1
STATISTIKA
Distribusi Normal
Statistika Distribusi Normal 2
Distribusi Binomial
Ingat contoh pemilihan 1 kegiatan (Kegiatan A) dari 4 kegiatan untuk didanai
Distribusi Binomial Histogram Distribusi Probabilitas Sukses
2
Statistika Distribusi Normal 3
Distribusi Binomial (2)
Ilustrasi contoh pemilihan kegiatanSetiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D).Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana).Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5×, 4×, 3×, 2×, 1×, 0×?
Statistika Distribusi Normal 4
Distribusi Binomial (3)
Setiap kali pemilihanprob(As) = probabilitas kegiatan A terpilihprob(As) = ¼ = 0.25 = pprob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilihprob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q
Dalam 5 kali pemilihanpeluang terpilih (sukses) 3 kali adalah
( ) ( ) 088.075.025.035
25.0,5;3,; 23 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== XX fpnxf
3
Statistika Distribusi Normal 5
Distribusi Binomial (4)
Dalam 5 kali pemilihan (n = 5)
1.000∑ =
0.00115
0.01554
0.088103
0.264102
0.39651
0.23710
peluang terjadijumlah kejadianjumlah sukses
koefisien binomial
Statistika Distribusi Normal 6
0.24
0.40
0.26
0.09
0.010.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0 1 2 3 4 5
frekuensi perolehan dana
prob
abili
tas
Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana
n=
5 ta
hun
4
Statistika Distribusi Normal 7
Distribusi Binomial
Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu yang lebih panjang
10 tahun20 tahunn tahun
diperoleh n + 1 kemungkinan hasilKegiatan A dapat memperoleh dana sejumlahn kali, n – 1 kali, ... 0 kali
Statistika Distribusi Normal 8
0.06
0.19
0.28
0.25
0.15
0.06
0.020.00 0.00 0.00 0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
frekuensi perolehan dana
prob
abili
tas
Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana
n=
10 ta
hun
5
Statistika Distribusi Normal 9
0.00
0.02
0.07
0.13
0.190.20
0.17
0.11
0.06
0.03
0.010.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
frekuensi perolehan dana
prob
abili
tas
Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana
n=
20 ta
hun
Statistika Distribusi Normal 10
Distribusi Binomial vs Kurva Normal
Apabila pemilihan (experimen) dilakukan sejumlah n kali dan n >>
histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan A memperoleh dana) memiliki interval kecilgaris yang melewati puncak-puncak histogram →kurva mulus berbentuk seperti lonceng
Kurva Normal
6
Statistika Distribusi Normal 11
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
frekuensi perolehan dana
prob
abili
tas
Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana
n=
20 ta
hun
Statistika Distribusi Normal 12
Kurva NormalDistribusi Normal
Kurva Normalberbentuk seperti lonceng dengan karakteristik tertentutidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal
Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut Distribusi NormalPermasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi normalLebih mudah dilakukan karena karakteristik distribusi normal telah diketahui (didefinisikan)
tabel distribusi normalperintah dalam MS Excel
7
Statistika Distribusi Normal 13
Distribusi Normal
Karakteristiksimetri terhadap nilai rata-rata (mean)score mengumpul di sekitar nilai rata-ratakisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit yang berada di luar kisaran 3 kali simpangan baku dari nilai rata-rata
Statistika Distribusi Normal 14
Distribusi Normal
μ μ+σ μ+2σ μ+3σμ−3σ μ−2σ μ−σ
–∞ +∞XX
Luas = 1
μ−4σ μ+4σ
8
Statistika Distribusi Normal 15
Distribusi Normal
μ μ+σ μ+2σ μ+3σμ−3σ μ−2σ μ−σ
–∞ +∞
XX
Luas = 0.9973
Luas
= 0
.001
35
Luas
= 0
.001
35
Statistika Distribusi Normal 16
μ–∞ +∞
pX(x)
Ν(μ,σ2)
( ) ( ) ( ) 2212122 σμ−−−πσ= x
X exp
9
Statistika Distribusi Normal 17
μ–∞ +∞
pX(x) μ1 = μ2 = μ3σ1 < σ2 < σ3
Ν(μ1,σ12)
Ν(μ2,σ22)
Ν(μ3,σ32)
Statistika Distribusi Normal 18
μ–∞ +∞
pX(x)μ1 < μ2 < μ3σ1 = σ2 = σ3
Ν(μ1,σ12) Ν(μ2,σ2
2) Ν(μ3,σ32)
10
Statistika Distribusi Normal 19
Distribusi Normal
Jika X berdistribusi normal, N(μ,σ2), maka probabilitas X ≤ x dapat dicari dengan:
( ) ( ) ( ) ( )∫∞−
σμ−−−πσ==≤
xt
X texPxX d2prob2221212
luas di bawah kurva pdf cdf
Statistika Distribusi Normal 20
pdf - cdf
μ–∞
pX(x)
PX(x)
0
1
+∞
cdf
11
Statistika Distribusi Normal 21
Distribusi Normal
Luas di bawah kurvamenunjukkan probabilitas suatu eventmenunjukkan percentile rankprob(X ≤ x) = prob(–∞ ≤ X ≤ x)
= luas di bawah kurva antara –∞ s.d. xprob(–∞ ≤ X ≤ +∞) = 1
= luas di bawah kurva antara –∞ s.d. +∞prob(X ≥ x) = prob(+∞ ≥ X ≥ x)
= luas di bawah kurva antara x s.d. +∞= 1 – prob(X ≤ x)
Statistika Distribusi Normal 22
Distribusi Normal
Probabilitasprob(X ≤ μ) = prob(X ≥ μ) = 0.50prob(μ−x ≤ X ≤ μ) = prob(μ ≤ X ≤ μ+x)
12
Statistika Distribusi Normal 23
Distribusi Normal
Probabilitasprob(X = x) = luas di bawah kurva antara x s.d. x
= 0prob(X ≤ x) = prob(X < x)prob(X ≥ x) = prob(X > x)prob(xa ≤ X ≤ xb) = prob(xa < X < xb)
Statistika Distribusi Normal 24
Distribusi Normal Standar
Distribusi normal umumnya disajikan dalam bentuk distribusi normal standar
dipakai nilai z scores
σμ−
=XzX
Z berdistribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1, N(0,1)
distribusi normal standar
13
Statistika Distribusi Normal 25
Distribusi Normal Standar
( ) +∞≤≤−∞π
= − zezp zZ
22
21
( ) ( ) ∫∞−
−
π==≤
zt
Z tezPzZ d21prob 22
Statistika Distribusi Normal 26
Distribusi Normal Standar
μ μ+σ μ+2σ μ+3σμ−3σ μ−2σ μ−σ
–∞ +∞
0 1 2 3−1−2−3
XX
ZZ
14
Statistika Distribusi Normal 27
Tabel Distribusi Normal Standar
Tabel z vs ordinat kurva normal standarz vs ordinat pdf (probability density function)
Tabel z vs luas di bawah kurvaz vs cdf (cumulative distribution function)luas kurva dari 0 s.d. zx
luas kurva dari –∞ s.d. zx
Statistika Distribusi Normal 28
Perintah (Fungsi) MS Excel
Distribusi NormalNORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative)
x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnyamean = nilai rata-rata (aritmetik)standard_dev = nilai simpangan bakucumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung cdf, FALSE jika ingin menghitung pdf
NORMINV(probability,mean,standard_dev)probability = probabilitas suatu distribusi normalmean = nilai rata-rata (aritmetik)standar_dev = nilai simpangan baku
15
Statistika Distribusi Normal 29
Perintah (Fungsi) MS Excel
Distribusi Normal StandarNORMSDIST(z)
menghitung nilai cdf distribusi normal standarNORMSINV(probability)
kebalikan dari NORMSDIST(z)mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui
IngatDistribusi Normal Standar
mean = 0simpangan baku = 1
Statistika Distribusi Normal 30
Perintah (Fungsi) MS Excel
Contoh 1NORMDIST(15,12,3,TRUE)
rata-rata = 12simpangan baku = 3prob(X < 15) = NORMDIST(15,12,3,TRUE) = 0.841
NORMINV(0.8,12,3)prob(X < x) = 0.8x = NORMINV(0.8,12,3) = 14.52
16
Statistika Distribusi Normal 31
Perintah (Fungsi) MS Excel
Contoh 2NORMSDIST(3)
rata-rata = 0simpangan baku = 1prob(Z < 3) = NORMSDIST(3) = 0.9987prob(0 < Z < 3) = NORMSDIST(3) – 0.5 = 0.4987prob(1 < Z < 3) = NORMSDIST(3) – NORMSDIST(1)prob(Z > 1.5) = 1 – NORMSDIST(1.5)
NORMSINV(0.65)prob(Z < z) = 0.65z = NORMSINV(0.65) = 0.385
Statistika Distribusi Normal 32
Perintah (Fungsi) MS Excel
TugasBuatlah tabel distribusi normal standar
tabel pdftabel cdf
Dapat memakai perintah MS Excel untuk mengerjakannya
17
Statistika Distribusi Normal 33
Fungsi Linear Distribusi Normal
Variabel random X berdistribusi normal, N(μ,σ2)Jika Y = a + b X, maka Y berdistribusi normal
N(a + b μ, b2σ2)
Statistika Distribusi Normal 34
Teorema Limit Sentral
Xi, i = 1,2,…,n masing-masing variabel random yang berdistribusi normal N(μ,σ2)
Jika n → ∞ distribusi sn mendekati (asimtotis) distribusi normal N(nμ,nσ2)
∑=
=n
iin Xs
1
18
Statistika Distribusi Normal 35
Kurva Normal Data Pengamatan
Perbandingan antara data pengamatan vsdistribusi normalContoh
data debit maximum (lihat tabel)klas ke-2: 200 – 300 m3/s 250 m3/sdebit rata-rata 659 m3/s ≈ 660 m3/ssimpangan baku debit 212 m3/s ≈ 210 m3/s
Statistika Distribusi Normal 36
Data Debit Puncak Sungai XYZTahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s)
1 473 23 1110 45 8432 544 24 717 46 4503 872 25 961 47 2844 657 26 925 48 4605 915 27 341 49 8046 535 28 690 50 5507 678 29 734 51 7298 700 30 991 52 7129 669 31 792 53 46810 347 32 626 54 84111 580 33 937 55 61312 470 34 687 56 87113 663 35 801 57 70514 809 36 323 58 77715 800 37 431 59 44216 523 38 770 60 20617 580 39 536 61 85018 672 40 708 62 82919 115 41 894 63 88720 461 42 626 64 60221 524 43 1120 65 40322 943 44 440 66 505
19
Statistika Distribusi Normal 37
Debit puncak Sungai XYZ selama 66 tahun
0
200
400
600
800
1000
1200
0 10 20 30 40 50 60 70
Tahun ke-
Deb
it (m
3 /s)
Statistika Distribusi Normal 38
Histogram Data PengamatanDebit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahun
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200
m3/s
Frek
uens
i Rel
atif
20
Statistika Distribusi Normal 39
Pengamatan vs TeoretikDebit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahun
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200
m3/s
Frek
uens
i Rel
atif
Distribusi Normal Teoretik
Data Pengamatan
Statistika Distribusi Normal 40
Pengamatan vs Teoretik
Expektasi frekuensi relatifklas ke-2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0293.04564.04857.0
210660200
210660300
200300
d2102
d2250
22
22
2106602121300
200
2
2121300
200
2
=−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
−=
⋅π⋅=
π==
−−−
−−−
∫
∫
ZZ
q
sQqQQ
FF
FF
qe
qesqf Q
21
Statistika Distribusi Normal 41
Pengamatan vs Teoretik
Cara lain untuk memperkirakan frekuensi relatif dalam suatu interval klas
( ) ( )
( ) ( ) ( )Q
iZiZiQ
iQiiQ
zpqzzpqp
qpqqf
σ==
⋅Δ=
dd
Statistika Distribusi Normal 42
Pengamatan vs Teoretik
Cara lain … (lanjutan)
( )
( ) 028.02100593.0100
0593.0
95.1210
660250m 250
m 100
:2
3
3
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=
−=−
=→=
=Δ
=
iQ
iZ
ii
i
qf
zp
zsq
sq
i
22
Statistika Distribusi Normal 43
Hitungan dan Penggambaran
Hitungan dan penggambaran dilakukan dengan spreadsheet: ST Contoh Data Debit
Statistika Distribusi Normal 44
Distribusi Normal vs Distribusi Random Kontinu
Umumnya distribusi normal cukup baik untuk mendekati distribusi-distribusi yang lain, baik distribusi diskrit atau kontinu
khususnya di bagian tengah distribusikurang baik di sisi pinggir (tail)
Apabila distribusi kontinu dipakai untuk mendekati distribusi diskrit, diperlukan koreksi
koreksi tengah interval, x – ½, x + ½misal: prob(X = x) prob(x – ½ < X < x + ½)
23
Statistika Distribusi Normal 45
Distribusi Normal vs Distribusi Random KontinuDiskrit
X = xx ≤ X ≤ yX ≤ xX ≥ xX < xX > x
Kontinux − ½ ≤ X ≤ x + ½x − ½ < X < y + ½X < x − ½X > x + ½X ≤ x − ½X ≥ x + ½