BAB V
MOMEN KEMIRINGAN DAN KURTOSIS
A. Momen
Misal diketahui variabel X dengan harga X1, X2, X3 . . . . Xn. Jika A
sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3, maka momen di sekitar A disingkat m’r
didefinisikan oleh
Dengan
n = , Xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan Xi.
Dengan menggunakan cara coding, rumusnya:
m’r = , P = Panjang kelas, C = Variabel koding.
Dari m’r harga-harga mr dapat ditentukan berdasarkan hubungan:
m2 = m2’ – (m1’)2
m3 = m3’ – 3m1’ + m2 + 2(m1’)3
m4 = m4’ – 4m1’ + 6 (m1’) m2 – 3 (m1’)
45
Untuk menghitung momen disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar distribusi
frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:
TABLE 5.1: Table pembantu untuk mencari mData f1 Ci f1Ci f1C1
2 f1C13 f1C1
4
60 – 6364 – 6768 – 7172 – 7576 – 70
51842278
-2-1012
-10-1802716
201803742
-40-1802764
8018027128
Jumlah 100 15 97 35 253
Dapat dihitung:
m1 =
m2 =
m3 =
m4 =
Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas:
m2 = m2’ – (m1’)2 = 15,52 – 0,36 = 15,16
m3 = m3’ – 3m1’ m2’ + 2(m1’)3 = 5,28 – 3x0,6x15,52 +2x (0,6) = 21,456
m4 = m4’ – 4m1’ m3’ + 6 (m1’)2 (m2’)...........
= 40,48 – 4x0,6 x 5,28 + 6 x 0,6 2x15,52 – 3x0,42
= 60,9424
Jadi Varian S2 = m2 = 15,16
B. Kemiringan
46
Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu rucing atau tidak terlalu datar. Dinamakan
mesokurtik,
kurva yang runcing dinamakan leptokurtik sedangkan yang datar disebut
platikurtik.
Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a4, ditentukan
dengan rumus a4 = (m4/m)
Kriteria yang didapat dari rumus ini ialah:
a) a4 = 3 Distribusi normal
b) a4 > 3 Distribusi yagn leptokurtik
c) a4 < 3 Distribusi yang platikurtik
Untuk mengetahui apakah distribusi normal atau tidak sering pula dipakai
koefisien kurtosis persentil, diberi simbul:
κ =
SK = rentang semi antar kuartilK3 = kuartik ketigaK1 = kuartil keduaP10 = persentil kesepuluhP90 = persentil ke 90Untuk distribusi normal, harga κ = 0,263
Untuk contoh di atas telah di dapat m4 = 60,9424, sedangkan m = 15,17 sehingga
besarnya koefisien kurtosis a4 = (m4/m ) = 60,9424/229,8256 = 0,265, ini kurang dari
3, jadi kurvanya cenderung aman platikurtik.
Contoh: data nilai ujian Fisika dasar dari 80 mahasiswa, akan kita cari koefisien
kurtosis persentil besarnya:
κ =
Dimana K1 dan K3 telah kita hitung; K1 = 81,676 dan K3 = 61,75, adapun datanya telah disusun dalam daftar sebagai berikut:
47
No Nilai Ujian Fi1234567
31 – 4041 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 9091 – 100
35101624175
Jumlah 80
Dengan menggunakan rumus Pi = b + P dimana P = panjang kelas dapat
dihitung P10 dan P90.
P10 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval ke 2 sehingga b
= 40,5, P = 10; F = 3 f = 5
P10 = 40,5 + 10 = 50,5
P90 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval keenam,
sehingga b = 80,5, P = 10, F = 8, f = 17
P90 = 80,5 + 10 = 81,32
48
BAB VI
TEORI PELUANG
A. Definisi Peluang
Mengundi dengan sebuah mata uang logam atau sebuah dadu, membaca temperatur
udara tiap hari dari termometer, menghitung banyak barang rusak yang dihasilkan
tiap hari, mencatat banyak kendaraan yang melalui sebuah tikungan setiap jam,
mencatat banyaknya mahasiswa yang absen dan sebagainya, merupakan eksperimen
yang dapat diulangi. Hasil eksperimen tersebut dapat dicatat. Segala bagian yang
mungkin didapat dari hasil ini dinamakan peristiwa. Contoh:
Catat banyaknya kendaraan yang melalui sebuah tikungan setiap jam. Hasilnya bisa
terdapat 0,1,2,3,4,5….buah kendaraan setiap jam yang melalui tikungan tersebut.
Beberapa peristiwa yang didapat misalnya tidak ada kendaraan yang melalui tikungan
selama satu jam, lebih dari lima kendaraan, lebih dari sepuluh kendaraan yang
melalui tikungan selama satu jam dan sebagainya.
Untuk menyatakan peristiwa akan digunakan huruf-huruf besar A, B, C. misalnya A
berarti tidak kendaraan, B berarti ada lebih dari lima kendaraan. C berarti ada lebih
dari sepuluh kendaraan yang melalui tikungan selama satu jam, dan sebagainya.
Definisi: Dua peristiwa atau lebih dinamakan saling eksklusif jika terjadi peristiwa
yang satu mencegah terjadinya yang lain:
Contoh:
1. E berarti barang yang dihasilkan rusak dan E berarti barang yang dihasilkan tidak
rusak. Dua peristiwa ini saling ekslusif.
2. Pada waktu menempuh EBTA, murid-murid mempunyai dua kemungkinan, lulus
dan tidak lulus
Maka peristiwa lulus dan tidak lulus merupakan dua peristiwa yang saling
ekslusif.
49
Definisi Klasik untuk Peluang
Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali diantara N peristiwa yang
saling ekslusif dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama.
Maka pelunag peristiwa E terjadi dan disingkat dengan P (E) =
Contoh:
Sebuah kotak berisi 50 kelereng yang identik kecuali warnanya. Terdapat 16 kelereng
berwarna biru. 12 berwarna hijau 14 berwarna merah dan sisanya berwarna kuning.
Kelereng dalam kotak diaduk baik-baik, lalu diambil dengan mata ditutup. Peluang
mengambil kelereng berwarna:
Biru =
Merah =
Hijau =
Kuning =
Definisi klasik tersebut bersifat samar-sama karena adanya perkataan masing-masing
terjadi dengan kesempatan yang sama, yang namapknya sinonim dengan pengertian
peluang yang sama. Karena definisi peluang empirik sering digunakan. Definisi:
Kita perhatikan frekuensi relatif tentang terjadinya sebuah peristiwa untuk sejumlah
pengamatan. Maka peluang peristiwa itu adalah limit dari frekuensi relatif apabila
jumlah pengamatan bertambah sampai tak hingga. Contoh: Mata uang logam
mempunyai dua muka yang berlainan yaitu G (gambar) dan A (angka). Lalukan
lemparan mata uang logam homogen itu 1000 kali, misal di dapat muka A sebanyal
520 kali. Frekuensi relatif muka A = 0,520. Diulang dengan 200 kali, di dapat muka
A sebanyak 1011 kali, frekuensi relatif muka A = 0,5055. Diulang dengan 400 kali,
didapat muka A sebanyak 2018 kali, frekuensi relatif muka A = 0,5045. jika
eksperimen tersebut dilanjutkan, nilai frekuensi relatif lambat laun makin dekat pada
sebuah bilangan yang merupakan peluang untuk muka A. Dalam hal ini bilangan
tesebut adalah 0,5.
Atas dasar definisi di atas, dituliskan P (a) = ½
B. Beberapa Aturan Peluang
50
Dari definisi diperoleh P (E) = . Paling kecil n = 0, yakni peristiwa E tidak ada,
paling besar n = N, yakni semua yang terjadi merupakan peristiwa E.
0 < P (B) < 1
Jika N menyatakan bukan peristiwa E, maka di dapat:
P ( ) = 1 – P (E)
P (E) + P( ) = 1
Peristiwa-peristiwa E dan dikatakan saling berkomplemen.
Contoh:
Kalau seorang anak bermain-main dilapangan pada waktu turun hujan lebat, peluang
menjadi sakit = 0,08, maka peluang tetap sehat = 0,20.
Peristiwa E dan merupakan dua peristiwa yang saling eksklusif, terjadinya E
menghindari terjadinya dan sebaliknya.
Jika k buah peristiwa E1, E2,…..Ek saling ekslusif, maka peluang terjadinya E1 atau
E2 atau …….Ek sama dengan jumlah peluang tiap peristiwa.
P (E1 atau E2 atau ……atau Ek)
P (E1) + P (E2) + ……+ P (Ek)
Contoh:
1) Waktu melakukan undian dengan sebuah mata uang, maka muka G yang nampak
di atas atau muka A yang nampak di atas. Kedua peristiwa ini saling ekslusif.
Karenanya:
P (muka G atau muka A) = P (G atau A)
= P (G) + P (A) = 1
Berarti adalah pasti salah satu muka nampak di atas ketika melakukan undian
dengan sebuah mata uang.
2) 100 lembar undian berhadiah akan diundi, dan disediakan hadiah untuk hadiah
pertama sebuah:
Hadiah kedua 5 buah
Hadiah ketiga 10 buah, sisanya tidak berhadiah
Seorang membelinya selembar. Beberapa peluang orang itu akan memenangkan
hadiah pertama atau hadiah kedua:
51
Jawab: Ada 4 peristiwa yang saling ekslusif yaitu A = hadiah pertama, B =
hadiah kedua, C = hadiah ketiga dan D = tidak berhadiah;
P (A) = 0,01
P (B) = 0,05
P (C) = 0,10
P (D) = 0,84
P (A atau B) = P (A) + P (B)
= 0,01 + 0,05 = 0,06
Dua peristiwa dikatakan mempunyai hubungan bersyarat jika peristiwa yang satu
menjadi peristiwa yang lain.
Ditulis A|B untuk menyatakan peristiwa A terjadi dengan didahului terjadinya
peristiwa B. peluangnya ditulis P (A|B) dan disebut peluang bersyarat.
Jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa B tidak mempengaruhi peristiwa A,
maka A dan B disebut peristiwa-peristiwa bebas atau independen.
Ditulis A dan B untuk menyatakan peristiwa-peristiwa A dan B kedua
terjadi :
P (A dan B) = P (B) . P(A|B)
Jika A dan B independen maka
P (A|B) = P (A)
Dan akibatnya
P (A dan B) = P (A) . P (B)
Rumus ini dapat diperluas untuk k buah peristiwa E1, E2, ….Ek yang independen.
P (E1 dan E2 dan …..dan Ek) = P (E1) . P (E2) …..P (Ek)
Contoh :
1. Undian dengan sebuah mata uang sebanyak dua kali. Ambil A = nampak muka G
pada undian pertama dan B = nampak muka G pada undian kedua. Jelas A dan B dua
peristiwa yang independen. Maka didapat : (P (Adan B) = P (A).P (B) = ½.½ = ¼
2. Sebuah kotak berisi 12 kelereng merah., 18 kelereng berwarna hijau dan 29 kelereng
berwarna kuning. Kecuali warna, semua kelereng itu identik. Dari kotak diambil
kelereng 2 kali, tiap kali sebuah kelereng. Kelereng yang diambil pertama kali tidak
52
dikembalikan lagi ke dalam kotak. Misalkan E = kelereng yang pertama diambil
berwarna merah, F = kelereng yang diambil kedua kali berwarna hijau.
Peristiwa-peristiwa E dan F tidak independen.
P (E) = merupakan peluang kelereng warna merah pada
pengambilan pertama.
P (F | E) = merupakan peluang kelereng warna hijau pada
pengembalian kedua, apabila kelereng pada pengembilan pertama berwarna merah.
P ( Edan F) = P(E) . P (F | E) = (0,21)(0,38) = 0,0798
Merupakan peluang kelereng warna merah pada pengambilan pertama dan kelereng
warna hijau pada pengambilan kedua.
Untuk dua peristiwa A dan B yang mempunyai hubunganinklusif, berlaku hubungan :
atau A dan B atau kedua-duanya terjadi.
Rumus : ( P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)
A dan B diartikan hubungan inklusi antara peristiwa A dan peristiwa B
Contoh :
Tumpukan kartu Bridge ada 52 kartu terdiri dari atas 4 macam ialah:Spade, heart,
diamond dan clup. Tiap macam terdiri dari atas 13 kartu bernomor 2, 3, ……. 10, J,
Q, K dan A. Peluang menarik Spade, Heart, Diamond dan Club, dari tumpukkan kartu
adalah 0,25.
Misalkan E= menarik kartu A dari tumpukan itu dan F= menarik kartu Spade. Jelas E
dan F dua peristiwa yang tidak saling eksklusif karena kita dapat menerik selembar
kartu A dari Spade. Peluang menarik sebuah kartu A atau sebuah Spade adalah :
P(E+F) = P(E) + P(F) – P(E dan F)
=
C. Ekspektasi (Harapan)
53
Misalkan suatu eksperimen yang dapat menghasilkan k buah peristiwa dapat
terjadi. Peluang dapat terjadinya tiap peristiwa masing-masing P1, P2… Pk dan untuk
tiap peristiwa dengan peluang tersebut terdapat satuan-satuan d1, d2,…. Dk. Satuan-
satuan ini bisa nol, positif ataupun negatif dan tentulah P1 + P2, …. + Pk = 1
Ekspektasi disingkat E, didefinisikan sebagai berikut:
E = P1 . d1 + P2D2 + …..+ PkDk
= P1d1
Contoh :
Si Bagio dan Si Kasino bersepakat bertaruh dengan melakukan undian
menggunakan sebuah mata uang logam, bila nampak muka G, Bagio membayar Rp.
1.000,- kepada Kasino, dan Kasino membayar Rp. 1000,- jika nampak A (angka).
Dari permainan ini Si Bagio mempunyai peluang untuk menang ½ dan
peluang untuk kalah adalah ½, sehingga ; E(untuk A) = ½ (Rp. 1000) + ½ (-Rp1000)
= Rp. 0,-
Demikian juga untuk Kasino
Berarti untuk jangka waktu yang cukup lama, dalam permainan ini Bagio dan
Kasino masing-masing menang nol rupiah.
BAB VII
54
DISTRIBUSI PELUANG
A. Distribusi Binomial
Diperhatikan sebuah eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa A dan
bukan A (ditulis ), dimana P (A) = = peluang terjadinya peristiwa A. dilakukan
percobaan sebanyak N kali secara independen, dimana X diantaranya menghasilkan
peristiwa A dan sisannya (N-X) peristiwa .
Jika + P(A) untuk tiap percobaan, 1- = P(A),
maka peluang terjadinya peristiwa a sebanyak X =x kali diantara N, dihitung oleh:
P(x) = P(X=x) = ( x (1-∏) n-x
Dengan N! + 1x2x3x….. x(N-1)xN dan 0! = 1 (N! dibaca N faktorial) rumus tersebut
merupakan koefisienbinomial
Rumus : = N
σ =
dimana parameter ditinjau dari peristiwa A.
contoh :
1. Peluang untuk mendapatkan 6 muka A, ketika melakukan undian dengan sebuah
mata uang logam homogin sebanyak 10 kali adalah :
P (x=7) = ( (1/2)4
= 0,2050
2. Pada pelemparan sebuah mata uang logam yang homogen sebanyak 5 kali,
ditentukan X = banyaknya G (gambar) yang muncul. Carilah P (X≤2)
Jawab : =1/2, X = 5
P(X≤2) = P(X=0) = P(X=1) + P(X=2)
P9X=0) = ( ) (1/2) 0(1/2)5 = 0,0312
P(X=1) = ( ) (1/2) 1(1/2)4
= 0,1562
P(X=2) = ( ) (1/2) 2 (1/2)5
= 0,3125P(X≤2) = 0,312 + 0,1562 + 0,3125 = 0,4993
55
B. Distribusi Poisson
Pada dasarnya distribusi poisson merupakan perluasan dari distribusi binomial, dengan N cukup besar dan π cukup kecil
Rumus : P(X) = P (X=x) =
Dimana : x = 0, 2, ………. = banyaknya suksese = 2,7183λ = bilangan tetap = n πn = banyaknya ulangan yang dilakukan
distribusi poisson mempunyai parameter :μ = λσ =
contoh :
Jika peluang pengunjung yang pingsan saat melihat parade akibat terik matahari
adalah 0,005 maka hitunglah peluang bahwa dari 3000 pengunjung parade tersebut,
trdapat 18 orang yang pingsan akibat terik matahari.
Jawab : π = 0,005 n = 3000
λ = n π = 3000 (0,005) = 15
x = 18
P(X) = P (X=x) = = = 0,0706
C. Distribusi Normal
56
Distribusi normal merupakan distribusi dengan variabel acak kentinu dan
merupakan distribusi yang sangat dominan. Distribusi normal sering disebut
sebagai distribusi Gauss.
Jika variabel acak kontinu mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan
persamaan :
F(x) =
Dimana :π = 3,1416e = 2,7183μ = parameter merupakan rata-rata untuk distribusiσ = parameter merupakan simpangan baku untuk distribusi
nilai x : - , maka dikatakan variabel acak X berdistribusi normal.Apabila = 1 dan = 0, maka diperoleh distribusi standar.
Fungsi identitasnya :
F(z) =
Untuk Z ; - < Z <
Mengubah distribusi normal umum, menjadi distribusi normal standar dapat ditempuh
dengan menggunakan transforamsi:
Z = ;
Dimana μ = rata-rata dan σ = deviasi standar
Untuk = 0 dan = 1
Kurva normal mempunyai sifat-sifat antara lain:
57
1. bentuknya simetrik terhadap sumbu x =
2. grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x
3. grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari x = - 3
kekanan sampai + 3
4. mempunyai satu modus, jadi kurga unimodal, tercapai pada x = sebesar
5. luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi hubungan sifat yang
kelima dengan rumus:
f (x) = , adalah:
. Untuk menentukan peluang harga X antara a
dan b, yakni P (a < X < b), digunakan rumus:
P (a < X < b) = dk, untuk penggunaan rumus ini tak
perlu dipakai, karena telah ada daftar yang dimaksudkan.
Setelah kita memiliki distribusi normal baku yang di dapat dari distribusi normal
umum dengan transformasi, maka daftar distribusi normal baku dapag digunakan.
Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari.
Caranya adalah:
1. hitung Z hingga dua desimal
2. gambarkan kurvanya
3. letakkan harga Z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong
kurva.
4. luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis
tegak dititik nol.
5. dalam daftar, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya hingga satu
desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas.
6. dari Z di kolom kiri maju kekanan dan dari Z di baris atas turun ke bawah, maka
didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari.
58
Bilangan yang di dapat ditulis dalam bentuk 0, xxxx (empat desimal) karena seluruh
luas = 1 dan kurva simetrik terhadap = 0, maka luas dari garis tetak pada titik nol
kekiri ataupun kekanan adalah 0,5.
Contoh:
Penggunaan daftar normal baku.
Akan dicari luas daerah:
1. antara z = 0 dan z = 2,26
Di baah Z pada kolom kiri cari 2,2 dan
di atas sekali angka 6. Dari 2,2 mamu
ke kanan dan dari 6 menurut didapat
4881 luas daerah yang dicari 0,4881
2. antara z = 0 dan z = -2,26
Di bawah Z pada kolom kiri cari 2,2
dan diatas sekali angka 6. dari 2,2
maju ke kanan dan dari 6 menurun di
dapat 4881 luas daerah yang dicari
0,4881
3. anara z = -1,50 dan z = 1,26 dari grafik
terlihat kita perlu mencari luas daerah
dua kali, lalu dijumlahkan dengan cara
seperti no. 1
untuk z = 1,5 didapat 0,4332
untuk z = 1,26 didapat 0,3962
jumlah = luas yang dicari = 0,8294
4. Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325
gram. Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan:
a. ada berapa bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram?
b. Ada berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram, jika semua
ada 10.0000 bayi?
c. Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 40000 gram, jika
semuanya ada 10.000 bayi
59
d. Ada berapa bayi yang beratnya 4250 gram jika semuanya ada5000 bayi?
Penyelesaian:
Dengan X = berat bayi dalam gram, =rerata berat bayi dalam gram, = 3750
gram, = 325 gram, maka:
a. untuk X = 4500
Z =
gram, pada grafiknya ada di sebelah
kanan z = 2,31 luasnya
0,4896 , luas daerah lebih besar 2,31
luas daerah ini
= 0,5 – 0,4896 = 0,0104. jika ada
1.04% dari bayi yang beratnya lebih
dari 4500 gram
b. dengan X = 3500 dan 4500 gram di
dapat Z = dan Z =
2,31
Luas daerah yang dibatasi anara --0,77
sampai 2,31 adalah jumlah dari 0,2794
dengan 0,4896 = 0,7690.
Banyaknya bayi yang beratnya antara
3500 gram sampai 4500 gram adalah =
0,7690 x 10000 =7690
c. Bayi yang beratnya lebih kecil atua sama dengan 4000 gram, maka beratnya
harus lebih kecil dari 4000,0 gram Z = peluang bayi
yang lebih kecil atau sama dengan 4000 gram = 0,5 – 0,2794 = 0,2206
banyaknya bayi = (0,2206) x 10,000 = 2,206
d. Berat 4250 gram berarti berat antara 4249,5 gram dan 4250,5 gram.
Jadi untuk X = 4249,5 dan X = 4250,5 didapat:
60
Z =
Z =
Maka luas daerahnya adalah 0,4382 – 04370 = 0,0012
Banyaknya bayi = 0.0012 x 5000 = 6
D. Distribusi Student
61
Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya, selain dari distribusi normal,
ialah distribusi student atau distribusi t.
Rumus : t =
Dimana: = Rata-rata sampel
= rata-rata populasi = simpang baku, populasi
Maka di dapat distribusi harga t dengan persamaan:
f (t) =
dimana:
K = merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian hingga luas daerah di bawah kurwa sama dengan satu unit.
(n – 1) = = derajat kebebasan, biasa disingkat dengan dk
Bentuk grafiknya seperti distribusi normal baku simetrik terhadap t = 0, sehingga
sempitas lalu hampir tak ada bedanya. Untuk harga n yang besar, biasanya > 30,
distribusi t mendekati distribusi normal.
Untuk perhitungan-perhitungan, daftar distribusi t sudah disusun dalam daftar.
Distribusi ini ditemukan oleh Gosse t yang menggunakan nama samaran “student”
Contoh:
Untuk n = 20, tentukan t supaya luas
daerah antara t dengan t = 0,9.
Dari grafik dapat dilihat bahwa luas luas
ujung kiri dan luas ujung kanan = 1-0,90 =
0,10
Kedua ujung luasnya sama, mulai dari t kekanan luasnya = 0,05, mulai dari t kekiri
luasnya = 1-0,05 = 0,95.
Jadi untuk = n-1 = 20 – 1 = 19 dan P = 0,95 didapat harga t = 1,73
Jadi antara t = -1,73 dan t = 1,73 luasnya = 0,90
62
E. Distribusi Chi Kuadrat (χ2)
Distribusi chi kuadrat merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu.
Simbul yang dipakai ialah χ2.
apabila besar sampel n dan varians 2, maka : χ2 = dan didapat distribusi
sampling χ2 untuk memudahkan menulis, dan harga u > 0, v = (n-1) = derajat
kebebasam K bilangan tetap yang bergantung pada v, sedemikian sehingga luas daeah
di bawah kurva sama dengan satu satuan luas dan e = 2,7183.
Grafik distribusi x2 umumnya merupakan kurva positif yaitu miring kekanan, makin
berkurang kemiringannya jika v makin besar.
Contoh: Gambar di bawah distribusi x2 dengan n = 10
a. Luas daerah yang diarsir sebalah kanak
= 0,025, hitung X12
b. Luas daerah yang diarsir sebelah kiri =
0,05, hitung X12
Jawab:
a. v = (n-1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,25 =
0,975, dicari pada tabel di dapat X21 =
19,0
b. v = (n – 1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,05 =
0,95 dicari pada tabel didapat X12
Catatan :
Karena distribusi X22 tidak simetrik, luas ujung-ujung daerah yang diarsir bila
diketahui jumlahnya, maka luas daerah ujung kiri yang diarsir dan luas daerah ujung
kanan harganya dapat berbeda-beda.
Dalam beberapa hal, kecuali dinyatakan lain, biasa diambil luas daerah ujung kanan
yang diarsir sama dengan luas daerah ujung kiri yang diarsir.
F. Distribusi F
63
Jika S12 dan S2
2 adalah varian-varians dari sampel-sampel acak independen
dengan besar berturut-turut n1 dan n2 yang berasal dari populasi-populasi
normal dengan varians-varians 12 dan 2
2, maka distribusi sampling harga S12/
S22 berbentuk distribusi F dengan derajat kebebasan: dk1 = v1 = n1 – 1; dk2; v2 =
n2 – 1, Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu.
Fungsi densitasnya mempunyai persamaan:
f (F) = K
dengan variabel acak F memenuhi batas F > 0, K = bilangan tetap yang harganya
bergantung pada v1 dan v2, sedemikian hingga luas di bawah kurva sama dengan satu.
Kurva distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif.
Tabel distribusi F terdapat pada lampiran, daftar tersebut berisikan nilai-nilai F untuk
peluang 0,01 dan 0,05 dengan dk v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah
ujung kanan yang diarsir, sedangkan dk = v1 ada pada baris paling atas dan dk = v2
pada kolom paling kiri untuk stiap pasang dk v1 dan v2.
Daftar berisikan harga-harga F dengan
kedua luas daerah ini (0,01 atau 0,05).
Untuk tiap dk = v2, daftar terdiri atas dua
baris yang atas untuk peluang P = 0,05 dan
yang bawah untuk P = 0,01.
Contoh:
Untuk pasangan dk, v1 = 8 dan v2 = 29 ditulis juga (v1, v2) = 8,29), maka untuk P =
0,5 didapat F = 2,28 dan 3,20 untuk P = 0,01.
Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang P = 0,01 dan P = 0,05, tetapi
sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95 digunakan
hubungan:
F(1-P) (v1, v2) =
Dalam rumus di atas perhatikan antara P dan 1-P dan pertukaran antara dk (v1, v2)
menjadi (v1, v2)
64
Contoh:
Telah didapat F0,05(8,29) = 2,28
Maka F0,095 (8,29) =
Telah didapat F0,01 (29,8) = 3,20
Maka F0,099(29,8) =
65