Download - 127453138 kalkulus-vektor
A R I K U S Y A N T I
Vektor
Kalkulus 2
Besaran dan Satuan
Besaran Pokok
Besaran Turunan
Besaran Skalar
Besaran Vektor
Besaran Pokok
Panjang
Waktu
Suhu
Masa
Intensitas Cahaya
Arus
Jumlah Zat
Simbol
o Vektor digambarkan dengan suatu anak panah
o Panjang anak panah menunjukkan besar vektor
o Arah anak panah menunjukkan arah vektor
Notasi
o Vektor sebagai bilangan pasangan dapat dituliskan sebagai :
u = (a,b)
a = komponen mendatar
b = komponen vertikal
o Vektor sebagai kombinasi vektor satuan i dan j
u = ai+bj
b
au
Komponen Vektor
Kesamaan Vektor
o Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama
Misal
u = (a,b) dan v = (c,d)
o Apabila vektor u sama dengan vektor v maka : |u | = |v |
arah u = arah v
a=c dan b=d
a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama
A B A = B
b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika :
1. Besar sama, arah berbeda
A B
A B
2. Besar tidak sama, arah sama
A B
3. Besar dan arahnya berbeda
A A B
A B
B
Penjumlahan
Segitiga Jajaran Genjang
Panjang u+v dapat dihitung :
Penjumlahan
Jika diketahui : maka :
Panjang u+v dapat dihitung :
d
cvdan
b
au
db
ca
d
c
b
avu
22 )()(|| dbcavu
Selisih
Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan sebagai u + (-v)
Selisih
Jika diketahui : maka :
Panjang u-v dapat dihitung :
d
cvdan
b
au
db
ca
d
c
b
avuvu )(
22 )()(|| dbcavu
Selisih
Sifat Operasi
o Apabila terdapat dua buah vektor yaitu vektor a dan vektor b maka berlaku sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan vektor seperti :
a + b = b + a (bersifat komutatif) (a+b)+c = a + (b + c) (bersifat asosiatif)
1 a = a 0 + a = a (0 merupakan vektor nol) a-a = 0 a – b = a + (-b)
Perkalian
1. Perkalian Skalar dengan Vektor 2. Perkalian vektor dengan Vektor
a. Perkalian Titik (Dot Product)
b. Perkalian Silang (Cross Product)
Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian Skalar dengan Vektor menghasilkan sebuah Vektor
v = k u k : Skalar
u : Vektor
Vektor v merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor u
Jika k positif (k>0) arah v searah dengan u
Jika k negatif (k<0) arah v berlawanan dengan u
k = 3, u v = 3u
Contoh :
k = -3, v = -3u u
Perkalian Vektor dengan Skalar
kb
ka
b
akkumaka
realbilangankdanb
auJika
:
,
Contoh Soal :
Diketahui :
Hitunglah : 3u
Jawab :
3
2u
9
6
3
233u
Latihan
Diketahui :
Hitunglah :
1. -4u
2. 5v
3. 2u + 4v
4. 5u– v
2
10,
1
2vu
Sifat Operasi
Diketahui k dan p merupakan bilangan skalar .
- Jika k = 0 maka ku = 0
- k(p u) = (kp)u = u(kp)
- (k+p)u = ku+pu (bersifat distributif)
- k(u+v) = ku+kv (bersifat distributif)
- u + (-1) v = u - v
Dot Product
Perkalian dot atau titik disebut juga perkalian skalar (scalar product). Hal itu dikarenakan perkalian tersebut akan menghasilkan skalar meskipun kedua pengalinya merupakan vektor.
Perkalian skalar dari dua vektor A dan B dinyatakan dengan A•B, karena notasi ini maka perkalian tersebut dinamakan juga sebagai perkalian titik (dot product).
Dot Product
Perkalian dot product :
A•B = |A||B| cos θ
Dalam bentuk komponen vektor, bila A = [a1,a2,a3] dan B = [b1,b2,b3], maka :
A•B = a1b1 + a2b2+ a3b3
Diketahui :
A = [1,2,3]
B = [4,5,6]
A•B = (1x4) + (2x5)+(3x6) = 4 + 10 + 18 = 32
Perkalian dot product :
A•B = |A||B| cos θ
Diketahui :
|A|= 5
|B| = 4
θ = 30˚
A•B = 5*4 cos 30 = 20 ( ) = 32
1310
Cross Product
o Perkalian silang (cross product) disebut juga sebagai perkalian vektor (vektor product), karena perkalian ini akan menghasilkan vektor lain.
o Perkalian vektor antara A dan B dinyatakan dengan A x B.
Cross Product
Diketahui :
A = [1,2,3]
B = [4,5,6]
AxB = 12i+12j+5k-8k-15i-6j = -3i+6j-3k
AxB = [-3 6 -3]
654
321
kji
Latihan
Diketahui :
A = [3,5,1]
B = [2,-3,1]
Ditanya :
1. A•B
2. B•A
3. A x B
4. B x A