PENERAPAN TURUNAN FUNGSI DALAM EKONOMI

OLEH :KELOMPOK VIII

IRMAWATI RUPPU 210 120 178IRMA 210 120 181KIRAMAN 210 120 186RUHUL B. KHAIMUDDIN 210 120 205 HARFITRIANI 210 120 218

A. Elastisitas PermintaanElastisitas permintaan merupakan ukuran derajat kepekaan jumlah

barang yang diminta karena adanya perubahan harga barang tersebut.  % Perubahan jumlah yang dimiliki Eh = --------------------------------------------- % Perubahan harga barang tersebut  % ∆ Q/Q Eh = -------------- % ∆ P/P  P ∆Q = ---- x ------

Q ∆PUntuk ∆P → Ѳ maka : = lim P ∆Q ∆P→Q ----- . ------ Q ∆P P dQ = ------ . ------ Q dP  

Contoh :Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh Q = 25 – P2. Berapakah elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 2.Penyelesaian :

Fd : Q = 25 – P2

dY----- = - 2 PdX jika P = 2, maka Q = 25 – (2)2 = 21 P dQEh = ----- x ------ Q dP 2 = ----- - 2P 21

  8 = ---- 21

 Karena lebih kecil 1, maka permintaan terhadap barang tersebut bersifat in elastis.

B. Utilitas MarginalUtilitas marginal (marginal utility = MU) ialah tambahan

kepuasan yang diperoleh konsumen dari setiap tambahan konsumsi satu unit barat. Jadi utilitas marginal (MU) adalah turunan pertama dari kepuasan total.

Agar konsumen memperoleh kepuasan total yang maksimum jika dipenuhi syarat :

Contoh :Berapakah jumlah barang yang dibeli konsumen jika harga barang perunitnya adalah $20 dengan fungsi kepuasan konsumen sebagai berikut :TU = 220 Q – 0,5 Q2 – 200 dTU MU = --------- dQ  MU = 220 – Q

  

P = MU

Lanjutan

Kepuasan total maksimum jika P = MU, padahal P = 20 20 = 220 – Q Q = 200Jadi konsumen akan memperoleh kepuasan total jika membeli barang sebanyak 200 unit pada tingkat harga $20.Kepuasan total yang diperoleh konsumen adalah : TU = 220 (200) – 0,5 (200)2 – 200 = 48.000 – 20.000 – 200 = 23.800Jadi kepuasan total yang diperoleh konsumen diukur dengan jumlah uang adalah $23.800

C. Produk MarginalProduk marginal (Marginal Produk = PM )

adalah tambahan output yang dihasilkan karena ada penambahan pemakaian satu input satu unit.

TP = f (Q) dTPMP = ------- dx   dQMP = ------- Dx Q = tingkat output yang dihasilkanX = tingkat penggunaan input

Lanjutan

Selain konsep produksi marginal, dipakai pula konsep produksi rata-rata (Average Product = AP).Produksi rata-rata adalah hasil rata-rata per unit input : AP QTP = ------- = ------- X X

Syarat yang harus dipenuhi agar dalam memproduksi barang dapat memperoleh keuntungan yang maksimum adalah :

MP = harga input (Px) / harga output (pq)

Contoh :

Jika diketahui fungsi produksi sebuah perusahaan untuk menghasilkan output pada tingkat penggunaan input adalah :

Q = 35 + 41/2 X2 -1/3 X3

dQ MP = --------- = 9 X – X2

Dx Syarat keuntungan maksimum PxMP = ------- Pq 2009X – X2 = -------- 109X – X2 = 20X2 – 9X + 20 = 0(X – 4) (X – 5) = 0X1= 4 X 2 = 5

Lanjutan

Jika tingkat penggunaan pada input tersebut produksi marginalnya menurun, maka fungsi produksi marginalnya mempunyai curam negative. dMP m = --------- dx m = -2X + 9 untuk X = 4 untuk X = 5 m = -2(4) + 9 = 1 (berarti MP naik) m = -2(5) + 9 = -1 (berarti MP menurun)

Lanjutan Dengan demikian input yang digunakan agar

keuntungan produsen maksimum adalah 5 unit. Jumlah output yang dihasilkan.

Q = 35 + 4 ½ X2 – 0,3 (4)3

= 35 + 4 ½ (5)2 – 0,3 (4)3

= 35 + 72 – 21,339 = 105,83 TP QProduksi rata = AP + ----- = ----- X X 98 = ------ = 24 ½ 5Artinya pada tingkat penggunaan input X = 5 unit, setiap unit digunakan untuk menghasilkan 21,166 unit output.

D. Biaya Marginal Fungsi biaya total dapat dinyatakan dengan :TC = f (Q)TC = biaya variabel + biaya tetapQ = jumlah produk yang dihasilkan TC

AC = ------- QFungsi-fungsi biaya dapat berupa :a. Fungsi biaya linear

TC = aQ + b,a > 0,b = 0 TC b AC = ------ = a + ---- Q Q dTQ MC = -------- = a dQ

Lanjutan

b. Fungsi biaya kuadrat

TC = aQ2 + bQ + c,a > 0, b = 0, c = 0 TC c AC = ------ = aQ + b + ------ Q Q dTC MC = --------- = 2a.Q + b dQ

Contoh :

TC = 2 Q2 – 4Q + 8 TC 8AC = ------ = 2Q – 4 + ------ dQ Q dTC MC = ------- = 4Q – 4 dQ Fungsi biaya perangkat 3 (kubik)TC = aQ3 + bQ2 + cQ + d  TC dAC = ----- = aQ2 + bQ + c ----- Q Q dTC MC = ------- = 3 aQ2 + 2ab.Q + c dQ

E. Hubungan Antara Fungsi Biaya Rata-rata Dengan Biaya Marginal

Hubungan antara biaya rata-rata dan biaya marginal terjadi pada saat biaya rata-rata minimum maka biaya marginal sama dengan biaya rata-rata minimum tersebut.

Secara grafik ditunjukkan di mana kurva biaya rata-rata akan menjadi minimum (AC min) jika memotong kurva biaya marginal (MC). Prinsip ini dapat dibuktikan dengan menggunakan aturan turunan fungsi. dTCMisalkan TC = f (Q), maka biaya marginal : MC = TC1 = ------- dQ TCbiaya rata-rata : AC = -------- QAgar AC minimum, maka turunan pertamanya sama dengan nol. dAC TCAC min -------- = 0, maka karena AC = -----, maka dQ Q

Lanjutan TC1.Q – TC ----------------- = 0 Q2

TC1.Q – TC = 0 TC1.Q = TC TC TC1 = ------ Q dTC TC -------- = ----- Q Q

MC = AC, jadipada posisi AC minimum MC = AC, atau dTC TC ------- = ----- Q Q

Pada pembahasaan konsep biaya yang perlu diperhatikan : 1. TC, AC dan Mcharus selalu positif atau nol2. Q harus selalu positif atau nol. AC,MC

  MC AC AC minimum, AC = MC

0

 

Gambar : Hubungan antara fungsi MC dan AC

F. Penerimaan MarginalJika fungsi permintaan P = f (Q), maka

penerimaan total adalah hasil kali antara jumlah produk yang diminta dengan harga produk per unit.

TR = P.Q  TR AR = ----- Q dTR MR = --------- dQ

Penerimaan marginal didefinisikan sebagai tambahan penerimaan total sebagai akibat adanya tambahan penjualan satu unit produk.

Contoh : Dik. Fungsi permintaan produsen monopoli adalah 5 P = 10 - ---- Q 3 Tentukan penerimaan total maksimum ! Gambarkan kurva TR, AR, MR dalam satu diagram.

TR = P.QTR = (10 – 5/3 Q ).QTR = 10Q – 5/3 Q2

TR 5AR = ----- = 10 - ---- Q Q 3 dTR 10 MR = ------- = 10 - ------ Q dQ 3

Lanjutan

TR maksimum jika TR’ = 0 dan TR’’ < 0 10 10 – Q ------ = 0 3Q = 3 d2TR 10TR’’ = --------- = - ------ < 0 ( maksimum ) dQ 3 

Untuk Q = 3, TR = 10 (3) – 5/3 (3) = 30 – 15 = 15

Lanjutan

Jadi total penerimaan maksimum adalah 15 dan jumlah produk yang harus dijual Q = 3 dengan harga jual P = 5.

TR

15

10

5 Q 0 3 6 MR AR

G. Analisis Laba Maksimum

Produksi yang memberikan laba maksimum atau menimbulkan kerugian dapat diketahui dari besarnya penerimaan dan biaya total yang dikeluarkan. Dari analisis ini dapat diperoleh fungsi baru yaitu fungsi laba (π). Secara matematis dapat dirumuskan :

π = TR – TC atau π = ( P.Q ) – ( AC.Q ) π optimum jika π1 = 0 atau dπ/dQ = 0 dan π11 < 0

MR = MC dan dMR < Dmc

Lanjutan

dπ d(TC – MC)Karena ------ = 0 maka ----------------- = 0 dQ dQ dTR dTC ------- = ------- dQ dQ

  Jadi penentuan laba maksimum dapat diperoleh jika besarnya penerimaan marginal sama dengan biaya marginal.

Contoh :

Diketahui fungsi permintaan P = 24 – 8Q dan biaya total yang dikeluarkanditunjukkan oleh fungsi TC = 2Q2 + 4Q. Tentukan jumlah output yang harus diproduksi agar keuntungan yang diperoleh maksimum !

π = TR – TC TR = P.Q = (24 – 8Q).Q = 24Q – 8Q2 π = 24Q – 8Q2 – (2Q2 + 4Q) π = 10Q2 + 20Q

Lanjutan

Agar p optimum, maka π1 = 0 dan π11 < 0

π1 = -20Q + 20 = 020Q = 20 Q = 1 π11 = -20 < 0 (maksimum)untuk Q = 1, π = -10 (1)2 + 20 (1) π = 10

Jadi laba maksimum yang diperoleh sebesar 10 pada tingkat produksi 1.

TERIMAKASIH