KALKULUS IIIDRA. MUSTAMINA MAULANI, MT

(Prodi Teknik Perminyakan / 3 sks)

MATERI :

1. Integral lipat Dua Koordinat Polar- Aplikasi

2. Integral Lipat Tiga- Koordinat Kartesian- Koordinat Tabung- Aplikasi Integral Lipat Tiga

3. Kalkulus Vektor- Diferensial Vektor- Gradien, Divergensi dan Curl

4. Integral Garis- Definisi- Aplikasi- Tak Tergantung Lintasan- Teorema Green- Fluks dan Curl F

5. Integral Permukaan- Definisi- Aplikasi- Fluks - Teorema Divergensi Gauss

BUKU AJAR :

1. Kreyzig, “Advanced Engineering Mathematics”. Edisi 5.

2. Purcel, Varberg dan Rigdon “Kalkulus jilid 2”. Edisi 8.

PENILAIAN :

UTS 40% + UAS 50% + QUIZ (TUGAS) 10%

1

KALKULUS 3

INTEGRAL LIPAT DUA KOORDINAT POLAR

Gambar 1:Kaitan Koordinat Cartesian & Polar

1.1 Definisi

Koordinat Polar:

x = r cos θ dan y = r sin θ

0 ≤ θ ≤ 2 ( arah θ berlawanan dg arah jarum jam, θ = 0o adalah sumbu x

positif)

dan r = .

Maka

y (r,θ) r

θ 0 x

2

1.2 Beberapa Grafik yang Berhubungan dengan Koordinat Polar

Koordinat Kartesian Koordinat Polar

Lingkaran : x2 + y2 = a2

Pusat (0,0) dan jari2 : a r2cos2 θ + r2 sin2 θ = a2

r = a

Lingkaran : x2 + y2 – 2ax = 0 (x – a)2 + y2 = a2

Pusat (a,0) dan jari2 : a

r2cos2 θ + r2 sin2 θ – 2a r cos θ = 0

r = 2a cos θ

Lingkaran : x2 + y2 – 2ay = 0 x2 + (y – a)2 = a2

Pusat (0,a) dan jari2 : a

r2cos2 θ + r2 sin2 θ – 2a r sin θ = 0

r = 2a sin θ

y a

- 0 x -a a -a

y

2a x

y 2a

x

3

Latihan :

1. Diketahui D daerah yang dibatasi x2 + y2 = 4, y=x, y=0 dikuadran I.

Tentukan .

2. Diketahui D daerah yang dibatasi x2 + y2 – 4x = 0. Tentukan

.

3. Diketahui D daerah yang terletak diluar x2 + y2 = 1 dan didalam x2 +

y2 – 2y = 0. Tentukan .

4. Diketahui D daerah yang dibatasi x2 + y2 + 6y = 0 dan di sebelah

kanan sumbu y. Tentukan .

1.4 APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA

1. Luas Daerah

Jika D daerah pada bidang xy maka luas D adalah :

L =

4

2. Titik Pusat Massa

Jika D daerah pada bidang xy dan (x,y) rapat massa disetiap titik

pada D, maka :

Massa D = m =

Momen terhadap sumbu x = Mx =

Momen terhadap sumbu y = My =

Titik Pusat massa = ( ) = (

3. Momen Inersia

Momen Inersia terhadap sumbu x = Ix =

Momen Inersia terhadap sumbu y = Iy =

1.5 Latihan

1. Diketahui D daerah yang dibatasi y = , di atas sumbu x.

Tentukan :

a. Luas daerah D.

b. Titik pusat massa D, jika rapat massa ρ(x,y) = ,

k konstanta.

5

2. Diketahui D daerah yang dibatasi x2 + y2 – 8y = 0, dikuadran I.

Tentukan:

a. Titik pusat massa D, jika rapat massa ρ(x,y) = k, k konstanta.

b. Momen Inersia terhadap sumbu x dan sumbu y.

3. Diketahui D daerah yang terletak diluar x2 + y2 = 4 dan didalam

x2 + y2 – 4x= 0. Tentukan Titik pusat massa D, jika rapat massa

ρ(x,y) = ky, k konstanta.

INTEGRAL LIPAT TIGA

A. INTEGRAL LIPAT TIGA KOORDINAT CARTESIAN

1. Definisi

Jika B benda yang dibatasi beberapa permukaan pada ruang kartesian

xyz, misalkan F(x,y,z) fungsi yang terdefinisi pada B. Maka Integral

Lipat Tiga dari fungsi F(x,y,z) pada daerah B adalah :

6

, dengan dV : Diferensial elemen volume

(dx dy dz)

Gambar 6: Ruang B pada sumbu Cartesian xyz

2. Sifat Integral Lipat Tiga

1.

2.

3. Tafsiran Integral Lipat Tiga

Gambar 7: Tafsiran I Integral lipat tiga

z B B bras y 0

x

z z = g2( x,y) B z = g1(x,y) c d y x = p1(y)

x = p2(y) D x

7

Jika B benda yang dibatasi p1(y) ≤ x ≤ p2(y), c ≤ y ≤ d, dan

g1 (x,y) ≤ z ≤ g2(x.y) maka,

Gambar 8: Tafsiran II Integral lipat tiga

Jika B benda yang dibatasi a ≤ x ≤ b, q1(x) ≤ y ≤ q2(x), dan

g1(x,y) ≤ z ≤ g2(x.y) maka,

z g2(x,y)

B g1(x,y) 0 y q1(x) q2(x) a D b D x

8

Gambar Bidang di Ruang tiga Dimensi

1. Limas ax + by + cz = d, dimana a,b,c dan d 0.

Cara menggambar:

Perpotongan dengan sumbu x y = z= 0 ax =d

koordinatnya

Perpotongan dengan sumbu y x = z= 0 by =d koordinatnya

Perpotongan dengan sumbu z x = y= 0 cz =d koordinatnya

9

Gambar 1. Limas Segitiga

2. Paraboloida

Cara menggambar:

mis ( di bidang YOZ, berbentuk parabola)

mis ( di bidang XOZ, berbentuk parabola)

z

10

x

y

Gambar 2. Paraboloida

3. Silinder / Tabung

Gambar 3. Tabung / silinder

4. Kerucut Tegak

11

Gambar 4 . Kerucut

5. Bola

Gambar 5. Bola

4. Latihan

1. Jika B benda yang dibatasi 1 ≤ x ≤ 6, 2 ≤ y ≤ 7, 0 ≤ z ≤ 4. Tentukan

12

2. Jika B benda yang dibatasi 2x + 3y + 6z = 12, bidang x = 0, y = 0, z =

0.

Tentukan

3. Jika B benda yang dibatasi silinder parabolik y = x2, z = 0, z = 4, dan y

=6

Tentukan

B. INTEGRAL LIPAT TIGA KOORDINAT SILINDER (TABUNG)

1. Definisi

Koordinatnya (r, θ, z ), dimana:

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

0 ≤ θ ≤ 2 (arah θ belawanan arah jarum jam, θ = 0o sumbu x pos) .

r = .

Maka

B B

ddrdzrzrFdVzyxF ),,(),,(

13

Gambar 9 : Kaitan koordinat kartesian dan koordinat silinder

2. Latihan

1. Jika B benda yang dibatasi z = x2 + y2 dan bidang z = 4 Tentukan

2. Jika B benda yang dibatasi z = x2 + y2 dan z = 4 – x2 – y2. Tentukan

3. Jika B benda yang dibatasi z = dan z = 2 – x2 – y2. Tentukan

4. Jika B benda yang dibatasi diluar x2 + y2 = 4,di dalam z = 9 – x2 – y2

dan di atas bidang

z (r,θ,z)

z

y θ r

x

14

Z = 0. Tentukan

5. Jika B benda yang dibatasi z = 4 – x2 – y2, x2 + y2 – 2x = 0, di atas

z= 0.

Tentukan

6. Jika B benda yang dibatasi z = x2 + y2, dan x2 + y2 + z2 = 2.

Tentukan

7. Jika B benda yang dibatasi z = x2 + y2, x2 + y2 = 1, z = 4.

Tentukan

C. APLIKASI INTEGRAL LIPAT TIGA

1. Volume

Jika B benda pada ruang xyz maka Volume B adalah :

V =

2. Titik Pusat Massa

Jika B benda pada ruang xyz dan (x,y,z) rapat massa disetiap titik

pada B, maka :

Massa B = m =

Momen terhadap bidang xy = Mxy =

Momen terhadap bidang yz = Myz =

Momen terhadap bidang xz = Mxz =

Titik Pusat massa = ( , ) = (

3. Momen Inersia

15

Momen Inersia terhadap sumbu x = Ix =

Momen Inersia terhadap sumbu y = Iy =

Momen Inersia terhadap sumbu z = Iz =

4. Latihan

1. Jika B benda yang dibatasi x2 + y2 = 4, bidang z = 0 dan z = 6.

Tentukan

a. Volume B

b. Titik pusat massa B jika rapat massa B adalah ρ(x,y,z) = kz,

k konstanta.

2. Jika B benda yang dibatasi z = 12 - x2 - y2 , x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4

dan z = 0. Tentukan Momen Inersia terhadap sumbu x, sumbu y,

dan sumbu z.

3. Jika B benda yang terletak diluar z = , didalam x2 + y2 + z2

= 1, dan bidang z=0. Tentukan titik pusat massa B jika rapat massa

ρ = k, konstanta.

16

KALKULUS VEKTOR.

3.1. Diferensial Vektor

Jika F(u) = F1(u) i + F2(u) j + F3(u) k suatu fungsi vektor maka

Diferensial vektor F(u) adalah :

Perhatikan sebuah fungsi F yang menghubungkan sebuah vektor F(p)

dengan setiap titik p dalam ruang berdimensi n .Fungsi ini disebut

medan vektor .

Contoh : 1. F(x,y) = -2 x i + 3/2 y j , dalam ruang berdimensi 2

2. F(x,y,z) = x i - y j + 4z k, dalam ruang berdimensi 3.

Secara umum medan vektor dalam ruang 3 dimensi ditulis

F(x,y,z) = P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k

17

3.2. Gradien, Divergensi dan Curl

a. Operator Diferensial vektor Del

Notasi :

Definisi :

b. Gradien

Notasi : , dengan f (x, y ,z) suatu fungsi skalar

Definisi :

c. Divergensi F / Div F di titik p

Adalah kecenderungan fluida meninggalkan titik p ( div.F > 0) atau

mengumpul menuju p (div.F < 0).

Notasi :

dan F(x,y,z) = P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k medan

vektor.

18

Definisi :

(suatu fungsi scalar)

d. Curl F

Notasi :

Menyatakan arah sumbu dimana fluida berotasi (melingkar) paling

cepat. Arah rotasi mengikuti aturan tangan kanan.

CurlF= = =

Latihan:

Tentukan div.F dan curl F dari :

1.

2.

Tentukan dari:

a. b.

19

INTEGRAL GARIS

4.1.Definisi

Jika F(x,y) = M(x,y) i + N(x,y) j suatu medan vektor dan C suatu

lintasan terbuka dari titik A ke B maka Intergral vektor F(u) terhadap

lintasan C atau disebut Integral Garis, yaitu :

dengan dX = dx i + dy j B

A

20

= .

Contoh 1:

Hitunglah integral garis di sepanjang lintasan

yang menghubungkan titik (0,2), (3,2) dan (3,5).

Jawab:

Pada garis , y = 2 maka dy = 0

Sehingga = 18

Pada garis , x= 3 maka dx = 0

Sehingga = 117.

Jadi = 135.

21

(3,5) C2 (0,2) C1 (3,2)

Jika C adalah busur lengkungan dari A ke B , maka integral garis adalah

Perhitungannya menggunakan parameter t, dimana dan

sehingga dt , maka

dt.

Contoh 2:

Hitunglah jika C lengkungan persamaan parameter ,

,

Jawab:

= = 27

22

4.2. Aplikasi

a. Massa (m)

Jika rapat massa , maka m = .

b. Momen massa ( M )

Terhadap sumbu x :

Terhadap sumbu y : .

c. Titik pusat massa =

4.3. Tak Tergantung Lintasan ( Bebas Lintasan)

Definisi :

Untuk setiap C lengkungan dari titik A ke B. Nilai tetap

harganya maka dikatakan tidak tergantung lintasan dari A

ke B.

23

C1 B

A

C2

=

Artinya tidak tergantung lintasan dari titik A ke B melalui C1 atau C2.

Teorema 1 :

Jika C lengkungan licin dari titik A ke B. fungsi f(x) terdefinisi dan

kontinu pada daerah terbuka yang memuat C, maka :

Teorema 2 :

Jika f(x) medan vector yang kontinu pada daerah tersambung

sederhana. Maka tidak tergantung lintasan dari A ke B jika

dan hanya jika terdapat medan konservatif f sehingga

Untuk menunjukkan F medan konservatif :

1. Jika maka F konservatif jika

memenuhi

24

2. Jika maka F

konservatif jika atau

Langkah – langkah menunjukkan tidak tergantung lintasan dari

titik A ke B adalah :

1. Tunjukkan F konservatif.

2. Tentukan f agar .

3.

Latihan Soal.

1. Tentukan apakah

konservatif, dan jika ya tentukan fungsi f .

2. Misalkan . Hitunglah

, dimana C adalah sebarang

lintasan dari (0,0) ke (1,2).

(langkah 1: Tunjukkan F konservatif, langkah 2: hitung menggunakan

teorema 1)

25

4.4. Teorema Green pada Bidang

Teorema Green :

Jika C lengkungan tertutup sederhana yang merupakan batas daerah

D dan suatu medan vector . M(x,y)

dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan parsial pada D dan C.

Maka :

atau

Note : arah positif C adalah berlawanan arah jarum jam.

Latihan Soal:

1. Misalkan C adalah batas segitiga dengan titik-titk (0,0), (1,2) dan

(0,2), hitunglah

dengan menggunakan metode langsung dan Teorema Green.

D D D

C

26

2. Dengan Teorema Green dari jika C adalah

lengkungan yang dibatasi oleh di luar dan di dalam

.

4.5. Fluks dan Sirkulasi

a. Fluks (Teorema Divergensi Gauss)

Fluks: jumlah (neto) fluida yang meninggalkan D per satuan waktu

dari medan vektor F yang menyeberangi kurva C ke arah luar .. Jika n

vektor normal satuan yang tegak lurus terhadap D , maka

Fluks yang menyeberangi C =

= =

b. Sirkulasi (Teorema Stokes)

Adalah Sirkulasi / kecenderungan fluida untuk berputar pada titik

. Jika Curl F = 0 pada D, maka aliran fluida dikatakan tidak

dapat berputar.

= =

27

n D D D C C

Contoh:

Diketahui Medan vektor adalah medan

kecepatan dari roda stabil yang berlawanan dengan arah jarum jam

terhadap sumbu z..Hitunglah Fluks dan Sirkulasinya.

Jawab:

a. Fluks = = = = 0

b. Sirkulasi = Curl F = = =

= Luas A.

INTEGRAL PERMUKAAN

5.1 Definisi

28

Misalkan S bagian dari permukaan dimana (x,y) berada

dalam D pada bidang XY . Jika f mmpunyai turunan parsial orde

pertama yang kontinu dan kontinu pada D ,

maka Integral Permukaan dari pada S adalah:

Dimana dS adalah elemen diferensial luas permukaan

dan D adalah proyeksi S terhadap bidang XY.

5.2 Aplikasi

a. Luas Permukaan

Jika =1 , maka adalah luas permukaan.

b. Massa = m

Sz= f(x,y)

D

29

Jika rapat massa diketahui maka m=

Contoh:

Hitunglah dimana S bagian dari permukaan

.,

Jawab:

Proyeksi S terhadap bidang XY adalah D yang melalui titik (3,0) dan

(0,6).

Sehingga permukaan

dan =

1/3

(0,6)

(3,0)

30

Jadi =

=

diselesaikan dengan menggunakan integral lipat 2.

Latihan:

1. Hitunglah dimana S bagian dari permukaan di

antara z = 1 dan z = 9.

2. Tentukan luas permukaan dari S bagian permukaan pada soal no.2.

5.3. Fluks Medan Vektor yang Melalui Permukaan

31

Pada permukaan yang bersisi dua seperti layar, dan andaikan terdapat

fluida yang dapat mengalir melalui permukaan tersebut dari satu sisi

ke sisi yang lain. Andaikan juga permukaan tersebut licin yang berarti

mempunyai normal satuan n arah ke atas yang berubah-ubah secara

kontinu..Jika S adalah permukaan yang bersisi dua seperti definisi di

atas dan diasumsikan S dicelupkan ke dalam fluida dengan medan

kecepatan kontinu F(x,y,z). . Maka :

Fluks yang menyeberangi S adalah = CARA 1

Contoh: Tentukan fluks arah ke atas dari yang

menyeberangi bagian dari permukaan bola S yang dibentuk oleh

= ,

Jawab:

Medan F adalah arus rotasi yang mengalir pada arah sumbu z positif.

Persamaan dari permukaan dapat ditulis sbb:

= =

n

n

32

= =

= =

Maka fluks F yang menyeberangi S dinyatakan dengan

=

=

= = =36 satuan kubik.

Teorema

Misalkan S adalah permukaan mulus bersisi dua yang dibentuk oleh

, dimana (x,y ) ada di dalam D, dan misalkan n

melambangkan normal satuan k arah atas pada S. Jika f mempunyai

turunan parsial orde pertama yang kontinu dan adalah

medan vektor kontinu , maka fluks F yang menyeberangi S dapat

dinyatakan dengan:

Fluks F = = CARA 2

Contoh :

Hitunglah fluks medan vektor yang menyeberangi S

bagian dari paraboloida yang terletak di atas bidang xy,

dengan n vektor normal ke arah atas.

Jawab:

33

, ,

=

=

= = =

Soal:

1. Hitunglah fluks F medan vektor yang menyeberangi S

bagian dari pemukaan , dengan menggunakan

teorema.

2. Hitunglah fluks F medan vektor yang menyeberangi S

bagian dari permukaan , yang berada di dalam silinder

.

5.4. Teorema Divergensi Gauss

Misalkan adalah medan vektor sedemikian rupa

sehingga M, N dan P mempunyai turunan-turunan parsial orde

pertama yang kontinu pada benda padat S yang mempunyai batas ..

Jika n melambangkan n normal satuan luar yang tegak lurus terhadap

, maka

Fluks F = =

= CARA 3

Contoh:

34

1. Hitunglah fluks dari medan vektor yang

menyeberangi

S = dengan menggunakan Teorema Gauss.

Jawab:

Karena div F = 3, maka fluks F = = 3 =

.

2. Misalkan S adalah silinder padat yang dibatasi oleh ,

z = 0 dan z = 3. Jika n adalah normal satuan luar tehadap batas .

Mis . Tentukan fluks yang

menyeberangi .

Jawab:

Div F =

Fluks F = = 3

= =

35