dth1g3 - matematika telekomunikasi ii

DTH1G3 - MATEMATIKA

TELEKOMUNIKASI II

Deret Fourier dan Transformasi Fourier

By : Dwi Andi Nurmantris

Capaian Pembelajaran

[C4, A2] Mampu membedakan fungsi periodik dan non periodik

[C4, A2] Mampu membedakan fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

[C4, A2] Mampu menjabarkan berbagai tipe fungsi ke dalam bentuk deret Fourier

[C4, A2] Mampu menggunakan Transformasi Fourier untuk mengubah signal dari kawasan waktu ke kawasan frekuensi

Materi Pembelajaran

1. Pendahuluan 2. Deret Fourier 3. Transformasi Fourier

dan:

Pendahuluan

TEOREMA FOURIER

Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa :

Setiap fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang sinus/cosinus.

Contoh 1 : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi Cosinus berikut (lihat gambar berikut)

)... 7cos5cos+ ...cos3cos(4h )(71

51

31

f

TEOREMA FOURIER

TEOREMA FOURIER Contoh 1 : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi Cosinus berikut (lihat gambar berikut)

Penjumlahan 2 komponen sinus pertama Penjumlahan 5 komponen sinus pertama


TEOREMA FOURIER Contoh 2 : Sinyal Segitiga merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi Cosinus berikut (lihat gambar berikut)

...) 7

7sin

5

5sin + ...

3

3sin

1

sin (8h )(

22222

f

TEOREMA FOURIER Contoh 2 : Sinyal Segitiga merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi Cosinus berikut (lihat gambar berikut)



TEOREMA FOURIER

Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam penjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus, pertanyaan berikutnya yang muncul adalah:

Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang, bagaimana saya tahu fungsi-fungsi cos – sin apa yang membentuknya ?

Caranya dengan menggunakan Fourier analysis ( DERET FOURIER / TRANSFORMASI FOURIER )

FOURIER ANALYSIS

Fourier Analysis

FOURIER ANALYSIS

Fourier Series

(Descrete Frequency Function)

Discrete Fourier

Transform (Descrete Frequency

Function)

Continuous Fourier

Transform (Continues Frequency

Function)

Fourier Transform


Continuous Time Function

Discrete Time Function

Per

iod

ic T

ime

fu

nct

ion

A

pe

rio

dic

Tim

e

fun

ctio

n

Klasifikasi Sinyal

Time Vs Frequency Domain Function

Fungsi matematis yang

merepresentasikan suatu sinyal yang

dinyatakan dengan variabel bebas berupa

waktu disebut Time Domain Function


merepresentasikan suatu sinyal yang

dinyatakan dengan variabel bebas berupa

Frekuensi disebut Frequency Domain

Function

• Easier to remove undesirable frequencies in the frequency domain.

• Faster to perform certain operations in the frequency domain than in the spatial domain.

Klasifikasi Sinyal

Why Frequency Domain?

Klasifikasi Sinyal

Why Frequency Domain?

Klasifikasi Sinyal

Continuous Time Vs Descrete Time Function

Fungsi matematis yang merepresentasikan suatu

sinyal yang dinyatakan dengan variabel waktu dan

terdefinisi untuk setiap nilai pada sumbu waktu disebut Continuous Time Function

Fungsi matematis yang merepresentasikan

suatu sinyal yang dinyatakan dengan variabel

waktu dan hanya terdefinisi pada nilai-nilai tertentu (descrete) pada sumbu waktu disebut Descrete Time Function

Klasifikasi Sinyal

Periodic Vs Aperiodic Time Function


merepresentasikan suatu sinyal

yang dinyatakan dengan variabel

waktu dan memenuhi : dimana k adalah bilangan bulat. T adalah perioda sinyal Disebut Periodic Time Function

tuntuktxkTtx

Contoh:

y = sin t adalah fungsi yang periodik

terhadap nilai t dengan perioda sebesar

2π, karena :

....

)4(sin

)2(sinsin

t

tt

Klasifikasi Sinyal

Fungsi Ganjil Vs Fungsi Genap

Suatu fungsi y = 𝑓 𝑥 dikatakan merupakan fungsi genap apabila 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 untuk seluruh nilai 𝑥. Grafik fungsi genap selalu simetri

terhadap sumbu 𝑦.

dan:

Suatu fungsi y = 𝑓 𝑥 dikatakan merupakan fungsi ganjil apabila 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 untuk seluruh nilai 𝑥. Grafik fungsi genap selalu simetri terhadap titik pusat (origin). .

Klasifikasi Sinyal

Fungsi Cosinus / Sinusoidal

dan:

)(sin btAty

)(cos btAty

Contoh 1:

y = sin t T = 2𝜋

alternatif penulisannya :

𝑦 = sin2𝜋

𝑇𝑡 atau 𝑦 = sin 2𝜋𝑓𝑡

|A| Amplitude

2𝜋

|𝛼|

Periode

b Phase Shift

Klasifikasi Sinyal

Fungsi Cosinus / Sinusoidal

Contoh 2 : Perubahan amplitudo

y = 3 sin t

)(sin btAty

)(cos btAty

|A| Amplitude

2𝜋

|𝛼|

Periode

b Phase Shift

Klasifikasi Sinyal

Fungsi Cosinus / Sinusoidal Contoh 3 : Perubahan Phase

Note: cosine is a shifted

sine function:

cos( ) sin( )2

t t

)(sin btAty

)(cos btAty

|A| Amplitude

2𝜋

|𝛼|

Periode

b Phase Shift

-

Klasifikasi Sinyal

Fungsi Cosinus / Sinus Contoh 4: Perubahan Perioda

y = Cos 4t T = 2𝜋

4=

𝜋

2

alternatif penulisannya :

𝑦 = cos2𝜋

𝑇𝑡 atau 𝑦 = cos 2𝜋𝑓𝑡

)(sin btAty

)(cos btAty

|A| Amplitude

2𝜋

|𝛼|

Periode

b Phase Shift

Deret Fourier

Fourier Series


Discrete Fourier


Function)

Continuous Fourier


Function)

Fourier Transform




Pe

rio

dic

Tim

e

fun

ctio

n

Ap

eri

od

ic T

ime

fu

nct

ion

ntbntaatfn

n

n

n sincos)(11

0

DERET FOURIER

dttfT

aT

T2/

2/0 )(

1ntdttf

Ta

T

Tn cos)(

2 2/

2/

ntdttfT

bT

Tn sin)(

2 2/

2/

DERET FOURIER

...3sin2sinsin...3cos2coscos)( 3213210 tbtbtbtatataatf

Dimana pada rentang − 𝑇2 hingga 𝑇 2 :

a0, an dan bn disebut koefisien deret Fourier dan jika koefisien-koefisien ini dapat ditentukan, maka deret pada persamaan diatas disebut deret Fourier untuk fungsi f(t).

...,3,2,1n

Harmonik pertama (fundamental) Harmonik kedua

n

n

n ntCatf

sin)(1

0DERET FOURIER

(Bentuk lain)

dttfT

aT

T2/

2/0 )(

1

nnc ban

22

n

nn

b

a1tan

DERET FOURIER

...3sin2sinsin)( 3322110 tctctcatf

Dimana pada rentang − 𝑇2 hingga 𝑇 2 :

...,3,2,1n

nnnn ntcntbnta sinsincospersamaandari

Harmonik pertama (fundamental) Harmonik kedua

DERET FOURIER

Tentukan deret Fourier untuk suatu fungsi periodik f(x), dimana:

Untuk

Fungsi ini periodik untuk nilai x diluar rentang diatas dengan perioda 2π.

CONTOH 1

DERET FOURIER CONTOH 1

Dapat disimpulkan bahwa a0 sebenarnya adalah nilai rata-rata dari fungsi untuk

satu kali perioda (2π).


Untuk n bernilai ganjil:

Sehingga:


Untuk n bernilai genap:

Sehingga:


Misal K = 𝝅

Gambar (a) memperlihatkan grafik P1 yang merupakan bagian hasil penjumlahan pertama dari deret Fourier dari fungsi yang direpresentasikannya. Gambar (b) memperlihatkan grafik P2 (garis bersambung) yang merupakan hasil penjumlahan dari bagian pertama dan bagian kedua (garis putus-putus) dari deret Fourier tersebut.


Tentukan deret Fourier untuk fungsi f(x) = 2x pada rentang -π

hingga π.

DERET FOURIER LATIHAN 1

Tentukan deret Fourier untuk gelombang sinusoid searah yang diperlihatkan pada gambar berikut:

Fungsi adalah fungsi periodik dengan perioda sebesar 2π.

DERET FOURIER DERET FOURIER UNTUK FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL

Deret Fourier untuk fungsi periodik

genap f(x) yang memiliki perioda

sebesar 2π hanya memiliki suku-suku kosinus dan dapat memiliki suku konstanta.

DERET FOURIER FUNGSI GENAP

ntaatfn

n cos)(1

0

Deret Fourier untuk fungsi periodik

ganjil f(x) yang memiliki perioda

sebesar 2π hanya memiliki suku-suku sinus dan tidak memiliki suku konstanta.

DERET FOURIER FUNGSI GANJIL

ntbtfn

n sin)(1

DERET FOURIER

Tentukan deret Fourier untuk fungsi periodik tersebut.

LATIHAN SOAL

Fungsi tersebut periodik diluar rentang yang diberikan, dengan perioda = 4.

DERET FOURIER DERET FOURIER BENTUK KOMPLEKS / BENTUK EKSPONENSIAL

sincos

sincos

je

je

j

j

Formula Euler

j

ee

ee

jj

jj

2sin

2cos

Dari:

Diperoleh:

ntbntaatfn

n

n

n sincos)(11

0

Maka:

1

22

1

0)(n

T

ntj

nT

ntj

n

n ececctf

j

eeb

eeaatf

T

ntj

T

ntj

n

n

T

ntj

T

ntj

n

n22

)(

22

1

22

1

0

T

ntb

T

ntaatf

n

n

n

n

2sin

2cos)(

11

0

DERET FOURIER DERET FOURIER BENTUK KOMPLEKS / BENTUK EKSPONENSIAL

Dimana:

2

2

00

nnn

nnn

jbac

jbac

ac

dtetfT

c T

ntjT

Tn

22/

2/)(

1

T

ntj

nectf2

)(

bentuk kompleks atau bentuk eksponensial dari Deret Fourier.

1

22

1

0)(n

T

ntj

nT

ntj

n

n ececctf


Tentukan deret Fourier BENTUK KOMPLEKS untuk fungsi periodik tersebut.

Fungsi tersebut periodik diluar rentang yang diberikan, dengan perioda = 4.


Maka deret Fourier kompleksnya menjadi:


Untuk n genap, cn = 0, karena sin π = 0.

Dst

Dengan cara yang sama :

Transformasi Fourier

FOURIER ANALYSIS

Fourier Series


Discrete Fourier


Function)

Continuous Fourier


Function)

Fourier Transform




Per

iod

ic T

ime

fu

nct

ion

A

pe

rio

dic

Tim

e

fun

ctio

n

TRANSFORMASI FOURIER WAKTU KONTINU

Kita telah bahas bahwa signal periodik bisa direpresentasikan dengan menggunakan deret Fourier

Apakah signal yang tidak periodik (Aperiodik) bisa direpresentasikan juga dengan komponen - komponen frekuensi?

Jawabannya adalah, BISA yaitu dengan menggunakan TRANSFORMASI FOURIER


tfT

tftf TT

lim

tf

tfT


Dimana :

dtetfT

c T

ntjT

TTn

22/

2/)(

1

T

ntj

nT ectf2

)(


Bagaimana jika T∞

dtetfT

c T

ntjT

Tn

22/

2/)(

1

Untuk n = 0

Tc

10

n

n

n

T

n

cn

2

sin2

2sin 0

Untuk n = ±1,±2, …


Grafik vs.

untuk 2,5,10T

n

ncT

c

c

00 n

0n

0n

0n

ncT

ncT

ncT

2T

5T

10T


tjn

n

nT ectf 0)(

n

tjnT

T

tjn

T edtetfT

002/

2/)(

1

dtetfT

cT

T

tjn

Tn

2/

2/

0)(1

T

20

2

1 0

T

n

tjnT

T

tjn

T edtetf 00

0

2/

2/)(

2

1

0 dT

dedtetf

n

tjnT

T

tjn

T

00

2/

2/)(

2

1

dedtetf tjtj

)(

2

1

tftfT T

)(tf


Fourier Transform:

Inverse Fourier Transform:

dejFtf tj

)(

2

1)(

dtetfjF tj

)()(

)()()( jjFjFjF IR)(|)(| jejF

Magnitude

Phase


Contoh :

dtetfjF tj

)()( dte tj

1

11

1

1

tje

j)(

jj ee

j

sin2


Sifat-sifat Transformasi Fourier

Linearity

)()()()( 22112211 jFajFatfatfa F

Time Scalling

a

jF

aatf

||

1)( F

jFtf F)(



Time Shifting

0)( 0

tjejFttf

F

jFtf F)(



Frequency Shifting

)()( 00

jFetfj F

jFtf F)(

Contoh :



Differensiasi di kawasan waktu

)( jFtf F

)()(' jFjtf F jFtf F)(

jFj

dxxft 1

)(

F

Integrasi di kawasan waktu

LATIHAN SOAL

cos(0t)

1. Carilah Transformasi Fourier dari fungsi berikut


TF untuk fungsi fungsi istimewa

Fungsi Delta Dirac

01

00)(

t

tt

0 t

Disebut juga unit

impulse function.

dtett tj)()]([F 10

t

tje

F



Fungsi Cosinus

00

00

00

00

2

1

2

1

2

1)cos()][cos(

dtedte

dteeedtett

tjtj

tjtjtjtjF

F



Fungsi Pulsa

F

Fungsi Sinc

2

2sin

22

222/

2/

2/

2/

W

W

AWeej

A

eej

Ae

j

A

dtAedtetfjF

Wj

Wj

Wj

WjW

W

tj

W

W

tjtj

m

mmc

sinsin

Fungsi Sinc

jF

dth1g3 - matematika telekomunikasi ii

Documents