Download - KALKULUS 3 (PERMINYAKAN)
KALKULUS IIIDRA. MUSTAMINA MAULANI, MT
(Prodi Teknik Perminyakan / 3 sks)
MATERI :
1. Integral lipat Dua Koordinat Polar- Aplikasi
2. Integral Lipat Tiga- Koordinat Kartesian- Koordinat Tabung- Aplikasi Integral Lipat Tiga
3. Kalkulus Vektor- Diferensial Vektor- Gradien, Divergensi dan Curl
4. Integral Garis- Definisi- Aplikasi- Tak Tergantung Lintasan- Teorema Green- Fluks dan Curl F
5. Integral Permukaan- Definisi- Aplikasi- Fluks - Teorema Divergensi Gauss
BUKU AJAR :
1. Kreyzig, “Advanced Engineering Mathematics”. Edisi 5.
2. Purcel, Varberg dan Rigdon “Kalkulus jilid 2”. Edisi 8.
PENILAIAN :
UTS 40% + UAS 50% + QUIZ (TUGAS) 10%
1
KALKULUS 3
INTEGRAL LIPAT DUA KOORDINAT POLAR
Gambar 1:Kaitan Koordinat Cartesian & Polar
1.1 Definisi
Koordinat Polar:
x = r cos θ dan y = r sin θ
0 ≤ θ ≤ 2 ( arah θ berlawanan dg arah jarum jam, θ = 0o adalah sumbu x
positif)
dan r = .
Maka
y (r,θ) r
θ 0 x
2
1.2 Beberapa Grafik yang Berhubungan dengan Koordinat Polar
Koordinat Kartesian Koordinat Polar
Lingkaran : x2 + y2 = a2
Pusat (0,0) dan jari2 : a r2cos2 θ + r2 sin2 θ = a2
r = a
Lingkaran : x2 + y2 – 2ax = 0 (x – a)2 + y2 = a2
Pusat (a,0) dan jari2 : a
r2cos2 θ + r2 sin2 θ – 2a r cos θ = 0
r = 2a cos θ
Lingkaran : x2 + y2 – 2ay = 0 x2 + (y – a)2 = a2
Pusat (0,a) dan jari2 : a
r2cos2 θ + r2 sin2 θ – 2a r sin θ = 0
r = 2a sin θ
y a
- 0 x -a a -a
y
2a x
y 2a
x
3
Latihan :
1. Diketahui D daerah yang dibatasi x2 + y2 = 4, y=x, y=0 dikuadran I.
Tentukan .
2. Diketahui D daerah yang dibatasi x2 + y2 – 4x = 0. Tentukan
.
3. Diketahui D daerah yang terletak diluar x2 + y2 = 1 dan didalam x2 +
y2 – 2y = 0. Tentukan .
4. Diketahui D daerah yang dibatasi x2 + y2 + 6y = 0 dan di sebelah
kanan sumbu y. Tentukan .
1.4 APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA
1. Luas Daerah
Jika D daerah pada bidang xy maka luas D adalah :
L =
4
2. Titik Pusat Massa
Jika D daerah pada bidang xy dan (x,y) rapat massa disetiap titik
pada D, maka :
Massa D = m =
Momen terhadap sumbu x = Mx =
Momen terhadap sumbu y = My =
Titik Pusat massa = ( ) = (
3. Momen Inersia
Momen Inersia terhadap sumbu x = Ix =
Momen Inersia terhadap sumbu y = Iy =
1.5 Latihan
1. Diketahui D daerah yang dibatasi y = , di atas sumbu x.
Tentukan :
a. Luas daerah D.
b. Titik pusat massa D, jika rapat massa ρ(x,y) = ,
k konstanta.
5
2. Diketahui D daerah yang dibatasi x2 + y2 – 8y = 0, dikuadran I.
Tentukan:
a. Titik pusat massa D, jika rapat massa ρ(x,y) = k, k konstanta.
b. Momen Inersia terhadap sumbu x dan sumbu y.
3. Diketahui D daerah yang terletak diluar x2 + y2 = 4 dan didalam
x2 + y2 – 4x= 0. Tentukan Titik pusat massa D, jika rapat massa
ρ(x,y) = ky, k konstanta.
INTEGRAL LIPAT TIGA
A. INTEGRAL LIPAT TIGA KOORDINAT CARTESIAN
1. Definisi
Jika B benda yang dibatasi beberapa permukaan pada ruang kartesian
xyz, misalkan F(x,y,z) fungsi yang terdefinisi pada B. Maka Integral
Lipat Tiga dari fungsi F(x,y,z) pada daerah B adalah :
6
, dengan dV : Diferensial elemen volume
(dx dy dz)
Gambar 6: Ruang B pada sumbu Cartesian xyz
2. Sifat Integral Lipat Tiga
1.
2.
3. Tafsiran Integral Lipat Tiga
Gambar 7: Tafsiran I Integral lipat tiga
z B B bras y 0
x
z z = g2( x,y) B z = g1(x,y) c d y x = p1(y)
x = p2(y) D x
7
Jika B benda yang dibatasi p1(y) ≤ x ≤ p2(y), c ≤ y ≤ d, dan
g1 (x,y) ≤ z ≤ g2(x.y) maka,
Gambar 8: Tafsiran II Integral lipat tiga
Jika B benda yang dibatasi a ≤ x ≤ b, q1(x) ≤ y ≤ q2(x), dan
g1(x,y) ≤ z ≤ g2(x.y) maka,
z g2(x,y)
B g1(x,y) 0 y q1(x) q2(x) a D b D x
8
Gambar Bidang di Ruang tiga Dimensi
1. Limas ax + by + cz = d, dimana a,b,c dan d 0.
Cara menggambar:
Perpotongan dengan sumbu x y = z= 0 ax =d
koordinatnya
Perpotongan dengan sumbu y x = z= 0 by =d koordinatnya
Perpotongan dengan sumbu z x = y= 0 cz =d koordinatnya
9
Gambar 1. Limas Segitiga
2. Paraboloida
Cara menggambar:
mis ( di bidang YOZ, berbentuk parabola)
mis ( di bidang XOZ, berbentuk parabola)
z
10
x
y
Gambar 2. Paraboloida
3. Silinder / Tabung
Gambar 3. Tabung / silinder
4. Kerucut Tegak
11
Gambar 4 . Kerucut
5. Bola
Gambar 5. Bola
4. Latihan
1. Jika B benda yang dibatasi 1 ≤ x ≤ 6, 2 ≤ y ≤ 7, 0 ≤ z ≤ 4. Tentukan
12
2. Jika B benda yang dibatasi 2x + 3y + 6z = 12, bidang x = 0, y = 0, z =
0.
Tentukan
3. Jika B benda yang dibatasi silinder parabolik y = x2, z = 0, z = 4, dan y
=6
Tentukan
B. INTEGRAL LIPAT TIGA KOORDINAT SILINDER (TABUNG)
1. Definisi
Koordinatnya (r, θ, z ), dimana:
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
0 ≤ θ ≤ 2 (arah θ belawanan arah jarum jam, θ = 0o sumbu x pos) .
r = .
Maka
B B
ddrdzrzrFdVzyxF ),,(),,(
13
Gambar 9 : Kaitan koordinat kartesian dan koordinat silinder
2. Latihan
1. Jika B benda yang dibatasi z = x2 + y2 dan bidang z = 4 Tentukan
2. Jika B benda yang dibatasi z = x2 + y2 dan z = 4 – x2 – y2. Tentukan
3. Jika B benda yang dibatasi z = dan z = 2 – x2 – y2. Tentukan
4. Jika B benda yang dibatasi diluar x2 + y2 = 4,di dalam z = 9 – x2 – y2
dan di atas bidang
z (r,θ,z)
z
y θ r
x
14
Z = 0. Tentukan
5. Jika B benda yang dibatasi z = 4 – x2 – y2, x2 + y2 – 2x = 0, di atas
z= 0.
Tentukan
6. Jika B benda yang dibatasi z = x2 + y2, dan x2 + y2 + z2 = 2.
Tentukan
7. Jika B benda yang dibatasi z = x2 + y2, x2 + y2 = 1, z = 4.
Tentukan
C. APLIKASI INTEGRAL LIPAT TIGA
1. Volume
Jika B benda pada ruang xyz maka Volume B adalah :
V =
2. Titik Pusat Massa
Jika B benda pada ruang xyz dan (x,y,z) rapat massa disetiap titik
pada B, maka :
Massa B = m =
Momen terhadap bidang xy = Mxy =
Momen terhadap bidang yz = Myz =
Momen terhadap bidang xz = Mxz =
Titik Pusat massa = ( , ) = (
3. Momen Inersia
15
Momen Inersia terhadap sumbu x = Ix =
Momen Inersia terhadap sumbu y = Iy =
Momen Inersia terhadap sumbu z = Iz =
4. Latihan
1. Jika B benda yang dibatasi x2 + y2 = 4, bidang z = 0 dan z = 6.
Tentukan
a. Volume B
b. Titik pusat massa B jika rapat massa B adalah ρ(x,y,z) = kz,
k konstanta.
2. Jika B benda yang dibatasi z = 12 - x2 - y2 , x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4
dan z = 0. Tentukan Momen Inersia terhadap sumbu x, sumbu y,
dan sumbu z.
3. Jika B benda yang terletak diluar z = , didalam x2 + y2 + z2
= 1, dan bidang z=0. Tentukan titik pusat massa B jika rapat massa
ρ = k, konstanta.
16
KALKULUS VEKTOR.
3.1. Diferensial Vektor
Jika F(u) = F1(u) i + F2(u) j + F3(u) k suatu fungsi vektor maka
Diferensial vektor F(u) adalah :
Perhatikan sebuah fungsi F yang menghubungkan sebuah vektor F(p)
dengan setiap titik p dalam ruang berdimensi n .Fungsi ini disebut
medan vektor .
Contoh : 1. F(x,y) = -2 x i + 3/2 y j , dalam ruang berdimensi 2
2. F(x,y,z) = x i - y j + 4z k, dalam ruang berdimensi 3.
Secara umum medan vektor dalam ruang 3 dimensi ditulis
F(x,y,z) = P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k
17
3.2. Gradien, Divergensi dan Curl
a. Operator Diferensial vektor Del
Notasi :
Definisi :
b. Gradien
Notasi : , dengan f (x, y ,z) suatu fungsi skalar
Definisi :
c. Divergensi F / Div F di titik p
Adalah kecenderungan fluida meninggalkan titik p ( div.F > 0) atau
mengumpul menuju p (div.F < 0).
Notasi :
dan F(x,y,z) = P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k medan
vektor.
18
Definisi :
(suatu fungsi scalar)
d. Curl F
Notasi :
Menyatakan arah sumbu dimana fluida berotasi (melingkar) paling
cepat. Arah rotasi mengikuti aturan tangan kanan.
CurlF= = =
Latihan:
Tentukan div.F dan curl F dari :
1.
2.
Tentukan dari:
a. b.
19
INTEGRAL GARIS
4.1.Definisi
Jika F(x,y) = M(x,y) i + N(x,y) j suatu medan vektor dan C suatu
lintasan terbuka dari titik A ke B maka Intergral vektor F(u) terhadap
lintasan C atau disebut Integral Garis, yaitu :
dengan dX = dx i + dy j B
A
20
= .
Contoh 1:
Hitunglah integral garis di sepanjang lintasan
yang menghubungkan titik (0,2), (3,2) dan (3,5).
Jawab:
Pada garis , y = 2 maka dy = 0
Sehingga = 18
Pada garis , x= 3 maka dx = 0
Sehingga = 117.
Jadi = 135.
21
(3,5) C2 (0,2) C1 (3,2)
Jika C adalah busur lengkungan dari A ke B , maka integral garis adalah
Perhitungannya menggunakan parameter t, dimana dan
sehingga dt , maka
dt.
Contoh 2:
Hitunglah jika C lengkungan persamaan parameter ,
,
Jawab:
= = 27
22
4.2. Aplikasi
a. Massa (m)
Jika rapat massa , maka m = .
b. Momen massa ( M )
Terhadap sumbu x :
Terhadap sumbu y : .
c. Titik pusat massa =
4.3. Tak Tergantung Lintasan ( Bebas Lintasan)
Definisi :
Untuk setiap C lengkungan dari titik A ke B. Nilai tetap
harganya maka dikatakan tidak tergantung lintasan dari A
ke B.
23
C1 B
A
C2
=
Artinya tidak tergantung lintasan dari titik A ke B melalui C1 atau C2.
Teorema 1 :
Jika C lengkungan licin dari titik A ke B. fungsi f(x) terdefinisi dan
kontinu pada daerah terbuka yang memuat C, maka :
Teorema 2 :
Jika f(x) medan vector yang kontinu pada daerah tersambung
sederhana. Maka tidak tergantung lintasan dari A ke B jika
dan hanya jika terdapat medan konservatif f sehingga
Untuk menunjukkan F medan konservatif :
1. Jika maka F konservatif jika
memenuhi
24
2. Jika maka F
konservatif jika atau
Langkah – langkah menunjukkan tidak tergantung lintasan dari
titik A ke B adalah :
1. Tunjukkan F konservatif.
2. Tentukan f agar .
3.
Latihan Soal.
1. Tentukan apakah
konservatif, dan jika ya tentukan fungsi f .
2. Misalkan . Hitunglah
, dimana C adalah sebarang
lintasan dari (0,0) ke (1,2).
(langkah 1: Tunjukkan F konservatif, langkah 2: hitung menggunakan
teorema 1)
25
4.4. Teorema Green pada Bidang
Teorema Green :
Jika C lengkungan tertutup sederhana yang merupakan batas daerah
D dan suatu medan vector . M(x,y)
dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan parsial pada D dan C.
Maka :
atau
Note : arah positif C adalah berlawanan arah jarum jam.
Latihan Soal:
1. Misalkan C adalah batas segitiga dengan titik-titk (0,0), (1,2) dan
(0,2), hitunglah
dengan menggunakan metode langsung dan Teorema Green.
D D D
C
26
2. Dengan Teorema Green dari jika C adalah
lengkungan yang dibatasi oleh di luar dan di dalam
.
4.5. Fluks dan Sirkulasi
a. Fluks (Teorema Divergensi Gauss)
Fluks: jumlah (neto) fluida yang meninggalkan D per satuan waktu
dari medan vektor F yang menyeberangi kurva C ke arah luar .. Jika n
vektor normal satuan yang tegak lurus terhadap D , maka
Fluks yang menyeberangi C =
= =
b. Sirkulasi (Teorema Stokes)
Adalah Sirkulasi / kecenderungan fluida untuk berputar pada titik
. Jika Curl F = 0 pada D, maka aliran fluida dikatakan tidak
dapat berputar.
= =
27
n D D D C C
Contoh:
Diketahui Medan vektor adalah medan
kecepatan dari roda stabil yang berlawanan dengan arah jarum jam
terhadap sumbu z..Hitunglah Fluks dan Sirkulasinya.
Jawab:
a. Fluks = = = = 0
b. Sirkulasi = Curl F = = =
= Luas A.
INTEGRAL PERMUKAAN
5.1 Definisi
28
Misalkan S bagian dari permukaan dimana (x,y) berada
dalam D pada bidang XY . Jika f mmpunyai turunan parsial orde
pertama yang kontinu dan kontinu pada D ,
maka Integral Permukaan dari pada S adalah:
Dimana dS adalah elemen diferensial luas permukaan
dan D adalah proyeksi S terhadap bidang XY.
5.2 Aplikasi
a. Luas Permukaan
Jika =1 , maka adalah luas permukaan.
b. Massa = m
Sz= f(x,y)
D
29
Jika rapat massa diketahui maka m=
Contoh:
Hitunglah dimana S bagian dari permukaan
.,
Jawab:
Proyeksi S terhadap bidang XY adalah D yang melalui titik (3,0) dan
(0,6).
Sehingga permukaan
dan =
1/3
(0,6)
(3,0)
30
Jadi =
=
diselesaikan dengan menggunakan integral lipat 2.
Latihan:
1. Hitunglah dimana S bagian dari permukaan di
antara z = 1 dan z = 9.
2. Tentukan luas permukaan dari S bagian permukaan pada soal no.2.
5.3. Fluks Medan Vektor yang Melalui Permukaan
31
Pada permukaan yang bersisi dua seperti layar, dan andaikan terdapat
fluida yang dapat mengalir melalui permukaan tersebut dari satu sisi
ke sisi yang lain. Andaikan juga permukaan tersebut licin yang berarti
mempunyai normal satuan n arah ke atas yang berubah-ubah secara
kontinu..Jika S adalah permukaan yang bersisi dua seperti definisi di
atas dan diasumsikan S dicelupkan ke dalam fluida dengan medan
kecepatan kontinu F(x,y,z). . Maka :
Fluks yang menyeberangi S adalah = CARA 1
Contoh: Tentukan fluks arah ke atas dari yang
menyeberangi bagian dari permukaan bola S yang dibentuk oleh
= ,
Jawab:
Medan F adalah arus rotasi yang mengalir pada arah sumbu z positif.
Persamaan dari permukaan dapat ditulis sbb:
= =
n
n
32
= =
= =
Maka fluks F yang menyeberangi S dinyatakan dengan
=
=
= = =36 satuan kubik.
Teorema
Misalkan S adalah permukaan mulus bersisi dua yang dibentuk oleh
, dimana (x,y ) ada di dalam D, dan misalkan n
melambangkan normal satuan k arah atas pada S. Jika f mempunyai
turunan parsial orde pertama yang kontinu dan adalah
medan vektor kontinu , maka fluks F yang menyeberangi S dapat
dinyatakan dengan:
Fluks F = = CARA 2
Contoh :
Hitunglah fluks medan vektor yang menyeberangi S
bagian dari paraboloida yang terletak di atas bidang xy,
dengan n vektor normal ke arah atas.
Jawab:
33
, ,
=
=
= = =
Soal:
1. Hitunglah fluks F medan vektor yang menyeberangi S
bagian dari pemukaan , dengan menggunakan
teorema.
2. Hitunglah fluks F medan vektor yang menyeberangi S
bagian dari permukaan , yang berada di dalam silinder
.
5.4. Teorema Divergensi Gauss
Misalkan adalah medan vektor sedemikian rupa
sehingga M, N dan P mempunyai turunan-turunan parsial orde
pertama yang kontinu pada benda padat S yang mempunyai batas ..
Jika n melambangkan n normal satuan luar yang tegak lurus terhadap
, maka
Fluks F = =
= CARA 3
Contoh:
34
1. Hitunglah fluks dari medan vektor yang
menyeberangi
S = dengan menggunakan Teorema Gauss.
Jawab:
Karena div F = 3, maka fluks F = = 3 =
.
2. Misalkan S adalah silinder padat yang dibatasi oleh ,
z = 0 dan z = 3. Jika n adalah normal satuan luar tehadap batas .
Mis . Tentukan fluks yang
menyeberangi .
Jawab:
Div F =
Fluks F = = 3
= =
35