me 03 dasar kalkulus vektor

Upload: ndha-mallasary

Post on 16-Jul-2015

309 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Medan Elektromagnetik.Sukiswo 1Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untukMedan dan Gelombang [email protected] Elektromagnetik.Sukiswo2Dasar-dasar Vektor ) ) ) )z z y y x xa z , y , x A a z , y , x A a z , y , x A z , y , x A + + =TKonvensi: Vektor ditulis dengan anakpanah diatas atau cetak tebalVektor biasanyafungsi dari koordinatspasialKonvensi:vektor satuan dilambangkandengan topi diatasnyamagnitude dari komponen vektor (bisa jadi fungsi dari x,y,z)ke arah sumbu-yAAaoraX= )212z2y2xA A A A + + =TMedan Elektromagnetik.Sukiswo3Penjumlahan vektor )z z z y y y x x xa ) B A ( a ) B A ( a B A C + + + + + =TPengurangan ekivalen dng penjumlahan A dng negatif dariB:D = A B = A + (-B)Medan Elektromagnetik.Sukiswo4Vektor posisi dan vektor jarakz 2 y 2 x 2 2z 1 y 1 x 1 1a z a y a x Ra z a y a x R+ + =+ + =TTVektor R12 adalah vektor dariP1ke P2dan jaraknya (panjang atau magnitude) adalah d: ) ) )z 1 2 y 1 2 x 1 21 2 12a z z a y y a x xR R R ++= =T T T ) ) ) . J2 121 221 221 212z z y y x xR d ++==TMedan Elektromagnetik.Sukiswo5Vektor posisi dan vektor jarakContoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1)Vektor posisi OP = rP= ax+ 2ay+ 3 azVektor posisi OQ = rQ = 2ax- 2ay+azVektor jarak RPQ= rQ- rP= ax- 4ay- 2 azMedan Elektromagnetik.Sukiswo6Perkalian titik (perkalian skalar) )ABB A B A U cosT T T T= Selalu menghasilkan bilangan skalar A cos(UAB) adalah komponen A sepanjang B. Disebut sebagai proyeksi dari A pada B. Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar nol: AA=|A|2=A20 =y xMedan Elektromagnetik.Sukiswo7Perkalian titik (perkalian skalar) )3 3 2 2 1 1z 3 y 2 x 1z 3 y 2 x 1ABB A B A B A B Aa B a B a B Ba A a A a A A cos B A B A+ + = + + =+ + == T TTTT T T TMedan Elektromagnetik.Sukiswo8Perkalian silang (perkalian vektor)Aturan sekrup putar bisa dipakai:Pemutaran A ke B menggerakkansekrup ke arah vektor hasilPerhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan Komponen tangensial dan normal.!!!!PENTING!!!Medan Elektromagnetik.Sukiswo9Perkalian silang (ljt)Pergerakan searah arah-putar-jarum jam memberikan hasil perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian silang negatif.xayazay z xy x zz y xa a aa a aa a a = -= -= -z y xz y xz y xB B BA A Aa a aB A = -T TMedan Elektromagnetik.Sukiswo10Triple ProductsHasil operasi lain yang penting: ) ) ) B A C A C B C B AT T T T T T T T T-= -= - Scalar triple productVector triple product (aturan bac-cab) ) ) ) B A C C A B C B AT T T T T T T T T = - -Menghasilkan skalarMenghasilkan vektorMedan Elektromagnetik.Sukiswo11VECTOR REPRESENTATION3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS: RECTANGULAR CYLINDRICAL SPHERICALChoice is based on symmetry of problemExamples:Sheets - RECTANGULARWires/Cables - CYLINDRICALSpheres - SPHERICALMedan Elektromagnetik.Sukiswo12Sistem Koord. Kartesianxyz(x, y, z) Kuantitas diferensial: dV, dS and d!y x zz y xadz dx adz dy adydx s dadz adyadxl ddz dydxdv= = =+ + ==TTxayazaMedan Elektromagnetik.Sukiswo13Sistem Koord. Kartesiany x zz y xadz dx adz dy adydx s dadz adyadxl ddz dydxdv= = =+ + ==TTMedan Elektromagnetik.Sukiswo14Sistem Koord. Tabung atau SilindriszyxJV(V, J, z)Perhatikan kuantitas diferensial:dV, dS and d!dz d d dvadz d s dadz ad ad l dzJ V V =J V =+ J V + V =VJ VTTzaJaVaMedan Elektromagnetik.Sukiswo15Sistem Koord. Tabung atau Silindrisdz d d dvadz d s dadz ad ad l dzJ V V =J V =+ J V + V =VJ VTTMedan Elektromagnetik.Sukiswo16Sistem Koordinat BolazyxrJU(r, U, J)nb : harga U adalah 0 sampai T, bukan 0 sampai 2TLihat lagi kuantitas diferensial:dV, dS and d!d d drsin rad d sin rad sin rad radrl d2r2 rJJJJ==+ + =dvs dTTUaJaraMedan Elektromagnetik.Sukiswo17Sistem Koordinat Bolad d drsin r dvad d sin r s dad sin rad radrl d2r2 rJ =J =J + + =JTTMedan Elektromagnetik.Sukiswo18Transformasi KoordinatKadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari sistem kartesian ke bola :J + U=UJ U + J U =U + J U + J U =JUcos A sin A Asin A sin cos A cos cos A Acos A sin sin A cos sin A Ay xz y xz y x rTransformasi lain dapat dilihat pada buku acuanMedan Elektromagnetik.Sukiswo19Soal21. Tiga titik A(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3)Cari : Vektor dari A ke C Vektor satuan dari B ke A Jarak dari Bke C-ax+8ay-4az0,762ax-0,127ay-0,635az12,45Medan Elektromagnetik.Sukiswo20Soal22. Sebuah medan vektor dinyatakan oleh W=4x2y ax (7x+2z) ay+ (4xy+2z2) azCari : Besar medan di P(2,-3,4) Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P Titik mana pd sumbu z , besar W mrpk vektor satuan 53,4 -0,899ax-0,412ay+0,150az +- 0,455Medan Elektromagnetik.Sukiswo21Soal23. Diketahui F =2ax -5ay-4az ; G =3ax +5ay+2azCari : F.G Sudut antara F dan G Panjang proyeksi F pada G Proyeksi vektor F pada G -27,0 130,8 o -4,38 -2,13ax-3,55ay-1,42azMedan Elektromagnetik.Sukiswo22Soal24. Diketahui F =-45ax +70ay+25az ; G =4ax -3ay+2azCari : F x G ax(ayx F) (ayx ax) x F Vektor satuan yang tegak lurus F pada G 215ax+190ay-145az -45ay -70ax-45ay +- (0,669ax+0,591ay-0,451az)Medan Elektromagnetik.Sukiswo23Soal25. Diketahui P(=6,=1250, z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4)Cari : Jarak dari P ke titik asal Q tegak lurus pada sumbu z P ke Q 6,71 3,16 11,20Medan Elektromagnetik.Sukiswo24Soal26. a. Nyatakan T=240+z2-2xy dalam koordinat tabungb. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika kerapatannya ) V2 3cos 22+ze 240+z22sin 2 8,66Medan Elektromagnetik.Sukiswo25Soal27. a. Nyatakan medan vektor W= (x-y)aydalam koordinat tabungb. Cari medan F dalam koord cartesian jika F= cos a(cos - sin )(sin a+cos a ) y x ya xay xx+'+

'

+2 2Medan Elektromagnetik.Sukiswo26Operator Del = ) ) ) Bola asin rararTabung aza aCartesian azayaxrzz y xJ UJ VJ x Ux+U xx+xx= xx+J xx+V xx= xx+xx+xx= Medan Elektromagnetik.Sukiswo27Grad, Div dan Curlan vektor menghasilk untukvektorpada beroperasi : CurlA A Az y xa a aA Curl Askalar anmenghasilk untukvektorpada beroperasi : DivzAyAxAA Divergensi Aan vektor menghasilk untukskalarfungsi pada beroperasi : Grad azayaxGradienEM medanteori dalam mendasarsangatyanghal merupakandanl diferensia operatoradalahKetiganyaz y xz y xzyxz y xxxxxxx= = - xx+xx+xx= =xJ x+xJ x+xJ x= J = J Medan Elektromagnetik.Sukiswo28Gradien dari medan skalarJika (x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut medan skalar. Gradien dari , dinyatakan sbg grad atau Adalah vektor menurut aturan berikut:dibacadel phiGradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permu-kaan yang digambarkan oleh (x,y,z) dan perubahan laju ini muncul pada arah tertentu.Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadifungsi vektor. azayaxGradz y xxJ x+xJ x+xJ x= = J Medan Elektromagnetik.Sukiswo29Contoh gradien ) )22, , Maka2zz zx y z x y xex e x x y xe z= =+ Evaluasi gradien pada titik P (2,-1,0), menghasilkan ) 5 4 2 P x y z =+ Jika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan munculpada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya adalah )2821P

=turunanberarahMedan Elektromagnetik.Sukiswo30Rapat fluksOperator divergensi dinyatakan sbg dan selalu beroperasi pada vektor. Tidak dibaca sbg del yg beroperasi titik thd vektor !Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumberArah medan searah dengan anak panah (jadi suatu vektor).Kekuatan medan sebanding dengan kerapatan anak panah (bukan panjangnya).medanseragammedan tak seragamMedan Elektromagnetik.Sukiswo31DivergensiDivergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasanMendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya:Secara matematika: Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada (fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar.zEyExEE Divergensi Ezyxxx+xx+xx= =Medan Elektromagnetik.Sukiswo32Contoh divergensix 6 xx 0 x 6 Ezz x yz 2 xx 3 E222 2+ =+ + =+ + =TTDi titik (2,-2,0) )160 , 2 , 2=

ETKarena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya 0) ke yanglainnya (y