Tugas 2: Mata Kuliah Metode Numerik
DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK
Oleh:
Kelompok V:
1. Diah Rahmawati (2011-84-202-016)
2. Istiqomah (2011-84-202-019)
3. Umi Tarwiyah (2011-84-202-035)
4. Transsiono (2011-84-202-046)
5. Paskalina Tarem (2010-84-202-038)
Dosen Pembina: KAMARIAH, S.Pd., M.Pd.
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUSAMUS MERAUKE2014
Tugas 2: Mata Kuliah Metode Numerik
DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK
Oleh:
Kelompok V:
1. Diah Rahmawati (2011-84-202-016)
2. Istiqomah (2011-84-202-019)
3. Umi Tarwiyah (2011-84-202-035)
4. Transsiono (2011-84-202-046)
5. Paskalina Tarem (2010-84-202-038)
Dosen Pembina: KAMARIAH, S.Pd., M.Pd.
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUSAMUS MERAUKE2014
i
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmat dan hidayah
darri-Nya tugas makalah Metode Numerik ini dapat terselesaikan dengan tepat
waktu. Tugas ini dapat terselesaikan atas bimbingan dan bantuan dari berbagai
pihak. Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada:
1. Ibu Kamariah S.Pd., M.Pd., dosen pembina mata kuliah Metode Numerik.
2. Orang tua tercinta yang selalu memberi motivasi dan limpahan do’a serta
kasih sayang kepada kami semua.
3. Rekan-rekan seperjuangan Pendidikan Matematika angkatan 2011 yang
selalu mejadi motivasi dan semua pihak yang tidak bisa kami sebut satu
persatu.
Penulis menyadari bahwa penulisan tugas makalah dengan judul
“Diferensiasi dan Integrasi Numerik” masih ada kekurangan. Oleh karena itu,
kritik dan saran yang membangun dari semua pihak, khususnya dosen pembina
mata kuliah sangat diharapkan guna perbaikan penulisan ini.
Semoga tulisan ini bermanfaat bagi kita semua.
Merauke, 28 Mei 2014
Penyusun
ii
DAFTAR ISI
HALAMAN SAMPUL..................................................................................... i
KATA PENGANTAR........................................................................................ ii
DAFTAR ISI..................................................................................................... iii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang........................................................................................
B. Rumusan Masalah...................................................................................
C. Tujuan......................................................................................................
D. Manfaat....................................................................................................
BAB II PEMBAHASAN
A. Diferensiasi Numerik...............................................................................
B. Nilai Maksimum dan Minimum dari Suatu Fungsi ................................
C. Integrasi Numerik....................................................................................
D. Metode Trapesoida..................................................................................
E. Metode Simpson........................................................................................
F. Integrasi Romberg.....................................................................................
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan.............................................................................................
B. Saran.......................................................................................................
DAFTAR PUSTAKA..........................................................................................
iii
BAB IPENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan dalam penulisan ini
dirumuskan sebagai berikut:
1. Bagaimanakah menghitung derivatif pertama (awal) dari suatu daftar nilai x
dan y?
2. Bagaimanakah menghitung derivatif tengah dari suatu daftar nilai x dan y?
3. Bagaimanakah menghitung derivatif kedua (akhir) dari suatu daftar nilai x
dan y?
4. Bagaimana menghitung integral tertentu dengan memakai Metode (Aturan)
Trapesoida?
5. Bagaimana menghitung integral tertentu dengan memakai Metode Simpson?
6. Bagaimana menghitung integral tertentu dengan memakai Integrasi
Romberg?
C. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah tersebut, maka tujuan dari penulisan ini
adalah:
1. Untuk mengetahui Diferensiasi Numerik.
2. Untuk mengetahui Nilai Supremum dan Infimum dari suatu Fungsi
Diferensiasi Numerik.
3. Untuk mengetahui suatu Integrasi Numerik.
4. Untuk mengetahui pengunaan Metode Trapesoida dalam Integrasi Numerik.
5. Mengetahui suatu Integrasi Numerik dengan menggunakan Metode Simpson.
6. Untuk mengetahui suatu Integrasi Romberg dalam Integrasi Numerik.
D. Manfaat Penulisan
1
Dengan adanya penulisan ini diharapkan dapat memberikan manfaat baik
secara:
1. Praktis
a. Bagi Mahasiswa
Sebagai bahan referensi dalam proses perkuliahan metode numerik agar
mudah untuk dipahami.
b. Bagi Penulis
Sebagai pengetahuan tambahan dalam mempelajari program mata kuliah
metode numerik.
2. Teoritis
Sebagai tambahan referensi materi perkuliahan metode numerik yang telah
ada sebelumnya agar lebih mudah dipahami.
2
BAB IIPEMBAHASAN
A. Diferensiasi Numerik
Metode yang umum untuk mencari formula diferensiasi numerik adalah
metode ferensiasikan interpolasi polinom. Oleh karenanya, hubungan tiap-tiap
formula yang dibicarakan pada interpolasi, kita pakai untuk memperoleh suatu
formula untuk derivatif. Sebagai ilustrasi, derifatif dengan formula selisih muka
Newton, metode derifatif tersebut sama dengan formula yang lainnya.
Perhatikan formula selisih muka Newton berikut:
y = y0 + u Δ y0 +u (u−1)
2 !Δ2 y0 +
u (u−1)(u−2)3 !
Δ3 y0 + . . . .. .. . .. .. .. . .. .(1)
dengan x = x0 + uh . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..(2 )
Maka
dydx
= dydu
.dudx
=1
h [Δ y0 + 2 u − 12
Δ2 y0 + 3 u−6 u+26
Δ3 y0+ . .. ] . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . (3 )
Formula (5.3) dapat dipakai untuk menghitung nilai
dydx untuk nilai-nilai x yang
tidak didaftar. Untuk nilai-nilai x yang didaftar, diberikan formula dalam bentuk
sederhana, dengan mengambil x = x0 sehingga diperoleh u = 0 dari (5.2), dan
dalam hal ini (5.3) memberikan:
[ dydx ]
x= x0
= 1h [Δ y0 − 1
2Δ2 y0+
13
Δ3 y0−14
Δ4 y0 +.. .] . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(4 )
Dengan mendeferensiasi (5.3) sekali lagi, kita peroleh
d2 ydx2
= 1h2 [Δ2 y0+
6 u−66
Δ2 y0+12u3−36 u+2224
Δ4 y0+.. .] .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(5)
Dari (5.5) diperoleh
[ dy2
dx2 ]x=x0
= 1h2 [Δ2 y 0−Δ3 y0−
1112
Δ4 y0−.. .] .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(6 )
3
Formula untuk turunan (derivatif) yang lebih tinggi dapat diperoleh dengan
diferensiasi berturut-turut. Dengan cara yang sama, formula diferensiasi dapat
dicari dengan memulai formula interpolasi lainnya.
Dengan demikian, maka:
a) Formula selisih belakang Newton memberikan:
[ dydx ]
x= x0
= 1h [∇ yn+
12
∇ 2 yn +13
∇3 yn+. ..] . . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(7 )
[ dy2
dx2 ]x=x0
= 1h2 [∇2 yn+∇ 3 yn +
1112
∇ 4 yn+56
∇5 yn+. ..] . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .(8)
b) Formula Stirling memberikan:
[ dydx ]
x= x0
= 1h [ Δy−1+Δy 0
2−1
6Δ3 y−2 +Δ3 y−1
2+ 1
30Δ5 y−3+ Δ5 y−2
2+. ..] .. . .. . (9)
[ dy2
dx2 ]x=x0
= 1h2 [Δ2 y−1−
112
Δ4 y−2+1
90Δ6 y−3+
56
∇ 5 yn−.. .] . .. .. . .. .. . .. .. . (10 )
Bila derivatif yang diinginkan dekat ke akhir dari suatu daftar, salah satu dari
formula berikut dapat digunakan untuk memperoleh ketelitian yang tinggi:
hy0' =(Δ−1
2Δ2+1
3Δ3−1
4Δ4+1
5Δ5−1
6Δ6+1
7Δ7−1
8Δ8+. . .) y0 .. . .. .. . .. .(11)
= (Δ−12
Δ2−16
Δ3+112
Δ4−120
Δ5+130
Δ6−142
Δ7+156
Δ8+. .) y−1 . .. . .. . (12)
h2 y0''= (Δ2−Δ3+11
12Δ4−5
6Δ5+137
180Δ6−7
10Δ7+363
560Δ8+. ..) . . .. .. . .. .. . .. .. .. . .(13)
=(Δ2− 1
12Δ4+ 1
12Δ5−13
180Δ6+11
180Δ7−29
560Δ8+.. .) y−1. . .. .. . .. .. . .. .. .(14 )
hyn' =(∇+1
2∇2+1
3∇ 3+1
4∇4+1
5∇5+1
6∇6+1
7∇7+1
8∇8+ .. .) yn .. . .. .. (15 )
=(∇−12
∇ 2−18
∇3−112
∇ 4−120
∇5−130
∇ 6 142
∇7−156
∇8+. ..) yn+1 .. . .. (16 )
4
h2 yn''= (∇2+∇3+11
12∇ 4+5
6∇ 5+137
180∇ 6+7
10∇7+363
560∇8+.. .) yn . .. .. . ..(17 )
= (∇2−112
∇4−112
∇5−13180
∇ 6−11180
∇ 7−29560
∇ 8−.. .) y n−1 . .. . .. .. . . (18)
Contoh 1:
Dari tabel nilai x dan y berikut, carilah
dydx dan
d2 ydx2
untuk x = 1,2
x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,7 2,0 2,2
y 27,183 33,201 40,552 49,330 60,496 73,891 90,250
Jawab:
Daftar selisih dari tabel di atas adalah
x y 1,0
27,183
0,6018
1,2
33,201 0,1333
0,7351 0,0294
1,4
40,552 0,1627 0,0067
0,8978 0,0361 0,0013
1,6
49,530 0,1988 0,0080 0,0001
10,966 0,0441 0,0014
1,8
60,496 0,2429 0,0094
13,395 0,00635
2,0
73,891 0,2964
16,359
2,2
902,520
Di dalam soal ini, x0=1 , 2 , y0 = 3 ,3201 , dan h = 0,2 .
Dengan menggunakan formula (11) diperoleh:
5
2 3 4 5 6
[ dydx ]
x= x0
= 1h [Δ − 1
2Δ2+ 1
3Δ3−1
4Δ4+ 1
5Δ5] y0 , jadi
[dydx ]
x=1,2= 1
0,2 [0 ,7351−12
(0 ,1627 )+13
(0 , 0361 )−14
(0 , 0080 )+15
(0 ,0014 )]= 3 , 3205
Bila digunakan formula (12), maka kita harus menggunakan selisih diagonal dari
0,6018 dan memberikan hasil:
[dydx ]
x= x0
= 1h [Δ +1
2Δ2 +1
6Δ3+1
12Δ4 +1
20Δ5] y−1 , jadi
[dydx ]
x=1,2= 1
0,2 [0 ,6018+12
(0 ,1333 )−16
(0 , 0294 )+112
(0 , 0067 )−120
(0 , 0013 )]= 3 , 3205 , sama seperti di atas .
Dengan cara yang sama, formula (13) memberikan
[d2 ydx2 ]
x= x0
= 1h2 [Δ2 −Δ3 +11
12Δ4−5
6Δ5] y0 , jadi
[d2 ydx2 ]
x=1,2
= 10 , 04 [0 ,1627−0 ,0361+11
12(0 , 0080 )−5
6(0 , 0014 )]
= 3 ,318
Dengan menggunakan formula (14) kita peroleh:
[d2 ydx2 ]
x= x0
= 1h2 [Δ2 −11
12Δ4 +1
12Δ5] , jadi
[d2 ydx2 ]
x=1,2
= 10 , 04 [0 ,1333−11
12(0 , 0067 )+1
12(0 , 0013 )]
= 3,32
Contoh 2:
Hitunglah derivatif ke satu dan ke dua dari tabel fungsi pada contoh 1 di titik
x = 2,2 dan juga [ dy
dx ]x=2,0
Jawab:
6
Kita gunakan tabel selisih pada contoh 1.
Dalam soal ini, xn=2,2 , yn=9 , 0250 dan h= 0,2 .
Dengan menggunakan formula (15) didapati:
[dydx ]
x= xn
= 1h [∇ +1
2∇2−1
3∇ 3+1
4∇ 4+1
5∇ 5] yn , jadi
[dydx ]
x=2,2= 1
0,2 [1 , 6359+12
(0 , 29364 )+13
(0 ,0535 )+14
(0 ,0094 )+15
(0 ,0014 )]= 9 , 0228 , dan
[d2 ydx2 ]
x= xn
= 1h2 [∇2+∇ 3+11
12∇ 4+5
6∇ 5] yn, jadi
[dydx ]
x=2,2= 1
0 , 04 [0 , 2964+0 ,0535+1112
(0 ,0094 )+56
(0 ,0014 )]= 8,992
Untuk mencari [ dy
dx ]x=2,0 , kita dapat menggunakan formula (15) atau (16).
Dalam dalam soal ini, xn=2,2 , yn=9 , 0250 dan h= 0,2 .
Formula (15), memberikan hasil:
[dydx ]
x= xn
= 1h [∇+1
2∇2 +1
3∇3+1
4∇ 4+1
5∇ 5+1
6∇ 6] y0 , jadi
[dydx ]
x=2,0
= 10,2
¿ [1, 3395+12
(0 , 2429 )+13
(0 ,0441 )+14
(0 , 0080 )+15
(0 ,0013 )+ ¿]¿¿
¿
¿
¿
Dengan menggunakan formula (16) kita peroleh
[dydx ]
x= xn
= 1h [∇ −1
2∇2−1
6∇3−1
12∇ 4−1
20∇5] yn+1 , jadi
[dydx ]
x=2,0= 1
0,2 [1, 6359−12
(0 ,29364 )−16
(0 , 0535 )−112
(0 , 0094 )−120
(0 , 0014 )]= 7,3896
Contoh 3
7
Carilah
dydx dan
dy
dx2 di titik x = 1,6 untuk daftar x dan y pada contoh 1.
Jawab:
Kita pilih x0=1,6 , maka dengan formula (9) diperoleh
[ dydx ]
x= x0
= 1h [ Δy−1+Δy 0
2−1
6Δ3 y−2 +Δ3 y−1
2+ 1
30Δ5 y−3+ Δ5 y−2
2+. ..]
[dydx ]
x=1,6= 1
0,2 [0 ,8978+1 , 09662
−16
0 , 0361+0 , 04412
+130
0 ,0013+0 , 00142 ]
= 4 ,9527
Dengan cara yang sama, formula (10) memberikan hasil:
[d2 ydx2 ]
x= x0
= 1h2 [Δ2 y−1 −1
12Δ4 y−2 +
190
Δ6 y−3] , jadi
[d2 ydx2 ]
x=1,6
= 10 ,04 [0 ,1988−1
12(0 , 0080 )+1
90(0 , 0001 )]
= 4,9525
B. Nilai Maksimum Dan Nilai Minimum Dari Daftar Suatu Fungsi
Sudah kita ketahui bahwa nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi
dapat dicari dengan menyamakan derivatif (turunan) pertama sama dengan nol
(0), sehingga diperoleh nilai variabel yang menyebabkan nilai suatu fungsi itu
maksimum atau minimum.
Dengan cara yang sama seperti disebutkan di atas, dapat digunakan pula
untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu daftar fungsi.
Perhatikan formula selisih muka Newton berikut:
y = y0 + p Δ y0 +p( p−1 )
2Δ2 y0+
p( p−1 )( p−2 )6
Δ3 y0+ .. .
Bila formula tersebut dideferensiasi ke p, kita peroleh:
dydp
=Δ y0+2 p−1
2Δ2 y0+
3 p2−3 p+26
Δ3 y0+.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . ..(19 )
8
Nilai maksimum atau minimum diperoleh, bila
dydp
= 0. Karena itu, ruas kanan
dari formula (19) disederhanakan, dengan menganggap sesudah selisih ketiga
sama dengan nol, diperoleh bentuk kuadrat dalam p seperti berikut:
c0+c1 p+c2 p2=0 . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. (20 )
di mana,
c0=Δ y0−12
Δ2 y0+13
Δ3 y0
c1=Δ2 y0−Δ3 y0 .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(21)
c2=12
Δ3 y0
Nilai x dapat dicari dari relasi x=x0+ ph
Sebagai ilustrasi pelajari contoh berikut:
Contoh 4
Dari tabel berikut, carilah x teliti sampai dua temapt decimal, untuk nilai y
maksimum, dan carilah nilai maksimum y tersebut.
x 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6y 0,9320 0,9636 0,9855 0,9975 0,9996
Jawab:
x y 1,2
0,9320
0,03161,3
0,9636 -0,0097
0,02191,4
0,9855 -0,0099
0,01201,5
0,9975 -0,0099
0,00211,6
0,9996
9
2
Misal x0 = 1,2 maka dari formula (19), berhenti sesudah selisih kedua, diperoleh:
dydp
=Δ y0+2 p−12
Δ2 y0=0
0= 0 , 0316+2 p−12
(−0 ,0097 )
p = 3,8
Diperoleh juga, x=x0+ ph = 1,2+3,8 (0,1)=1 ,58
Untuk nilai x tersebut, formula selisih belakang Newton xn=1,6 ( yn=0 , 9996 ) ,
diperoleh:
y ( x )= yn+ p ∇ yn+p ( p+1)2!
∇2 yn , dengan
p =x−xn
n= 1,5−1,6
0,1=−0,2, dan
y (1,58 )=0 ,9996−0,2 (0 , 0021 )+−0,2 (−0,2+1 )2
(−0 , 0099 )
= 0 , 9996−0 ,0004+0 , 0008= 1,0
C. Integrasi Numerik
Masalah (problema) umum dari integrasi numerik dapat dinyatakan sebagai
berikut:
Diberikan sekumpulan titik-titik (x0 , y0 ) , (x1 , y1) , . .. , (xn , yn ) dari fungsi y =
f(x), di mana bentuk eksplisit dari f(x) tidak diketahui, dan dari data (keterangan)
tersebut akan dihitung nilai integral tentu berikut:
I =∫b
ay dx . . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..(22 )
Seperti di dalam diferensiasi numerik, f(x) akan di aproksimasikan oleh
interpolasi polinom q(x), dan hasilnya pada integrasi tersebut adalah nilai dari
aproksimasi integral tentu. Jadi, perbedaan formula integrasi bergantung pada
bentuk dari formula integrasi yang dipakai. Dalam bagian ini formula umum
untuk integrasi numerik akan dipakai formula selisih muka dari Newton.
10
Misalkan interval [a,b] dibagi menjadi n interval bagian, sedemikian hingga
a = x0 < x1 , x2< .. .<xn=b . Jadi xn=x0+nh , maka kita peroleh:
I =∫x 0
xn y dx
Aproksimasi y oleh formula selisih muka Newton, kita peroleh
I =∫x 0
xn [ y0+ pΔ y0+p( p−1)
2Δ2 y0+
p( p−1)( p−2)6
Δ3 y0+.. .] dx
Karena x=x0+ ph maka dx = h . dp , dan karenanya integral di atas
menghasilkan:
I = h∫0
n [ y0+ pΔ y0+p ( p−1 )
2Δ2 y0+
p( p−1 )( p−2 )6
Δ3 y0+. . .] dp
Dan setelah disederhanakan diperoleh:
∫x0
xny dx=nh[ y0+
n2
Δ y0+n(2 n−3 )12
Δ2 y0+n(n−2 )2
24Δ3 y0+. ..] . .. . .. .. . .. ..(23 )
Dari formula umum (23), kita peroleh macam-macam formula integrasi dengn
mengambil n = 1,2,3,… dan seterusnya. Dalam pembicaraan kita di sini, hanya di
ambil untuk n = 1 dan n = 2, karena untuk n = 1 dan n = 2 akan diperoleh hasil
yang cukup teliti untuk pemakaian praktis.
Untuk metode Simpson
38 dan metode Weddle berturut-turut diperoleh untuk n =
3 dan n = 6 dari formula umum (23) yang akan dibicarakan pada bagian
berikutnya.
D. Metode (Aturan) Tropesoida
Untuk n = 1 dalam formula umum (23) dan semua turunan yang lebih dari
turunan pertama sama dengan nol, kita peroleh:
11
∫x0
x1 y dx = h [ y0+
12
Δ y0]= h [ y0+
12
( y1− y0)]= h
2 [ y0+ y1] .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..(24 )
Untuk interval berikutnya [ x1 , x2] , dengan cara yang sama akan kita peroleh:
∫x1
x2 y dx = h2
[ y1 , y2 ] . . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .(25)
Dan untuk interval terakhir [ xn−1 , xn ] , kita peroleh
∫n−1
xn y dx = h2
[ y n−1 + yn ] .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(26 )
Menggabungkan hasil-hasil tersebut di ats, kita peroleh aturan (hukum) berikut:
∫x0
xn y dx = h2 [ y0+2 ( y1 + y2 +.. .+ yn−1 )+ yn ] .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .(27 )
Yang disebut “Metode (Aturan) Trapesoida”
Secara geometri “Metode Trapesoida” dapat dijelaskan sebagai berikut:
Untuk memperoleh hasil aproksimasi ∫a
bf ( x ) dx
, dengan nilai-nilai fungsi f
diketahui dari sekumpulan nilai x yang berjarak sama pada interval [ a , b ] . Kita
tulis nilai-nilai x danxr ( x=0 , 1 , 2 ,. .. , n ) di mana, x0=a , xr=x0+rh ,
xn=x0+nh = b , dan h konstanta, dan kita tulis nilai-nilai yang
berkorespondensi dengan xr oleh fr, yaitu fr = f (xr )= f ( x0+rh ). Lihat gambar
berikut ini:
f(x) f
c
d
f0 f1 f2 fn-1 fn
12
A B E
0 x0 = a x1 x2 xn-1 xn = b x
Gambar 1
Karena kita tidak mengetahui bentuk dari grafik f(x), akan kita gunakan
aproksimasi pertama dari kurva tersebut oleh titik-titik yang terletak pada kurva
yaitu titik-titik (xr , f r ) dan (xr+1 , f r+1) untuk r = 0,1,2,…,(n-1) yang dihubungkan
oleh suatu garis lurus (lihat gambar 1).
Persamaan garis lurus yang menghubungkan titik (x0 , f 0 ) dan (x1 , f 1) adalah:
y = f 0 + ( x−x0) ( f 1−f 0
x 1−x0)
Maka dengan aproksimasi f(x) dalam interval [ x0 , x1] , kita lihat bahwa:
∫x0
x2 f ( x ) dx ≃ luas daerah trapesium ABCD (lihat gambar 1)
=∫x0
x1 [ f 0+(x−x0 )( f 1−f 0
x1−x0)] dx
=f 0 ( x1−x0 )+12
(x1−x0 )2 (f 1−f 0
x1−x0)
¿12
h ( f 0+ f 1 )
Demikian juga
∫x1
x2 f ( x ) dx ≃ luas daerah trapezium ABCD (lihat gambar 1)
= 12
h ( f 0+ f 1)
Berdasarkan hal di atas, jumlah semua luas trapesium di antara x = a dan x = b,
dapat diperoleh sebagai berikut:
∫a
bf ( x ) dx =∫x 0
xn f ( x ) dx
=∫x0
x1f ( x ) dx +∫x1
x2f ( x ) dx + . ..+∫xn−1
xnf ( x ) dx
13
≃
12
h ( f 0+ f 1)+ 12
h ( f 1+f 2)+. ..+ 12
h ( f n−1+ f n)
= 1
2h (f 0+2 f 1+.. .+2 f n−1+ f n)
Apabila formula terakhir ini, kita substitusikan f(x) = y, sehingga y0= f 0 , y1= f 1 ,
…, yn= f n dan a = x0 serta b = xn kita peroleh formula:
∫x0
x1 y dx = h2 [ y0+2 ( y1 + y2+. . .+ yn−1 )+ y n ]
, yang sama seperti formula (27).
Catatan:
Perhatikan integrasi numerik, dilakukan apabila:
i. Fungsi yang akan di integrasi sedemikian hinggga tidak ada metode analitik
untuk menyelesaikannya.
Contoh: ∫a
b √sin x dx
ii. Metode analitik ada (bisa dipakai), tetapi kompleks:
Misalnya: ∫a
b 1
1+ x4dx
iii. Fungsi yang akan di integrasi, bentuk eksplisitnya tak diketahui, tetapi
diberikan nilai-nilai variabel bebasnya dan nilai-nilai fungsi yang
berkorespondensinya di dalam suatu interval [a,b].
Contoh 5
Gunakan aturan trapesoida untuk menghitung ∫2
4f ( x ) dx
dengan
menggunakan data berikut:
x f(x)2,0 1,73212,5 1,87083,0 2,00003,5 2,1213
4, 2,2361
14
0
Jawab:
Pada soal ini, dari data yang diketahui h = 0,5 dan dengan menggunakan
metode trapesoida diperoleh:
∫2
4f ( x ) dx≃
12
× 0,5 [1 , 7321+2 (1 , 8708+2 , 0000+2 ,1213 )+2 ,2361 ]
= 0 , 25 (15 , 9524 )=3 ,9881
Kekeliruan dari formula trapezoida dapat ditentukan dengan jalan:
Misalkan y = f(x) kontinu dan mempunyai derivatif dalam[ x0 , xn ] . ekspansi y
dalam deret Taylor di sekitar x = x0, memberikan:
∫x0
x1 y dx =∫x0
x1 ¿¿¿¿
¿¿
Kita peroleh pula:
h2 [ y 0 + y1 ] = h
2 [ y0+ y0+h y0' +h2
2y0
} } + { {h rSup { size 8{3} } } over {6} } y rSub { size 8{0} } rSup { size 8{+.. .]= h y0 +h2
2y0
} } + { {h rSup { size 8{3} } } over {4} } y rSub { size 8{0} } rSup { size 8{+. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .(29)
Dari formula (28) dan (29) kita peroleh
∫x0
x1 y dx − h2
[ y0+ y1 ] =− 112
h3 y0} } size 12{+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \( 30 \) }} { ¿¿¿
Yang merupakan kekeliruan dalam interval [ x0 , x1] .Dengan cara yang sama, kita peroleh kekeliruan-kekeliruan di dalam setiap
interval bagian: [ x1 , x2] , [ x2 , x3] , …, [ xn−1 , xn ] . Jadi kita peroleh semua kekeliruan
(E) berikut:
E =− 112
h3 ( y0} } +y rSub { size 8{1} } rSup { size 8{+. ..+ yn−1
} } \) . . . . . . . . . . . . . . . . . \( 31 \) } { ¿¿¿
15
Dengan E disebut kekeliruan total. Apabila ruas kanan pada formula (31)
disubstitusikan y left ( { bar {x}} right )`=` left (y rSub { size 8{0} } rSup { size 8{ ¿+ y1} } + . . . +y rSub { size 8{n - 1} } rSup { size 8{¿¿¿, maka kita peroleh
E =−(b−a )12
h2 y left ( { bar {x}} right ) . . . . . . . . . . . . . . . \( 32 \) } {¿
Karena nh = (b-a).
E. Metode Simpson
Metode Simpson diperoleh dari persamaan (23) untuk n = 2, yaitu dengan
aproksimasi parabolis.
Maka kita peroleh:
∫x0
x2 y dx = 2 h [ y0+ Δ y0+
16
Δ2 y0]= 2 h [ y0+ ( y1− y0)+1
6Δ ( Δ y0)]
¿ 2h [ y1+16
Δ ( y1− y0 )]¿ 2h [ y1+
16 ( Δ y1−Δ y0) ]
= 2h [ y1+16 {( y2− y1)−( y1− y0 )}]
¿ 2h [ y1+16
( y2−2 y1+ y0 )]¿ 2h [16 y0+
23
y1+16
y1]¿ h
3 [ y0+4 y1+ y2 ]Dengan cara yang sama diperoleh pula
∫x2
x4 y dx = h3
[ y2 +4 y3+ y4 ]
Dan terakhir kita peroleh:
∫xn−2
xn y dx = h3
[ yn−2+4 y n−1 + yn ],
Jumlah dari semua hasil di atas, kita peroleh:
16
∫x0
xny dx =
h3 [ y0+4 ( y1+ y3 + y5+. . .+ yn−1) ]
= 2 [ ( y 2+ y4+ y6+ .. .+ yn−2 )+ yn ] .. .. . .. .. . .. .. . .(33)
Dengan formula (33) disebut Metode Simpson
13 atau disingkat Metode Simpson.
Di dalam metode ini interval integrasi dibagi menjadi interval bagian yang
banyaknya genap dengan jarak h.
Seperti pada Metode Trapesoida, kekeliruan pada Metode Simpson dapat
ditunjukkan sebagai berikut:
∫a
bf ( x ) dx =
h3 [ y0+4 ( y1+ y3+ y5+. . .+ yn−1)+2 ( y2+ y 4+ y6+. ..+ yn−2)+ yn]
=−(b−a )180
h4 y4 ( x̄ ) ,. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(34 )
Dimana y4 ( x̄ ) adalah nilai terbesar dari derivative ke-4.
Contoh 6
Gunakan Metode Simpson untuk menghitung ∫2
4f ( x ) dx
bila nilai x dan f(x)
diketahui berikut:
x f(x)
2,0 1,7321 ( y 0)
2,5 1,8708 ( y1 )
3,0 2,0000 ( y2 )
3,5 2,1213 ( y3 )
4,0 2,2361 ( y5 )
Dari data di atas kita peroleh h = 0,5, dan dengan menggunakan Metode Simpson
kita peroleh:
∫2
4f ( x ) dx ≃
h3 [ y0+4 ( y1+ y3)+2 ( y2)+ y 4 ]
17
=0,53
[1 , 732+4 (1 , 8708+2 , 1213 )+2 (2, 000 )+2, 2361 ]
= 0,53
(23 , 9366 )
= 3 , 9894 dibulatkan kelima angka signifikan
Contoh 7
Sebuah bangun (benda) yang dibatasi oleh sumbu x, garis x = 0, garis x = 1,
dan kurva yang melalui titik-titik pada daftar berikut diputar mengelilingi sumbu
X.
x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
y 1,0000 0,9896 0,9589 0,9089 0,8415
Estimasilah volume benda yang terjadi, dan hitunglah teliti sampai tiga desimal.
Jawab:
Bila V adalah volume benda yang terjadi, maka kita peroleh:
V = π ∫0
1y2dx
Dari formula terakhir ini kita perlukan nilai-nilai y2 seperti pada tabel
berikut, teliti samapai empat tempat desimal.
x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
y 10,000 0,9793 0,9195 0,8261 0,7081
Dengan h = 0,25 Metode Simpson memberikan:
V = πh3 [ y0+4 ( y1+ y3)+2 ( y2)+ y 4 ]
= π0 ,253
[1 ,0000+4 (0 , 9793+0 , 8261 )+2 (0 ,9195 )+0 , 7081 ]= 2,819
Contoh 8
Evaluasi I = ∫0
1 11+x
dx, teliti ke tiga tempat desimal.
Kita selesaikan contoh ini dengan menggunakan Metode Trapesoida dan Metode
Simpson, dengan mengambil h = 0,5, h = 0,25 dan h = 0,125.
i. Untuk h = 0,5, maka nilai x dan y ditunjukkan oleh tabel berikut:
18
x 0 0,5 1,0
y 1,0000 0,6667 0,5
a. Metode Trapesoida memberikan:
I =14
[1 ,0000+2 (0 , 6667 )+0,5 ]= 0 , 708
b. Metode Simpson memberikan:
I =16
[1 ,0000+2 (0 , 6667 )+0,5 ]= 0 , 694
ii. Untuk h = 0,25 daftar nilai x dan y adalah:
x 0 0,25 0,50 0,75 1,00
y 1,0000 0,8000 0,6667 0,5714 0,5
a. Metode Trapesoida memberikan:
I =18
[1 ,0000+2 (0 , 8000+0 , 6667+0 , 5714 )+0,5 ]= 0 , 697
b. Metode Simpson memberikan:
I =112
[1 ,0000+4 (0 ,8000+0 ,5714 )+2 (0 ,6667 )+0,5 ]= 0 ,693
iii. Untuk h = 0,125, daftar nilai x dan y adalah:
x 0 0,125 0,250 0,375 0,5 0,625 0,750 0,875 1,0
y 1,0 0,88890,800
00,7273 0,6667 0,6154 0,5714 0,5333 0,5
a. Metode Trapesoida memberikan:
I=116
[1 ,0000+2 (0 ,8000+0 ,7273+0 ,6667+0 ,6154+0 ,5714+0 , 5333 )+0,5 ]= 0 , 694
b. Metode Simpson memberikan:
19
I =124
¿ [1 ,0000+2 (0 , 8889+0 ,7273+0 ,6154+0 ,53330 )+ ¿ ]¿¿
¿
¿¿
Dari hasil perhitungan di atas, nilai dar I adalah 0,693 teliti sampai tiga tempat
desimal. Nilai yang eksak dari I adalah e log 2 atau ln 2, yang sama dengan
0,693147… contoh tersebut menunjukkan bahwa pada umumnya, Metode
Simpson lebih teliti daripada Metode Trapesoida.
F. Integrasi Romberg
Metode ini sering digunakan untuk memperbaiki hasil aproksimasi oleh
metode selisih terhingga. Metode ini dipakai untuk evaluasi numerik dari integral
tentu, misalnya dalam penggunaan aturan trapesoida, dapat ditentukan seperti
berikut:
Perhatikan integral tertentu.
I =∫a
by dx
Dan evaluasilah integral tersebut dengan aturan trapesoida formula (27) dengan
dua interval bagian yang berbeda dengan panjang h1 dan h2 untuk memperoleh
aproksimasi nilai-nilai I 1dan I 2 .
Maka persamaan (32) memberikan kekeliruan E1 dan E2 sebagai:
E1 =−112
(b−a ) h12 y ` left ( { bar {x}} right ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \( 35 \) } {} # E rSub { size 8{2} } `=` - { {1} over { 12} } left (b - a right )`h rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } `y ( ¯̄x ) . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(36 ) ¿
Karena suku y ` left ( { bar bar {x}} right )} {¿ dalam formula (36) adalah nilai terbesar dari y ` left (x right )} {¿, maka
cukup beralasan untuk dianggap bahwa y ̀left ( { bar {x}} right )} {¿ dan y ` left ( { bar bar {x}} right )} {¿ adalah sama.
Sehingga kita peroleh:
E1
E2
=h1
2
h22
dan berdasarkan perbandingan itu diperoleh pula
20
E2
E2−E1
=h2
2
h22−h1
2
Karena E2−E1 = I 2−I 1 , maka diperoleh:
E2=h2
2
h22−h1
2 ( I 2−I 1) .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. ..(37 )
Oleh karena itu kita peroleh aproksimasi baru I 3 yang didefinisikan oleh:
I 3 = I 2−E2
I 3 = I 2 −h2
2
h22−h1
2 ( I 2−I 1)
I 3 =I 1 h2
2−I 2 h12
h22−h1
2. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . ..(38 )
Yang umumnya, formula (38) akan mendekati nilai yang sebenarnya. Bila kita
substitusikan h2=
12
h1=12
h. Persamaan (38) dapat ditulis dalam bentuk
I (h ,12
h) = 13 [ 4 I ( 1
2h)−I (h )] . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(39)
Di mana I (h )= I 1 , I ( 1
2h)= I 2 dan I (h ,
12
h) = I 3
Penulisan seperti di atas dapat dibuat daftarnya (tabel) sebagai berikut:
I ( h)
I (h ,12
h)I ( 1
2h) I (h ,
12
h ,14
h)I ( 1
2h ,
14
h) I (h ,12
h ,14
h ,18
h)I ( 1
4h) I ( 1
2h ,
14
h ,18
h)I ( 1
4h ,
18
h)
21
I ( 18
h)
Dalam perhitungan ini dapat kita hentikan bila untuk dua nilai yang berdekatan
sudah cukup berdekatan antara yang satu dengan yang lainnya. Metode ini, oleh
L. F. Richardson disebut penundaan pendekatan untuk limit dan sistematis
tabulasinya disebut Integrasi Romberg.
Contoh 9
Gunakan Metode Romberg untuk menghitung I =∫0
1 11+x
dx, teliti ke tiga
tempat desimal. Ambilah berturut-turut h = 0,5, h = 0,25, h = 0,125 dan gunakan
hasil yang diperoleh dari contoh 8.
Jawab:
Kita peroleh f (h) = 0 , 7084 , f ( 1
2h)=0 , 6970 dan f ( 1
4h)=0 ,6941
dengan
memakai formula (39) diperoleh:
f (h ,12
h)= 13 [4 I (12 h)−I (h )]
= 13
[4 (0 , 6970 )−0 , 7084 ]= 0 , 6932
Dan
f (12 h ,14
h)= 13 [4 I (14 h)−I (1
2h)]
= 13
[ 4 (0 ,6941 )−0 , 6970 ]= 0 , 6931
Akhirnya,
22
f (h ,12
h ,14
h) =13 [ 4 I (12 h ,
14
h)−I (h ,12
h)]= 1
3[4 (0 ,6931 )−0 ,6932 ]
= 0 , 6931
Tabel dari nilai tersebut adalah
0,7084
0,6932
0,6970 0,6931
0,6931
0,6941
Ternyata keuntungan dari Metode Romberg adalah bahwa ketelitian dari
perhitungan nilainya diketahui pada setiap langkah.
BAB IIIPENUTUP
A. Kesimpulan
Untuk menghitung derivatif kesatu dan kedua dari suatu daftar nilai x dan y
yang berkorespondensi (dengan x berjarak sama) di suatu nilai, gunakanlah
formula berikut:
23
1. Bila derivatif yang dicari dekat ke nilai awal, maka formula yang dipakai
adalah:
[dydx ]
x= x0
= y0' =1
h (Δ−12
Δ2 +13
Δ3−14
Δ4 +15
Δ5−16
Δ6 +17
Δ7−. . .) y0
= 1h (Δ+1
2Δ2−1
6Δ3+1
12Δ4−1
20Δ5+1
30Δ6−1
42Δ7+1
56Δ8−. . .) y−1
[d2 ydx2 ]
x= x0
= y0} size 12{ {}= { {1} over {h} } left [Δ rSup {2} size 12{ - Δ rSup {3} } size 12{+ { {11} over {12 } } Δ rSup {4} } size 12{ - { {5} over {6} } Δ rSup {5} } size 12{+ { {137} over {180 } } Δ rSup {6} } size 12{ - { {7} over {10 } } Δ rSup {7} } size 12{+ { {363} over {560 } } Δ rSup {8} } size 12{+ . . . } right ]y rSub {0} }} {} # size 12{```̀ ```= { {1} over {h rSup { size 8{2} } } } ` left (Δ rSup { size 8{3} } - { {1} over {12 } } Δ rSup { size 8{4} } + { {1} over { 12 } } Δ rSup { size 8{5} } - { {13 } over {180} } Δ rSup { size 8{6} } + { {11 } over {180 } } Δ rSup { size 8{7} } - { {29 } over {560} } Δ rSup { size 8{8} } + . . . right )y rSub { size 8{ - 1} } } {} } } {¿¿
¿
¿
2. Bila derivatif yang dicari dekat ke nilai tengah, maka formula yang dipakai
adalah formula Stirling berikut:
[dydx ]
x= x0
=1h [Δy−1+ Δy0
2−1
6Δ3 y−2−Δ3 y−1
2+1
30Δ5 y−3 +Δ5 y−2
2+. ..]
[d2 ydx2 ]
x= x0
=1h2 [Δ2 y−1−
112
Δ4 y−2+190
Δ6 y−3−.. .]3. Bila derivatif yang dicari dekat ke nilai akhir, maka formula yang dipakai
adalah:
[dydx ]
x= xn
=1h [∇ yn+
12
∇ 2 yn+13
∇ 3 y n+. ..][dy2
dx2 ]x=xn
=1h2 [∇2 yn+∇3 yn +
1112
∇ 4 yn+56
∇ 5 y n+. ..]4. Aturan Trapesoida untuk
∫x0
xn y dx adalah
∫x0
xn y dx = h2 [ y0+2 ( y1 + y2 +.. .+ yn−1 )+ yn ]
5. Metode Simpson untuk menghitung ∫x0
xn y dx adalah
∫x0
xn y dx = h3 [ y0+4 ( y1+ y3+ y5 +.. .+ yn−1 )+2 ( y2+ y4 +. ..+ yn−2 )+ yn ]
6. Dasar dalam Integrasi Romberg:
24
I (h ,12
h ,14
h) = I (12 h ,14
h)−13 [I (12 h ,
14
h)−I (h ,12
h)]I (h ,
12
h)= I (12 h)−13 [I (12 h)−I (h )]
B. Saran
Adapun saran yang dapat di sampaikan penulis kepada pembaca adalah
sebagai pembaca hendaknya meningkatkan pengetahuan dan menambah wawasan
referensi dengan lebih banyak membaca buku. Dan semoga dengan adanya
makalah ini dapat dijadikan sebagai referensi tambahan dalam proses
pembelajaran metode numerik khususnya dalam materi Diferensiasi dan Integrasi
Numerik.
25
DAFTAR PUSTAKA
Diktat Kulias Metode Numerik. Tidak dipublikasikan
26