MATEMATIKA INDUSTRI 1

RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI

Nama : Syifa’ Robbani

NIM : 125100301111002

Dosen : Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc

Kelas : L

Nimas Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc

Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc

JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN

FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2012

Integral

1. Pengantar

Kegunaan integral sebagai ilmu bantu dalam geometri,

teknologi, biologi dan ekonomi tak dapat disangkal lagi. Orang yang tercatat

dalam sejarah pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah

Archimedes seorang ilmuwan bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa

(287 – 212 SM). Archimedes menggunakan ide integral tersebut untuk

mencari luas daerah suatu lingkaran, daerah yang dibatasi oleh parabola

dan tali busur dan sebagainya. Sejarah mencatat orang yang paling berjasa

dalam hal pengembangan kalkulus integral adalah Georg Friederich

Benhard Riemann (1826 – 1866).

Integral adalah suatu fungsi f(X) secara matematis ditulis dan

dinyatakan sebagai antiturunan atau kebalikan dari diffrential

Secara umum ditulis ∫f (x)dx =F(x)+ c

∫dx : Lambang integral yang menyatakan operasi anti turunan

f(x) : fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya

c : konstanta

Jenis Integral

1. Integral tak tentu (anti turunan) adalah integral yang mana nilai x dari

fungsi tidak disebutkan sehingga dapat menghasilkan nilai dari fungsi

tersebut banyak.

TEOREMA-TEOREMA DALAM INTEGRAL TAK TENTU

TEOREMA 1 : Jika n bilangan rasional dan n≠1, maka Xndx = 1/n+1 Xn+1 +c,dengan c

adalah konstanta

TEOREMA 2 : Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka: ∫kf(x)dx =

k∫f(x) dx

TEOREMA 3 : KELINIEARAN

Jika f dan g fungsi-fungsi yangterintegralkan, maka :

∫f(x) ± g(x) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

TEOREMA 4 : ATURAN INTEGRAL TRIGONOMETRI

1. ∫cos (ax + b) dx = 1/a sin x + c

2. ∫sin (ax + b) dx = - 1/a cos x + c

3. ∫ 1/cos2(ax+b) dx = 1/a tan x + c

RINGKASAN FORMULA INTEGRAL TAK TENTU

1. ∫xn dx = xn+1/ (n+1) + c, n ≠ -1

2. ∫sin x dx = - cos x + c

3. ∫cos x dx = sin x + c

4. ∫sec2 x dx = tan x + c

5. ∫cosec2 x dx = -cot x + c

6. ∫sec x tan x dx = sec x + c

7. ∫cosec x cot x dx = -cosec x + c

8. ∫tan x dx = - In|cos x| + c

9. ∫cot x dx = In |sin| x + c

10. ∫1/x dx = In|x| + c

11. ∫ex dx = ex + c

12. ∫ax dx = ax/In a + c, a> 0, a≠ -1

13. ∫1 √ = sin 1 (

) +

14. ∫1 √ + =

tan 1 (

) +

APLIKASI INTEGRAL TAK TENTU

Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari fungsi-fungsi

ekonomiyang merupakan fungsi primitif (fungsi asal) dari fungsi marginalnya.

Mencari fungsi biaya total dari fungsi biaya marginal, fungsi penerimaan total dari

fungsi penerimaan marginal, fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi

tabungan dari fungsi tabungan marginal serta fungsi kapital dari fungsi investasi.

Fungsi Biaya Total (C)

Fungsi biaya total merupakan integral dari biaya marginalnya, dan

sebaliknya biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total.

C =∫ MC dq

Fungsi Penerimaan Total (R)

Fungsi penerimaan total merupakan integral dari penerimaan

marginalnya, dan sebaliknya penerimaan marginal merupakan turunan pertama

dari fungsi penerimaan total.

R =∫ MC dq

Fungsi Konsumsi (C)

Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsi marginalnya (MPC),

dan sebaliknya konsumsi merupakan turunan pertama dari fungsi konsumsi.

C= ∫ MPC dv

Fungsi Tabungan (S)

Fungsi tabungan merupakan integral dari tabungan marginalnya (MPS),

dan sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi

tabungan.

S= ∫ MPS dv

Fungsi Model (K)

Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital

merupakan integral dari (aliran) investasi bersih (I) dan sebaliknya investasi

bersih merupakan turunan pertama dari fungsi kapital.

Kt = ∫I (t) dt

Agar lebih jelas bagaimana fungsi asal dapat di dapat melalui integrasi fungsi

marginalnya, di bawah ini diberikan beberapa contoh. Untuk dapat

membedakan konsumsi (C), biaya total (C) dengan tetapan/konstanta integrasi

(C), khusus dalam integrasi biaya marginal dan konsumsi marginal, maka

tetapan integrasi di simbolkan dengan K.

Contoh 1

Biaya Marginal di tunjukkan oleh MC=150-70q+12q2. Biaya tetapnya adalah

135. Carilah fungsi biaya totalnya, fungsi biaya rata-rata dan fungsi biaya

variabelnya.

Penyelesaian

Fungsi biaya total,

C = ∫ MC dq

= (150q - 70q + 12q2)dq

= 150q- 35q2 + 4q3

(K = Konstanta Integrasi)

Bila q = 0 dimasukkan ke dalam fungsi C = f(q) tersebut, didapat biaya tetap

(FC) sebagai berikut :

FC = 150 (0)- 35 (0)2 + 4 (0)3

135 = K = FC

Jadi, fungsi biaya totalnya adalah :

C = 150q- 35q2 + 4q3+ 135

Fungsi biaya rata

AC= C/q = (150q- 35q2 + 4q3+ 135)/q = 150- 35q + 4q2 + 135/q

Fungsi biaya variabel

VC = C – FC

= (150q- 35q2 + 4q3+ 135) -135

= 150q- 35q2 + 4q3

Contoh 2: Penerimaan marginal di tunjukkan oleh MR = 20 – 8q, (q = kuantitas

barang)

Tentukanlah :

(a) Fungsi penerimaan total

(b) Fungsi permintaan

Penyelesaian

(a) Fungsi penerimaan total

R = ∫ MR dq

= ∫ (20 – 8q) dq

= 20q – 4q2 + C

Bila q = 0, maka R = 0. Selanjutnya nilai C (konstanta Integrasi) dicari

dengan memasukkan q = 0 dan R = 0 ke dalam persamaandi atas akan di

dapat nilai C sebagai berikut :

R = 20 q – 4q2 + C

0 = 20 (0) – 2 (0)2 + C

C = 0

Jadi, fungsi penerimaan totalnya adala :

R = f(q)

= 20q – 4q2

(b) Fungsi permintaaan

R = q.p → =

=

= 20 → = 1

+

Jadi, fungsi permintaannya adalah q = =

+

Contoh 3

Hasrat marginal untuk konsumsi (MPC) adalah 0,8. Bila pendapatan nol

(y = 0) maka besarnya konsumsi adalah 50.

Tentukanlah besar konsumsinya.

Penyelesaian:

C = ∫ MPC dy

= ∫ 0,8 dy

= ∫ 0,8 y + K

Selanjutnya di cari terlebih dahulu nilai K (Konstanta Integrasi) degan

memasukkan y = 0 dan C (konsumsi) = 50, ke dalam persamaan di atas akan di

dapat K sebagai berikut :

C = 0,8 y + K

50 = 0,8 (0) + K

K = 50

Jadi, fungsi konsumsinya:

C = f(y)

= 0,8 y + K

= 0,8 y + 50

2. integral tentu

Sifat- sifat integral tentu:

1. Teorema Linier : Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu

konstanta, maka:

(i) ∫ k f(x)dx = k

∫

( )

(ii) ∫ ( ) ( ) = ∫ ( ) ∫ ( )

2. Penambahan interval: Jika f terintegralkan pada interval yang

memuat tiga titik a, b, dan c, maka

∫ ( ) = ∫ ( ) ∫ ( )

3. Sifat Pembandingan :Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan f(x) g(x)

untuk semua x dalam [a, b],

∫ ( ) ∫ ( )

4. Sifat simetri,

(i). f fungsi genap maka: ∫ ( ) = 2∫ ( )

(ii). F fungsi ganjil, maka : ∫ ( ) = 0

APLIKASI INTEGRAL TENTU

Aplikasi Integral Tentu

Antara lain digunakan dalam mencari: Luas diantara 2 kurva , Volume benda dalam

bidang (dengan metode cakram dan cincin) , Volume benda putar (dengan metode kulit

tabung) ,Luas permukaan benda putar ,Momen dan pusat massa .

1. Luas diantara 2 kurva

Cara menghitung :

1. Bagi luasan S menjadi n irisan dg lebar yang sama besar kemudian tentukan

irisan ke-i dengan membuat persegi panjang beralas delta x dan tinggi

f(xi*)- g(xi*)

2. Jumlahkan semua persegi panjang yang telah dibuat

3. Tentukan batas kurvanya lalu jumlahkan Luas A yang dibatasi kurva y=f(x),

y=g(x) dan garis x=a, x=b dengan f dan g kontinu dan f(x)≥ g(x) untuk

semua x pada selang [a,b] adalah

= ∫ ( ) ( )

2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG

Volume benda padat yang luas penampangnya A(x) dan berada antara

x=a dan x=b adalah

= lim → ∑ ( ) = ∫ ( )

Langkah-langkah mencari :

1.Gambarkan daerah yang volumenya akan dicari

2.Carilah luas A(x)

3.Carilah batas-batas integrasi

4.Integralkan

1. METODE CAKRAM

Misal daerah dibatasi oleh y= f(x), y= 0, x =1, dan x =b diputar dengan sumbu

putar x. Volume benda pejal yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa

volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat

di titik-titik pada selang (a, b).

Misal pusat cakram(x0, 0) dan jari-jari r= f (x0). Maka luas cakram dinyatakan :

0

2

0 xfxA

Oleh karena itu, volume benda putar :

b

a

dxxfV2

)(

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan dydancyxygx ,0),( diputar

mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :

d

c

dyygV2

)(

Bila daerah yang dibatasi oleh 0 xfy , )()(,0 xgxfxgy untuk setiap

bxdanaxbax ,, diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume:

b

a

dxxgxfV )()( 22

Bila daerah yang dibatasi oleh )()(,0,0 ygyfygxyfx untuk setiap

dydancydcy ,, diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :

d

c

dyygyfV )()( 22

2. METODE CINCIN

Bila sebuah benda putar kita potong-potong tegak lurus pada sumbu

putarnya kita akan memperoleh sebuah cakram yang lubang bagian

tengahnya (disebut cincin)

V = π ( r22 - r12) h

r1 = jari-jari dalam, r2 = jari-jari luar, h = tebal cincin

3. VOLUME BENDA PUTAR KULIT TABUNG

Sebuah kulit tabung adalah benda yang dibatasi oleh dua tabung

lingkaran tegak yang sumbu simetrinya berimpit.

Pada tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut

memiliki 1r dan 2r , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :

rrhhrrV 212

rrrjarijarirataratarrr

dengan

1212 ,,

2:

Bila daerah yang dibatasi oleh bxaxyxfy ,,0),( diputar

mengelilingi sumbu Y maka dapat kita simpulkan bahwa jari-jari

xrdanxr dan tinggi tabung )(xfh Oleh karena itu volume benda

putar yang terjadi adalah

dxxxfV

b

a

2

Misal daerah dibatasi oleh kurva

bxdanaxbaxxgxfxgyxfy ,,),()(,, diputar mengelilingi sumbu

Y. Maka volume benda putar

dxxgxfxV

b

a

)()(2

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x = f(y), x =0, y=c, y=

d diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =

dyyfyV

d

c

)(2

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh

dydancydandcyygyfygxyfx ,,),()(,, diputar mengelilingi

sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

dxygyfyV

d

c

)()(2

4. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR

Diketahui x=f(t) dan y=g(t), a t b, adalah persamaan kurva licin pada

bidang xy yang terbagi menjadi n bagian. Bila kurva itu diputar mengelilingi

sumbu x, ia akan membentuk suatu permukaan dan bagian akan

membentuk permukaan bagian. Luas bagian ini dapat didekati oleh luas kerucut

terpancung yakni 2

Kurva y=f(x) pada batas a x b, diputar mengelilingi sumbu x, maka

luasnya adalah = 2 ∫ ( ) √1 + ( )

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

1. ∫sin x dx = -cos x + c

2. ∫cos x dx = sin x + c

3. ∫sec2 x dx = tan x dx

4. ∫ cosec2 x dx = -cot x + c

5. ∫ sec x tan x dx = sec x + c

6. ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + c

INTEGRAL SUBTITUSI TRIGONOMETRI

Fungsi integral Subtitusi dengan Hasil subtitusi

Akar a2 – x2 X= a sin α a cosα

Akar a2 + x2 X= a tan α a sec α

Akar x2 – a2 X = a sec α a tanα

INTEGRAL METODE SUBTITUSI

Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan andaikan F adalah suatu

anti-turunan dari f. sehingga, jika u = g(x), maka

∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c

Langkah untuk mengintegralkan dengan metode subtitusi adalah sebagai

berikut.

1. Memilih fungsi u = g(x) sehingga ∫f ( g(x) ) g'(x) dx = f(u) du

2. Tentukan ∫f(u) du

METODE SUBSITUSI DALAM INTEGRAL BENTUK TRIGONOMETRI

Bentuk ∫sinn xdxdan ∫cosn xdx

Apabila n bilangan bulat ganjil dan positif, setelah mengeluarkan faktor sin x

atau cos x, maka gunakanlah persamaan : Sin2 x + cos 2 x = 1

Apabila n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah sudut

berikut : Sin2 x =( 1- cos2x)/2 dan cos2 x= ( 1 +cos2 x)/2

Bentuk ∫sinm x cosn x dx

Apabila m dan n ganjil dan positif, keluarkan faktor sin x atau cos x, kemudian

Gunakanlah persamaan : Sin2 x + cos 2 x = 1

Apabila m dan n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah

sudut berikut : Sin2 x =( 1- cos2x)/2 dan cos2 x= ( 1 +cos2 x)/2

Bentuk ∫sina x cosb x dx , ∫cosa x sinb x dx , ∫sinax sinbx dx , ∫cosa x cosb x dx

Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk tersebut, gunakan kesamaan

berikut ini :

(1). sin ax cos bx = ½ [sin (a + b)x + sin (a – b)x]

(2). cos ax sin bx = ½ [sin (a + b)x – sin (a – b)x]

(3). cos ax cos bx = ½ [cos (a + b)x + cos (a – b)x]

(4). sin ax sin bx = - ½ [cos (a + b)x – cos (a – b)x]

INTEGRAL METODE PARSIAL

Apabila pengintegralan dengan metode subtitusi tidak berhasil, kita dapat

menggunakan teknik pengintegralan lain yang disebut Metode Parsial.

Misalkan u dan v adalah fungsi yang dapat dideferensialkan.

∫u dv = u. v - ∫v du

Ada dua hal yang perlu diperhatikan dalam menggunakan metode parsial, yaitu :

1. Pemilihan dv harus dapat diintegralkan untuk memperoleh v, yaitu v = ∫dv

2. ∫u du harus lebih mudah diselesaikan daripada ∫u du

DAFTAR PUSTAKA

Chiang.C. Alpha. & Kevin W. 2002. Fundamental Methods Of Mathematical

Economics. The Fourth Edition. New York: McGraw-Hill Book

Company.

Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta : PT. Gelora Aksara

Pratama

Stroud, K. A. 2001. Engineering Mathematics. Industrial Press Inc. : New York

Weber, Jean E. 1982. mathematical analysis, Business and Economics applications.

Ed. Ke -4 Bab 4. new york : harper & Rao, publisher

Zaelani, Ahmad, Dkk. 2008. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika.

Bandung :Yrama Widya