StatistikaTeknikDISTRIBUSIBINOMIAL

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

1

MagisterPengelolaanAirdanAirLimbahUniversitasGadjahMada

ContohIlustrasi• Investigasithdsuatupopulasi• karakteristikpopulasi→variabel• nilaivariabel

• nilaiujian:0s.d.100• statusperkawinan:tidakkawin,kawin,cerai,duda/janda• usia:0s.d....• cuaca:cerah,berawan,hujan

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

2

ContohIlustrasi• Contohlain• Jawabanpertanyaan:

• ya/tidak• benar/salah• menang/kalah• lulus/tak-lulus• sukses/gagal

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

3

SUKSESvsGAGAL

DistribusiBinomial• Jika• variabelhanyamemiliki2kemungkinanhasil• probabilitas (peluang) keduahasiltersebuttidakberubah(tetap)apapunhasileksperimensebelumnya

• Probabilitashasilsuatudistribusibinomial• prob(sukses)=p• probabilitas(gagal)=q =1– p

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

4

DistribusiBinomial

DistribusiBinomialatauBukan?

Event Binomial?(True/False) Why?

hujantak-hujan

F probkejadianberubah

jeniskelaminwargadesa

F probkejadianberubah

jeniskelaminbayiyangbarulahir

T probtetap

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

5

PermutasidanKombinasi• Caramendapatkansampelyangterdiridarir elemendarisuatusamplespace yangmemilikin elemen(n ≥r) →1elemenperpengambilan• urutanelemendiperhatikandansetelahtiappengambilan,elemendikembalikankedalamsamplespace(orderedwithreplacement)

• urutanelemendiperhatikandantidakdilakukanpengembalianelemensetelahtiappengambilan(orderedwithoutreplacement)

• urutanelementidakdiperhatikandantidakdilakukanpengembalianelemensetelahtiappengambilan(unorderedwithoutreplacement)

• urutanelementidakdiperhatikandandlakukanpengembalianelemensetelahtiappengambilan(unorderedwithreplacement)

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

6

PermutasidanKombinasi• Contohilustrasi• Dilakukanpemilihan2stasiunAWLRdari4stasiunyangada(A,B,C,D)untukdiberidana.

• Berapajumlahpasangstasiunyangmungkinmendapatkandana?

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

7

PermutasidanKombinasi• Dipilih2stasiundari4stasiun(r =2,n =4)dengan• urutandiperhatikan→memberikandanakepadaStasiunAkemudianBberbedadenganmemberikandanakepadaStasiunBkemudianA

• denganpengembalian→suatustasiundapatmemperolehdana2x

• Pasangan2stasiunyangmendapatkandana• (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)(B,A) (B,B) (B,C) (B,D)(C,A) (C,B) (C,C) (C,D)(D,A) (D,B) (D,C) (D,D)

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

8

16→ nr = 42 =16

PermutasidanKombinasi• Dipilih2stasiundari4stasiun(r =2,n =4)dengan• urutandiperhatikan→memberikandanakepadaStasiunAkemudianBberbedadenganmemberikandanakepadaStasiunBkemudianA

• tanpapengembalian→suatustasiunhanyadapatmemperolehdana1x

• Kemungkinanstasiunyangmendapatkandana• (A,B) (A,C) (A,D)(B,A) (B,C) (B,D)(C,A) (C,B) (C,D)(D,A) (D,B) (D,C)

• Identikdenganpengambilan2elemensekaligusdari4elemendalamsamplespace

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

9

n( )r=

n !n− r( )!

=4!

4−2( )!=12

permutasi

PermutasidanKombinasi• Dipilih2stasiundari4stasiun(r =2,n =4)dengan• urutantidakdiperhatikan→memberikandanakepadaStasiunAkemudianBsamadenganmemberikandanakepadaStasiunBkemudianA

• tanpapengembalian→suatustasiunhanyadapatmemperolehdana1x

• Kemungkinanstasiunyangmendapatkandana• (A,B) (A,C) (A,D)

(B,C) (B,D)(C,D)

• Identikdenganpengambilan2elemensekaligusdari4elemendalamsamplespace

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

10kombinasikoefisienbinomial

nr

!

"#

$

%& =

n !n− r( )!r !

=4!

4−2( )!2!= 6

PermutasidanKombinasi• Dipilih2stasiundari4stasiun(r =2,n =4)dengan• urutantidakdiperhatikan→memberikandanakepadaStasiunAkemudianBsamadenganmemberikandanakepadaStasiunBkemudianA

• denganpengembalian→suatustasiunhanyadapatmemperolehdana2x

• Kemungkinanstasiunyangmendapatkandana• (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)

(B,B) (B,C) (B,D)(C,C) (C,D)

(D,D)

• Memilihr elemendarin elemendenganpengembalianadalahsamadenganmemilihr elemendarin elementanpapengembalian

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

11

n+ r −1r

"

#$

%

&' =

n+ r −1( )!n−1( )! r !

=4+2−1( )!4−1( )! 2!

=10

Resume

Denganpengembalian

Tanpapengembalian

Urutandiperhatikan nr

Urutantidakdiperhatikan

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

12

nr( ) = n !

n− r( )!

nr

!

"#

$

%& =

n !n− r( )! r !

n+ r −1r

"

#$

%

&' =

n+ r −1( )!n−1( )! r !

PersamaanSterling: n ! = 2π e−n nn+ 12

Perintah(Fungsi)MSExcel• FACT(n)• menghitungfaktorial,n!• n bilanganpositif(bilangancacah)

• PERMUT(n,r)• menghitungpermutasi,• n danr integer,n ≥r

• COMBIN(n,r)• menghitungkombinasi,• n danr integer,n ≥r

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

13

DistribusiBinomial• Ilustrasi• Peluang sukses(S)dalamsuatueksperimenadalahp→prob(S)=p

• Peluang gagal(G)adalahq =1– p→prob(G)=q• 1xeksperimen:

• peluang sukses p• peluang gagal q

• 2xeksperimen:• peluang sukseskemudiansukses(S,S): pp• peluang sukseskemudiangagal(S,G): pq• peluang gagalkemudiansukses(G,S): qp• peluang gagalkemudiangagal(G,G): qq

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

14

Sukses-Gagaldalam2× Eksperimen

jumlahsukses carasukses jumlahcarasukses probabilitas

2 SS 1 pp 1p2q0

1 SGatauGS 2 pq+qp 2p1q1

0 GG 1 qq 1p0q2

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

15

Sukses-Gagaldalam3× Eksperimen

jumlahsukses carasukses jumlahcara

sukses probabilitas

3 SSS 1 1ppp 1p3q0

2 SSG,SGS,GSS 3 3ppq 3p2q1

1 SGG,GSG,GGS 3 3pqq 3p1q2

0 GGG 1 1qqq 1p0q3

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

16

Sukses-Gagaldalam3× atau5×Eksperimen

• 3xeksperimen:• peluangsuksespadaeksperimenke-3:qqp• peluangsuksesdisalahsatueksperimen:pqq +qpq +qqp

• 5xeksperimen:• peluangsukses2x:ppqqq +pqpqq +...+qqqpp

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

17

52

!

"##

$

%&&p

2q3 =10p2q3

DistribusiBinomial• Jika• peluangsuksesp danpeluanggagalq =1– p• probabilitassuksesp tidakberubahapapunhasileksperimenyanglain

• Maka• peluangmendapatkanx kalisuksesdarin kalieksperimenadalah

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

18

fX x;n, p( ) = n

x

!

"#

$

%&px 1− p( )n−x

x = 0,1,2, ..., n

koefisienbinomial

DistribusiBinomial• Contoh #1• Setiaptahundalam5tahundilakukanpemilihanacakuntukmenetapkanalokasidanakepada1dari4kegiatan(A,B,C,D).

• Setiapkalidilakukanpemilihan,masing-masingkegiatanmemilikipeluangyangsamauntukterpilih(mendapatkandana).

• BerapapersenpeluangkegiatanAmendapatkandana3x?• BerapapersenpeluangkegiatanAmendapatkandana5x,4x,3x,2x,1x,0x?

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

19

DistribusiBinomial• Setiapkalipemilihan• prob(As)=probabilitaskegiatanAterpilihprob(As)=¼=0.25=p

• prob(Ag)=probabilitaskegiatanAtakterpilihprob(Ag)=1– p =0.75=q

• Dalam5kalipemilihan• peluangterpilih(sukses)3kaliadalah

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

20

fX x;n, p( ) = fX 3;5,0.25( ) = 5

3

!

"##

$

%&& 0.253 0.752 = 0.088

DistribusiBinomial

jumlahsukses jumlahcarasukses peluangsukses

0 1 0.2371 5 0.3962 10 0.2643 10 0.0884 5 0.0155 1 0.001

∑= 1.000

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

21

Dalam 5 kali pemilihan (n = 5)

koefisienbinomial

DistribusiBinomial• Contoh#2• SuatuPDAMmenemukanfaktabahwarisiko(probabilitas)terjadiproblempasokanairmacetpadasuatuhariadalah7%.

• Denganpendekatandistribusibinomial,hitunglah:• risikoterjadi2harimacetdalamsatubulan(30hari)• risikoterjadipalingtidakterjadi2harimacetdalamsatubulan(30hari)

• peluangpasokanairlancarsepanjangsatubulanalias tidakpernahmacetselama30hari

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

22

27-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

23