bab iii matematika ii
TRANSCRIPT
BAB III
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
1. Relasi dan Fungsi
2. Fungsi Khusus
3. Fungsi Surjektif, Injektif, dan Bijektif
4. Aljabar Fungsi
5. Fungsi Komposisi
6. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
7. Fungsi Invers
81
LEMBAR KERJA SISWA 1
Mata Pelajaran : Matematika
Uraian Materi Pelajaran : Relasi dan Fungsi
Kompetensi Dasar Menggunakan sifat dan aturan fungsi komposisi
dalam pemecahan masalah
Kelas / Semester : XI IPS / I
Waktu : 3 x 45 menit
MATERI :
I. Pengertian produk Cartesius, Relasi dan Fungsi
A. Pengertian Produk Cartesius
Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka produk
Cartesius himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua
pasangan terurut (x,y) dengan x A dan y B dan ditulis AxB = {(x,y)
| x A dan y B}.
Contoh :
Misal A : {a, b, c} dan B : {1, 2}, tentukan :
a. A x B c. A x A
b. B x A d. B x B
Jawab :
a. A x B = {(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)}
b. B x A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
c. A x A = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}
d. B x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
B. Relasi
Misal :
A x B adalah produk Cartesius himpunan A dan B, maka relasi atau
hubungan R dari A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari
produk Cartesius A x B.
82
Pada relasi R = {(x,y)| x A dan x B} dapat disebutkan bahwa :
83
a. Himpunan ordinat pertama dari pasangan terurut (x,y) disebut
daerah asal (domain).
b. Himpunan B, disebut daerah kawan (kodomain).
c. Himpunan bagian dari B yang bersifat Ry dengan y B disebut
daerah hasil (range) relasi R.
Suatu relasi R = {(x,y) | x A dan x B} dapat ditulis dengan
menggunakan :
a. Diagram panah
b. Grafik pada bidang Cartesius
Contoh :
Relasi dari himpunan A : {1,2,3,4} ke himpunan B : {0,1,2,3,4}
ditentukan oleh f : {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} dapat dituliskan rumus
fungsi f : {(x,y) | y = x-1, x A, y B}.
Fungsi f disajikan dalam diagram panah sebagai berikut :
Domain : Df : {1,2,3,4}
Kodomain : Kf : {0,1,2,3,4}
Range : Rf : {0,1,2,3}
Relasi f
Fungsi f dapat digambarkan grafik pada bidang kartesius :
y
3
2
84
1 2 3 4
0 1 2
3 4
1
1 2 3 4 x
C. Fungsi atau Pemetaan
Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan,
jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat
hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.
f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f
dilambangkan dengan f : A B
jika x A dan y B, sehingga (x,y)
f, maka y disebut peta atau bayangan
dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan
lambang y : f (x)
(ditunjukkan dalam gambar disamping)
A B
y = f (x) : rumus untuk fungsi f
x disebut variabel bebas
y disebut variabel tak bebas
Contoh :
Diketahi f : A B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 x 4. x R}
a. Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).
b. Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang kartesius.
85
f : x y = f (x)
y =
f(x)
c. Tentukan daerah hasil dari fungsi f.
Jawab :
a. f (x) = 2x – 1, maka :
f (0) = -1
f (1) = 1
f (2) = 3
f (3) = 5
f (4) = 7
b. Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1
8 y = f (x) = 2x – 1
7
5
3
86
1
1 2 3 4 5-1 Daerah
asal
c. Daerah hasil fungsi f Rf = {y | -1 y 7, y R}
Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka
dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang
mungkin, sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah
asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami
(natural domain).
Contoh :
Tentukan daerah asal alami dari fungsi berikut :
1. f (x) =
Jawab :
f (x) = , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 0 atau x -1
Jadi Df : {x | x R, dan x -1}
2. g (x) =
Jawab :
g (x) = , supaya g (x) bernilai real maka :
4 – x2 0
x2 – 4 0
87
(x-2) (x+2) 0 -2 x 2
Jadi Dg = {x | -2 x 2, x R}
Latihan 1
1. Relasi-relasi himpunan A : {a,b,c,d} ke himpunan B : {1,2,3,4} berikut ini
manakah yang merupakan fungsi / pemetaan (gambarkan terlebih dulu
diagram panahnya).
a. f = {(a,1), (b,2), (c,3), (d,4)}
b. g = {(a,2), (b,2), (c,3), (d,3)}
c. h = {(a,4), (b,1), (b,3), (c,2), (d,4)}
d. i = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4)}
e. j = {(a,1), (b,1), (c,1), (d,1)}
2. Relasi-relasi yang disajikan dalam bentuk grafik kartesius manakah yang
merupakan pemetaan atau fungsi ?
a. b.
y y
0 x 0 x
88
c. d.
y y
0 x 0 x
3. Diketahui fungsi f : R R dinyatakan dengan rumus f (x) = x2 – 1.
Jika daerah asal f adalah Df : {x | -3 x 3, x R}
a. Tentukan f (-3), f (-2), f (0), f (1), f (2), f (3).
b. Gambarkan grafik fungsi f (x) = x2 – 1 dalam bidang kartesius.
c. Tentukan daerah hasil fungsi f.
d. Tentukan nilai a jika diketahui f (a) = 3.
4. Tentukan daerah asal alami pada fungsi berikut !
a. f (x) =
b. g (x) =
c. f (x) =
d. g (x) =
89
LEMBAR KERJA SISWA 2
Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Fungsi KhususKompetensi Dasar : Menggunakan sifat dan aturan fungsi komposisi Dalam pemecahan masalahKelas / Semester : XI IPS / IWaktu : 3 x 45 menit
MATERI :
I. Beberapa Fungsi Khusus
Beberapa fungsi khusus meliputi :
A. Fungsi konstan
Fungsi konstan : semua anggota dalam himpunan A dihubungkan hanya
dengan sebuah unsur dalam himpunan B.
Ditulis dengan : f : x k, k : konstanta
Disajikan dalam :
a. Diagram panah b. Grafik pada bidang kartesius
y
y = f (x) = k(0,k)
x
B. Fungsi identitas
Fungsi identitas : semua unsur dalam himpunan A dihubungkan dengan
dirinya sendiri.
Ditulis dengan : f : x I (x) = x
Disajikan dalam :
a. Diagram panah b. Grafik pada bidang kartesius
y I (x) = x
45x
90
-10 1 2 3
5
-2-10 1 2
-2-10 1 2
C. Fungsi genap dan fungsi ganjil
Fungsi f : x f (x) disebut fungsi genap jika f (-x) = + f (x)
Fungsi f : x f (x) disebut fungsi ganjil jika f (-x) = - f (x)
Jika ada fungsi yang tidak memenuhi kedua pernyataan di atas disebut
fungsi tidak genap dan tidak ganjil.
Contoh :
1. Tentukan fungsi genap atau fungsi ganjil di antara fungsi berikut :
a. f (x) = x2 + 1
b. f (x) = x3
c. f (x) = x3 – 1
Jawab :
a. f (x) = x2 + 1
f (-x) = (-x)2 + 1 = x2 + 1 = + f (x)
Jadi f (x) = x2 + 1 adalah fungsi genap
b. f (x) = x3
f (-x) = (-x)3 = -x3 = - f (x)
Jadi f (x) = x3 adalah fungsi ganjil
c. f (x) = x3 – 1
f (-x) = (-x)3 – 1 = -x3 – 1
f (-x) + f (x) dan f (-x) -f (x)
Jadi f (x) = x3 – 1 bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil.
Contoh penyajian dalam grafik bidang kartesius
Fungsi genap Fungsi ganjil
y y = f(x) = x2+1 y y = f(x) = x3
(0,1) 0
x -1 1 x
Grafik fungsi genap selalu simetri Grafik fungsi ganjil selalu simetriAtau setangkup terhadap sumbu y atau setangkup terhadap titik asal 0
91
D. Fungsi Linier
Fungsi linier ditentukan dengan rumus f (x) = mx + n, m dan n adalah
konstanta, m 0.
Disajikan dalam grafik bidang kartesius :
Grafiknya berupa garis lurus yang
memotong dengan sumbu x di
x = dan memotong sumbu y di
y = n.
Nilai m adalah koefisien arah atau
gradien dan m = tg .
E. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat ditentukan dengan rumus f (x) = ax2 + bx + c.
a, b, c = konstanta dan a 0.
Grafik fungsi kuadrat disebut parabola.
F. Fungsi Modulus (fungsi mutlak)
Fungsi modulus disajikan dalam f : x |x| didefinisikan sebagai :
+ x, jika x > 0
|x| = 0, jika x = 0
- x, jika x < 0
Grafik fungsi f (x) = |x| ditunjukkan dalam gambar :
y y = |x|
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3 x
92
)
(o,n)
y = f(x) = mx + n
Contoh :
Diketahui fungsi f : x |x-1| dengan x R
a. Ditentukan f (-3), f (-2), f (-1), f (0), f (1), f (2), f (3)
b. Tentukan p, jika f (p) = 10
c. Tentukan q, jika f (q) = 4
d. Gambarkan grafik fungsi f dalam bidang kartesius
Jawab :
a. f (x) = |x-1|
f (-3) = |-3-1| = |-4| = 4 f (0) = |0-1| = |-1| = 1
f (-2) = |-2-1| = |-3| = 3 f (1) = |1-1| = |0| = 0
f (-1) = |-1-1| = |-2| = 2 f (2) = |2-1| = |1| = 1
f (3) = |3-1| = |2| = 2
b. f (p) = |p-1| = 10
p –1 = 10 atau p – 1 = -10
p = 11 atau p = -9
c. f (q) = |q-1| = 4
q –1 = 4 atau p – 1 = -4
p = 5 atau p = -3
d. Gambar grafik
y
-3 -2 -1 1 2 3 x
93
G. Fungsi Tangga atau Fungsi Nilai Bulat Terbesar
Fungsi nilai bulat terbesar disajikan dengan f : x [[x]], yaitu suatu
nilai bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x.
Grafik fungsi y : f (x) = [[x]], x R diperlihatkan dalam gambar sebagai
berikut :
Contoh :
-2 x < -1 [[x]] = -2
-1 x < 0 [[x]] = -1
0 x < 1 [[x]] = 0
1 x < 2 [[x]] = 1
2 x < 3 [[x]] = 2
y
3
2
1
-2 -1 1 2 3
-1
-2
Karena grafiknya menyerupai tangga, maka f (x) = [[x]] sering disebut
fungsi tangga.
Latihan 2
1. Gambarkan grafik fungsi berikut pada bidang kartesius
a. f : x 4
b. f : x 2x – 3
c. f : x x2 + 5x
d. f : x |4x-1|
94
2. Diantara fungsi-fungsi berikut mana yang merupakan fungsi ganjil dan
mana yang merupakan fungsi genap.
a. f (x) = 3x + 1
b. f (x) = x2 – 6
c. f (x) =
d. f (x) =
3. Gambar grafik fungsi modulus f (x) = |x| - 1 pada bidang kartesius.
4. Gambarkan grafik fungsi g (x) = [[2x-1]] dengan x R pada bidang
kartesius.
95
LEMBAR KERJA SISWA 3
Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi BijektifKompetensi Dasar : Menggunakan sifat dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah.Kelas / Semester : XI IPS / IWaktu : 2 x 45 menit
MATERI :
A. Fungsi Surjektif
Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi
kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B
atau Rf = B.
Contoh dalam diagram panah
A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c}
Fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan
terurut : f = {(1,a), (2,c), (3,b), (4,c)}.
Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf
: {a,b,c} dan Rf = B maka fungsi f adalah
fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi
kepada.
Fungsi f : A B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya
jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari
himpunan B atau Rf B.
Contoh :
A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c}
fs f : A B dinyatakan dalam pasangan
terurut f : {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}.
Tampak bahwa daerah hasil fs f : Rf : {a,b}
dan Rf B, maka fungsi f adalah fungsi into
atau fungsi ke dalam.
96
A f B
1
2
3
4
a
b
c
1
2
3
4
a
b
c
A f B
B. Fungsi Injektif
Fungsi f : a B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika
untuk tiap a1, a2 A dan a1 a2 berlaku f (a1) f (a2).
Contoh :
A : {1,2,3} , B : {a,b,c}
f : A B dinyatakan dalam pasangan
terurut f : {(1,a), (2,b), (3,c)}.
Tampak bahwa tiap anggota A yang
berbeda mempunyai peta yang berbeda di B
Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu.
C. Fungsi Bijektif
Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus
merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif.
Contoh :
A : {1,2,3} , B : {a,b,c}
fs f : A B, dinyatakan dalam pasangan
terurut f : {(1,a), (2,c), (3,b)}.
Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi
surjektif sekaligus fungsi injektif.
fungsi f adalah fungsi bijektif atau
korespondensi satu-satu.
Latihan 3
1. Fungsi-fungsi berikut adalah fungsi-fungsi dari himpunan A : {p,q,r} ke
himpunan B : {a,b,c}. Manakah yang merupakan fungsi surjektif.
a. f : {(p,a), (q,b), (r,c)} c. h : {(p,c), (q,r), (r,a)}
b. g : {(p,a), (q,b), (r,b)} d. k : {(p,b), (q,b), (r,c)}
97
1
2
3
a
b
c
A BFungsi f
1
2
3
a
b
c
A BFungsi f
2. Fungsi-fungsi berikut adalah fungsi-fungsi dari himpunan A : {1,2,3,4}
B : {a,i,u,e,o}, manakah yang merupakan fungsi injektif.
a. f : {(1,a), (2,e), (3,i), (4,o)}
b. g : {(1,a), (1,e), (1,i), (1,o), (1,u)}
c. h : {(1,a), (2,e), (3,i), (4,u)}
d. k : {(,a), (2,a), (3,e), (4,e)}
3. Diantara fungsi-fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi injektif ?
a. y : f (x) = 2x – 1
b. y : f (x) = x2
c. y : f (x) = x3
4. Fungsi-fungsi berikut adalah fungsi-fungsi dari himpunan A : {0,2,4,6} ke
himpunan B : {a,b,c,d}, manakah yang merupakan fungsi bijektif.
a. f : {(0,a), (2,c), (4,b), (6,d)}
b. g : {(0,b), (2,b), (4,a), (6,d)}
c. h : {(0,d), (2,b), (4,a), (6,c)}
98
LEMBAR KERJA SISWA 4
Mata Pelajaran : Matematika
Uraian Materi Pelajaran : Aljabar Fungsi
Kompetensi Dasar : Menggunakan sifat dan aturan fungsi komposisi
dalam pemecahan masalah.
Kelas / Semester : XI IPS / I
Waktu : 2 x 45 menit
MATERI :
Jenis operasi aljabar sering dijumpai dalam himpunan bilangan real, seperti
penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan perpangkatan.
Operasi aljabar pada bilangan real dapat diterapkan pada aljabar fungsi, yaitu
jika diketahui fungsi f (x) dan g (x), dan n bilangan rasional.
Operasi aljabar pada fungsi ditetapkan sebagai berikut :
1. Jumlah fungsi f (x) dan g (x) ditulis (f + g) (x) = f (x) + g (x)
2. Selisih fungsi f (x) dan g (x) ditulis (f – g) (x) = f (x) – g (x)
3. Perkalian fungsi f (x) dan g (x) ditulis (f x g) (x) = f (x) x g (x)
4. Pembagian fungsi f (x) dan g (x) ditulis (x) =
5. Perpangkatan fungsi f (x) dengan bilangan n ditulis fn (x) = {f (x)}n
Contoh :
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan
g (x) =
Tentukan nilai fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan domain alaminya.
a. (f + g) (x) d. (x)
b. (f – g) (x) e. f3 (x)
c. (f x g) (x)
99
Jawab :
Domain alami fs f adalah Df : {x | x R}
Domain alami fs g adalah Dg : {x | x ½ , x R}
a. Jumlah fungsi f (x) dan g (x) adalah
(f + g) (x) = f (x) + g (x) = 2x – 10 +
Domain alami fs (f + g) (x) adalah Df + g = {x | x ½ , x R}
b. Selisih fungsi f (x) dan g (x) adalah
(f – g) (x) = f (x) – g (x) = 2x – 10 -
Domain alami fs (f – g) (x) = Df – g = {x | x ½ , x R}
c. Perkalian fungsi f (x) dan g (x) adalah
(f x g) (x) = f (x) x g (x) = (2x – 10) ( ) = 2x - 10
Domain alami fs (f x g) (x) = Df x g = {x | x ½ , x R}
d. Pembagian fungsi f (x) dengan g (x) adalah
(x) = =
Karena bagian penyebut tidak boleh nol, maka domain alami fungsi
(x) adalah = {x | x > ½ , x R}
e. Perpangkatan fungsi f (x)
f3 (x) = {f (x)}3 = (2x – 10)3 = 8x3 – 160x2 + 800x – 1000
Dari contoh di atas, terlihat bahwa jika Df adalah domain alami fungsi f, dan
Dg adalah domain alami fungsi g maka domain alami dari fungsi-fungsi f + g, f
– g, f x g, adalah irisan dari Df dan Dg ditulis Df Dg.
Latihan 4
1. Fungsi f dan g ditentukan oleh rumus
f (x) = x2 + 1 dan g (x) =
Tentukan :
a. (f + g) (x) dan (f + g) (2)
100
b. (f – g) (x) dan (f – g) (-2)
c. (f x g) (x) dan (f x g) (1)
d. (x) dan (-1)
e. f2 (x) dan f2 (3)
f. g2 (x) dan g2 (-2)
2. Fungsi f dan fungsi g ditentukan oleh rumus
f (x) = dan g (x) = x2 – 2
Tentukan fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan domain alaminya.
a. (f + g) (x) d. (x)
b. (f – g) (x) e. (x)
c. (f x g) (x) f. g2 (x)
101
LEMBAR KERJA SISWA 5
Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Fungsi KomposisiKompetensi Dasar : Menggunakan sifat dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah.Kelas / Semester : XI IPS / IWaktu : 3 x 45 menit
MATERI :
1. Pengertian komposisi fungsi
Dari dua buah fungsi f (x) dan g (x) dapat dibentuk fungsi baru dengan
menggunakan operasi komposisi. Operasi komposisi dilambangkan
dengan o (dibaca : komposisi atau bundaran).
Fungsi baru yang dapat dibentuk dengan operasi komposisi itu adalah :
a. (f o g) (x) dibaca : f komposisi gx atau fgx
b. (g o f) (x) dibaca : g komposisi fx atau gfx
1) Misal fungsi
g : A B ditentukan dengan y = g (x)
f : B C ditentukan dengan y = f (x)
Fungsi komposisi f dan g ditentukan dengan :
h (x) = (f o g) (x) = f (g(x))
2) Misal fungsi
f : A B ditentukan dengan y = f (x)
g : B C ditentukan dengan y = g (x)
Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan :
h (x) = (g o f) (x) = g (f (x))
Contoh :
Misal fungsi f : R R dan g : R R ditentukan dengan rumus f (x) =
3x – 1 dan g (x) = 2x.
Tentukan : a. (f o g) (x) b. (g o f) (x)
102
Jawab :
a. (f o g) (x) = f (g (x))
= f (2x)
= 3 (2x) – 1 = 6x – 1
b. (g o f) (x) = g (f (x))
= g (3x – 1)
= 2 (3x – 1) = 6x – 2
2. Syarat Komposisi Fungsi
Contoh 1
Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :
f : {(-1,4), (1,6), (2,3), (8,5)}
g : {(3,8), (4,1), (5,-1), (6,2)}
Tentukan :
a. f o g d. (f o g) (2)
b. g o f e. (g o f) (1)
c. (f o g) (4) f. (g o f) (4)
Jawab :
Pasangan terurut dari fungsi f dan g digambarkan dalam diagram panah
(pemetaan).
a. (f o g) = {(3,5), (4,6), (5,4), (6,3)}
g f
(f o g)
103
3 4 5 6
81-12
5 6 4 3
b. (g o f) = {(-1,1), (1,2), (2,8), (8,-1)}
f g
(g o f)
c. (f o g) (4) = 6
d. (f o g) (2) tidak didefinisikan
e. (g o f) (1) = 2
f. (g o f) (4) tidak didefinisikan
Contoh 2
Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut
f : {(0,1), (2,4), (3,-1), (4,5)}
g : {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}
Tentukan : a) f o g b) g o f
Jawab :
Dg Rg Df Rf
(f o g)
f g
Df Rf Dg Rg
(g o f)
104
-1 1 2 8
4 6 3 5
1 2 8-1
fg
2 1 5 6
1 4-1 5
0 2 3
7 4
0 2 3 4
2 3 7 0
1 4 -1
5 6 2
Dari contoh 1 dan 2 dapat disimpulkan syarat fungsi komposisi (f o g)
adalah :
Hasil irisan antara daerah hasil fungsi g dengan daerah asal fungsi f
bukan himpunan kosong.
Rg Df
Daerah asal fungsi komposisi (f o g) adalah himpunan bagian dari
daerah asal fungsi g.
D(f o g) Dg
Daerah hasil fungsi komposisi (f o g) adalah himpunan bagian dari
daerah hasil fungsi f.
R(f o g) Rf
Contoh :
Diketahui fungsi f : R R dan g : R R ditentukan dengan rumus :
f (x) = 2x + 1 dan g (x) =
Tentukan :
a. (f o g) (x)
b. (g o f) (x)
c. Daerah asal (f o g) (x) dan daerah hasil (f o g) (x)
d. Daerah asal (g o f) (x) dan daerah hasil (g o f) (x)
Jawab :
f (x) = 2x + 1
Daerah asal Df : {x | x R} daerah hasil Rf : {y | y R}
g (x) =
Daerah asal Dg : {x | x 0, x R}, daerah hasil Rg : {y | y 0, y R}
a. (f o g) (x) = f (g (x)) = f ( ) = 2 + 1
b. ( g o f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 1) =
c. Daerah asal (f o g) (x) = D(f o g) = {x | x 0, x R}
Daerah hasil (f o g) (x) = R(f o g) = {y | y 1, y R}
Tampak bahwa D(f o g) = Dg dan R(f o g) Rf
d. Daerah asal (g o f) (x) = D(g o f) = {x | x ½ , x R}
105
Daerah hasil (g o f) (x) = R(g o f) = {y | y o, y R}
Tampak bahwa D(g of) Df dan R(g o f) = Rg
Latihan 5
1. Fungsi f dan g berikut adalah pemetaan dari R ke R. Tentukan rumus
untuk fungsi komposisi (f o g) (x) dan (g o f) (x).
a. f (x) = 4x – 2 dan g (x) = x2
b. f (x) = 5x + 2 dan g (x) = 4 – 2x
c. f (x) = x2 + x dan g (x) = x – 1
d. f (x) = x3 + x dan g (x) = 2x2
2. Fungsi f dan g dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut
f : {(2,-2), (4,-3), (5,0), (7,-1)}
g : {(-3,2), (-2,4), (-1,5), (0,7)}
Nyatakan fungsi-fungsi komposisi berikut dalam pasangan terurut
a. f o g d. f o g (6)
b. g o f e. g o f (-3)
c. f o g (5) f. g o f (0)
3. Fungsi f : R R dan g : R R ditentukan dengan rumus :
f (x) = x2 + 3 dan g (x) =
a. Tentukan daerah asal fungsi f dan fungsi g
b. Tentukan rumus (f o g) (x) dan (g o f) (x)
c. Tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi (f o g) (x)
d. Tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi (g o f) (x)
4. Diketahui fungsi f : R R ditentukan dengan rumus
f (x) = 2x2 – 1 , jika x 1
5x , jika x > 1
a. Hitung f (-2), f (-1), f (0), f (1) dan f (2)
b. Hitunglah (f o f) (-2), (f o f) (-1) dan (f o f) (2)
5. Fungsi f dan g adalah fungsi dari R ke R ditentukan dengan rumus
106
f (x) = dan f (x) =
Tentukan :
a. (f o g) (x)
b. (g o f) (x)
c. (f o g) (3)
d. (g o f) (4)
107
LEMBAR KERJA SISWA 6
Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : - Sifat-sifat komposisi fungsi
- Menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi lain diketahui
Kompetensi Dasar : Menggunakan sifat dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah Kelas / Semester : XI IPS / IWaktu : 3 x 45 menit
MATERI :
A. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Sifat-sifat operasi komposisi pada fungsi-fungsi dapat disimpulkan dengan
menggunakan beberapa contoh di bawah ini.
Contoh 1
Fungsi f : R R ditentukan oleh rumus f (x) = 3x – 5 dan g (x) = 2x2 – 1
Tentukan :
a. (f o g) (x) dan (g o f) (x)
b. dari hasil di atas apakah (f o g) (x) = (g o f) (x) ?
Jawab :
a. (f o g) (x) = ……
(g o f) (x) = ……
b. (f o g) (x) ………… (g o f) (x)
Kesimpulan : ………….
Contoh 2
Fungsi f : R R dan g : R R, h : R R ditentukan dengan rumus :
f (x) = x + 1 , g (x) = 3x dan h (x) = x2
Tentukan :
a. ((f o g) o h) (x) dan (f o (g o h)) (x)
b. Dari hasil di atas apakah (f o g) o h (x) = f o ( g o h) (x) ?
108
Jawab :
a. Misal k (x) = (f o g) (x) = f (g (x)) = ………
((f o g) o h) (x) = ( k o h) (x) = k (h (x)) = ………
Misal l (x) = (g o h) (x) = g (h (x)) = g (………) = ………
(f o (g o h)) (x) = (f o l) (x) = f (l (x)) = f (………) = ……
b. ((f o g) oh) (x) …………. (f o (g o h)) (x)
Kesimpulan :
……………………………………………………….
……………………………………………………….
Contoh 3
Fungsi f : R R dan I : R R ditentukan dengan rumus f (x) = x2 – 2x +
1 dan I (x) = x
Tentukan :
a. (f o I) (x) dan (I o f) (x)
b. dari hasil di atas apakah (f o I) (x) = (I o f) (x) ?
Jawab :
a. (f o I) (x) = f (I (x)) = f (………) = ………
(I o f) (x) = I (f (x)) = I (………) = ………
b. (f o I) (x) ……………… (I o f) (x)
Kesimpulan :
……………………………. …………………………….
Dari ketiga contoh di atas, beberapa sifat operasi komposisi pada fungsi-
fungsi dapat disimpulkan sebagai berikut :
1. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya ……
(f o g) (x) ……… (g o f) (x)
109
2. Operasi komposisi pada fungsi bersifat ……
((f o g) o h) (x) ……… (f o (g o h)) (x)
3. Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi ada sebuah unsur identitas
yaitu fungsi identitas I (x) = x sehingga
(f o I) (x) ……… (I o f) (x) ……… f (x)
B. Menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi yang lain
diketahui
Misal fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) sudah diketahui
maka fungsi g dapat ditentukan, demikian juga fungsi g dan fungsi
komposisi (f o g) atau (g o f) diketahui maka fungsi f dapat ditentukan.
Contoh 1
Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -2x + 3 dan f (x) = 2x + 1.
Tentukan fungsi g (x).
Jawab :
(f o g) (x) = -2x + 3
f (g (x)) = -2x + 3
2 (g (x)) + 1 = -2x + 3
2 g (x) = -2x + 2
g (x) =
g (x) = -x + 1
Jadi fungsi g (x) = -x + 1
Contoh 2
Diketahui fungsi komposisi (f o g) (x) = 4 – 2x dan fungsi g (x) = 2x + 2.
Tentukan fungsi f (x).
Jawab :
(f o g) (x) = 4 - 2x
f (g (x)) = 4 – 2x
f (2x + 2) = 4 – 2x
f (2x + 2) = 4 – ((2x + 2) –2)
110
= 4 – (2x + 2) + 2
f (2x + 2) = 6 – (2x + 2)
f (x) = 6 – x
Latihan 6
1. Misal fungsi f, g dan h dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut sebagai
berikut :
f : {(-6,4), (3,3), (2,5), (8,1)}
g : {(-4,-6), (2,3), (3,2), (7,8)}
h : {(0,-4), (1,2), (2,3), (3,7)}
Tentukan fungsi-fungsi komposisi berikut dalam bentuk pasangan terurut :
a. (g o h) c. (f o (g o h))
b. (f o g) d. ((f o g) o h)
2. Diketahui fungsi f, g dan h adalah pemetaan dari R ke R ditentukan
dengan rumus f (x) = , g (x) = dan h (x) = 3x – 1.
Tentukan : a. (f o (g o h)) (x)
b. ((f o g) o h) (x)
3. Tentukan rumus untuk fungsi g (x), jika diketahui :
a. f (x) = 4x + 1 dan (f o g) (x) = x2 – x – 1
b. f (x) = x2 – x + 4 dan (f o g) (x) = 3 – 2x
4. Tentukan rumus untuk fungsi f (x), jika diketahui
a. g (x) = 2x + 1 dan (f o g) (x) = x2 + x
b. g (x) = x + 3 dan (f o g) (x) = 2x – 4
5. Diketahui g (x) = 2 – x dan h (x) = x + 4 dan (f o (g o h)) (x) = x2 + 10x – 2,
tentukan rumus untuk fungsi f (x).
111
LEMBAR KERJA SISWA 7
Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Fungsi InversKompetensi Dasar : Menggunakan sifat dan aturan fungsi invers dalam Pemecahan masalahKelas / Semester : XI IPS / IWaktu : 3 x 45 menit
MATERI :
A. Pengertian Invers Fungsi
Jika fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut
f : {(a,b) | a A dan b B} maka invers dari fungsi f adalah f-1 : B A
ditentukan oleh :
f-1 : {(b,a) | b B dan a A}
Invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi
merupakan fungsi maka invers fungsi itu disebut fungsi invers.
Contoh :
1. Misal A : {-2, -1, 0, 1} , B : {1, 3, 4}.
Fungsi f : A B ditentukan oleh f : {(-2,1), (-1,1), (0,3), (1,4)}.
Carilah invers fungsi f, dan selidiki apakah invers fungsi f merupakan
fungsi.
Jawab :
Invers fungsi f adalah f-1 = B A ditentukan oleh :
f-1 : {(1,-2), (1,-1), (3,0), (4,1)}.
Fungsi f dan f-1 disajikan dalam gambar diagram panah
f f-1
A B B A
Terlihat bahwa f-1 adalah relasi biasa (bukan fungsi).
112
-2
-10 1
1 3 4
1 3 4
-2-1 0 1
2. Misal A : {1,2,3} B : {2,4,6,8}. Fungsi g : A B ditentukan oleh
g : {(1,2), (2,4), (3,6)}.
Tentukan invers fs g, dan selidiki apakah invers fungsi g merupakan
fungsi ?
Jawab : kerjakan sebagai latihan.
g g-1
A B B A
Terlihat bahwa g-1 adalah ………
3. Misal A : {a,b,c,d} dan B : {1,2,3,4}, fungsi h : A B ditentukan oleh
h : {(a,2), (b,1), (c,3), (d,4)}.
Carilah invers fungsi h dan seilidiki apakah invers fungsi h merupakan
fungsi ?
Jawab : kerjakan sebagai latihan
h h-1
A B B A
Fungsi h-1 adalah ……
Suatu fungsi f : A B mempunyai fungsi invers f-1 = B A jika dan
hanya jika f merupakan fungsi ……
B. Menentukan rumus fungsi invers
Beberapa langkah untuk menentukan rumus fungsi invers f-1(x) jika f (x)
diketahui adalah sebagai berikut :
113
1. Ubah persamaan y = f (x) dalam bentuk f sebagai fungsi y.
2. Bentuk x sebagai fungsi y pada langkah 1 dinamai dengan f-1(y).
3. Ganti y pada f-1(y) dengan x untuk memperoleh f-1(x). Maka f-1(x)
adalah rumus fungsi invers fungsi f (x).
Contoh :
1. Fungsi berikut adalah pemetaan dari R ke R. tentukan rumus
inversnya
a. f (x) = 2x + 2
b. f (x) = 3x – 6
Jawab :
a. f (x) = 2x + 2
y = f (x) = 2x + 2 x =
x = f-1(y) =
f-1(x) =
b. f (x) = 3x – 6
y = f (x) = 3x – 6 x =
x = f-1(y) =
f-1(x) =
2. Fungsi f ditentukan dengan rumus f (x) =
a. Tentukan rumus untuk f-1(x)
y = f (x) = y (1 + x )= x
y + yx = x
yx – x = -y
(y – 1) x = - y
x =
114
x = f-1(y) =
f-1(x) =
b. Df : {x | x -1 , x R}
c. Df-1 : {x | x 1, x R}
Latihan 7
1. Tentukan rumus fungsi invers f-1(x), fungsi berikut :
a. f (x) = 3x – 1
b. f (x) = - ½ x + 5
c. f (x) = 1/5 (x – 3)
d. f (x) = 3 (x – 2)
2. Tentukan rumus fungsi invers f-1(x) dan daerah asal alami fungsi f (x) dan
fungsi f-1(x) pada fungsi berikut.
a. f (x) =
b. f (x) =
c. f (x) =
3. Tentukan rumus fungsi invers f-1(x) dan daerah asal fungsi f (x) agar fungsi
f (x) mempunyai invers dan tentukan rumus fungsi inversnya, pada fungsi
berikut :
a. f (x) = (x – 1)2
b. f (x) = x2 – 4x + 2
c. f (x) = x2 – 3x + 1
SOAL-SOAL LATIHAN
Pilih jawaban yang paling benar !
115
1. Jika f(x) = x – 3 , maka f(x2) – 2 f(x) + {f(x)} 2 = ……
a. x2 – 6x + 9
b. x2 – 8x
c. 2x2 – 8x + 12
d. 2x2 – 4x + 12
e. 2x2 – 4x + 9
2. Jika f(x) = x2 – 2x – 17 , maka f(5) – 3f(2) = ….
a. -36
b. -10
c. 25
d. 49
e. 52
3. Jika f(x + 2) = x2 + 2x , maka f(x) = …..
a. 2x + x2
b. 2x - x2
c. –x2 + 2x
d. –x2– 2x
e. x2 – 2x
4. Diketahui f(x) = log x , g(x) = 3x – 2 dan h(x) = sin x , maka f o g o h (x) = ..
a. log sin 3x -2
b. log sin (3x -2)
c.
d.
e.
5. Jika f :R R , g, R R ,f(x) = dan g(x) = x2 maka f o g (3 ½) = …
a. 2
b. 1
116
c. 0
d. -1
e. -2
6. Jika g(x) = 3x + 1 dan g(f(x)) = 5x2 + x – 3 ,maka f(x) = …..
a. 1/3 (x2 – x - 4)
b. 1/3 (x2 – x + 4)
c. 1/3 ( x2 – x – 2)
d. 1/3 (5x2 + x + 4)
e. 1/3 (5x2+ x – 4)
7. Jika f(x) = (2x + 1) 2 dan g(x) = 8x2 + 8x + 5 , maka g(x) = ….
a. x +3
b. x – 3
c. 2x + 3
d. 2x – 3
e. 2x + ½
8. Fungsi berikut yang tidak memiliki fungsi invers adalah ….
a. y = x +1
b. y = x3
c. y = log x
d. y = x2 + 1000
e. y = 1 – 100 x
9. Jika diketahiu f(x) = sin x dan g(x) = x2 – 4x – 6 dan g o f (x) = 1 , maka
nilai sin 2x adalah ……
a. -2
b. – ½
117
c. 0
d. 1
e. 2
10. Invers dari adalah …..
a. y = x2
b. y = 2x
c. y = log x
d. y = 2x
e. y = 2 x + 1
118