Download - HOMOMORFISMA GRUP ( Lanjutan )
HOMOMORFISMA GRUP (Lanjutan)
Teorema VII.2Misalkan < G, . > grup dan < B,* > sistem aljabar dengan
operasi *.Maka fungsi f : G B mengawetkan operasi maka Im(f)
merupakan grup terhadap operasi * yang termuat dalam sistem B.
Bukti: Dengan sedikit perubahan pada pembuktian Teorema
VII.1 maka dapat dibuktikan sifat ketertutupan, identitas dan hukum invers. Tinggal dibuktikan bahwa hukum assosiatif berlaku.
Misalkan f(a), f(b), f(c) dalam f(G). Pada satu sisi, ( f(a)*f(b) ) * f(c) = f(ab)*f(c) = f((ab)c) Sedangkan pada sisi lain, f(a) * (f(b)*f(c)) = f(a)*f(bc) = f(a(bc)) Karena G grup maka (ab) c = a (bc) sehingga kedua
hasil di atas sama.
Definisi VII.4Misalkan f : G H homomorfisma grup.
Inti dari f atau Ker(f) didefinisikan sebagai anggota G yang dipetakan oleh f ke anggota identitas dari H yaitu
Ker(f) = { x G | f(x) = e }.
Contoh VII.7Bila didefinisikan pemetaan f : Z20*
Z20* dengan f(x) = x2 maka dengan menggunakan metode trial and error akan diperoleh
Ker(f) = { 1, 9, 11,19 }.
Teorema VII.3Jika f : G H homomorfisma grup
maka Ker(f) grup bagian dari G.Bukti :Akan dibuktikan bahwa e dalam
Ker(ƒ).Telah ditunjukkan bahwa f(e) =
e.Akibatnya identitas e dalam G
merupakan anggota Ker(f).
Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ) tertutup.Misalkan x, y dalam Ker(f).Karena x, y dalam Ker(f) maka f(x) = e dan f(y)
= e sehingga(xy) = f(x) f(y) = e e= e.Oleh karena itu , xy dalam Ker(f).Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ)mengandung
invers dari anggotanya.Misalkan x dalam Ker(f).Karena x dalam Ker(f) maka f(x) = e sehingga f(x) = ef(x) f(x-1) = e f(x-1) f(x x-1) = f(x-1) f(e)= f(x-1) e= f(x-1)Berarti x-1 dalam Ker(f).■
Teorema VII.4Misalkan f : G H homografisma
grup dengan peta f(g). Sifat-sifat berikut ini berlaku :
Jika G berhingga maka orde dari f(G) membagi orde G.
Jika G siklik maka f(G) siklik.Jika a G mempunyai orde
berhingga maka order dari f(a) membagi order a.
Jika G abelian maka f(G) abelian.
Contoh VII.8 : Fungsi f : dengan f(x) = 8x merupakan
homomorfisma 2 ke 1.Karena f(0) = 0 dan f(5) = 0 maka
K=Ker(f) = { 0, 5 }. Koset dari K dibawa ke anggota dari
peta f yaitu 10 anggota dibawa dalam 2 ke 1 cara ke 5 anggota peta f.
{ 0 , 5 } 0{ 1 , 6 } 8{ 2 , 7 } 6{ 3 , 8 } 4{ 4 , 9 } 2
Teorema VII.5Misalkan f : G H homomorfisma
grup dengan inti Ker(f) dan peta f(G).
Sifat-sifat berikut ini berlaku :Fungsi f injektif jika dan hanya
jika Ker(f)={ 0 } Jika f injektif maka G isomorfis
dengan f(G).
Contoh VII.9 : Didefinisikan pemetaan f : Z Z
dengan aturan f(x) = 3x.Karena f(x+y) = 3(x+y) = 3x+3y =
f(x) + f(y) maka f homomorfisma.Penyelesaian persamaan 3x = 0
adalah x = 0 sehingga Ker(f) = { 0 } atau f injektif.
Dengan menggunakan teorema maka Z isomorfis dengan Im(f) = { 3x | x dalam Z } = (3)
yang merupakan grup bagian sejati dari Z.■
Soal VII.1Misalkan diketahui R himpunan
bilangan real dan R* = R – {0}. Didefinisikan f : R* R* dengan f(x)
= x2 Buktikan f homomorfisma tetapi f tidak injektif.
Jawab :Berdasarkan Contoh VII.4, dengan
mengingat R* grup terhadap operasi perkalian maka f homomorfisma tetapi
Ker(f) = { x R* | f(x) = x2 = 1 } = { 1, -1 } ≠ { 1 }
sehingga f tidak injektif.
LatihanTentukan fungsi ini
homomorfisma atau bukan.◦f : Z R* dengan f(k) = 2 .◦f : R R dengan f(x) = x .◦f : Z Z dengan f(k. 1) = k. 1.
Jika pada soal nomor 1 di atas homomorfisma maka tentukan intinya.
Diketahui f : R R+ dengan f(x) = 2-x. Tunjukkan bahwa f homomorfisma yang injektif dengan uji kernel.
TERIMA KASIH