang ada di bagian akhir modul ini. Hitunglah jumlah jawaban anda yang benar, kemudian gunkan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Rumus:

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai :90% - 100% = baik sekali80% - 89% = baik 70 % - 79% = cukup

- 69% = kurang

Kalau Anda mencapai tingkat penguasan 80% atau lebih Anda dapat melanjutkan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Tetapi kalau kurang dari 80% Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda kuasai.

4.2 Kegiatan belajar 2

KEKONGRUENAN ANTAR RUAS GARISDAN ANTAR SUDUT

4.2. 1 Uraian dan Contoh1) Konsep kekongruenan antara dua ruas garis

Sebelum kita membicarakan konsep jarak antar dua titik, kita mulai terlebih dahulu dengan aksioma kekongruenan ruas garis, sebagai berikut.

Andaikan ada dua titik A dan B, ruas garis AB kita singkat sebagai .

Andaikan ada dua ruas garis dan . Relasi kekongruenan ini memenuhi aksioma – aksioma berikut :

(C1) (sifat refleksi f)

(C2) Jika maka (sifat simetris)

(C3) Jika , maka (sifat transitif)

(C4) Jika , , dan maka (prinsip penjumlahan atau prinsip additivitas).

(C5) Andaikan sebuah sinar dan suatu ruas garis. Maka ada tepat satu titik sehingga

.

Catatan :

a) Relasi adalah sebuah relasi antara dua ruas garis yang masing – masing himpunan titik . jadi konsep relasi ini tidak tergantung pada cara kita menggambar himpunan tersebut.

Kita tidak membedakan ungkapan , ataupun . Misalnya (C1) dapat

kita sajikan sebagai .

b) Ada perbedaan mendasar konsep kekongruenan sekarang dengan konsep tersebut

dalam modul 7. Dalam modul 7 didefinisikan sebagai . Kemudian sifat – sifat kekongruenan itu didasarkan pada sifat jarak antara dua titik. Sedangkan dalam

modul ini konsep adalah suatu konsep yang tak terdefinisikan. Konsep kekongruenan dalam modul kita kembangkan berdasarkan kekongruenan aksioma (C1) sampai dengan aksioma (C5).

c) Begitu pula konsep kekongruenan antara dua sudut kita definisikan serupa dengan kekongruenan antara dua ruas garis sebagai konsep yang tak terdefinisikan, tetapi harus memenuhi kelompok aksioma (Ca sampai dengan Ce).

2) Konsep kekongruenan antara dua sudut

Dua sudut yaitu adalah kongruen, ditulis sebagai , jika relasi kekongruenan itu memenuhi kelompok aksioma sebagai berikut :(Ca) (Cb) Jika maka (sifat simetris)(Cc) Jika , maka (sifat transitif)

(Cd) Jika , , dan maka (prinsip penjumlahan atau prinsip additivitas).

(Ce) diketahui setengah bidang R dan termuat dalam tepi R, diketahui pula sebuah . Maka

ada tepat satu sinar sehingga dan sehingga. .

Setelah konsep kekongruenan antara dua ruas garis dan kekongruenan antara dua sudut , kita definisikan konsep kekongruenan antara dua segitiga dan kemudian kita akan menyelidiki sifat – sifat yang dapat dijabarkan dari konsep ini.

3) Urutan antara dua ruas garis.

Definisi :

Andaikan diketahui ruas dan . Jika ada titik P dengan (CPD) sehingga ,

dikatakan bahwa lebih pendek dari , yang ditulis sebagai < .

(1) < selalu tak benar

(2) Jika < dan < , maka < .

(3) Andaikan ada dua ruas garis dan , maka berlakulah satu diantara relasi berikut :

, < atau <

(4) Jika dan , maka < ; begitu pula jika , maka .

Catatan :Dengan demikian himpunan ruas – ruas garis membentuk suatu himpunan yang terurut.

Dalam himpunan ini kekongruenan mengganti konsep kesamaan. 4) Menjumlahkan ruas garisDefinisi :

Andaikan diketahui ruas A B dan ruas C D (Gb. 12). Andaikan E sebuah titik sehinggaC D ¿ BE dan (ABE). Dikatakan bahwa AE adalah jumlah A B

dan C D dengan urutan ini. Ditulis A B + C D = AE

Catatan

Perhatikan bahwa A B + C D tergantung pada notasi untuk ruas. A B Sebab adalah ruas

yang salah satu ujungnya adalah titik A. kalaupun demikian, akan terlihat bahwa B A + C D

kongruen dengan A B + C D perhatikan Bahwa jika (ABC) maka A B + BC = A C Mengapa ?Sifat – sifat dasar penjumlahan ruas garis, adalah sebagai berikut :

(1). Ruas garis A B + BC adalah tunggal dan tertentu.

(2). A B + C D ¿ C D + A B

(3). ( A B + C D )+ E F = A B + (C D +E F )

(4). Jika A B¿ A ' B ’ + CD , maka A B + C D ¿ A ' B ’ + CD

(5) Jika AB + CD ¿ A ' B ’ + C ' D ' dan AB ¿ A ' B ’ maka CD -C ' D '

(6) Jika AB + CD maka AB + PQ < CD + PQ

A B C

C D

(7) Jika AB < CB jikandan hanya jika AB + PQ ¿ CD untuk suatu ruas PQ

5) urutan sudut sudut

Gambar . 13

Definisi:

Andaikan diketahui ∠ ABC dan ∠DEF (Gb. 12). Jika ada sinar E⃗G sehingga ∠ ABC≈∠DEG

dan ( E⃗D E⃗G E⃗F , maka dikatakan bahwa ∠ ABC < ∠DEF .

Sifat sifat dasar urutan sudut serupa dengan sifat – sifat dasar urutan ruas garis yaitu:

(1)∠ ABC<∠ ABD selalu tak banar.(2) jika ∠ABC < ∠DEF dan ∠DEF <∠GHK maka ∠ABC <∠GHK.(3) jika ada dua sudut yaitu∠ABC dan∠DEF, maka berlakulah tepat salah satu ungkapan di bawah ini: ∠ABC¿∠DEF,∠ABC <∠DEF atau ∠DEF <∠ABC(4) jika∠ABC <∠DEF dan ∠ABC¿∠A’B’C’maka∠A’B’C’<∠DEF,begitu pula jika∠DEF¿∠ D’E’F’maka∠ABC <∠D’E’F’.6) menjumlakan sudut

Menjumlahkan dua sudut didenifisikan serupa dengan menjumlahkan dua ruas garis. Sifat-sifat yang timbul juga mirip dengan sifat-sifat jumlah dua garis. Akan tetapi sifat separti sifat nomor (1) penjumlahan dua ratus garis tidak berlaku.

Definisi:

Andaikan diketahui ∠ABC dan ∠DEF (GB. 14).Andaikan ada sinar BG sehingga ∠DEF¿∠CBG, (BA BC BG).Dikatakan ∠ABG adalah jumlah ∠ABC dan ∠DEF dalam urutan ini.∠ABC kita tulis∠DEF =∠ABG.

Catatan 1) jika (OA OB OC) maka ∠AOB +∠BOC=∠AOC2) sifat – sifat penjumlahan sudut mirip dengan sifat-sifat penjumlahan ruas garis apabila dua sudut memiliki jumlah.

4.2.2 latihan 2

1). Buktikan bahwa AB < AB selalu tak benar.2). Buktikan bahwa :

a. Jika A ' B ¿ AB < CD maka A ' B' < CD .

b. Jika AB < CD . Dan CD . ¿ C ' D ' maka AB < C ' D '

c. Jika diketahui AB dan CD ., maka berlakulah salah satu relasi berikut ; AB ¿ CD ., AB < CD , AB < CD ,CD < AB .

3). Buktikan sifat-sifat dasasr penjumlahan ruas garis !

AB

C

E

F

D

g

4). Buktikan bahwa :

a. Jika ∠ A'B'C ¿ ∠ ABC dan ∠ ABC < ∠ DEF maka ∠ A'B'C ' < ∠ DEF

b. Jika (O⃗A O⃗B O⃗C ) maka ∠AOC ∠ A'O'C ', maka ada sinar O⃗ ' B ' sehingga ∠

AOB ¿ ∠ A'O'C ' dan ( O⃗ ' A ' O⃗ ' B ' O⃗ ' C ' )5). Buktikanlah bahwa :

a. Jika ∠ABC +∠ DEF ada , maka ∠ ABC + ∠ ABC ada dan ∠ ABC + ∠ BEF ¿ ∠ ABC

b. Jika (∠ ABC + ∠ DEF ) + ∠ GHK ada , maka ∠ ABC + ∠ ( DEF + ∠ GHK) ada dan berlaku (∠ABC + ∠ DEF ) + ∠ GHK ¿ ∠ ABC + (∠ DEF + ∠ GHK).

c. Jika ∠ ABC ¿ ∠ A'B'C ', ∠ DEF < ∠ D'E'F', dan ∠ A'B'C', + ∠ D'E'F ada , maka ∠ ABC + ∠ DEF ada dan berlaku : ∠ ABC + ∠ DEF < ∠ A'B'C' + ∠ D'E'F'.

d. Jika ∠ ABC + ∠ DEF maka ∠ DEF ¿ ∠ D'E'F'.4.2.3 Rangkuman

1. Relasi kekongruenan AB ¿ CD memenuhi aksioma – aksioma C1 sampaikan dengan C5

2. Relasi kekongruenan ∠ ABC ¿ ∠ DEF memenuhi aksioma – aksioma Ca sampai dengan Ce

3. AB < CD , jika ada P dimana (C PD) sehingga AB ¿ CP

4. AB + CD = AE jika (ABE) dan CD ¿ CP

5. ∠ ABC < ∠ DEF jika ada E⃗G sehingga ∠ABC ¿ ∠ DEG dan ( D⃗E E⃗G E⃗F )

6. ∠ ABC +∠DEF = ∠ ABG , jika ada B⃗G sehingga ∠ DEF ¿ ∠ CBG dan ( B⃗A B⃗C

B⃗G .

4.2.4

1) Buktikan bahwa ; jika (ABC) maka AB +CD .

2) Jika (ABC) dan AC ¿ A ' C ' , maka ada titik B' sehingga AB ¿ A ' B' dan (A'B'C'). Buktikanlah!

3). Jika AB < CD dan CD < EF , buktikan bahwa AB < EF .

4). Jika (ABC), (A'B'C'), AB ¿ A ' B' dan AC¿ A ' C ' . Buktikanlah bahwa BC ¿ B ' C ' .5). (O⃗A O⃗B O⃗C ) buktikanlah bahwa ∠ AOB < ∠ AOC.

6). Jika (O⃗A O⃗B O⃗C ) dan ∠AOC ¿ ∠A'B'C' dan ( O⃗ ' A ' O⃗ ' B ' O⃗ ' C ' )7). Misalkan ∠ ABC ¿ ∠A'B'C' dan ∠ DEF ¿ ∠D'E'F' .

Jika ∠ ABC + ∠ DEF ada , buktikanlah :a. ∠A'B'C' + ∠D'E'F' adab. ∠ ABC + ∠ DEF ¿ ∠A'B'C' + ∠D'E'F'

8) Diketahui ∠ABC <∠DEF dan∠DEF +∠PQR ada Buktikanlah:

a. ∠ABC +∠PQR ada b. ∠ABC +∠PQR <∠DEF +∠PQR.

9) Diketahui

∠ABC ¿∠A’B’C’.buktikan bahwa ∠DEF ¿∠D’E’F’.10) Buktikan bahwa ∠ABC <∠DEF,jika dan hanya jika ∠ABC +∠PQR ¿∠DEF untuk

suatu ∠PQR..

4.2.5 Umpan Balik dan Tidak Lanjut

Cocokanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban Tes formatik 2 yang ada di bagian akhir modul ini. Hitunglah jumlah jawaban anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi kegiatan belajar 2.Rumusan :

Arti tingkat peguasaan yang anda capai :90%: - 100% = baik sekali80% - 89% = baik70% - 79% = cukup

- 69% = kurang

Kalau cukup mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih anda dapat melanjutkan modul berikutnya. Bagus ! tetapi kalau kurang dari 80% anda harus mengulangi kegiatan belajar 2, terutama bagioan yang blum anda kuasai.5. kunci jawaban tes formatif