Aplikasi Statistik Aplikasi Statistik MaxwellMaxwell--BoltzmannBoltzmann
Distribusi Kecepatan Molekul
Distribusi Kecepatan Molekul
Berapakah laju rata-rata sebuah molekul dalam suatu sistem gas ideal bersuhu T?
kTv
kTvm
3
2
3
2
1 2
====
====
m
kTv
3====
Apakah semua molekul mempunyai laju sama dengan harga di atas?
Bagaimana distribusi laju molekul pada sistem gas ideal bersuhu T?
Saat ini kita akan menentukan distribusi laju molekul pada sistem gas ideal bersuhu T
Distribusi Kecepatan Molekul
Gas Ideal Statistik Maxwell- Boltzmann, mengapa!
1. Molekul-molekul dapat dibedakan2. Setiap keadaan energi dapat diisi lebih
dari satu molekul
−−−−====
kTg
Z
NN j
jj
εexp
−−−−====
kTg
Z
NN j
jj
ε∆∆ exp
Jumlah rata-rata molekul yang energinya antara εj dan εj + ∆ εj
Jumlah keadaan yang energinya antara εj dan εj + ∆ εj
(((( ))))1........)(
)( ε∆εεΦ
∆εΩd
dg j
jj ========
Distribusi Kecepatan Molekul
Tinjau sistem partikel dalam kotak 3-D:
Φ(ε) = Jumlah keadaan yang energinya kurang dari dan sama dengan εj
3R 3
4
8
1 bola volume
8
1)( ======== πεΦ Nyatakan dalam nj
(((( ))))41 π22222Rdengan
388
zyxj nnnn ++++++++======== (((( ))))2.....6
3
4
8
1)( 33
jjj nnnππΦ ========
(((( ))))3.....2
)()( 2
jjjj
jjj nnn
dn
ndgn ∆π∆
Φ∆Ω ============
Pernyataan energi εj :
(((( )))) (((( ))))4.....82
232
2222
2
22
jzyxj nVm
hnnn
mL
−−−−====++++++++====hπε
Distribusi Kecepatan Molekul
Fungsi Partisi Z:
−−−−====
−−−−====
−−−−
∑∑∑∑∑∑∑∑ 23
222
8exp
2exp jj
jj
j
jn
mkT
Vhnn
kTgZ ∆πε
∆
Aproksimasi (PR no 1)
(((( ))))5.....2
8exp
2
23
22
322
0
2
====
−−−−====
−−−−∞∞∞∞
∫∫∫∫ h
mkTVdnn
mkT
VhnZ jjj
ππ
Distribusi Kecepatan Molekul
Sekarang kita nyatakan indeks n pada persamaan-persamaan sebelumnya menjadi indeks v (kecepatan):
Pernyataan energi :
(((( ))))6.....2
1
8223
22
jjj mvnVm
h ======== −−−−ε + persamaan (3)
PR no 2
(((( ))))7.....4 2
3
3
vvh
Vmgv ∆π∆ ====
(((( ))))8....2
exp2
4 22
23
vkT
mvv
kT
mNNv ∆
π∆
−−−−
====
Statistik Maxwell-Boltzmann menjadi:
Jumlah rata-rata molekul yang lajunya antara v dan v + ∆v
Distribusi Kecepatan Molekul
vkT
mvv
kT
mNN v ∆
−
=∆2
exp2
4 22
23
π(((( ))))9...
2exp
2
4 22
23
−−−−
====kT
mvv
kT
mN
v
Nv
π∆∆
Fungsi Distribusi lajuMaxwell-Boltzmann
v
Nv
∆∆
v
Grafik fungsi distribusi MB pada suhu berbeda
Ketika v = 0, fungsi distribusi
bernilai nol.
Artinya?
Tidak ada molekul yang diam
Distribusi Kecepatan Molekul
Laju dengan peluang terbesar vm:
02
exp2
4
0
22
23
kT
mvv
kT
mN
dv
d
v
N
dv
d v
====
−−−−
====
π
∆∆
(((( ))))10.....2
22
m
kTv
kTkTdv
m ====
π
(((( ))))11.....exp4
2
22
3
−−−−====mm
V
v
vv
v
N
v
N
π∆∆
Fungsi distribusi MB dinyatakan dalam vm:
PR no 3
PR no 4
∑∑∑∑==== vNvN
v ∆1
Distribusi Kecepatan Molekul
Laju rata-rata molekul :
Aproksimasi
dvv
vv
vv
mm∫∞
−=0
2
23
3exp
4
π
(((( ))))12....82
m
kTvv m ππ
========PR no 5
Distribusi Kecepatan Molekul
Kelajuan root-mean-square (vrms):
2
1
02
24
3
2
1
2__
2 exp41
−=
∆== ∫∑∞
dvv
vv
vNv
Nvv
mm
Vrms π
(((( ))))13.....32
3
m
kTvv mrms ========
224.1:128,1:13
:8
:2
:: ========m
kT
m
kT
m
kTvvv rmsm π
Perbandinan ketiga jenis kelajuan:
PR no 6
Distribusi Kecepatan Molekul
Visualisasi ruang kecepatan:
∆NV = Jumlah vektor kecepatan yang berujung pada kulit bola, yang kecepatannya antara v dan v + ∆v
Volume kulit bola : 4πv2∆v
−
=
∆∆
=2
23
2exp
1
4mm
vv
v
v
vN
vv
N
ππρ
Jumlah titik representatif tiap satuan volume dalam kulit atau kerapatan ρv :
Distribusi Kecepatan MolekulVisualisasi ruang kecepatan:
Tinjau elemen volum ∆vx∆vy∆vz
dalam ruang kecepatan
Jumlah titik representatif dalam elemen volume ∆vx∆vy∆vz adalah elemen volume ∆vx∆vy∆vz adalah ∆NVxVyVz
Sehingga
x y zv v v v x y zN v v vρ∆ = ∆ ∆ ∆
( )zyx
m
zyz
m
VVV vvvv
vvv
vNN
ZYX∆∆∆
++−
=∆
2
2223
exp1
π
Distribusi Kecepatan Molekul
( )zyx
m
zyx
m
VVV vvvv
vvv
vNN
ZYX∆∆∆
++−
=∆ 2
2223
exp1
π
Jumlah molekul yang kecepatannya antara vx dan vx + ∆vx , vy dan vy + ∆vy , vz dan vz + ∆vz
Tinjau salahsatu komponen saja, misalkan komponen x:Tinjau salahsatu komponen saja, misalkan komponen x:
Jumlah molekul yang kecepatannya antara vx dan vx + ∆vx = ∆NVx
x
m
xz
m
zy
m
y
m
x vv
vdv
v
vdv
v
v
vNNv ∆
−
−
−
=∆ ∫∫
∞
∞−
∞
∞−2
2
2
2
2
23
expexpexp1
π
2
2
exp1
m
x
mx
x
v
v
vN
v
Nv −=
∆∆
π
PR no 7
Fungsi distribusi kecepatan Maxwell-Boltzmann untuk satu komponen
kecepatan
Serupa untuk ∆NVy
dan ∆NVz
Distribusi Kecepatan Molekul
∆Nvx
2
2
exp1
m
x
mx
x
v
v
vN
v
Nv −=
∆∆
π
Fungsi distribusi kecepatan Maxwell-Boltzmann untuk satu komponen kecepatan
∆vx
vx
Area = ∆Nvx
vx
∆Nvx
vx
∆Nvx
Bentuk mirip distribusi Gauss