Vektor
Vektor 2
B E S A R A N
Skalar Vektor
massa, waktu, kecepatan, percepatan, jarak gaya
Arah
Besar
Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah
Penulisan vektor F = |F| atau F = F
F̂ F̂
Vektor vektor satuan besar vektor
Penjumlahan Vektor
s a b
Mengikuti hukum :• Komutatif :
a b b a
Assosiatif :
( ) ( )a b c a b c
Vektor adalah vektor yang memiliki besaran yang sama dengan vektor
tetapi berlawanan arah, bila dijumlahkan akan menghasilkan :
b
( ) ( ) 0b b
b
PENJUMLAHAN VEKTOR PENJUMLAHAN VEKTOR DENGAN JJ. GENJANGDENGAN JJ. GENJANG
AA
-A-A
BB
A
B
A+B
-A+B ? -A
B-A+B
A+B=?
PENJUMLAHAN VEKTOR PENJUMLAHAN VEKTOR DENGAN POLIGONDENGAN POLIGON
A
B
C
A+B+C ? AB
CA+B+C
A+(-B)+C ?
A-B
C
-A+B-C=?
CONTOH LAINCONTOH LAIN
SIFAT VEKTORSIFAT VEKTOR
PENJUMLAHAN DENGAN PENJUMLAHAN DENGAN GRAFISGRAFIS
30O
30O
F2=10 N Y
120O
F 1+F 2
F1=10 N
X30O
1 cm mewakili 2 N
5V2
cm
5 cm
5 cm
PENJUMLAHAN DENGAN PENJUMLAHAN DENGAN COSINUSCOSINUS
cos...2 212
22
1 VVVV HASIL RESULTAN DAPAT HASIL RESULTAN DAPAT DIHITUNG DENGAN RUMUS DIHITUNG DENGAN RUMUS COSINUS:COSINUS:
θ
V1
V2 R
cos...2 212
22
1 VVVV cos...2 21
22
21 VVVV R=
KOMPONEN VEKTORKOMPONEN VEKTOR
aO
FFY
FX
Contoh: F= 10 N, ao= 30Maka komponen vektor F adalahFX= F COS ao
= 10. COS 30O=
FY= F SIN ao
= 10. SIN 30O
= 10. (1/2)=5 N
N35321.10
F3
F2
F1
1
2
3
y
x
F1cos1
F1sin1
F2cos2
F2sin2
F3cos3
F3sin3
X YF1
F1cos F1sin
F2 F2cos F2sin
F3 F3cos F3sin
RX =….. RY = ….Jumlah
Komponen pd sumbuVektor Sudut
R = RX2 + RY
2
MENJUMLAH VEKTOR SECARA
ANALITIS
CONTOH PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ANALISIS. KONSEP PENTING:
- URAIKAN SETIAP VEKTOR MENJADI KOMPONENNYA
- BUAT TABEL DAN ISI- JUMLAHKAN
KOMPONEN VEKTOR YANG KEARAH SUMBU-X(DEMIKIAN PADA SUMBU-Y)
- HITUNG RESULTAN (R), DAN ARAHNYA
X
Y
A
B
C
30O60O
45O
R= 22XY RR ARAH VEKTOR R:
Tan θ=Ry/Rx
ANALISIS PADA TABEL
VEKTOVEKTORR
NILAI NILAI VEKTORVEKTOR(SATUAN(SATUAN
))
SUDUTSUDUT KOMP. KOMP. VEKTOR -XVEKTOR -X
KOMP. KOMP. VEKTOR - VEKTOR -
YY
AA 2020 3030OO
BB 2020 120120OO
CC 4040 225225OO
RRX=…….X=……. RRY= …….Y= …….
10√3 10
-10 10√3
-20√2 -20√2
JIKA √2=1,4 DAN √3=1,7MAKA JUMLAH RESULTANTE SBB
RX=-21 RY=-1
HITUNG BESAR R DAN ARAHNYA?
BESAR R=√(-21)2+(-1)2 ARAH R =√441+1 TAN AO=RY/RX =√442 = (-1/-21) = 21,…. SATUAN = …..
AO=…..
EXERCISE1. Tentukan Resultante dari :
a. – A – B (Jajaran genjang)b. – A – B + C (Poligon)c. – A + B (Grafis)
2. Tiga buah vektor gaya masing-masing 20 N, 5 N, dan 20 N membentuk sudut 60o, 150o, dan 315o terhadap sumbu X positif, tentukan:a. gambarnyab. komponen-komponen vektornyac. tabel analisis vektornyad. Resultante dan arahnya
Komponen vektor• merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem
koordinat
Komponen vektor : a
cos dan sinx ya a a a
disebut komponen skalar atau komponen
Besar vektor :
Khusus untuk penjumlahan 2 vektor ( ), besar vektor dapat dicari dengan rumus :
Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus trigonometri : Dalil cosinus :
Dalil sinus :
a 2 2 dan tan xx y
y
aa a aa
s2 2 2 coss a b ab
dan a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc
b a c ac
c a b ab
sin sin sina b c
Vektor satuan:
Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z diberi tanda : ˆˆ ˆ, dan i j k
Kita dapat tulis vektor dan sebagai berikut :a b
disebut komponen vektor
ˆ ˆx ya a i a j
ˆ ˆx yb b i b j
Penjumlahan vektor dengan komponen
, setiap komponen sama dengan
komponen
s a b
s
a b
x x x
y y y
z z z
s a bs a b
s a b
Perkalian vektor :
• Perkalian vektor dengan skalar : Jika vektor dikalikan dengan skalar s akan
menghasilkan vektor baru dengan besar nilai absolute s dengan arah jika s positif, dan berlawanan arah jika s negatif. Vektor dibagi dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s.
• Perkalian vektor dengan vektor : Menghasilkan skalar : Scalar ProductDikenal sebagai : Dot product
a
a
a
a
. cosa b ab
Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :
Scalar product berlaku hukum komutatif
Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :
Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :
. ( cos )( ) ( )( cos )a b a b a b
. .a b b a
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ. ( ).( )x y z x y za b a i a j a k b i b j b k
. x x y y z za b a b a b a b
Menghasilkan vector : Vector ProductDikenal sebagai : Cross Product
Dengan besar c adalah :
sinc ab
x a b c
Besaran x a b
ditulis x 0a b jika //a b
dan maksimum jika a b
Arah dari vektor tegak lurus bidang yang berisi vektor
c
dan a b dikenal sebagai hukum tangan kanan.
x ( x )b a a b
Penulisan dalam vektor satuan :
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ x ( ) x ( )x y z x y za b a i a j a k b i b j b k
ˆ ˆ ˆ ˆ x ( x ) 0x x x xa i b i a b i i
ˆˆ ˆ ˆ ˆ x ( x )x y x y x ya i b j a b i j a b k
Hasil akhir :
ˆˆ ˆ x ( ) ( ) ( )y z y z z x z x x y x ya b a b b a i a b b a j a b b a k
Latihan soal :• Dua buah vektor bertitik tangkap sama
saling mengapit dengan sudut . Jika besar vektor dua kali vektor dan , hitung !Jawab :
dan a b
a
b
3a b a b 2 2
2 2
2 cos
2 cos
a b a b ab
a b a b ab
2 2 2 22 cos 3 2 cosa b ab a b ab
2 216 cos 10 b b
051,32
• Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama.
Jawab :
Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus
Dalil Cosinus :
Dalil Sinus :
2 2 01 2 1 22 cos 45
458,721,4 satuan
r v v v v
rr
2 2 22 1 1
0
2 cos
297,7 342,4 cos =29,6
v v r v r
20
0
sin sin 13515(0,707)sin =29,7
21,4
v r
• Diketahui 3 buah vektor
Hitung besar vektor dan sudut antara vektor ini dengan sumbu zjika . Hitung juga sudut antara vektor ! Jawab :
ˆˆ ˆ1 3 4 ˆˆ ˆ1 2 2
ˆˆ ˆ3 1 3
a i j k
b i j k
c i j k
r2r a b c
dan a b
2 2 2ˆˆ ˆ( 2) ( 7) (13) ( 2) ( 7) (13) 14,9 satuanr i j k r
• Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan dan arahnya terhadap sumbu x positif. Vektor b
mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y. Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor tersebut.
Jawab :Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah:
Sehingga diperoleh :
0252
0 0 0252 90 162
0 . cos (5)(4)cos162 19 satuana b ab
0 x sin (5)(4) sin162 6,18 satuana b ab
VEKTOR SATUANVektor dapat dituliskan dalam vektor-vektor satuan. Sebuah vektor satuan mempunyai magnitudo/ukuran yang besarnya sama dengan satu (1). Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesis dinyatakan dengan i, j dan k yang saling tegaklurus.
x
y
zi
j
k
Vektor A dapat ditulis:
AAA
dan
AAAatau
kAjAiAA
zyx
zyx
ˆ
ˆˆˆ
kjiA
A
PERKALIAN VEKTOR
• Perkalian titikA.B = AB cos A.B = AxBx + AyBy + AzBz
• Perkalian SilangC = A x BC = AB sin Cx = AyBz – AzBy
Cy = AzBx – AxBz
Cz = AxBy – AyBz
C
B
A
B
A
ALJABAR VEKTORKesamaan vektorPenjumlahan vektorPengurangan vektorPerkalian vektor dengan
bilangan real
Kesamaan VektorMisalkan: a = a1i + a2j + a3k danb = b1i + b2j + b3k
Jika: a = b , maka a1 = b1a2 = b2 dana3 = b3
Contoh
Diketahui: a = i + xj - 3k danb = (x – y)i - 2j - 3kJika a = b, maka x + y = ....
Jawab:a = i + xj - 3k danb = (x – y)i - 2j - 3k
a = b1 = x - yx = -2; disubstitusikan1 = -2 – y; y = -3Jadi x + y = -2 + (-3) = -5
Penjumlahan Vektor
aaa
a
3
2
1
bbb
b
3
2
1
Misalkan:
dan
Jika: a + b = c , maka vektor
33
22
11
cbababa
Contoh
1-2p-3
a
36p
b
Diketah
ui:
Jika a + b = c , maka p – q =....
dan
24q
5-c
2 45
3)1(6 2
3qp
p
jawab: a + b = c
24
5
36p
1-2p-3
q
2 45
3)1(6 2
3qp
p
3 + p = -5 p = -8 -2p + 6 = 4q16 + 6 = 4q 22 = 4q q = 5½;Jadi p – q = -8 – 5½ = -13½
Pengurangan Vektor
Jika: a - b = c , maka c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 - b3)k
Misalkan: a = a1i + a2j + a3k danb = b1i + b2j + b3k
X
Y
O
A(4,1)
B(2,4)
a
b
Perhatikan gambar:
32-
vektor posisi:titik A(4,1) adalah:
14
a
titik B(2,4) adalah:
42
b
vektor AB =
Jadi secara umum: ab AB
14
42
ab
32-
14
a
42
b
32-
AB
vektor AB =
Contoh 1
Jawab:
Diketahui titik-titik A(3,5,2) danB(1,2,4). Tentukan komponen-komponen vektor AB
232
253
- 421
ab AB
232
AB Jadi
Contoh 2Diketahui titik-titik P(-1,3,0)dan Q(1,2,-2). Tentukan panjang vektor PQ(atau jarak P ke Q)
Jawab: P(1,2,-2)
Q(-1,3,0)
PQ = q – p =
21
2
2-21
- 031-
221
p
031
q
21
2 PQ
222 )2()1(2PQ
39PQ Jadi
Perkalian Vektor dengan Bilangan Real
aaa
a
3
2
1
Misalka
n:Jika: c = m.a, maka
3
2
1
3
2
1
.
.
.c
amamam
aaa
m
dan m = bilangan real
ContohDiketahui:
Vektor x yang memenuhi a – 2x = 3b adalah....Jawab:misal
41
232
61
2
3
2
1
xxx
61-2
a
41-2
b
da
n
x
3
2
1
xxx