![Page 1: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/1.jpg)
APLIKASI
TURUNAN
![Page 2: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/2.jpg)
Menggambar Grafik Fungsi0. Daerah asal1. Simetri
• Fungsi genap dan fungsi ganjil
2. Titik potong sumbu• Sumbu-𝑥(𝑦 = 0) dan sumbu-𝑦 𝑥 = 0 .
3. Asimtot fungsiDefinisi :
Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi.
Ada tiga jenis asimtot fungsi, yakni:
(i) Asimtot Tegak
Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika
(ii) Asimtot Datar
Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika
(iii) Asimtot Miring
Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika
dan
lim ( )x c
f x→
=
bxfx
=→
)(lim
ax
xf
x=
→
)(lim baxxf
x=−
→)(lim
![Page 3: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/3.jpg)
x = a asimtot tegak
a
=−→
)(lim xfax
=+→
)(lim xfax
Dalam kasus
dan
x = aasimtot tegak
Dalam kasus
−=−→
)(lim xfax
=+→
)(lim xfax
dan
a
Asimtot tegak
![Page 4: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/4.jpg)
by = b
Garis y = b asimtot datar karena
Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk 𝑥 hingga. Namun, jika untuk 𝑥 menuju tak hingga, asimtot datar dihampiri olehgrafik fungsi (tidak dipotong lagi)
bxfx
=+→
)(lim
![Page 5: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/5.jpg)
baxy +=
y=f(x)
Garis y = ax + b asimtot miring
Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai 𝑥 hingga. Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar danasimtot miring
![Page 6: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh 1: Tentukan semua asimtot dari
Jawab :
(i) Asimtot tegak : x = 2, karena
dan
(ii) Asimtot datar :
=−
+−+→ 2
42lim
2
2 x
xx
x
Maka asimtot datar tidak ada
2
42)(
2
−
+−=
x
xxxf
−=−
+−−→ 2
42lim
2
2 x
xx
x
)(
)1(lim
2
42lim)(lim
2
2
212
4222
xx
xx
xxx x
x
x
xxxf
−
+−=
−
+−=
→→→
=−
+−=
→ )(
)1(lim
2
2
21
42
xx
xx
x
![Page 7: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/7.jpg)
xx
xx
x
xfa
xx
1.
2
42lim
)(lim
2
−
+−==
→→ xx
xx
x 2
42lim
2
2
−
+−=
→
1)1(
)1(lim
)1(
)1(lim
2
42
22
42222
=−
+−=
−
+−=
→→x
xx
xx
xx
x x
x
(iii) Asimtot miring ; y = ax + b
02
4lim =
−=
→ xx
2
)2(42lim
2
−
−−+−=
→ x
xxxx
x
xx
xx
x−
−
+−=
→ 2
42lim
2
axxfbx
−=→
)(lim
Asimtot miring y = x
2
242lim
22
−
+−+−=
→ x
xxxx
x
![Page 8: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/8.jpg)
Pembagian polinom
![Page 9: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/9.jpg)
1
1)(
−=
xxf
3
1)(
−+=
xxxf
1
2)(
2
2
−
+=
x
xxxf
3
2)(
−=
x
xxf
Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :
Soal Latihan
1.
2.
3.
4.
![Page 10: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/10.jpg)
4. Kemonotonan FungsiDefinisi :Fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk
( ) ( ) Ixxxfxfxx 212121 ,,
x1
f(x1)
x2
f(x2)
I
Fungsi f(x) monoton naik pada selang I
![Page 11: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/11.jpg)
Fungsi f monoton turun pada selang I
f(x1)
f(x2)
x1 x2
monoton turun pada interval I jika untuk
( ) ( ) Ixxxfxfxx 212121 ,,
I
![Page 12: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/12.jpg)
Teorema : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka
• Fungsi f(x) monoton naik pada I jika
• Fungsi f(x) monoton turun pada I jika
Contoh 2: Tentukan selang kemonotonan dari
Jawab :
f(x) monoton naik
f(x) monoton turun pada (0,2) dan (2,4).
Ixxf 0)('
' ( ) 0 .f x x I
2
42)(
2
−
+−=
x
xxxf
),4(dan)0,(pada +−
2 2 2 2
2 2 2 2
(2 2)( 2) 1( 2 4) 2 6 4 2 4 4 ( 4)'( )
( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
x x x x x x x x x x x xf x
x x x x
− − − − + − + − + − − −= = = =
− − − −
0 2 4
++++++---------------------+++++++
![Page 13: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/13.jpg)
5. Kecekungan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila naik pada
interval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila turun pada interval I.
Teorema : Uji turunan kedua untuk kecekungan
1. Jika , maka f cekung ke atas pada I.
2. Jika , maka f cekung ke bawah pada I.
)(' xf
)(' xf
Ixxf ,0)("
Ixxf ,0)("
Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah
x
y
x
y
![Page 14: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/14.jpg)
2
42)(
2
−
+−=
x
xxxfTentukan selang kecekungan dari
Contoh 3
Jawab :2
2
)2(
4)('
−
−=
x
xxxf
4
22
)2(
)4)(2(2)2)(42()(''
−
−−−−−=
x
xxxxxxf
4
2
)2(
))4(2)2)(42)((2(
−
−−−−−=
x
xxxxx
3
22
)2(
82882
−
+−+−=
x
xxxx3)2(
8
−=
x
Grafik f cekung keatas pada ),2( dan cekung kebawah pada
selang )2,(−
![Page 15: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/15.jpg)
6. Titik belok
Definisi 5.2
Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b)) disebut titik belokdari kurva f(x) jika terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah kiri x = b fungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan x = b fungsi f cekung ke bawah atau sebaliknya.
x = b adalah absis titik belok, jika f’’(b) = 0 atau f’’(b) = 0 tidak ada.
![Page 16: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/16.jpg)
c
f(c)
(c,f(c)) titik belok
c
f(c)
(c,f(c)) titik belok
Karena disebelah kiri c cekungkeatas dan disebelah kanan c cekung kebawah
Karena disebelah kiri c cekungkebawah dan disebelah kanan c cekung keatas
![Page 17: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/17.jpg)
c
f(c)
(c,f(c)) bukan titik belokkarena disekitar c tidakterjadi perubahankecekungan
c
Walaupun di sekitar cterjadi perubahankecekungan tapi tidak adatitik belok karena f tidakterdefinisi di c
![Page 18: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/18.jpg)
12)(.1 3 −= xxf
4)(.2 xxf =
Contoh 4: Tentukan titik belok (jika ada) dari
26)(' xxf = xxf 12)('', =
●0
+++++++-------------
Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1)merupakan titik belok
212)('' xxf =
●0
++++++++++++++
Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahankecekungan
![Page 19: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/19.jpg)
2
42)(.3
2
−
+−=
x
xxxf
3)2(
8)(''
−=
xxf
●2
+++++++--------------
Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena fungsi f(x) tidak terdefinisidi x = 2
![Page 20: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/20.jpg)
Soal Latihan
630152)( 345 −+−= xxxxf
3
13)(
2
−
+−=
x
xxxf
2
12)(
2
−
+−=
x
xxxf
x
xxf
2)1()(
+=
Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut :
1.
2.
3.
4.
3/1)( xxf =5.
![Page 21: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/21.jpg)
7. Nilai EkstrimDefinisi 5.3 Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c,
f(c) disebut nilai global dari f pada I jika
f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang
buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada
selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim.
min
maksIx
xfcf
xfcf
)()(
)()(
min
maks
)()(
)()(
xfcf
xfcf
Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis.
![Page 22: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/22.jpg)
f(a) max
lokal
f(b) min
lokal
f(c) max
global
f(d) min
global
f(e) max
lokal
f(f) min
lokal
a b c d e f
Nilai ekstrem fungsi pada selang I = [a,f ]
f(x)
![Page 23: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/23.jpg)
Ada tiga jenis titik kritis :
• Titik ujung selang I
• Titik stasioner (yaitu x = c dimana ),secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f (c))
• Titik singulir (x = c dimana tidak ada), secara geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f (c))
0)(' =cf
)(' cf
![Page 24: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/24.jpg)
Teorema : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal
Jika0)('
0)('
xf
xf),( cc −
0)('
0)('
xf
xfpada dan pada ( , ),c c +
maka f(c) merupakan nilaiminimum
maksimum Lokal.
c
Disebelah kiri c monoton naik(f ’>0) dan disebelah kanan cmonoton turun (f’<0)
f(c) nilai maks lokal
c
f(c) nilai min lokal
Disebelah kiri c monoton turun(f ’<0) dan disebelah kanan cmonoton naik (f’>0)
f(c)
f(c)
![Page 25: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/25.jpg)
Teorema : Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal
Misalkan . Jika ,maka f (c) merupakan
nilai lokal f
Contoh 5: Tentukan nilai ekstrim dari
Jawab:
0)(' =cf0)(''
0)(''
cf
cf
minimum
maksimum
2
42)(
2
−
+−=
x
xxxf
2)0( −=f
6)4( =f
2)2(
)4()('
−
−=
x
xxxf
0 2 4
++++++---------------------+++++++
Dengan menggunakan uji turunan pertama :
di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai
di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai
![Page 26: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/26.jpg)
Soal Latihan
630152)( 345 −+−= xxxxf
3
13)(
2
−
+−=
x
xxxf
2
12)(
2
−
+−=
x
xxxf
x
xxf
2)1()(
+=
Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :
1.
2.
3.
4.
![Page 27: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/27.jpg)
2
42)(
2
−
+−=
x
xxxfContoh 6: Diketahui
a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsib. Tentukan selang kecekungan dan titik belokc. Tentukan semua asimtotd. Gambarkan grafik f(x)
a. Fungsi f(x) monoton naik pada selang ),4(,)0,( +−monoton turun pada selang (0,2) dan (2,4).
2)0( −=f
6)4( =f
di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai
di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai
b. Grafik f cekung keatas pada ),2( dan cekung kebawah pada
selang )2,(− , tidak ada titik belok
c. Asimtot tegak x = 2, asimtot miring y = x, tidak ada asimtot datar
![Page 28: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/28.jpg)
d. Grafik f(x)
2
y=x
0 2 4
++++++----------++++++ 'f
2--------------------- +++++++++++
''f
-24
6
![Page 29: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/29.jpg)
1)(
+=
x
xxf
Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahuluselang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot
Soal Latihan
1.
2.
3.
3 2( ) 3 3 1f x x x x= − + −
𝑓 𝑥 =𝑥2 + 4
𝑥2 − 4
![Page 30: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/30.jpg)
5.2 Masalah maksimum minimum
Turunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang
berkaitan dengan masalah memaksimumkan atau meminimumkan fungsi.
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memodelkan masalah tersebut
menjadi fungsi satu peubah.
• Langkah-langkah:
1. Mengerti permasalahan
2. Menyimbolkan hal yang akan di-maks/min-kan
3. Menuliskan hal pada No.2 sebagai fungsi satu peubah
4. Mencari nilai maksimum/minimum dari fungsi ini dengan aturan-aturan
turunan.
![Page 31: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/31.jpg)
Contoh 7:
1. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuatdari kawat sepanjang 100 cm agar luasnya maksimumJawab :
Misal panjang y, lebar xy
x
Luas= L = x y, karena 2x + 2y = 100 → y = 50 - x
Sehingga Luas = L(x) = x(50-x) ,50 2xx−= 500 xxxL 250)(' −= → x = 25
02)25('' −=LKarena maka di x = 25 terjadi maks lokal.
Karena L(0) = 0, L(25) = 625, L(50) = 0 → agar luas maks haruslahx = 25 dan y = 25
![Page 32: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/32.jpg)
2. Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupabujur sangkar dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum.
x
x
x
x
45-2x
24-2x
Misal, panjang sisi potongan di pojok persegi panjang x, sehingga
45-2x 24-2x
x
V(x) = (45-2x) (24-2x) x
,10801384)( 23 xxxxV +−= 120 x
)9023(12)(' 2 +−= xxxV
)5)(18(12 −−= xx
Sehingga diperoleh titik stasionerx = 18 dan x = 5
![Page 33: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/33.jpg)
27624)('' −= xxVSehingga
0156)18('' =V
0156)5('' −=V
di x =18 terjadi min lokal
di x = 5 terjadi maks lokal
Untuk menentukan volume maksimum bandingkan nilaiVolume jika x = 5 dan x = 0, x = 12 (batas Df)
V(0) = 0
V(12)= 0
V(5) =2450
Agar volume kotak maksimum maka ukuran kotak : panjang 35 cm lebar 14 cm tinggi 5 cm
![Page 34: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/34.jpg)
Soal Latihan
1. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 100 dan hasilkalinya minimum
2. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 100 cm2 dankelilingnya minimum
3. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesardengan alas pada sumbu x serta dua titik sudutnya di atas sumbu xserta terletak pada parabola 28 xy −=
![Page 35: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/35.jpg)
5.3. Menghitung limit fungsi dengan Aturan L’Hôpital
Bentuk tak tentu dalam limit :
1. Aturan L’Hôpital untuk bentuk
Andaikan lim f(x) = lim g(x) = 0. Jika
Maka
−
,.0,,
0
0
0
0
−+= atau,,)('
)('lim L
xg
xf
lim( )
( )lim
' ( )
' ( )
f x
g x
f x
g x=
![Page 36: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/36.jpg)
20
2cos1lim
x
x
x
−
→
limcos
limsin
limcos
x x x
x
x
x
x
x
→ → →
−= = =
02
0 0
1 2 2 2
2
4 2
22
Contoh 8:
Hitung
Jawab:
bentuk (0/0)
Catatan: Aturan L’hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan syaratnya dipenuhi
![Page 37: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/37.jpg)
2. Aturan L’Hôpital untuk bentuk
Andaikan lim f(x) = lim g(x) = ,
Jika , −+= atau,,)('
)('lim L
xg
xf
)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf=maka
![Page 38: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/38.jpg)
Contoh 9:
Hitung53
1lim
2
2
++
++
→ xx
xx
x
32
12lim
+
+=
→ x
x
x1
2
2lim ==
→x
(bentuk )
53
1lim
2
2
++
++
→ xx
xx
x
Jawab:
Catatan: Walaupun syarat dipenuhi, belum tentu limit dapatdihitung dengan menggunakan dalil L’Hopital.
![Page 39: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/39.jpg)
32
1lim
2 ++
+
→ xx
x
x
Contoh 10:
Hitung32
1lim
2 ++
+
→ xx
x
x
)22()32(
1lim
2
12
21 +++
=−→
xxxx 1
32lim
2
+
++=
→ x
xx
x
1
)22()32(lim
2
12
21 +++
=
−
→
xxx
x 32
1lim
2 ++
+=
→ xx
x
x
Jawab:
(bentuk )
![Page 40: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/40.jpg)
Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan denganmenggunakan aturan L’Hopital, karena setelahdilakukan aturan L’Hopital muncul lagi bentuk semula
Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb:
2
322
1
1
)1(lim
xx
x
x x
x
++
+=
→
2
32
1
1||
)1(lim
xx
x
x x
x
++
+=
→
2
32
1
1
)1(lim
xx
x
x x
x
++
+=
→
11
)1(lim
2
32
1
=++
+=
→
xx
x
x
32
1lim
2 ++
+
→ xx
x
x)1(
)1(lim
2
322
1
xx
x
x x
x
++
+=
→
![Page 41: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/41.jpg)
3. Bentuk 0 .
Untuk menyelesaikannya, ubah ke dalam bentuk
atau
Contoh 11: Hitung
Jawab :
0
0
lim cscx
x x→0
2
0cos
2lim
sinlimcsclim
0
2
0
2
0===
→→→ x
x
x
xxx
xxx
![Page 42: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/42.jpg)
4. Bentuk -
Misalkan lim f(x)=lim g(x) = . Untuk menghitung
lim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan menyederhanakan
bentuk [ f(x)- g(x) ] sehingga dapat dikerjakan
menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya
Contoh 12: Hitung
Jawab :
( )lim csc cotx
x x→
−0
( )lim csc cot limsin
cos
sinlim
cos
sinlim
sin
cosx x x xx x
x
x
x
x
x
x
x→ → → →− = −
=
−= =
0 0 0 0
1 10
![Page 43: APLIKASI TURUNAN - danisuandi.files.wordpress.com€¦ · Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062301/605e7873b1a5d95ae641c515/html5/thumbnails/43.jpg)
Soal Latihan
limx
x
x→+
+
−
2 1
2 5
lim cscx
x x→0
2
limx
x x x→+
+ −
2
0
1 coslim
tanx
x
x→
−
( )lim cot cosx
x x→
−0
2 1 2
Hitung limit berikut ( bila ada )
1.
2.
3.
4.
5.