diskusi masalah regulator kuadratik untuk

SELASA, 5 JUNI 2012 [MATERI DISKUSI KONTROL OPTIMUM]

1

DISKUSI MASALAH REGULATOR KUADRATIK UNTUK KASUS FIXED FINAL STATE

OLEH: 1. RUKMONO BUDI UTOMO(J2A 009 004)

2. ANA RAHMAWATI (J2A 009 008)

3. ERI BADRIAH (J2A 009 019)

Pengampu: Dr. Widowati

Pendahuluan: Materi 1

Masalah regulator Kuadratik

Tinjau MKO Linier :

𝑥 = 𝐴 𝑡 𝑥 + 𝐵 𝑡 𝑢 (a)

Dimana 𝑥 𝜖 𝑅𝑛 , 𝑢 𝜖 𝑅𝑚 , 𝐴 𝑡 ∶ 𝑛 x 𝑛 , 𝐵 𝑡 : 𝑛 x 𝑚

Dengan fungsional objektif

𝐽 𝑡0 = 1

2 𝑥𝑇 𝑇 𝑆 𝑇 𝑥 𝑇 +

1

2 𝑥𝑇 𝑉𝑥 + 𝑢𝑇𝑅 𝑢

𝑇

𝑡0𝑑𝑡 (b)

Akan dicari control optimum 𝑢∗ (𝑡) pada 𝑡0, 𝑇 yang meminimumkan

𝐽 dengan bahasan kali ini adalah kasus fixed final state. Dalam

kasus fixed final state ini , 𝑢∗ merupakan control umpan balik

(feedback control).

Di asumsikan T tertentu dan diberikan, kemudian 𝑥(𝑡0)

diberikan. Matriks bobot 𝑆 𝑇 dan 𝑉 (𝑡) adalah simetris dan semi

definit positif. Sedangkan 𝑅 𝑇 matriks simetris 𝑚 𝑥 𝑚 dan definit


2

positif , ∀ 𝑡 𝜖 𝑡0 , 𝑇 , maka MKO diatas dikenal sebagai Masalah

regulator kuadratik (MRK).

Untuk menyelesaikan MRK, kita dapat menggunakan fungsi

Hamilton.

Fungsi Hamilton didefinisikan oleh :

𝐻 =1

2 𝑥𝑇𝑉𝑥 + 𝑢𝑇𝑅𝑢 + 𝜆𝑇 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑢 (c)

Dengan 𝜆𝜖 𝑅𝑛 dengan syarat perlunya antara lain:

𝑥 =𝜕𝐻

𝜕𝜆= 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 (Persamaan State) (d)

𝜆 = −𝜕𝐻

𝜕𝜆= −𝑉𝑥 − 𝐴𝑇𝜆 (Persamaan Costate) (e)

𝜕𝐻

𝜕𝑢= 0 → 𝑅 𝑢 + 𝐵𝑡𝜆 = 0 (syarat stationer) (f)

Dari persamaan (f) diperoleh 𝑢 = −𝑅−1𝐵𝑇𝜆 (g)

Substitusikan (g) ke (d), didapat system Persamaan Diff (PD)

berikut:

𝑥 = 𝐴𝑥 − 𝐵𝑅−1𝐵𝑇𝜆

𝜆 = −𝑉𝑥 − 𝐴𝑇𝜆 (h)

Atau 𝑥 𝜆 = 𝐴

−𝑉−𝐵𝑅−1𝐵𝑇

−𝐴𝑇 𝑥𝜆 yang disebut sebagai PD dimensi 2n

dengan 𝑥 𝑡0 diketahui. Matriks 𝐴

−𝑉−𝐵𝑅−1𝐵𝑇

−𝐴𝑇 disebut matriks

Hamilton.


3

Contoh1:

(Buka copyan materi KO anda hal 5.20)

Diketahui MKO dibawah ini. Selesaikan!

𝑥 = −𝑥 + 𝑢, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2

𝑥 0 = 1, 𝑥 2 = 2, meminimumkan

𝐽 0 =1

2 3𝑥2 + 𝑢2 𝑑𝑡

2

0

Pembahasan:

Maksud dari pertanyaan diatas adalah kita diminta untuk mencari

control (𝑢∗ (𝑡)) dengan PD, fungsional objektif dan syarat batasnya

diketahui.

Langkah 1

membuat fungsi Hamiltonnya.

𝐻 𝑥, 𝑢 , 𝜆 = 1

2 3𝑥2 + 𝑢2 + 𝜆 (−𝑥 + 𝑢)

Langkah 2

Penuhi syarat perlunya

𝑥 =𝜕𝐻

𝜕𝜆= −𝑥 + 𝑢 (Persamaan State) (a)

𝜆 = −𝜕𝐻

𝜕𝑥= − 3𝑥 − 𝜆 (Persamaan Costate) (b)

= −3𝑥 + 𝜆

𝜕𝐻

𝜕𝑢= 0 = 𝑢 + 𝜆 (syarat stationer)

𝑢 + 𝜆 = 0, 𝑢 = − 𝜆 (c)


4

Langkah 3

Pandang syarat perlu. Operasikan!

Pandang (a)

𝑥 = −𝑥 + 𝑢 dimana kita tahu bahwa 𝑢 = − 𝜆 sehingga kita dapat

menulis kembali (a) menjadi

𝑥 = −𝑥 − 𝜆 , 𝜆 = −𝑥 − 𝑥 (d)

Derivatifkan:

𝑥 = −𝑥 − 𝜆 (e)

Dimana 𝜆 sesuai (b) adalah = −3𝑥 + 𝜆 , sehingga persamaan (e)

dapat kembali ditulis sebagai

𝑥 = −𝑥 − (−3𝑥 + 𝜆)

𝑥 = −𝑥 + 3𝑥 − 𝜆, dimana ada persamaan (d), 𝜆 = −𝑥 − 𝑥 . Akibatnya

kita kembali dapat menuliskan persamaan (e) sebagai

𝑥 = −𝑥 + 3𝑥 − (−𝑥 − 𝑥 )

= −𝑥 + 3𝑥 + 𝑥 + 𝑥

𝑥 = 4𝑥

𝑥 − 4𝑥 = 0 yang merupakan PD orde 2 linier Homogen (f)

Langkah 4:

Selesaikan PD yang diperoleh

𝑥 − 4𝑥 = 0

𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2− 4𝑥 = 0, misalkan

𝑑

𝑑𝑡= D, maka


5

𝐷2 − 4 𝑥 = 0, dimana 𝑥 ≠ 0, maka

𝐷2 − 4 = 0

𝐷1 = 2 atau D2 = −2

Solusi umum didapat:

𝑥 𝑡 = 𝐶1𝑒2𝑡 + 𝐶2𝑒

−2𝑡 (g)

Langkah 5

Setelah solusi umum didapat, cari solusi khususnya

Pandang solusi umum (g)

𝑥 𝑡 = 𝐶1𝑒2𝑡 + 𝐶2𝑒

−2𝑡

Pandang syarat awam yang diberikan:

𝑥 0 = 1, 𝑥 2 = 2

Untuk 𝑥 0 = 1,

𝐶1 + 𝐶2 = 1 atau 𝐶1 = 1 − 𝐶2 (h)

Untuk 𝑥 2 = 2

2 = 𝐶1𝑒4 + 𝐶2𝑒

−4 (i)

Substitusikan (h) kedalam (i), diperoleh

1 − 𝐶2 𝑒4 + 𝐶2𝑒

−4 = 2

𝑒4 − 𝐶2𝑒4 + 𝐶2𝑒

−4 = 2

−𝐶2 𝑒4 − 𝑒−4 = 2 − 𝑒4

−𝐶2 𝑒4 − 𝑒−4 = −( 𝑒4 − 2)

𝐂𝟐 =𝑒4−2

𝒆𝟒−𝒆−𝟒 (j)

Mencari nilai 𝐶1, pandang persamaan (h)


6

𝐶1 = 1 − 𝐶2

= 1 − 𝑒4 − 2

𝑒4 − 𝑒−4

=e4−e−4

e4−e−4 − e4−2

e4−e−4

=e4−e−4−e4+2

e4−e−4

𝑪𝟏 =𝟐−𝐞−𝟒

𝐞𝟒−𝐞−𝟒 (k)

Substitusikan (j) dan (k) kepada (g), sehingga didapat solusi khusus

𝑥 𝑡 = 𝟐 − 𝐞−𝟒

𝐞𝟒 − 𝐞−𝟒𝑒2𝑡 +

𝑒4 − 2

𝒆𝟒 − 𝒆−𝟒𝑒−2𝑡

Langkah 6

Mencari kontrol untuk fungsional objekif

Pandang kembali persamaan (a) 𝑥 = −𝑥 + 𝑢 atau 𝑢(𝑡) = 𝑥 + 𝑥

𝑢(𝑡) adalah kontrol yang dicari. Namun sebelumnya kita harus

mencari 𝑥 yakni derivatif pertama dari 𝑥 𝑡 .

𝑥 =(𝟒−𝟐𝐞−𝟒)

𝐞𝟒−𝐞−𝟒𝑒2𝑡 +

(−2𝑒4+4)

𝒆𝟒−𝒆−𝟒𝑒−2𝑡 (l)

Sehingga kontrol yang dimaksud adalah

𝑢∗(𝑡) = 𝑥 + 𝑥

= 𝟐 − 𝐞−𝟒

𝐞𝟒 − 𝐞−𝟒𝑒2𝑡 +

𝑒4 − 2

𝒆𝟒 − 𝒆−𝟒𝑒−2𝑡 +

(𝟒 − 𝟐𝐞−𝟒)

𝐞𝟒 − 𝐞−𝟒𝑒2𝑡 +

(−2𝑒4 + 4)

𝒆𝟒 − 𝒆−𝟒𝑒−2𝑡

= (6 − 3𝐞−𝟒)𝑒2𝑡

𝐞𝟒 − 𝐞−𝟒+ (2 − 𝑒4)

𝑒−2𝑡

𝒆𝟒 − 𝒆−𝟒


7

Materi 2

Fixed Final State dan kontrol Loop Terbuka

Tinjau MKO : 𝑥 = 𝐴 𝑡 𝑥 + 𝐵 𝑡 𝑢

Dengan 𝑥 𝑡0 dan 𝑥 𝑇 diketahui serta

𝐽 𝑡0 =1

2 𝑢𝑇𝑅 𝑢 𝑑𝑡

𝑇

𝑡0 (a)

Pada persamaan (h) materi 1, kita telah mendapatkan sistem PD,

dengan 𝑉 = 0 yang dapat ditulis kembali menjadi:

𝑥 = 𝐴𝑥 − 𝐵𝑅−1𝐵𝑇𝜆

𝜆 = −𝑉𝑥 − 𝐴𝑇𝜆 (b)

Solusi PD 𝜆 adalah

𝜆 𝑡 = 𝑒𝐴𝑇 𝑇−𝑡 𝜆(𝑡) dengan 𝜆 𝑡 belum diketahui.

Dari PD 𝑥 didapat PD

𝑥 = 𝐴𝑥 − 𝐵𝑅−1𝐵𝑇𝑒𝐴𝑇 𝑇−𝑡 𝜆 𝑡 (c)

Solusi dari system PD ini antara lain:

𝑥 𝑡 = 𝑒𝐴 𝑡−𝑡0 𝑥 𝑡0 − 𝑒𝐴 𝑡−𝑠 𝑡

𝑡0 𝐵𝑅−1𝐵𝑇𝑒𝐴𝑇 𝑡−𝑠 𝜆 𝑡 𝑑𝑠 (d)

atau

𝑥 𝑇 = 𝑒𝐴 𝑇−𝑡0 𝑥 𝑡0 − 𝑒𝐴 𝑇−𝑠 𝑇

𝑡0 𝐵𝑅−1𝐵𝑇𝑒𝐴𝑇 𝑇−𝑠 𝜆 𝑡 𝑑𝑠 (e)

= 𝑒𝐴 𝑇−𝑡0 𝑥 𝑡0 − 𝐺 𝑡0, 𝑇

Dimana 𝐺 𝑡0, 𝑇 = 𝑒𝐴 𝑇−𝑠 𝑇

𝑡0 𝐵𝑅−1𝐵𝑇𝑒𝐴𝑇 𝑇−𝑠 𝜆 𝑡 𝑑𝑠

Yang dikenal dengan fungsi bobot ketercapaian gram yang kontinu


8

Dari (e) pada materi ini, didapat

𝜆 𝑡 = −𝐺−1 𝑡0, 𝑇 𝑥 𝑇 − 𝑒𝐴𝑇 𝑇−𝑡0 𝑥 𝑡0

Sehingga control optimumnya adalah

𝑢∗ 𝑡 = −𝑅−1𝐵𝑇𝜆 = 𝑅−1𝐵𝑇 𝑒𝐴𝑇 𝑇−𝑡 𝐺−1 𝑡0, 𝑇 𝑥 𝑇 − 𝑒𝐴𝑇 𝑇−𝑡0 𝑥 𝑡0

Yang merupakan control loop terbuka.

Disini kita menggunakan metode Lyapunov untuk menyelsaikan

MKO fixed final state dan kontrol loop terbuka ini. Pandang solusi

PD Lyapunov:

𝑃 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝐴𝑇 + 𝐵 𝑅−1𝐵𝑇 , 𝑡 ≥ 𝑡0

Dengan nilai awal 𝑃(𝑡0) adalah

𝑃 𝑡 = 𝑒𝐴 𝑡−𝑡0 𝑃 𝑡0 𝑒𝐴𝑇 𝑡−𝑡0 + 𝑒𝐴 𝑡−𝑠

𝑡

𝑡0

𝐵𝑅−1𝐵𝑇𝑒𝐴𝑇 𝑡−𝑠 𝑑𝑠

Jika diambil 𝑃 𝑡0 = 0, maka

𝑃 𝑡 = 𝑒𝐴 𝑡−𝑠 𝑡

𝑡0

𝐵𝑅−1𝐵𝑇𝑒𝐴𝑇 𝑡−𝑠 𝑑𝑠

= 𝐺 𝑡0, 𝑡

Tentu saja untuk 𝑃 𝑇 = 𝑒𝐴 𝑇−𝑠 𝑡

𝑡0 𝐵𝑅−1𝐵𝑇𝑒𝐴𝑇 𝑇−𝑠 𝑑𝑠

= 𝐺 𝑡0, 𝑇

Dengan demikian, untuk menentukan 𝐺 𝑡0, 𝑇 , kita dapat

menyelesaikan PD Lyapunov 𝑃 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝐴𝑇 + 𝐵 𝑅−1𝐵𝑇 dengan

𝑃 𝑡0 = 0 dan mengambil 𝐺 𝑡0, 𝑇 = 𝑃 𝑇 .


9

Selanjutnya dapat diperlihatkan bahwa nilai optimum untuk

fungsional objektif 𝐽 adalah

𝐽∗ 𝑡0 =1

2 𝑑𝑡 𝑡0, 𝑇 𝑃−1 𝑇 𝑑 𝑡0, 𝑇

Dimana 𝑑𝑡 𝑡0, 𝑇 = 𝑥 𝑇 − 𝑒𝐴 𝑡−𝑡0 𝑥 (𝑡0)

Contoh2:

(Buka copyan materi KO anda hal 5.20)

Diketahui MKO dibawah ini. Selesaikan!

𝑥 = −𝑥 + 𝑢, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

𝑥 0 = 1, 𝑥 1 = 3,

𝐽 0 =1

2 𝑢2𝑑𝑡

1

0

Penyelesaian

Langkah 1

Tentukan koefisien-koefisien A, B dan R

Diketahui 𝑥 = −𝑥 + 𝑢 padahal kita tahu bentuk umumnya adalah

𝑋 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 sehingga dapat kita tentukan nilai

A= -1 dan B= 1.


10

Kemudian pandang fungsional objektif

𝐽 0 =1

2 𝑢2𝑑𝑡

1

0 , dimana bentuk umum dari fungsional objektif ini

𝐽 𝑡0 =1

2 𝑢𝑇𝑅 𝑢 𝑑𝑡

𝑇

𝑡0

Sehingga dapat kita simpulkan nilai R = 1 dan 𝑡0 = 0, T=1

Langkah 2

Bentuk PD Lyapunov

Pandang PD Lyapunov

𝑃 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝐴𝑇 + 𝐵 𝑅−1𝐵𝑇

𝑃 = −𝑃 − 𝑃 + 1

𝑃 = −2𝑃 + 1

𝑃 + 2𝑃 = 1 merupakan PD orde 1 linier non homogeny (a)

Langkah 3

Selesaikan PD Lyapunov tersebut

𝑃 + 2𝑃 = 1

Bentuk PD diatas dapat disadurkan dengan bentuk umum PD orde 1,

yakni 𝑃 + 𝐾(𝑡)𝑃 = 𝑄(𝑡)

Dengan menggunakan aturan lagrange, kita dapat mencari solusi dari

PD (a)

𝑃 𝑡 = 𝑒− 𝐾 𝑡 𝑑𝑡 𝑄 𝑡 𝑒 𝐾 𝑡 𝑑𝑡𝑑𝑡 + 𝑐

𝑃 𝑡 = 𝑒− 2𝑑𝑡 𝑒 2𝑑𝑡𝑑𝑡 + 𝑐


11

𝑃 𝑡 = 𝑒−2𝑡 𝑒2𝑡𝑑𝑡 + 𝑐

𝑃 𝑡 = 𝑒−2𝑡 1

2𝑒2𝑡 + 𝑐

𝑃 𝑡 =1

2+ 𝑐𝑒−2𝑡 (b)

Langkah 4:

Cari solusi khususnya

gunakan awal 𝑃 𝑡0 = 𝑇

Untuk nilai 𝑃 0 = 1, persamaan (b) berlaku:

1 =1

2+ 𝑐, 𝑐 =

1

2 .

Solusi khusus didapat 𝑃 𝑡 =1

2+

1

2𝑒−2𝑡 (c)

Langkah 5

Mencari 𝑮 𝒕𝟎, 𝑻

𝐺 𝑡0, 𝑇 = 𝐺 0,1

= 1

2+

1

2𝑒−2 (d)

Langkah 6

Cari kontrolnya 𝑢∗(𝑡)

𝑢∗ 𝑡 = −𝑅−1𝐵𝑇𝜆

= 𝑅−1𝐵𝑇 𝑒𝐴𝑇 𝑇−𝑡 𝐺−1 𝑡0, 𝑇 𝑥 𝑇 − 𝑒𝐴𝑇 𝑇−𝑡0 𝑥 𝑡0

= 𝑒− 1−𝑡 1

2+

1

2𝑒−2

−1

𝑥 1 − 𝑒−1 1 𝑥 0

= 𝑒− 1−𝑡 1

2+

1

2𝑒−2

−1

3 − 𝑒−1 1 1


12

= 𝑒− 1−𝑡 1

2+

1

2𝑒−2

−1

3 − 𝑒−1

= 𝑒−1+𝑡6 − 2𝑒−1

1 + 𝑒−2

𝒖∗ 𝒕 = 𝟔 𝒆−𝟏+𝒕 − 𝟐𝒆−𝟐+𝒕

𝟏 + 𝒆−𝟐

Kesimpulan yang dapat dipetik:

1. Masalah regulator kuadratik (MRK) secara garis besar adalah

sama dengan Masalah control optimum (MKO), yakni

memaksimumkan atau meminimumkan fungsional objektif.

Perbedaannya adalah MKR memiliki 2 kondisi yakni fixed final

state dan free final state.

2. fixed final state, control optimum dari fungsional objektif

(𝒖∗ 𝒕 ) adalah control umpan balik, sedangkan free final state

merupakan control loop terbuka. Selain itu, nilai 𝑥(𝑇) pada

fixed final state diketahui, sdangkan free final state tidak.

3. Untuk mendapatkan control pada MRK , dapat menggunakan

fungsi Hamilton, dan khusus untuk kasus fixed final state

dapat menggunakan Persamaan Differensial Lyapunov.

***

diskusi masalah regulator kuadratik untuk

Documents