7
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Peramalan
2.1.1 Pengertian Peramalan
Peramalan adalah kegiatan untuk memperkirakan apa yang akan terjadi
pada masa yang akan datang (Sofjan Assauri,1984). Setiap kebijakan
ekonomi maupun kebijakan perusahaan tidak akan terlepas dari usaha
untuk meningkatkan kesejahteraan masyarakat atau meningkatkan
keberhasilan perusahaan untuk mencapai tujuannya pada masa yang akan
datang, dimana kebijakan tersebut dilaksanakan. Oleh karena itu perlu
dilihat dan dikaji situasi dan kondisi pada saat kebijakan tersebut
dilaksanakan. Usaha untuk melihat dan mengkaji situasi dan kondisi
tersebut tidak terlepas dari kegiatan peramalan.
2.1.2 Peran Peramalan
Peramalan mempunyai peranan yang sangat penting baik dalam
penelitian, perencanaan maupun dalam pengambilan keputusan. Baik
tidaknya hasil suatu penelitian dalam ekonomi dan dunia usaha sangat
ditentukan oleh ketepatan ramalan yang dibuat. Demikian pula, baik
tidaknya keputusan dan rencana yang disusun juga sangat ditentukan oleh
ketepatan ramalan yang dibuat.
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
8
2.1.3 Jenis-Jenis Peramalan
Peramalan dapat dibedakan dari beberapa segi tergantung dari cara
melihatnya. Dilihat dari sifat penyusunannya, peramalan dapat dibedakan
atas dua macam, yaitu:
1. Peramalan yang subjektif, yaitu peramalan yang didasarkan atas
perasaan atau intuisi dari orang yang menyusunnya.
2. Peramalan yang objektif, yaitu peramalan yang didasarkan atas data
yang relevan pada masa lalu, dengan menggunakan teknik-teknik dan
metode-metode dalam penganalisaan data tersebut.
Dilihat dari jangka waktu peramalan yang disusun, peramalan dapat
dibedakan atas dua macam, yaitu:
1. Peramalan jangka panjang, yaitu peramalan yang dilakukan untuk
penyusunan hasil peramalan yang jangka waktunya lebih dari satu
setengah tahun atau tiga semester.
2. Peramalan jangka pendek, yaitu peramalan yang dilakukan untuk
penyusunan hasil peramalan dengan jangka waktu yang kurang dari
satu setengah tahun atau tiga semester. Peramalan ini diperlukan
dalam penyusunan rencana tahunan, rencana kerja operasional dan
anggaran.
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
9
Jika dilihat dari sifat ramalan yang telah disusun, peramalan dapat
dibedakan atas dua macam, yaitu:
1. Peramalan kualitatif, yaitu peramalan yang didasarkan atas data
kualitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat
tergantung pada orang yang menyusunnya, karena hasil peramalan
tersebut ditentukan berdasarkan pemikiran yang bersifat intuisi,
judgment atau pendapat, dan pengetahuan serta pengalaman dari
penyusunnya.
2. Peramalan kuantitatif, yaitu peramalan yang didasarkan atas data
kuantitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat
tergantung pada metode yang digunakan dalam peramalan tersebut.
Adapun yang perlu diperhatikan dari penggunaan metode-metode
tersebut adalah baik tidaknya metode yang digunakan sangat
ditentukan oleh perbedaan atau penyimpangan antara hasil ramalan
dengan kenyataan yang terjadi. Peramalan kuntitatif hanya dapat
digunakan apabila terdapat tiga kondisi sebagai berikut:
a. Tersedianya informasi tentang masa lalu;
b. Informasi tersebut bersifat kuantitatif ataupun dapat
dikuantitatifkan dalam bentuk data numerik atau angka;
c. Diasumsikan bahwa pola data masa lalu akan berkelanjutan pada
pola masa datang (asumsi berkesinambungan).
2.1.4 Metode Peramalan Kuantitatif
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
10
Metode peramalan kuantitatif adalah cara memperkirakan secara
kuantitatif apa yang akan terjadi pada masa depan berdasarkan data yang
relevan pada masa lalu (Awat, 1990). Metode peramalan didasarkan pada
data yang relevan pada masa lalu, maka metode peramalan ini
dipergunakan dalam peramalan yang obyektif.
Pada umumnya, metode peramalan kuantitatif dapat dibedakan atas:
1. Metode peramalan deret waktu atau time series, yaitu metode
peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisa pola
hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel
waktu, yang merupakan deret waktu atau time series.
2. Metode peramalan korelasi atau sebab akibat (causal methods),
yaitu metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisa
pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan
variabel lain yang mempengaruhinya selain waktu.
2.1.5 Langkah-Langkah Peramalan
Peramalan yang baik adalah peramalan yang dilakukan dengan
mengikuti langkah-langkah atau prosedur penyusunan yang baik. Pada
dasarnya ada tiga langkah peramalan yang penting, yaitu:
1. Menganalisa data yang lalu, tahap ini berguna untuk mengetahui pola
yang terjadi pada masa lalu dengan cara membuat tabulasi dari data
yang lalu.
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
11
2. Menentukan metode yang digunakan. Metode peramalan yang baik
adalah metode yang menghasilkan penyimpangan antara hasil
peramalan dengan nilai kenyataan sekecil mungkin.
3. Memproyeksikan data yang lalu dengan menggunakan metode yang
digunakan dan mempertimbangkan adanya beberapa faktor perubahan.
2.2 Data Time series
Deret waktu (time series) merupakan serangkaian data pengamatan yang
terjadi berdasarkan indeks waktu secara berurutan dengan interval waktu tetap
(harian, mingguan, bulanan, tahunan dsb). Data yang diambil dapat berupa
data permintaan, pendapatan keuntungan, kecelakaan, produktifitas dan
indeks harga pelanggan.
Langkah penting dalam memilih suatu metode deret waktu (time series)
yang tepat adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data, sehingga
metode yang paling tepat dengan pola tersebut dapat diuji. Pola data dapat
dibedakan menjadi empat jenis, yaitu:
1. Pola Horisontal (H) terjadi bilamana nilai data berfluktuasi di sekitar nilai
rata-rata yang konstan.
2. Pola Musiman (S) terjadi bilamana suatu deret dipengaruhi oleh faktor
musiman (misalnya kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada
minggu tertentu).
3. Pola Siklis (C) terjadi bilamana suatu data dipengaruhi oleh fluktuasi
ekonomi jangka panjang seperti yang berhubungan dengan siklus bisnis.
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
12
4. Pola Trend (T) terjadi bilamana terdapat kenaikan atau penurunan sekuler
jangka panjang dalam data.
2.3 Analisis Time Series
Analisis time series merupakan salah satu prosedur statistika yang
diterapkan untuk meramalkan struktur probalistik keadaan yang akan
terjadi di masa yang akan datang dalam rangka pengambilan keputusan.
Suatu urutan pengamatan memiliki model data time series jika memenuhi
dua hal berikut:
1. Interval waktu antar indeks waktu t dalam dinyatakan dalam satuan
waktu yang sama (identik).
2. Adanya ketergantungan antara pengamatan dengan yang
dipisahkan oleh jarak waktu berupa kelipatan sebanyak k kali
(dinyatakan sebagai lag k).
Sedangkan tujuan analisis time series antara lain untuk:
1. Meramalkan kondisi di masa yang akan datang (forcasting).
2. Mengetahui hubungan antar peubah.
3. Kepentingan kontrol (untuk mengetahui apakah proses terkendali atau
tidak).
Beberapa konsep dasar dalam analisis time series antara lain:
1. Stokastik dan Stasioner
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
13
Dalam analisis time series disyaratkan bahwa data time series ( )
mengikuti proses stokastik. Dimana suatu urutan dari peubah acak
( ) dengan ruang sampel dan satuan waktu t dikatakan sebagai
proses stokastik. Suatu deret waktu dikatakan stokastik jika data masa
lalu hanya dapat menunjukkan struktur probabilistik keadaan yang
akan datang. Sebaliknya, jika suatu deret waktu dapat memprediksi
keadaan yang akan datang secara pasti maka disebut deterministik.
Dalam pembentukan model analisis time series mengasumsikan
bahwa data time series dalam keadaan stasioner. Untuk memeriksa
kestasioneran data dapat dilakukan dengan menganailisis diagram
deret waktu (time series plot). Diagram deret waktu (time series plot)
dapat diperoleh dengan bantuan software minitab v.14. Diagram deret
waktu (time series plot) yaitu diagram pencar antara nilai peubah
dangan t. Data time series dikatakan stasioner jika tidak ada perubahan
kecenderungan dalam rata-rata dan perubahan variansi. Dengan kata
lain, data time series yang stasioner adalah data tidak mengalami
kenaikan atau penurunan secara tajam (fluktuasi data berada pada
sekitar rata-rata yang konstan).
Kondisi stasioner terdiri atas dua hal, yaitu
a. Stasioner dalam rata-rata
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
14
Suatu data time series dikatakan stasioner dalam rata-rata jika
diagram deret waktu berfluktuasi disekitar garis yang sejajar sumbu
waktu atau jika tidak ada unsur trend dalam data. Apabila data tidak
stasioner dalam rata-rata, maka untuk menghilangkan
ketidakstasioneran tersebut dapat dilakukan dengan metode
differencing (pembedaan). Pada dasarnya metode differencing
adalah membentuk suatu data baru yang diperoleh dengan cara
mengurangi nilai pengamatan pada waktu t dengan nilai
pengamatan pada waktu sebelumnya. Jika hasil differencing
tersebut disimbolkan dengan maka Secara umum operasi
differencing yang menghasilkan suatu kejadian (proses) baru yang
stasioner adalah:
( ) (2-1)
Dimana:
= 1, 2, ...
= Backshift operator (operator mundur) yang didefinisikan
bahwa
= data ke-
b. Stasioner dalam variansi.
Suatu data time series dikatakan stasioner dalam variansi jika
struktur data dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
15
tetap atau konstan, atau secara visual tidak ada perubahan variansi
dalam besarnya fluktuasi. Jika kestasioneran data dalam variansi
tidak terpenuhi, maka dapat dihilangkan dengan melakukan
perubahan untuk menstabilkan variansi. Box-Cox (1964)
memperkenalkan transformasi pangkat (power transformation).
Misalkan ( )
transformasi pangkat dari dan untuk menstabilkan
variansi dapat digunakan
( ) ( )
(2-2)
( )
( )
, dimana disebut
sebagai parameter transformasi dan adalah data ke- .
Beberapa nilai yang digunakan dan bentuk transformasinya
adalah sebagai berikut.
Nilai (lambda) Transformasi
-1
-0,5
√
0
0,5 √
1
Tabel 2.1 Tabel Nilai-nilai 𝜆 dan Bentuk
Transformasinya
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
16
Dalam menstabilkan variansi ada beberapa ketentuan antara lain
1. Transformasi boleh dilakukan hanya untuk deret
yang positif.
2. Transformasi dilakukan sebelum melakukan differencing dan
pemodelan time series
3. Transformasi tidak hanya menstabilkan variansi, tetapi juga
dapat menormalkan distribusi.
2. Rata-rata, Autokovariansi, dan Autokorelasi
Suatu proses yang stasioner { } mempunyai rata-rata
(expectation) E( ) = μ dan variansi var( ) = E( ) = konstan
dan kovariansi cov( ) = fungsi dari perbedaan waktu | |.
Kovariansi antara dan adalah
( ) ( )( ) (2-3)
Korelasi antara dan adalah
( )
√ ( )√ ( )
(2-4)
Dengan catatan bahwa var( ) = var( )=
Adapun dinamakan fungsi autokovariansi dan dinamakan
fungsi autokorelasi pada analisis time series, karena masing-masing
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
17
menyatakan kovariansi dan korelasi antara dan dari proses
yang sama, hanya dipisahkan oleh jarak waktu k (lag k).
3. Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial
a. Fungsi Autokorelasi
Fungsi autokorelasi atau autocorrelation function (ACF)
merupakan statistik kunci dalam analisis time series (korelasi deret
waktu dengan deret waktu itu sendiri dengan selisih waktu (lag) 0,
1, 2 periode atau lebih). Koefisien autokorelasi adalah suatu fungsi
yang menunjukkan besarnya korelasi antara pengamatan pada
waktu ke- t (dinotasikan dengan ) dengan pengamatan pada
waktu-waktu yang sebelumnya (dinotasikan dengan
). Untuk suatu data time series maka
nilai autokorelasinya adalah sebagai berikut.
( )
∑ ( ) ( )
∑ ( )
(2-5)
Diagram ACF juga dapat digunakan sebagai alat bantu untuk
mengidentifikasi pola. identifikasi tersebut dapat dilakukan dengan
analisis dari diagram autokorelasi atau dengan uji signifikasi
koefisien autokorelasi. Jika digram ACF cenderung turun lambat
atau turun secara linier, maka dapat disimpulkan data belum
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
18
stasioner dalam rata-rata. Uji autokorelasi dilakukan dengan uji-
dengan hipotesis
(koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan
dengan nol)
(koefisien autokorelasi berbeda secara signifikan
dengan nol)
Statistik uji:
( ) dengan ( ) √
∑
Dimana
( ) = standar error autokorelasi pada data saat lag k
= autokorelasi pada saat lag
= time lag
= banyak observasi dalam data time series
Kriteria keputusan : tolak jika nilai | | dengan
derajat bebas .
Bila koefisien autokorelasi signifikan pada salah satu dari time lag
ke-1, ke-2, ke-3 yang pertama atau maksimum ketiganya sekaligus
dan koefisien autokorelasi yang berikutnya menjadi lebih kecil
mendekati nol secara cepat, maka data tersebut bersifat stasioner.
Bila beberapa koefisien autokorelasi yang pertama ( )
tergolong besar (signifikan) dan koefisien autokorelasi berikutnya
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
19
secara berlahan turun mendekati nol, maka data tersebut
mengandung pola trend. Bila koefisien autokorelasi ( ) yang
signifikan terjadi pada time lag tertentu, maka data tersebut
mengandung komponen musiman (seasonal). Bila semua koefisien
autokorelasi ( ) yang dihasilkan dari data time series atau sebagian
besar mendekati nol atau berada di antara daerah kritis, maka data
tersebut mengandung pola horisontal.
b. Fungsi Autokorelasi Parsial
Fungsi autokorelasi parsial atau partial autocorrelation
function (PACF) dalam analisis time series digunakan untuk
mengukur keeratan (association) antara dan , apabila
pengaruh dari lag waktu (time lag) 1, 2, 3, ..., k-1 dianggap terpisah.
Fungsi autokorelasi parsial adalah suatu fungsi yang menunjukkan
besarnya korelasi parsial antara pengamatan pada waktu ke-t
(dinotasikan dengan ) dengan pengamatan pada waktu-waktu
yang sebelumnya (dinotasikan dengan ).
4. White Noise Process
Suatu proses { } dinamakan white noise (proses yang bebas dan
identik) jika bentuk peubah acak yang berurutan tidak saling
berkorelasi dan mengikuti distribusi tertentu. Dalam proses ini rata-
rata E( ) = bernilai nol dan mempunyai variansi yang konstan
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
20
yaitu var( ) = dan nilai kovariansi ( ) untuk
.
5. Prinsip Parsimoni
Jika ada beberapa model diselidiki dan setelah diselidiki dengan
baik beberapa model yang berbeda disimpulkan memenuhi kriteria
atau asumsi tertentu, selanjutnya digunakan Prinsip parsimoni yang
menyatakan bahwa model yang lebih sederhana lebih disenangi dari
pada model dengan parameter yang banyak.
2.4 Metode Peramalan Exponential Smoothing
Metode peramalan exponential smoothing merupakan sekelompok
metode yang menunjukkan pembobotan menurun secara eksponensial
terhadap data observasi yang lebih lama. Metode peramalan exponential
smoothing adalah suatu prosedur yang mengulang perhitungan secara terus
menerus dengan menggunakan data terbaru. Setiap data diberi bobot dan data
yang terkini diberi bobot yang terbesar. Bobot yang digunakan adalah α untuk
data yang terbaru, bobot α(1-α) untuk data yang terbaru sebelumnya, bobot
( ) untuk data 2 periode sebelumnya dan seterusnya. Metode ini
terdiri atas tunggal, ganda (double), dan triple. Ketiga metode tersebut
mempunyai sifat yang sama yaitu data observasi yang lebih baru diberikan
bobot yang relatif lebih besar dibandingkan data observasi yang lebih lama.
Dalam metode exponential smoothing terdapat satu atau lebih parameter
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
21
pemulusan yang ditentukan secara eksplisit, dan hasil pilihan parameter ini
menentukan bobot yang dikenakan pada nilai observasi. Berikut adalah
beberapa metode peramalan exponential smoothing antara lain:
1. Single Exponential Smoothing
Teknik ini digunakan untuk menetapkan bobot tertentu atas data yang
tersedia, dan berdasarkan bobot tersebut akan diketahui bobot atas hasil
peramalan sebelumnya. Penentuan besarnya bobot yang digunakan dapat
dilakukan dengan bantuan software minitab v.14 untuk memperoleh
parameter yang optimal. Persamaan exponential smoothing dapat
dituliskan sebagai berikut:
( ) (2-6)
Dimana:
= ramalan data ke-t
Α = konstanta pemulusan (0 < α < 1).
= data observasi pada akhir periode sebelum ramalan
= ramalan pada periode
2. Double Exponential Smoothing
Ada dua macam metode double exponential smoothing yaitu
1) Double Exponential Smoothing Brown
Teknik pemulusan eksponensial ganda Brown(double exponential
smoothing brown) digunakan untuk meramalkan data time series
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
22
yang mengandung pola trend linier. Berikut ini adalah langkah-
langkah yang berisi lima persamaan untuk membuat ramalan
dengan metode Brown. Pertama, menghitung nilai exponential
smoothing dengan persamaan berikut.
( ) (2-7)
Kedua, menghitung nilai double exponential smoothing dengan
persamaan berikut.
( ) (2-8)
Ketiga, menghitung perbedaan antara nilai-nilai exponential
smoothing dengan persamaan berikut.
(2-9)
Keempat, menghitung faktor penyesuaian tambahan yang hampir
sama dengan slope kurva sebagai berikut.
(
) (2-10)
Terakhir, membuat peramalan p periode yang akan datang dengan
persamaan berikut.
(2-11)
Dimana:
= nilai yang dimuluskan secara eksponensial pada t
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
23
= nilai yang dimuluskan secara eksponensial ganda
pada t
= hasil peramalan pada periode
α = konstanta pemulusan
= jumlah p periode ke depan yang akan diramalkan
2) Double Exponential Smoothing Holt
Metode Double Exponential Smoothing Holt merupakan metode
yang akan digunakan dalam penelitian ini. Metode exponential
smoothing Holt dalam prinsipnya serupa dengan Brown namun Holt
tidak menggunakan rumus pemulusan trend secara langsung. Pada
metode ini komponen trend dihaluskan secara terpisah dengan
menggunakan parameter yang berbeda sehingga lebih fleksibel.
Namun, kedua parameternya perlu dioptimalkan. Dalam penelitian
ini, proses pengoptimalan parameter akan dibantu dengan software
minitab v.14. Berikut ini adalah langkah-langkah yang berisi tiga
persamaan untuk membuat ramalan dengan metode Holt.
Pertama, rangkaian data pemulusan secara eksponensial atau
estimasi level.
( )( ) (2-12)
Kedua, estimasi trend.
( ) ( ) (2-13)
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
24
Ketiga, ramalan pada p periode mendatang.
(2-14)
Keterangan:
= nilai baru yang dimuluskan atau estimasi level
= konstanta pemulusan untuk observasi ( )
= observasi yang baru atau data sebenarnya pada periode t
= konstanta pemulusan untuk estimasi trend ( )
= estimasi trend
= periode yang diramalkan
= nilai peramalan pada p periode mendatang
3. Triple Exponential Smoothing
Metode peramalan triple exponential smoothing dapat disebut juga
dengan metode tiga parameter Winter. Metode tiga parameter Winter
dapat digunakan untuk pemulusan data yang sekaligus mengandung trend
dan musiman. Selain itu, metode Winter didasarkan atas persamaan
pemulusan, yaitu satu untuk stasioner, satu untuk trend, dan satu untuk
musiman. Metode Winter memberikan tiga pembobotan dalam
peramalannya, yaitu α, β dan γ yang bernilai antara 0 sampai 1. Terdapat
empat persamaan yang digunakan dalam triple exponential smoothing
berikut.
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
25
Pertama, exponential smoothing atau estimasi level
( )( ) (2-15)
Kedua, estimasi trend.
( ) ( ) (2-16)
Ketiga, estimasi musiman
( ) (2-17)
Keempat, ramalan pada p periode pendatang
( ) (2-18)
Dimana:
= nilai ramalan pada p periode mendatang
= nilai baru yang dimuluskan atau diestimasi level saat ini
= periode yang diramalkan
= estimasi trend
= estimasi musiman
s = panjang musiman
= konstanta pemulusan untuk estimasi trend
= konstanta pemulusan untuk level
= konstanta pemulusan untuk estimasi musiman
= periode yang diramalkan
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
26
2.5 Metode Peramalan ARIMA Box-Jenkins
ARIMA merupakan suatu alat yang menggunakan nilai-nilai sekarang
dan nilai-nilai historis variabel dependen untuk menghasilkan peramalan yang
akurat. Model Autoregressive Intregreted Moving average (ARIMA) telah
dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins (1976), dan
nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang diterapkan
untuk analisis deret berkala, peramalan dan pengendalian. Menurut Jarret
(1991:317) Metode ARIMA memiliki beberapa keunggulan dibanding metode
lainnya, yaitu:
1. Metode ARIMA Box-Jenkins disusun dengan logis dan secara statistik
akurat;
2. Metode ARIMA Box-Jenkins memasukkan banyak informasi dari data
historis;
3. Metode ARIMA Box-Jenkins menghasilkan kenaikan akurasi peramalan
dan pada waktu yang sama menjaga jumlah parameter seminimal
mungkin.
Seperti metode exponential smooting, metode ARIMA Box-Jenkins juga
dibagi dalam dua jenis metode yaitu
1. Metode ARIMA Box-Jenkins untuk data non seasonal
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
27
Metode ARIMA Box-Jenkins untuk data non seasonal merupakan
metode ARIMA Box-Jenkins untuk data yang tidak mengandung
musiman. Metode ARIMA Box-Jenkins menggunakan pendekatan iteratif
yang mengidentifikasikan kemungkinan model yang bermanfaat. Model
ARIMA yang terpilih kemudian dicek kembali dengan data historis
apakah telah mendeskripsikan data historis dengan tepat. Model yang
terbaik akan diperoleh apabila sisa antara model peramalan dan data
historis memiliki nilai yang kecil, berdistribusi normal, dan independen.
Ada 3 komponen dalam metode ARIMA, yaitu:
a. Proses Autoregressive (AR)
Model Autoregressive (AR) merupakan model menunjukkan
sebagai fungsi linier dari sejumlah aktual sebelumnya, atau
dinyatakan dalam formulasi:
(2-19)
Dimana:
= variabel dependen
= variabel bebas yang merupakan lag dari
variabel terikat
= konstanta
= parameter AR
= residual atau error
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
28
b. Moving average (MA)
Model Moving average dapat disebut juga dengan model rata-
rata bergerak orde q, meramalkan nilai Yt berdasarkan kombinasi
kesalahan linier masa lampau (lag), atau dapat dirumuskan sebagai
berikut:
(2-20)
Dimana:
= variabel dependen pada waktu t
= residual periode sebelumnya (lag)
= konstanta
= parameter MA
= residual pada waktu t
c. Autoregressive Moving Average (ARMA)
Model autoregressive (AR) dapat dikombinasikan dengan model
yang memiliki moving average (MA) untuk menciptakan model
gabungan yang disebut autoregressive moving average (ARMA).
ARMA dapat dinotasikan dengan ARMA(p,q) dimana p adalah orde
untuk autoregressive dan q adalah orde untuk moving average.
Bentuk umum model ARMA(p,q) adalah
Autoregressive Moving Average
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
29
Gabungan antara model AR dan MA melahirkan model ARIMA
atau Box-Jenkins. Secara umum, model ARIMA ini dituliskan
dengan notasi ARIMA (p, d, q), dimana p meyatakan orde dari proses
autoregressive (AR), d menyatakan pembedaan (differencing), dan q
menyatakan orde dari proses moving average (MA). Bentuk model
ARIMA Box-Jenkins atau ARIMA (p, d, q) adalah sebagai berikut:
( )( ) ( ) (2-21)
Dimana:
p = orde autoregressive (AR)
d = orde differencing non musiman
q = orde moving average (MA)
( ) = (
)
( ) = (1-
)
= parameter AR yang berorde ke-
= parameter MA yang berorde ke-
( ) = orde differencing non musiman
= data ke- t
= galat pada waktu ke- t yang diasumsikan
memenuhi white noise.
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
30
Tahapan yang dilakukan pada proses ARIMA Box-Jenkins
antara lain identifikasi, penaksiran parameter, pemeriksaan
diagnostik dan peramalan.
1) Identifikasi Model
Sebelum melakukan analisis lanjutan terhadap data time series,
hal yang paling penting dilakukan adalah mengidentifikasi
karakteristik data. Melalui tahap identifikasi, model awal
ARIMA (p, d, q) dapat ditentukan. Metode ARIMA Box-Jenkins
mengasumsikan tidak adanya pola tertentu dari data masa lalu
yang dianalisis. Untuk itu perlu menentukan model umum
dengan melakukan uji stasioneritas. Uji stasioneritas menentukan
apakah data time series yang akan digunakan untuk peramalan
sudah stasioner atau tidak, baik dalam rata-rata maupun dalam
variansi. Jika kondisi stasioner dalam rata-rata tidak terpenuhi
diperlukan proses pembedaan (differencing). Pada ARIMA (p,
d, q), orde d digunakan untuk memodelkan kejadian yang tidak
stasioner dalam rata-rata. Jika kondisi stasioner dalam variansi
tidak terpenuhi, Box dan Cox (1964) memperkenalkan
transformasi pangkat (power transformation), ( ) ( )
,
dimana disebut sebagai parameter transformasi.
2) Pemeriksaan Diagnostik
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
31
Pemeriksaan diagnostik (diagnostic checking) dapat dibagi
dalam dua bagian, yaitu uji signifikasi parameter dan uji
kesesuaian model (meliputi uji asumsi white noise dan distribusi
normal).
a) Uji Signifikasi Parameter
Model ARIMA yang baik dapat menggambarkan suatu
kejadian yang menunjukkan penaksiran parameter pada model
memiliki signifikan berbeda dengan nol. Secara umum, misalkan
adalah suatu parameter pada model ARIMA Box-Jenkins dan
adalah nilai taksiran dari parameter tersebut, serta SE ( )
adalah standar error dari nilai taksiran , maka uji
kesignifikasinan parameter dapat dilakukan dengan tahapan
sebagai berikut
- Hipotesis
( parameter tidak signifikan dalam model)
( parameter signifikan dalam model)
- Statistik Uji
( )
- Daerah penolakan
Tolak jika | | ⁄ = banyaknya
parameter atau dengan menggunakan nilai-p (p-value), yakni
tolak jika nilai-p < α.
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
32
b) Uji Kesesuaian Model
Uji kesesuaian model meliputi kecukupan model (uji apakah
sisanya white noise) dan uji asumsi berdistribusi normal.
Pengujian white noise dilakukan dengan uji Ljung-Box,
sedangkan pengujian asumsi berdistribusi normal dapat
digunakan uji Kolmogorov Smirnov.
Uji sisa white noise dapat dilakukan dengan langkah sebagai
berikut.
- Hipotesis
: model sudah memenuhi syarat cukup (sisanya
memenuhi syarat white noise) atau
: model belum memenuhi syarat cukup (sisa tidak white
noise) atau minimal ada satu
- Statistik uji, yaitu statistik uji Ljung-Box atau Box-Pierce
Modified
( )∑
( )
(2-22)
- Daerah penolakan
Tolak jika . K berarti pada lag K dan m
adalah jumlah parameter yang ditaksir dalam model.
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
33
Sedangkan uji asumsi berdistribusi normal digunakan untuk
memeriksa apakah suatu proses residual ( ) mempunyai
distribusi normasl atau tidak. Langkah-langkah yang digunakan
dalam pengujian asumsi berdistribusi normal adalah sebagai
berikut.
- Hipotesis
H0 : residual (sisa) berdistribusi normal
H1 : residual (sisa) tidak berdistribusi normal
Dengan taraf signifikasi α = 0,05 dan statistik uji yang
digunakan dalam uji asumsi berdistribusi normal adalah uji
Kolmogorov Smirnov dengan rumus sebagai berikut.
| ( ) ( )| (2-23)
dengan,
( ) = suatu fungsi distribusi frekuensi kumulatif
yang terjadi di bawah distribusi normal
( ) = suatu fungsi distribusi frekuensi kumulatif
yang diobservasi
- Tolak H0 jika nilai-p atau p-value (D) < α atau Dhitung >
D(α,n), dengan n banyaknya pengamatan dan α taraf
signifikasi yang artinya residual ata sisa ( ) tidak
berdistribusi normal.
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
34
3) Peramalan
Peramalan dapat dilakukan jika seluruh model signifikan dan
seluruh asumsi sisanya terpenuhi.
2. Metode ARIMA untuk Data Musiman
Metode ARIMA untuk Data Musiman merupakan metode untuk data
yang mengandung pola musiman. Secara umum bentuk model ARIMA
Box-Jenkins musiman atau ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S adalah
( ) ( )( ) ( ) ( ) (
) (2-24)
Dimana
p,d,q = orde AR, differencing, dan MA non musiman
P,D,Q = orde AR, differencing, dan MA musiman
( ) =
( ) =
( ) = orde differencing non musiman
( ) = orde differencing musiman
( ) =
( ) =
= sisa pada waktu ke-t yang diasumsikan memenuhi
white noise.
2.6 Metode Peramalan Kombinasi
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
35
Metode peramalan kombinasi merupakan metode peramalan dimana
beberapa model peramalan tunggal dikombinasikan untuk mengoptimalkan
hasil peramalan . Metode peramalan kombinasi berusaha untuk
meminimalkan kesalahan peramalan (forecast error) sehingga memberikan
peramalan yang lebih akurat daripada peramalan yang dihasilkan metode
peramalan tunggal. Peramalan kombinasi dapat dinyatakan sebagai berikut:
(2-25)
Dimana:
= peramalan kombinasi
= bobot
= peramalan tunggal ke-n
Ada beberapa cara untuk menggabungkan metode-metode peramalan
tunggal. Pertama, metode peramalan kombinasi simple average. Metode ini
adalah metode peramalan kombinasi yang dilakukan dengan cara menghitung
rata-rata dari jumlah metode peramalan yang digunakan. Secara umum rumus
metode simple average adalah
(2-26)
Dimana adalah banyak metode peramalan yang digunakan.
Kedua, metode peramalan kombinasi minimum variance. Metode ini
menggabungkan beberapa model peramalan dengan cara memberikan bobot
pada masing-masing model yang digunakan untuk meminimumkan variansi
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
36
kesalahan peramalan. Metode peramalan kombinasi minimum variance
didasarkan pada variansi dari kesalahan model peramalan yang digunakan dan
nilai koefisien korelasi antara kesalahan model peramalan yang digunakan
untuk memperoleh bobot pada masing-masing model peramalan yang
digunakan. Jika dan adalah peralaman dari dua metode peramalan yang
berbeda yang mendekati nilai sebenarnya, secara umum rumus metode
peramalan kombinasi minimum variance ( )adalah
( ) (2-27)
Dan kesalahan peramalan kombinasi ( ) adalah
( ) ( )( ) (2-28)
Dengan dan adalah bobot dari masing-masing model peramalan yang
digunakan, maka dapat ditentukan pula variansi dari kesalahan peramalan
kombinasi adalah sebagai berikut.
[ ] [ ]
[ ( ) ( )( )] [ ( ) ( )( )]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
√ ( ) ( ) (2-29)
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014
37
Dimana dan adalah error dari peramalan pada periode untuk dua
metode peramalan tunggal. ( )dan ( ) adalah variansi dari
kesalahan dua peramalan individu dan ( ) adalah korelasi antara
dua kesalahan peramalan individu. Jika adalah bobot, maka
( ) ( ) √ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ) (2-30)
Nilai k pada persamaan (2-30) disubtitusikan pada persamaan (2-29) dapat
meminimumkan variansi dari kesalahan peramalan kombinasi. Jadi, variansi
minimum dari kesalahan peramalan kombinasi dapat dituliskan sebagai
berikut.
[ ] ( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( )√ ( ) ( ) (2-31)
Peramalan Jumlah Permintaan..., Linda Agustin Pratiwi, FKIP UMP, 2014