Download - M2 lp- met grafik
Srikandi Kumadji
DOSEN FIA UB
Srikandi Kumadji
DOSEN FIA UB
Sebuah industri XYZ berkecimpung dalam proses produksi dua macam produk, yaitu produk A dan B. Kedua produk tesebut dapat dijual masing-masing dengan harga Rp 3000,00 per unit. Dalam proses produksinya diperlukan tiga macam departemen, yaitu Departemen P yang memiliki 3 unit mesin tipe P, Departemen Q memiliki 6 unit mesin tipe Q dan Departemen R memiliki 9 unit mesin tipe R. Lama waktu pemakaian mesin mesin tersebut berbeda untuk setiap produk.Produk A memerlukan waktu 2 jam untuk proses produksinya pada mesin tipe P, kemudian 2 jam pada mesin tipe Q dan 4 jam pada mesin tipe R. Sedangkan untuk produk B memerlukan waktu 1 jam pada mesin tipe P, kemudian 3 jam pada mesin tipe Q dan 3 jam pada mesin tipe R.
PERSOALAN MAKSIMASI . CONTOH : PERUSAHAAN XYZ
Lamanya waktu mesin-mesin tersebut berope-rasipun sangat terbatas, yaitu mesin tipe P beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, kemudian mesin tipe Q dapat beroperaasi 10 jam per hari per mesin dan mesin tipe R beroperaasi selama 8 jam per hari per mesin.
Pertanyaan: 1. Rumuskan persoalan tsb. dalam model program linier (formula matematika)2.Gambarlah persoalan LP tersebut dan3. Hitunglah berapa produk A dan B harus dijual sehingga penerimaannya maksimal
Definisi : Produk A = X1
Produk B = X2
METODE GRAFIK
PERSOALAN MAKSIMASI . CONTOH : PERUSAHAAN XYZ ....lanjt
SdSd XX11 XX22 Kap.Kap.
PP 22 11 << 30 30
QQ 22 33 << 60 60
RR 44 33 << 72 72
HargaHarga 30003000 30003000
Dari contoh persoalan LP tsb, dapat diringkas pada tabel berikut :
Kemudian dengan lebih mudah dapat disusun formulasi matematisnya :
Max. TR = 3000 X1 + 3000 X2
Stc. P : 2 X1 + X2 < 30
Q : 2 X1 + 3 X2 < 60
R : 4 X1 + 3 X2 < 72
X1 , X2 > 0
Metode Grafik / Maksimasi
Max. TR = 3000 X1 + 3000 X2
Stc. P : 2 X1 + X2 < 30
Q : 2 X1 + 3 X2 < 60
R : 4 X1 + 3 X2 < 72
X1 , X2 > 0
R : 4 X1 + 3 X
2 < 72
Q : 2 X1 + 3 X
2 < 60
GAMBAR FUNGSI KENDALA
2 X1 + X
2 < 30
•
•P : 2 X1 + X2 < 30
Jika A = 0 , maka X2 = 30
Jika X2 = 0 , maka A = 15
Metode Grafik / Maksimasi
•
•
•
••
TR = 3000 X1 + 3000 X2 X2 = TR/3000 - A0 = 3000(0) + 3000(0)
45000 = 3000(15) + 3000(0)60000 = 3000(0) + 3000(20)63000 = 3000(9) + 3000(12)
> 66000 = IMPOSIBLE66000 = 3000(6) + 3000(16)
FISIBLE AREA dan ISO REVENUE
Solusi : Produk X1 = 6 unit
Produk X2 = 16 unit TR = $ 66000
Evaluasi Sumberdaya :P : 2(6) + 1(16) = 28 jam sisa 2 jamQ : 2(6) + 3(16) = 60 jam persisR : 4(6) + 3(16) = 72 jam persis
B
A
Metode Grafik / Maksimasi
P
Q
R
KEPUTUSAN BERALTERNATIFKEPUTUSAN BERALTERNATIF
A •
B •
C •
D •
1) Antara titik A dan B
2) Antara titik B dan C
3) Antara titik C dan D
Metode Grafik / Maksimasi
Variabel SlackVariabel Slack
Ingat bahwa solusi terjadi pada titik ekstrim, di mana garis persamaan kendala berpotongan satu sama yang lain atau berpotongan dengan sumbu pada grafk. Jadi dalam hal ini, kendala-kendala tsb. lebih dipertimbangkan sebagai persamaan daripada pertidaksamaan.
Prosedur baku untuk merubah pertidaksamaan kendala menjadi persamaan, adalah dengan menambah sebuah variabel baru ke dalam masing-masing kendala, yang disebut sebagai variabel slack. -
Metode Grafik / Maksimasi
Variabel SlackVariabel Slack
Untuk contoh perusahaan XYZ di muka, model kendala adalah :P : 2 X1 + X2 < 30Q : 2 X1 + 3 X2 < 60R : 4 X1 + 3 X2 < 72
Penambahan sebuah variabel slack, S1 pada kendala P, S2 pada kendala Q dan S3 pada kendala R hasilnya dapat dilihat sbb. :
P : 2 X1 + X2 + S1 = 30Q : 2 X1 + 3 X2 + S2 = 60R : 4 X1 + 3 X2 + S3 = 72
Metode Grafik / Maksimasi lanjt
Variabel slack S1, S2 dan S3 merupakan nilai yang diperlukan untuk membuat sisi sebelah kiri persamaan menjadi sama dengan sisi sebelah kanan.
Misalnya secara hipotetis, X1 = 9 dan X2 = 10. Masukkan kedua nilai itu kedalam persamaan :
P : 2(9) + 10 + S1 = 30 S1 = 2 Q : 2(9) + 3(10) + S2 = 60 S2 = 12 R : 4(9) + 3(10) + S3 = 72 S3 = 6
Metode Grafik / Maksimasi …lanjt
Dalam contoh di atas, menghasilkan solusi yang tidak menghabiskan jumlah sumberdaya. Pada kendala P hanya menggunakan 28 jam, berarti sisa 2 jam yang tidak digunakan. Jadi S1 merupakan jumlah waktu yang tidak digunakan pada
sumberdaya P atau disebut slack P. Demikian juga pada kendala Q dan R masing-masing mempunyai slack Q dan slack R sebagai sisa 12 jam dan 6 jam yang tidak digunakan.
Jika perusahaan belum melakukan kegiatan produksi, maka seluruh kapasitas sumberdaya masih utuh, sehingga slacknya masing-masing sebesar 30, 60 dan 72 jam
Metode Grafik / Maksimasi… lanjt
Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan dari contoh adalah : TR = 3000 X1 + 3000 X2. Koefisien 3000 dan 3000, masing-masing merupakan kontribusi TR setiap X1 dan X2. Lalu, apa wujud kontribusi variabel slack S1 dan S2 ?. Variabel slack tidak mempunyai kontribusi apapun terhadap TR sebab variabel slack merupakan sumberdaya yg tidak digunakan. TR dicapai hanya setelah sumberdaya digunakan dlm proses produksi. Dengan demikian variabel slack dalam fungsi tujuan dapat ditululis :
TR = 3000 X1 + 3000 X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3
Metode Grafik / Maksimasi
Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan
Seperti halnya pada variabel keputusan (X1 dan X2), variabel slack berni-lai non-negative, sebab tidak mungkin sumber-daya itu negatif. Oleh karenanya, model formulasinya :
X1, X2 , S1, S2 dan S3 > 0Dengan adanya varibel slack, model LP baku secara lengkap dapat ditulis sbb.:
Maksimumkan: TR = 3000 X1 + 3000 X2 + 0S1 + 0S2 +0S3 Kendala : 2 X1 + X2 + S1 < 30 2 X1 + 3 X2 + S2 < 60 4 X1 + 3 X2 + S3 < 72 X1, X2 , S1, S2 dan S3 > 0
Metode Grafik / Maksimasi
• w
•X
•Y
Z •
Max. TR = 3000 X1 + 3000 X2 Kendala : 2 X1 + X2 + S1 < 30 2 X1 + 3 X2 + S2 < 60 4 X1 + 3 X2 + S3 < 72
X1, X2 , S1, S2 dan S3 > 0
X1 = 0X2 = 20TR = 60000S1 = 10S2 = 0S3 = 12
X1 = 6X2 = 16TR = 66000S1 = 2S2 = 0S3 = 0
X1 = 9X2 = 12TR = 63000S1 = 0S2 = 6S3 = 0
X1 = 15X2 = 0TR = 45000S1 = 0S2 = 30S3 = 12
Metode Grafik / Maksimasi
Contoh : Perusahaan RContoh : Perusahaan Raadiodio
Perusahaan RPerusahaan Raadio memproduksi 2 macam bahan pelarut dio memproduksi 2 macam bahan pelarut (A dan B). Untuk me(A dan B). Untuk memmproduksi kedua bahan tersebut produksi kedua bahan tersebut memerlukan semberdaya Minyak Tanah paling tidak memerlukan semberdaya Minyak Tanah paling tidak memerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan dan memerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan dan Spiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. Kebutuhan Spiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. Kebutuhan minyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukan minyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukan 8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan 8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan Damar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 liter Damar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 liter dan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhan dan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhan Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6 Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6 liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter. liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter.
Metode Grafik / MinimasiKASUS MINIMASI
Contoh : Perusahaan RContoh : Perusahaan Raadiodio (lanjt)(lanjt)
Kalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan B Kalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan B masing sebesar Rp 80 dan Rp 100masing sebesar Rp 80 dan Rp 100>>Pertanyaan:Pertanyaan:BBerapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agar erapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agar biaya produksi minimalbiaya produksi minimal??
Selesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pula Selesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pula penggunaan bahan bakunya. penggunaan bahan bakunya.
Metode Grafik / MinimasiKASUS MINIMASI
GAMBAR FUNGSI KENDALA
Min. TC = 80A + 100BStc. MT : 8A + 6B > 24 D : 10A + 4B > 20 S : 6A + 12B > 24 A , B > 0
MT : 8A + 6B > 24 B > 4 – 4/3 A
D : 10A + 4B > 20 B > 5 - 2,5 A S : 6A + 12B > 24
B > 2 - 0,5 A
A
B
B
A
B
A
Metode Grafik / Minimasi
GAMBAR FUNGSI KENDALA
Min. TC = 80A + 100BStc. MT : 8A + 6B > 24 D : 10A + 4B > 20 S : 6A + 12B > 24 A , B > 0
MT : 8A + 6B > 24 B > 4 – 4/3 A
D : 10A + 4B > 20 B > 5 - 2,5 A S : 6A + 12B > 24
B > 2 - 0,5 A
A
B
B
A
B
A
Metode Grafik / Minimasi
FISIBLE AREA dan ISO COSTFISIBLE AREA dan ISO COST
( 2, 4 ; 0,8 ) •
Solusi Optimal :B.Pelarut A = 2,4 unitB.Pelarut B = 0,8 unitTC min = 80 (2,4) + 100(0,8) = Rp 272
Penggunaan Sumberdaya :MT = 8(2,4) + 6(0,8) = 24 Lt. persisD = 10(2,4) + 4(0,8) = 27,2 Lt. > 20S = 6(2,4) + 12(0,8) = 24 Lt. persis
Metode Grafik / Minimasi
CONTOH : USAHA KATERING (RANGSUM)
Kasus Primal sebuah usaha kesehatan dalam rangka membuat susunan rangsum dari berbagai bahan makanan dengan biaya murah adalah sbb. :
Minimumkan : Z = 150X1 + 100X2 + 350X3 + 250X4 + 320X5
Kendala : Protein : 8,3 X1 + 246 X2 + 17,2 X3 + 5,2 X4 + 2,01 X5 > 70 Karbohidrat : 5 X1 + 26 X2 + 595 X3 + 3,1 X4 + 4 X5 > 3000 Lemak : 0,4 X1 + 793 X2 + 14,8 X3 + 0,6 X4 + 0,16 X5 > 800 Vitamin : 6 X1 + 93 X2 + 61,6 X3 + 6,8 X4 + 2,05 X5 > 40 Zat Besi : 24,9 X1 + 243 X2 + 810 X3 + 16,4 X4 + 0,57 X5 > 12
Dimana : X1 = Nasi X4 = BuahX2 = Sayur X5 = SusuX3 = Lauk pauk
Buatlah model Dual persoalan di atas, dan selesaikan !
JAWAB :
Maksimumkan : Z’ = 70Y1 + 3000Y2 + 800Y3 + 40Y4 + 12Y5
Kendala :
X1 : 8,3 Y1 + 5,0 Y2 + 0,4 Y3 + 6,0 Y4 + 24,9 Y5 < 150
X2 : 246 Y1 + 26 Y2 + 793 Y3 + 93 Y4 + 243 Y5 < 100
X3 : 17,2 Y1 + 595 Y2 + 14,8 Y3 + 61,6 Y4 + 810 Y5 < 350
X4 : 5,2 Y1 + 3,1 Y2 + 0,6 Y3 + 6,8 Y4 + 16,4 Y5 < 250
X5 : 2,01 Y1 + 4 Y2 + 0,16 Y3 + 2,05 Y4 + 0,57 Y5 < 320
Y1 , Y2, Y3, Y4 , Y5 > 0
Cj Basic Variable
Quantity 70 Y1
3000 Y2
800 Y3
40 Y4
12 Y5
0 slack 1
0 slack 2
0 slack 3
0 slack 4
0 slack 5
Langka 1 0 slack 1 150 8.3 5 0.4 6 24.9 1 0 0 0 0 0 slack 2 100 246 26 793 93 243 0 1 0 0 0 0 slack 3 350 17.2 595 14.8 61.6 810 0 0 1 0 0 0 slack 4 250 5.2 3.1 0.6 6.8 16.4 0 0 0 1 0 0 slack 5 320 2.01 4 0.16 2.05 0.57 0 0 0 0 1 zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cj-zj 70 3,000 800 40 12 0 0 0 0 0
Langkah 2 0 slack 1 147.0588 8.1555 0 0.2756 5.4824 18.0933 1 0 -0.0084 0 0 0 slack 2 84.7059 245.2484 0 792.3533 90.3082 207.605 0 1 -0.0437 0 0
3,000 Y2 0.5882 0.0289 1 0.0249 0.1035 1.3613 0 0 0.0017 0 0 0 slack 4 248.1765 5.1104 0 0.5229 6.4791 12.1798 0 0 -0.0052 1 0 0 slack 5 317.6471 1.8944 0 0.0605 1.6359 -4.8754 0 0 -0.0067 0 1 zj 1,764.71 86.7227 3,000 74.6218 310.5882 4,084.03 0 0 5.042 0 0 cj-zj -16.7227 0 725.3782 -270.588 -4,072.03 0 0 -5.042 0 0
Langkah3 0 slack 1 147.0294 8.0701 0 0 5.4509 18.0211 1 -0.0003 -0.0084 0 0
800 Y3 0.1069 0.3095 0 1 0.114 0.262 0 0.0013 -0.0001 0 0 3,000 Y2 0.5856 0.0212 1 0 0.1007 1.3548 0 0 0.0017 0 0
0 slack 4 248.1206 4.9485 0 0 6.4195 12.0428 0 -0.0007 -0.0052 1 0 0 slack 5 317.6406 1.8756 0 0 1.629 -4.8912 0 -0.0001 -0.0067 0 1 zj 1,842.25 311.241 3,000 800 393.263 4,274.09 0 0.9155 5.002 0 0 cj-zj -241.241 0 0 -353.263 -4,262.09 0 -0.9155 -5.002 0 0
SOLUSI
Soal N0. 8Perusahaan mebel Jati Indah memproduksi meja dan kursi dari sumberdaya tenaga kerja dan kayu. Perusahaan memiliki kapasitas terbatas untuk tenaga kerja 80 jam perhari dan 36 Kg kayu perhari. Permintaan atau penjualan kursi terbatas 6 kursi per hari. Untuk memproduksi satu unit kursi memerlukan 8 jam tenaga kerja dan 2 Kg kayu, sedang setiap satu meja memerlukan 10 jam tenaga kerja dan 6 Kg kayu. Laba yang diperoleh untuk setiap meja sebesar Rp 40.000 dan untuk setiap kursi sebesar Rp 50.000. Perusahaan ingin menetapkan jumlah meja dan kursi yang harus dijual agar memperoleh laba maksimum.a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.b. Selesaikan persoalan ini dengan analisis grafik.
MM KK KapKap
MaximizeMaximize 4000040000 5000050000
LaborLabor 1010 88 <=<= 8080
KayuKayu 66 22 <=<= 3636
DemandDemand 00 11 <=<= 66
Solution->Solution-> 3.23.2 66 428.000428.000
SOAL N0. 8
Soal N0.12 Perusahaan Kimia Farma memproduksi sebuah obat dengan ramuan dua bahan. Setiap bahan berisi tiga antibiotik yang sama tapi berbeda dalam proporsinya. Satu gram bahan 1 menyumbangkan 3 unit dan bahan 2 menyumbangkan1 unit antibiotik 1; obat membutuhkan 6 unit. Sedikitnya 4 unit antibiotik 2 dibutuhkan, dan per gram bahan masing-masing menyumbang 1 unit. Paling sedikit 12 unit antibiotik 3 diperlukan; satu gram bahan 1 menyumbang 2 unit, dan satu gram bahan 2 menyumbang 6 unit. Biaya per gram bahan 1 dan bahan 2 masing-masing Rp 80.000 dan Rp 50.000. Kimia Farma ingin memformulasikan model LP untuk menetapkan jumlah (gram) ma-sing-masing bahan yang harus digunakan dalam pembuatan obat agar biaya campuran antibiotik itu serendah mungkin.a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.b. Selesaikan persoalan ini dengan menggunakan analisis grafik.
Soal N0.12Bahan 1Bahan 1 Bahan 2Bahan 2 KaPKaP
MinimizeMinimize 8000080000 5000050000
Antibiotik 1Antibiotik 1 33 11 >=>= 66
Antibiotik 2Antibiotik 2 11 11 >=>= 44
Antibiotik 3Antibiotik 3 22 66 >=>= 1212
KASUS UCP
SDSD X1X1 X2X2 Kap.Kap. Sur.Sur.
KlaimKlaim 1616 1212 >> 450 450 3030
RusaRusakk
0,50,5 1,41,4 >> 25 25 3131
KompKomptt
11 11 << 40 40 00
CC 6400640000
4200420000
SolusSolusii
00 4040 TC = 168000TC = 168000
KASUS Giman Piza
SDSD PIPI PSPS KapKap SlackSlack
DMDM 11 11 << 150150
17,517,5
TMTM 44 88 << 800800
00
Sales Sales PIPI
11 << 75 75 00
Sales Sales PIPI
11 << 125125
62,562,5
LabaLaba 500500 750750
SolusiSolusi 7575 62,562,5 8437843755
KASUS Toko Perhiasan
SdSd KK GG KapKap SlackSlack
EmasEmas 3030 2020 1818
PlatinPlatinaa
2020 4040 2020
DGDG 11 4040
LabaLaba 300003000000
400004000000
SolusiSolusi 0,40,4 0,30,3 L=240000L=240000
KASUS Obat
SdSd B1B1 B2B2 KapKap SurSur
A1A1 33 11 >> 6 6 00
A2A2 11 11 >> 4 4 00
A3A3 22 66 >> 12 12 88
TCTC 8000800000
5000500000
SolusSolusii
11 33 TC=230000TC=230000
KASUS Usaha Ternak
Min. TC = 60A + 100KStc. Pr : 20 A + 40 K > 30 Lm : 2 A + 0,5 K > 1 Prod. : 1 A + 1 K < 1
A, K ,> 0
SdSd AA KK kapkap SlacSlackk
PrPr 2020 4040 >> 30 30 00
LmLm 22 0,50,5 >> 1 1 00
ProdProd 11 11 << 1 1 0,070,07
SoluSolusisi
0,360,36 0,570,57
TCTC 21,421,433
57,157,144
78,578,577
78,57178,5714343
78,57178,5714343
78,57178,5714343
KASUS Della & Pandu
Mak. L = 2C + 2TStc. K : 8 C + 6 T < 120 Tom : 3 C + 6 T < 90 B : 3 C + 2 T < 45 Prod : 1 C + 1 T < 24
C, T > 0
SdSd CC TT kapkap SlacSlackk
KK 88 66 << 120 120 00
TomTom 33 66 << 90 90 00
BB 33 22 << 45 45 33
ProdProd 11 11 << 24 24 66
SoluSolusisi
66 1212
LabaLaba 1212 2424 3636
78,57178,5714343
78,57178,5714343
78,57178,5714343
KASUS Untitled
Mak. L = 3 X + 2 YStc. A : 3 X + 2 Y < 120 F : 1 X + 2 Y < 80 Pro X : 1 X + 0 Y > 10 Pro Y : 0 X + 1 Y > 10
X, Y > 0
SdSd XX YY kapkap SS
AA 33 22 << 120 120 00
FF 11 22 << 80 80 26,626,677
Pro Pro XX
11 -- >> 10 10 13,313,333
Pro YPro Y -- 11 >> 10 10 00
SoluSolusisi
33,333,333
1010
LabaLaba 100100 2020 120120
3636