Distribusi Binomial

Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang hasilnya dapat dikalsifikasikan kedalam 2 ketegori. Berikut ini adalah contoh Percobaan Bernoulli:

Dalam berbisnis, hasil yang mungkin adalah: tidak rugi, rugi. Misalkan pula distribusi peluangnya adalah:

Hasil (x)P(x)

tidak rugi0.40

rugi0.60

Total1.00

Dalam ujian sekolah, hasil yang mungkin adalah: lulus, tidak lulus. Misalkan pula distribusi peluangnya adalah:

Hasil (x)P(x)

lulus0.90

tidak lulus0.10

Total1.00

Dalam ujian sekolah, hasil yang mungkin adalah: mendapat nilai A, tidak mendapat nilai A. Misalkan pula distribusi peluangnya adalah:

Hasil (x)P(x)

dapat A0.10

tidak dapat A0.90

Total1.00

Dalam menghasilkan produk, hasil yang mungkin adalah: produk cacat, produk baik. Misalkan pula distribusi peluangnya adalah:

Hasil (x)P(x)

produk cacat0.999999

produk baik0.000001

Total1.00

Dalam memperkenalkan produk ke masyarakat, hasil yang mubngkin adalah: produk disambut hangat oleh masyarakat, produk disambut dingin oleh masyarakat. Misalkan pula distribusi peluangnya adalah:

Hasil (x)P(x)

disambut hangat0.43

disambut dingin0.57

Total1.00

Dalam pembicaraan selanjutnya, kita akan menyederhanakan hasil dari percobaan Bernoulli menjadi sekedar 2 kategori yaitu: sukses, gagal. Hasil yang menjadi perhatian kita adalah yang kita sebut dengan sukses. Berikut ini adalah penjelesannya.

Misalkan kita tertarik untuk bertanya:

berapa peluang bahwa saya akan lulus dalam ujian. Ini berarti lulus adalah yang menjadi ketertarikan kita, maka hasil lulus kita namakan sebagai sukses, sedangkan hasil tidak lulus kita namakan sebagai gagal.

berapa peluang bahwa saya akan rugi dalam berbisnis. Ini berarti rugi adalah yang menjadi ketertarikan kita, maka hasil rugi justeru kita namakan sebagai sukses, sedangkan hasil untung justeru kita namakan sebagai gagal.

berapa peluang bahwa produk yang dihasilkan akan cacat. Ini berarti cacat adalah yang menjadi ketertarikan kita, maka hasil cacat justeru kita namakan sebagai sukses, sedangkan hasil baik justeru kita namakan sebagai gagal.

Percobaan Bernoulli ini sendiri tidak menarik untuk dibahas, namun percobaan ini menjadi cikal bakal dari sebuah percobaan yang banyak menjadi perhatian orang, yaitu Percobaan Binomial. Berikut ini adalah definisi atau pengertian Percobaan Binomial.

Definisi Percobaan Binomial

Misalkan:

kita memiliki sebuah Percobaan Bernoulli, yang hasilnya adalah: sukses atau gagal.

distribusi peluang dari Percobaan Bernoulli ini adalah:

Hasil (x)P(x)

suksesp

gagal1-p

Total1.00

percobaan Bernoulli ini kita ulangi selama n kali

dari Percobaan Bernoulli yang satu ke Percobaan Bernoulli yang lain peluang sukses selalu tetap yaitu sebesar p (artinya peluang gagal juga selalu tetap, yaitu sebesar 1-p)

Percobaan Bernoulli yang kita ulangi ini bersifat independen

maka kita memperoleh sebuah percobaan baru yang disebut dengan Percobaan Binomial.Bila variable acak X menyatakan jumlah sukses yang dihasilkan dari Percobaan Binomial di atas, maka nilai yang mungkin dari variable random X ini, dilambangkan dengan x, adalah x = 0,1,2,3,,n. Adapun peluang bahwa variable random X akan bernilai x adalah P(X=x,) dan dinyatakan dengan fungsi berikut ini: x= 0,1,2,,n

Selanjutnya variable acak acak X dikatakan berdistribusi binomial dengan parameter ndan p, dan dilambangkan dengan .Fungsi ini disebut fungsi kepadatan peluang (probability mass function, pmf) dari variable acak X. Selanjutnya variable acak X dengan fungsi kepadatan peluang seperti ini disebut variable acak berdistribusi binomial.

Ilustrasi-1

Kita sepakat bahwa dalam membuka sebuah Factory Outlet, maka hasil yang mungkin adalah FO ini akan disambut hangat atau disambut dingin oleh masyarakat. Misalkan distribusi peluangnya adalah:

Hasil (x)P(x)

disambut hangat0.20

disambut dingin0.80

Total1.00

Misalkan Pak Joko, seorang konglomerat di kota Bandung, berniat membuka 5 Factory Outlet baru di kotanya. Berapa peluang bahwa:

1. tidak ada satupun (dari lima) Factory Outlet yang disambut hangat masyarakat?

2. terdapat tepat satu yang disambut hangat?

3. terdapat tepat dua yang disambut hangat?

4. terdapat sebanyak-banyaknya tiga yang disambut hangat?

5. Terdapat tepat tiga yang disambut dingin?

6. Terdapat sebanyak-banyaknya tiga yang disambut dingin?Bagaimana:

7. Distrubusi peluang dari jumlah pelanggan yang disambut hangat?

8. Distrubusi peluang dari jumlah pelanggan yang disambut dingin?

Jawab:

Sebelum menjawab keenam pertanyaan diatas, perhatikan bunyi pertanyaan 1-6.

Pada pertanyaan 1-4 kita tertarik pada hasil disambut hangat, maka saat menjawab pertanyaan ini definisikan sukses sebagai disambut hangat. Pada pertanyaan 5-6 kita tertarik pada hasil disambut dingin, maka saat menjawab pertanyaan ini definisikan sukses sebagai disambut dingin.Jawaban pertanyaan-1

Definisikan variable acak X= jumlah FO yang disambut hangat (dari 5 FO yang dibuka).

Yang ditanyakan adalah P(X=0)=f(0), dan ini dapat dihitung sebagai berikut:

=0.32768Jawaban pertanyaan-2Definisikan variable acak X= jumlah FO yang disambut hangat (dari 5 FO yang dibuka).

Yang ditanyakan adalah P(X=1)=f(1), dan ini dapat dihitung sebagai berikut:

QUOTE = 0.4096Jawaban pertanyaan-3Definisikan variable acak X= jumlah FO yang disambut hangat (dari 5 FO yang dibuka).

Yang ditanyakan adalah P(X=2)=f(2), dan ini dapat dihitung sebagai berikut:

QUOTE QUOTE = 0.2048Jawaban pertanyaan-4Definisikan variable acak X= jumlah FO yang disambut hangat (dari 5 FO yang dibuka).

Yang ditanyakan adalah P(X2)=f(0)+f(1)+f(2), dan ini dapat dihitung sebagai berikut:

QUOTE QUOTE QUOTE

= 0.94208Jawaban pertanyaan-5Definisikan variable acak X= jumlah FO yang disambut dingin (dari 5 FO yang dibuka).

Yang ditanyakan adalah P(X=3)=f(3), dan ini dapat dihitung sebagai berikut:

=0.2048Jawaban pertanyaan-6Definisikan variable acak X= jumlah FO yang disambut dingin (dari 5 FO yang dibuka).

Yang ditanyakan adalah P(X3)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3), dan ini dapat dihitung sebagai berikut:

=0.26272Jawaban pertanyaan-7Definisikan variable acak X= jumlah FO yang disambut hangat (dari 5 FO yang dibuka).

Nilai X yang mungkin adalah x=0,1,2,3,4,5, yang ditanyakan adalah peluang untuk masing-masing nilai x ini, yaitu:xP(x)

00.32768

10.40960

20.20480

30.05120

40.00640

50.00032

Total1

Jawaban pertanyaan-8Definisikan variable acak X= jumlah FO yang disambut dingin (dari 5 FO yang dibuka).

Nilai X yang mungkin adalah x=0,1,2,3,4,5, yang ditanyakan adalah peluang untuk masing-masing nilai x ini, yaitu:

xP(x)

00.00032

10.00640

20.05120

30.20480

40.40960

50.32768

Total1

Rata-rata dan Varians dari Variabel Acak yang Berdistribusi Binomial

Misalkan X adalah variable acak berdistribusi binomial dengan parameter n dan p, atau , maka

Rata-rata X = mean X = Varians X = V(X)=Ilustrasi-2Pada ilustrasi-1 telah diungkapkan bahwa dalam membuka sebuah Factory Outlet, maka hasil yang mungkin adalah FO ini akan disambut hangat atau disambut dingin oleh masyarakat. Selanjutnya pada ilustrasi tersebut telah dimisalkan distribusi peluang berikut:

Hasil (x)P(x)

disambut hangat0.20

disambut dingin0.80

Total1.00

Misalkan Pak Joko, seorang konglomerat di kota Bandung, berniat membuka 5 Factory Outlet baru di kotanya.Bila anda mendefinisikan variable acak X sebagai banyaknya FO yang disambut hangat dari 5 FO yang dibuka, berapakah:

1. Nilai rata-rata dari variable acak X ini?

2. Nilai varians dari variable acak X ini?

3. Apakah interpretasi dari kedua besaran diatas?

Jawab:

Sebelum menjawab pertanyaan 1-2 diatas, perhatikan bunyi pertanyaan 1-2.

Pada pertanyaan 1-2 kita tertarik pada hasil disambut hangat, maka saat menjawab pertanyaan ini definisikan sukses sebagai disambut hangat. Dengan demikian p = 0.20, adapun n=5.Jawaban Pertanyaan-1:

Rata-rata X = mean(X) = E(X) = =np = 5(0.20) =1

Jawaban Pertanyaan-2:

Varians X = Var(X) = =np(1-p) = 5(0.20)(1-0.20) = 0.80

Jawaban Pertanyaan-3:

Pertanyaan ini penting, karena kerapkali kita mampu menghitung suatu besaran, namun tidak pernah memahami apa sebenarnya yang kita hitung itu.

Telah dihitung bahwa

Rata-rata X = mean(X) = E(X) = =np = 5(0.20) =1

Varians X = Var(X) = =np(1-p) = 5(0.20)(1-0.20) = 0.80

Untuk memahami kedua besaran ini, bayangkan bahwa Pak Joko itu hidupnya abadi, artinya ia tak pernah meninggal dunia. Misalkan sepanjang hidupnya setiap tahun ia membuka 10 buah FO dengan distribusi peluang seperti diatas, misalkan pula:

pada pembukaan tahun-1, terdapat buah FO yang disambut hangat pada pembukaan tahun-2, terdapat buah FO yang disambut hangat pada pembukaan tahun-3, terdapat buah FO yang disambut hangat ..

pada pembukaan tahun-1000, terdapat buah FO yang disambut hangat ..

Maka:

Nilai rata-rata dari adalah 1

Nilai varians dari adalah 0.80