diktat besar1

Mekanika Kekuatan Material

BAB I

TEGANGAN SEDERHANA

1.1 PENDAHULUAN

Kekuatan Bahan (strength of material) memperluas pelajaran gaya yang

dimulai dengan Mekanika Teknik, tetapi terdapat perbedaan yang nyata antara

kedua materi tersebut. Pada dasarnya, bidang Mekanika membahas hubungan

antara gaya yang bekerja pada benda kaku (pada statika, benda dalam keadaan

setimbang, sedangkan pada Dinamika benda dipercepat tetapi dapat dibuat

setimbang dengan menempatkan gaya inersia).

Kekuatan bahan, membahas hubungan antara gaya luar yang bekerja dan

pengaruhnya terhadap gaya dalam benda. Selanjutnya, benda tidak lagi dianggap

sebagai kaku ideal; Deformasi walaupun kecil, merupakan sasaran utama.

1.2 ANALISA GAYA DALAM.

Salah satu masalah utama mekanika bahan adalah menyelidiki tahanan

dalam dari sebuah benda, yaitu hakekat gaya-gaya yang ada di dalam suatu

benda yang mengimbangi gaya-gaya luar yang terpakai. Untuk maksud ini. Kita

melakukan metoda pendekatan yang seragam dengan cara membuat Diagram

Benda Bebas (free body diagram), yaitu sebuah skets diagramatis yang lengkap

dari bagian struktur yang akan diselidiki dimana semua gaya luar yang bekerja

pada sebuah benda diperlihatkan pada masing-masing titik tangkapnya.

Gambar 1. Pengirisan sebuah benda

1


Sebuah benda stabil akan diam pada kesetimbangannya, maka gaya-gaya yang

bekerja padanya akan memenuhi persamaan keseimbangan statis. Bila gaya-gaya

yang bekerja pada sebuah benda seperti pada gambar 1.1.(a). memenuhi

keseimbangan statis dan semuanya terlihat dalam diagram benda bebas, maka

untuk menentukan gaya-gaya dalam yang dihasilkan oleh gaya luar dapat

diperoleh dengan menggunakan Metode Irisan (Method of Section).

Metode Irisan diperoleh dengan menggunakan sebuah bidang potong ABCD

sehingga memisahkan benda semula menjadi dua bagian yang berlainan.

Kemudian bila benda itu secara keseluruhan berada dalam keseimbangan, maka

setiap bagian dari masing-masing potongan itu juga berada dalam kesetimbangan.

Hasil proses tersebut dapat dilihat pada gambar 1.1.(a). dan 1.1.(b).

Dari langkah di atas diperoleh kesimpulan bahwa gaya-gaya luar yang

terpakai pada sebuah sisi potong tertentu haruslah diimbangi oleh gaya-gaya

dalam yang terbentuk dalam potongan tersebut, atau secara ringkas dapat

dikatakan bahwa gaya-gaya luar diimbangi oleh gaya-gaya dalam.

Secara umum gaya-gaya dalam diubah menjadi gaya dan kopel dan

diuraikan menjadi komponen normal dan tangensial terhadap penampang,

diperlihatkan dalam gambar 1.2.

Gambar 2. Komponen pengaruh gaya dalam pada bidang irisan.

Notasi yang digunakan pada gambar 1.2. menunjukkan penampang selidik dan

arah gaya atau komponen momen. Indek pertama menunjukkan muka dimana

komponen bekerja; Indek kedua menunjukkan arah komponen kusus. (misal : Pxy

berarti gaya pada muka X yang bekerja pada arah Y).

2


Setiap komponen merefleksikan pengaruh beban terpasang yang berbeda

dari setiap batang dan diberikan nama khusus sebagai berikut :

Pxx : Gaya aksial (Axial Force). Komponen ini mengukur kerja tarikan

atau tekan di penampang.

Pxy,Pxz : Gaya Geser (Shear force). Gaya ini adalah komponen tahanan total

akibat geseran salah satu sisi penampang suatu bagian terhadap

bagian lain. Resultan gaya geser biasanya disimbolkan dengan V.

Mxx : Torsi (torque). Komponen ini mengukur tahanan puntir batang dan

umumnya diberi simbol T.

Mxy,Mxz : Momen lentur (Bending Momen). Komponen ini mengukur

tahanan lentur batang terhadap sumbu Y dan Z (My atau Mz).

1.3 TEGANGAN (STRESS).

Gaya dalam yang bekerja pada bidang potong umumnya terdiri dari

bermacam-macam besaran dan arah. Dalam praktek keteknikan gaya-gaya

tersebut diuraikan menjadi tegak lurus dan sejajar terhadap irisan/potongan yang

sedang diselidiki.

Gaya yang bekerja tegak lurus atau normal terhadap irisan disebut

Tegangan Normal (Normal Stress) pada sebuah titik dan dilambangkan dengan

(sigma). Secara matematis didefinisikan sebagai berikut :

=

dimana F adalah gaya yang bekerja tegak lurus terhadap potongan dan A adalah

luas penampang dimana gaya bekerja.

Jenis Tegangan Normal :

1. Tegangan Tarik (Tensile Stress), adalah tegangan normal yang menghasilkan

tarikan (Traction atau Tension).

2. Tegangan Tekan (Compressive Stress), adalah tegangan normal yang

mendorong potongan tersebut.

3


Gaya yang bekerja sejajar dengan bidang irisan disebut Tegangan Geser

(Shearing stress) dilambangkan dengan (tau) dan secara matematis

didefinisikan

=

dimana V adalah komponen gaya yang sejajar dengan potongan.

1.4 TEGANGAN NORMAL (NORMAL STRESS)

Pada suatu pembebanan batang aksial lurus dalam gaya tarik, bila dibuat

potongan yang tegak lurus dengan sumbu batang maka tegangan yang bekerja

adalah merupakan tegangan maksimum. Sedangkan bidang potong yang tidak

tegal lurus dengan sumbu batang akan mempunyai permukaan yang lebih luas

untuk melawan gaya yang terpakai sehingga gayanya lebih kecil. Tegangan

maksimum merupakan besaran yang paling penting karena cenderung akan

menyebabkan kegagalan bahan.

Besarnya tegangan normal atau tegangan yang berlaku tegak lurus pada

potongan adalah :

= atau

Tegangan normal ini didistribusikan dengan merata pada luas penampang

A. Pada umumnya P adalah resultan sejumlah gaya pada suatu sisi dari suatu

potongan. Persamaan di atas berlaku dengan mengidealisasikan sifat dari bahan

yaitu setiap partikel bahan dianggap menyokong gaya sama besar.

1.5 TEGANGAN GESER RATA-RATA.

Dalam praktek akan kita temui berbagai kasus sebagaimana ditunjukkan

dalam gambar 1-3, dimana gaya-gaya yang diantarkan dari sebuah bagian benda

kepada benda yang lain adalah dengan menimbulkan tegangan-tegangan dalam

bidang sejajar dengan gaya terpakai. Jadi dengan mengganggap bahwa tegangan

yang bekerja dalam bidang potongan-potongan ini akan didistribusikan secara

merata, maka kita akan memperoleh hubungan tegangan sebagai berikut :

4


= atau

Dari pernyataan di atas diketahui bahwa tegangan geser berbeda dengan

tegangan tarik. Tegangan akibat tegangan geser adalah disebabkan oleh gaya yang

bekerja sejajar dengan luas penahan gaya, sedangkan tegangan tarik dan tekan

disebabkan oleh gaya yang tegak lurus terhadap luas bidang gaya. Oleh sebab itu

tegangan tarik dan tekan disebut Tegangan Normal, sedangkan tegangan geser

bisa disebut Tegangan Tangensial

Tegangan geser terjadi apabila beban terpasang menyebabkan salah satu

penampang benda cendrung menggelincir pada penampang yang bersinggungan.

Pada praktek sebenarnya tegangan geser tidak pernah terbagi secara merata,

sehingga persamaan di atas merupakan tegangan geser rata-rata.

1.6 MASALAH TEGANGAN NORMAL DAN GESER

Besarnya tegangan yang kita kehendaki dalam perhitungan kekuatan

meterial adalah Tegangan Maksimum, karena merupakan gangguan yang paling

besar pada kekuatan suatu bahan. Tegangan yang paling besar terdapat pada

potongan atau irisan yang luas penampangnya minimum serta gaya aksial yang

bekerja paling besar. Irisan-irisan seperti ini disebut irisan kritis (critical section).

Untuk kesetimbangan sebuah benda dalam ruangan, persamaan-persamaan

statika memerlukan penyelesaian dengan syarat-syarat sebagai berikut

di dalam kesetimbangan statika jumlah komponen yang tidak diketahui maksimal

tiga buah, bila lebih maka sudah termasuk kedalam statis tak tentu (statically

indeterminate).

1.7 TEGANGAN DUKUNG (BEARING STRESS)

5


Gbr 3. Tegangan Dukung pada Sambungan Keling.

Tegangan dukung adalah tegangan dalam yang disebabkan oleh tekanan

singgung antara benda yang berpisah. Pada gambar di atas, besarnya tegangan

yang berlebih menyebabkan pelat atau paku keling atau keduanya mulur. Dengan

mengasumsikan tegangan dukung (b) terdistribusi secara merata disepanjang luas

proyeksi bidang paku keling, maka besarnya beban dukung adalah :

Pb = Ab x b = (t x d).b

BAB II

6


REGANGAN SEDERHANA

Bila ingin mengamati perubahan panjang antara dua

buah titik pada suatu batang uji, maka pertama-tama

pilih dua buah titik pada jarak tertentu yang juga

disebut sebagai jarak ukur (gage distance) atau Lo.

Selanjutnya pada batang tersebut kita beri beban tarik

atau tekan, sehingga bahan tersebut mengalami

deformasi panjang sebesar L. Regangan () yang

terjadi pada batang tersebut didefinisikan sebagai :

= =

Regangan merupakan besaran tidak berdimensi,

namun dapat juga dinyatakan dalam (m/m).

2.1 DIAGRAM TEGANGAN REGANGAN

Diagram tegangan regangan tersebut secara sederhana dapat dilihat pada

gambar sebagai berikut :

Gambar 5. Diagram Tegangan Regangan

7

Gambar 4. Uji Tarik


Diagram tegangan regangan merupakan diagram yang menggambarkan

hubungan antara tegangan dan regangan yang dianggap tidak tergantung dari

ukuran dan panjang spesimen.

Pada diagram tegangan regangan ini digunakan skala ordinat (sumbu X)

untuk tegangan dan skala absisi (sumbu Y) untuk regangan.Secara Eksperimen

diterangkan bahwa diagram tegangan regangan sangat berbeda untuk bahan yang

berbeda. Bahkan untuk satu jenis bahan yang sama diagram tegangan

regangannya dapat berbeda pula, tergantung pada suhu pengujian, kecepatan

pengujian, dan sebagainya.

Dari diagram tegangan regangan di atas, dapat dilihat beberapa kondisi yang

penting :

Batas Proporsional,

Merupakan batas dimana tegangan sebanding dengan regangan. Sehingga

pada diagram ditunjukkan sebagai garis lurus. Nilai kesebandingan antara

tegangan regangan tidak berlaku diseluruh diagram tetapi berakhir sampai

batas proporsional.

Batas Elastis,

Adalah batas tegangan pada saat bahan tidak kembali lagi ke kedudukan

semula apabila beban dilepaskan. Setelah beban dilepaskan bahan masih

berdeformasi dan tidak kembali ke keadaan semula.

Titik Mulur,

Adalah titik dimana bahan memanjang mulur tanpa pertambahan beban.

Gejala mulur hanya terjadi pada baja struktur.

Kekuatan Mulur,

Sangat berhubungan dengan titik mulur. Untuk bahan yang tidak mempunyai

definisi mulur yang baik, kekuatan mulur ditetapkan dengan metoda

penggeseran, yaitu dengan menarik garis sejajar dengan garis elastis hingga

berpotongan dengan kurva tegangan regangan, biasanya 0,2% atau 0,002 m/m.

Tegangan Maksimum (kekuatan maksimum),

Merupakan ordinat tertinggi pada kurva tegangan regangan.

8


Kekuatan patah (tegangan pada patah),

Untuk baja struktur kekuatan patah lebih rendah dari kekuatan maksimum,

karena kekuatan patah dihitung dengan membagi beban patah terhadap luas

penampang asli. Hal ini merupakan kesalahan, karena disebabkan adanya

gejala pengecilan (necking). Karena patah terjadi, bahan meregang dengan

sangat cepat dan secara simultan bertambah kecil sehingga beban patah

sebenarnya terdistribusi sepanjang luas terkecil

2.2 HUKUM HOOKE

Hukum Hooke menyatakan bahwa tegangan () berbanding lurus dengan

regangan (). Pada diagram tegangan-regangan perbandingan tersebut merupakan

garis lurus, atau :

atau

dimana : = tegangan (N/m2),

= regangan (m/m), dan

E = Modulus Elastisitas (N/m2)

Secara fisis modulus elastisitas menyatakan kekakukan terhadap beban yang

diberikan pada bahan, dan nilai E merupakan sifat yang pasti dimiliki suatu bahan

2.3 DEFORMASI AKSIAL

Kita ketahui bahwa = (P/A) dan = (/L). Sehingga hukum Hooke dapat ditulis

dalam bentuk :

dimana : = deformasi total (m),

L = panjang mula-mula (m),

A = luas penampang (m2),

P = beban yang bekerja (N), dan

E = Modulus elastisitas (N/m2)

2.4 DEFORMASI GESER

9


Gaya yang bekerja dapat menyebabkan deformasi geser seperti gaya aksial

menyebabkan pepanjangan. Suatu elemen yang diberi gaya geser panjang sisinya

tidak berubah tetapi bentuknya berubah dari segi empat menjadi paralellogram

seperti gambar berikut :

Gambar 6. Deformasi geser.

Dari gambar kita ketahui :

nilai tan = (nilainya sangat kecil); sehingga :

Bila hukum hooke berlaku terhadap geser; maka hubungan antara tegangan geser

() dan regangan geser () adalah :

dimana G adalah modulus elastisitas geser atau modulus kekakuan. Bila diketahui

= (Vs/A) dan = (s/L), maka :

dimana : s = deformasi geser total,

Vs = gaya geser,

As = luas bidang geser,

L = panjang.

2.5 PERBANDINGAN POISSON

10


Dari pengujian diperoleh bahwa apabila batang diperpanjang dengan

tegangan aksial maka akan terdapat pengurangan besaran melintang.

Gambar 7. Regangan Benda Tiga Dimensi .

Simeon D. Poisson memperlihatkan perbandingan satuan deformasi atau

regangan mempunyai nilai yang tetap untuk tegangan dalam daerah batas

proporsional. Perbandingan poisson () didefinisikan sebagai :

dimana

x = regangan akibat tegdalam arah X,

y,z = regangan arah tegak lurus gaya

(-) =menunjukkan dimensi melintang berkurang bila x positip.

Resultante regangan dalam arah X dan Y :

;

sedangkan besar tegangan untuk kasus dwi sumbu :

;

sedangkan pada bidang tiga sumbu adalah :

;

;

BAB III

P U N T I R A N

11


3.1 METODA ANALISA MOMEN PUNTIR

Pendekatan yang dapat dilakukan untuk menganalisa bagian struktur yang

mendapat momen puntir adalah:

1. Keseimbangan sistem diselesaikan secara keseluruhan.

2. Gunakan metoda irisan, untuk membagi struktur menjadi dua bagian yang

terisolasi,

3. Pada bagian yang terpotong oleh bidang irisan, akan diperoleh momen puntir

dalam yang diperlukan untuk menjaga kesetimbang dari masing – masing

potongan tersebut.

4. Untuk mendapat momen puntir dalam pada batang statis tertentu, hanya

dibutuhkan satu persamaan statika, yaitu Mx = Nol (sumbu X adalah dibuat

sepanjang arah batang ).

5. Momen puntir dalam dari suatu bagian potongan yang diisolasi adalah

merupakan momen puntir luar dari irisan lainnya (arahnya berlawanan ).

Jadi dapatlah kita ketahui bahwa momen puntir luar dan momen puntir

dalam haruslah mempunyai nilai yang sama tetapi arahnya berlawanan.

Gambar 8. Momen Puntir pada sebuah potongan poros .

Pada gambar di atas, momen puntir sebesar 30 N.m pada titik C diimbangi pleh

dua momen puntir pada A dan B (20 Nm dan 10 Nm).

3.2 RUMUS PUNTIRAN

12


Pada material elastis, tegangan adalah

berbanding lurus dengan regangan dan

harganya berubah secara linier dari

sumbu pusat batang melingkar. Variasi

tegangan tersebut ditunjukkan pada

gambar di atas.

Tegangan geser maksimum (max) terjadi

pada titik yang terjauh dari titik pusat 0.

Apabila distribusi tegangan pada suatu irisan diketahui, maka perlawanan

terhadap momen puntir dalam bentuk tegangan dapat dinyatakan berikut:

pada suatu irisan tertentu max dan c konstan, sehingga :

Besarnya tegangan geser maksimum ( max) :

sedangkan tegangan geser suatu titik :

Rumus di atas merupakan rumus puntiran.

Ip adalah momen inersia polar dari penampung

melingkar pejal :

untuk silinder bolong :

13

Gambar 9. Tegangan Geser Maksimum

Gambar 10. Tegangan Geser Pada SilinderBolong


Contoh: Hitunglah tegangan geser puntir maksimum pada poros AC yang

diperlihatkan pada gambar. Anggaplah diameter poros dari AC

adalah 10 mm.

Gambar 11. Momen Puntir pada Sistem Poros.Jawab:

Diketahui :

Diameter poros (d) = 10 mm =0,01 m, momen puntir pada AC( TAC )=30

N.m,

Momen Inersia polar dari poros :

Ip = ( d4 ) / 32

= ( x 0.014 ) / 32

= 9,82 x 10-10 m4

Tegangan geser maximum yang terjadi :

max = ( T x c ) / Ip

= ( 30 x 0,005 ) )) / ( 9.82 x 10 –10 )

= 153 x 106 N / m2

Contoh : Sebuah tabung panjang dengan jari-jari luar (ro) 20 mm dan jari-

jari dalam (ri ) 16 mm, dipuntir sekitar sumbu longitudinalnya

dengan momen puntir sebesar 40 N.m.

Hitunglah tegangan geser pada tabung sebelah luar dan dalam

seperti pada gambar

14


Gambar 12. Momen Puntir pada Tabung Panjang.Jawab:

- Diketahui : c = ro = 20 mm = 0,020 m

b = ri = 16 mm = 0,016 m

- Momen Inersia polar tabung :

Ip = ( ( c4 – p4 ) ] / 2

= ( ( 0,024 - 0,0164 ) ] / 2

= 9,27 x 10-9 m4.

- Tegangan geser maximum :

max = ( T x c ) / Ip

= 40 x 0,02 ) / ( 9,27 x 16-9)

= 43,1 x 106 N / m2

3.3 DESAIN BATANG PUNTIRAN MELINGKAR

Bila momen puntir yang diteruskan oleh poros diketahui, dan tegangan

geser maximum (max ) telah dipilih, maka perbandingan yang berlaku pada poros

tersebut adalah :

Besarnya (Ip/c) adalah parameter yg menentukan kekuatan kenyal sebuah

poros. Untuk poros pejal besarnya adalah :

Batang yang mendapat gaya puntir sangat luas digunakan sebagai poros

putaran untuk menghantarkan daya. Hubungan antara Torsi dan Daya yang

dihantarkan ( Kw) :

f adalah frekwensi putaran poros ( Hertz ).

Bila poros berputar n rpm ( putaran permenit ) maka besarnya torsi adalah:

15


Contoh: Pilih sebuah poros padat untuk sebuah motor berdaya 8 Kw yang

bekerja pada frekwensi 30 Hz. Tegangan geser maximum terbatas pada

55000 KN / m2.

Jawab:

- Diketahui:

Daya yang dihantarkan 8 Kw.

Frekwensi ( f ) = 30 Hz.

max = 55000 KN / m2

- Torsi yang terjadi pada poros

T = [ ( 159 x Kw ) / f ]

= [ ( 159 x 8 ) / 30 ]

= 42,4 Nm

- Kekuatan kenyal poros:

( Ip / c ) = ( T / max )

= ( 42,4 / (55 x 106 )

= 0,771 x 10-6 m3

- Untuk poros yang padat :

( Ip / c ) = [ ( x c3 ) / 2 ]

Maka jari – jari terluar dari poros ( c ) adalah:

C3 = ( 2 / x ( Ip/ c )

= ( 2 / ) x ( 0,771 x 10-6 )

= 491 x 16-9 meter

c = 0,00789 meter

diameter poros

d = 2 x c

= 2 x 0,0789

= 15,8 mm

Secara praktis maka poros dengan diameter 16 mm dapat digunakan untuk

maksud diatas.

16


Contoh: Pilihlah poros padat yang dapat meneruskan daya 200 Kw tanpa

melebihi tegangan geser sebesar 70.106 N/m2. Salah satu dari poros

ini bekerja dengan putaran 20 rpm dan lainnya dengan 2000 rpm.

Jawab :

- Torsi yang terjadi pada tiap – tiap poros:

T1 = [ ( Kw x 9540 ) / N1 ]

= [ ( 200 x 9540 ) / 20 ]

= 95400 ( N.m )

T2 = [ ( Kw x 9540 ) / N2 ]

= [ ( 200 x 9540 ) / 20000 ]

= 95,4 ( N.m )

- Kekuatan kenyal poros:

( Ip / c )1 = ( T1 / max )

= ( 95400 / 70 x 106 )

= 1,36 x 10-3 ( m3)

( Ip / c )2 = ( T1 / max )

= ( 95,4 / 70 x 106 )

= 1,36 x 10-6 ( m3 )

Diameter dari poros :

( Ip / c ) = [ ( x d3 ) / 16 ]

atau :

d13 = ( 16 / ) x ( Ip / c )1

= ( 16 / ) x 1,36 x 10-3

d1 = 191 ( mm )

Jadi diameter poros yang bisa digunakan dI =191 mm; sedangkan untuk poros

kedua dengan cara yang sama diperoleh d2 = 19,1 mm.

17


3.4 SUDUT PUNTIR BATANG MELINGKAR

Gambar 13.Sudut Puntir pada Batang Melingkar.

Bila sudut kecil DAB = max , maka :

Busur BD = max . dx

Dan juga diketahui :

Busur BD = dc

Dari kedua persamaan tersebut :

max . dx = dc

Pers. sudut puntir relatif yang berdampingan berjarak kecil tak berhingga dx.

atau

Besarnya sudut puntir total antara dua potongan A dan B pada sebuah poros,

maka rotasi semua elemen haruslah dijumlahkan.

Besarnya sudut puntir pada suatu irisan dari sebuah poros dengan bahan

elastis adalah :

dimana :

Tx = Momen puntir,

Ipx = Momen inersia kutup, dan

= Sudut puntir.

18


Contoh: Hitunglah rotasi relatif dari irisan B-

B terhadap irisan A-A dari poros

yang padat yang terlihat pada

gambar, bila suatu momen puntir

konstan T diberikan.sepanjang

bahan tersebut. ( momen inersia

kutup dari luas penampang adalah

konstan ).

Jawab:

Dalam hal ini Tx = T dan Ipx = Ip; sehingga:

Persamaan diatas digunakan untuk mendesain poros – poros mengenai kekakuan (

stiffness ) yaitu pembatasan besar puntiran yang dapat terjadi disepanjang balok /

poros.

Persamaan ini di gunakan pada analisa gerak puntiran. Bentuk (Ip.G) adalah

merupakan kekakuan puntir dari poros tersebut. modulud elastisitas geser dalam

daerah elastis adalah :

Contoh:

Poros berjenjang seperti pada gambar, ditempelkan pada suatu dinding pada E;

tentukanlah besarnya rotasi pada ujung A bila kedua momen puntir B da D

diberikan. Anggap bahwa modulus geser G adalah 80 x 109 N / m2.

Gambar 15. Momen Puntir Pada Poros Bertingkat

19

Gambar 14. Momen Puntir Pada Silinder.


Jawab:

- Momen inersia kutub :

Ip ( AB )=Ip ( BC ) = [ (.d4) / 32]

Ip ( AB ) = [ (.{ 2,5 x 10-2 }4 ) / 32 ]

= 3,83 x 10-8 ( m4 )

Ip(CD)= Ip (DE )

= (/ 32 ) x ( do4 - di4 )

= (/ 32 ) x ( 52 – 2,52 )

= 57,5 x 10-8 ( m4 )

Besarnya momen puntir :

TAB = 0;

TBC = TBD = TCD = 150 ( N . m )

TDE = 1150 ( N . m )

Besarnya sudut puntir keseluruhan :

= 0,0125 + 0,0010 + 0,0098

= 0,0233 ( radian )

= 0,0233 x ( 360 / 2 ) o

= 1,33 ( o )

20


BAB IV

GAYA DAN MOMEN LENTUR PADA BALOK

4.1 JENIS TUMPUAN

Tiga macam tumpuan yang dikenal pada pembebanan balok dalam bidang

yang sama:

ROL atau PENGHUBUNG,

Gambar 16. Tumpuan penghubung dan rol

Rol/penghubung mampu melawan gaya dalam suatu garis aksi yang spesifik.

Dari gambar diatas diketahui:

1. Penghubung gambar (a) hanya dapat melawan gaya dalam arah AB saja.

2. Rol pada gambar (b) hanya dapat melawan gaya vertikal,

3. Rol pada gambar (c) hanya dapat melawan gaya yang tegak lurus terhadap

bidang CD.

PASAK ( PIN ).

Gambar 16. Tumpuan pasak / engsel

Reaksi tumpuan jenis pasak mempunyai dua komponen, yaitu arah vertkal

(V) & horizontal (H).

21


TUMPUAN JEPIT ( FIXED SUPPORT ).

Reaksi tumpuannya adalah terdiri dari tiga komponen, yaitu

arah Vertikal ( V ), arah Horizontal ( H ), dan Momen.

Gambar 17. Tumpuan Jepit

4. 2. KAIDAH DRAGMATIS PEMBEBANAN.

Jenis beban yang utama terdiri dari:

a. Beban terpusat.

Gambar 18. Pembebanan Terpusat

b. Beban terdistribusi secara merata

Gambar 19. Pembebanan Terdistribusi

c. Pembebanan hidrostatik

Gambar 20. Pembebanan Hidrostatik

22


4. 3. Klasifikasi Balok

Gambar 21. Klasifikasi Balok

4. 4. PERHITUNGAN REAKSI BALOK.

Persamaan kesetimbangan statika yang harus digunakan dalam melakukan

perhitungan reaksi– reaksi suatu balok adalah

1. Resultan gaya horizontal ialah nol (Fx = 0)

2. Resultan gaya vertikal adalah nol (Fy = 0)

3. Resultan momen adalah nol (Mz = 0)

4. 5. PENERAPAN METODA IRISAN.

Penelaahan setiap balok dimulai dengan membuat diagram benda bebas

(DBB). Gaya reaksi selalu dapat dihitung dengan mempergunakan persamaan

kesetimbangan, selama belok tersebut merupakan statis tertentu.

Metoda irisan selanjutnya dapat digunakan untuk setiap irisan dari balok

dengan mengerjakan konsep yang dipakai terdahulu, dimana bila benda secara

keseluruhan berada dalam kesetimbangan maka setiap bagian dari benda tersebut

berada pula dalam kesetimbangan.

23


Gambar 22. Penerapan Metoda Irisan

4. 6. GESER DALAM BALOK.

Untuk mempertahnkan segmen balok berada dalam kesetimbangan, maka

pada irisannya harus ada suatu gaya dalam vertikal V yang memenuhi

persamaan [Fy = 0 ].

Gaya dalam V yang bekerja tegak lurus pada sumbu balok dan gaya ini

disebut sebagai Gaya Geser (shearing force). Secara numeris gaya geser ini

adalah sama dengan jumlah aljabar dari semua komponen vertikal gaya – gaya

luar yang terisolasi tetapi dengan arah yang berlawanan.

Gambar 23. Definisi Geser Positif

4. 7 GAYA AKSIAL DALAM BALOK.

24


Bila gaya horizontal P bekerja terhadap irisan maka disebut Gaya Dorong

(thrust). Bila gaya tersebut menjauhi irisan dinamakan Gaya Tarik Aksial, dan

bila menuju irisan dinamakan Gaya Tekan.

Gambar 24. Gaya Aksial dalam Balok

4. 6. MOMEN LENTUR DALAM BALOK.

Persyaratan keseimbangan statis yang lain untuk persoalan planar adalah

[Mz = 0 ]. Dari persamaan yang sama diperoleh bahwa besar momen

perlawanan dalam adalah sama dengan momen luar. Momen ini cenderung untuk

melenturkan balok bidang beban dan hal ini biasanya disebut dengan

Momen Lentur (bending momen).

25


Gambar 25. Definisi Momen Lentur Positif

BAB V

26


LENTURAN MURNI BALOK

5.1 KONSEP DASAR

Bila segmen balok berada dalam kesetimbangan dibawah pengaruh

momen saja, maka keadaan ini disebut dengan Lenturan Murni (pure bending

atau flexure). Konsep dasar dalam menentukan rumus lenturan :

Semua gaya dalam balok akan diandaikan berada dalam keadaan tetap

(steady) dan diberikan pada balok tanpa kejutan dan tabrakan.

Semua balok diandaikan berada dalam keadaan stabil di bawah pengaruh

gaya-gaya terpakai.

Deformasi dianggap memberikan regangan yang berubah secara linier

terhadap sumbu netral.

Sifat-sifat bahan digunakan untuk menghubungkan regangan dan

tegangan.

Syarat-syarat keseimbangan digunakan untuk menentukan letak sumbu

netral dan tegangan-tegangan dalam.

Segmen balok yang akan dibahas ditunjukkan pada gambar di bawah ini :

Gambar 26. Sifat-sifat balok saat melentur

27


Tegangan normal pada suatu irisan balok yg dihasilkan oleh lenturan mempunyai

nilai yang besarnya berubah secara linier terhadap jaraknya dari sumbu. Tegangan

tersebut bekerja tegak lurus terhadap irisan balok.

Gambar 27. Distribusi tegangan irisan balok karena Momen Lentur

5.2. RUMUS LENTURAN.

Gambar 28. Balok dengan lenturan murni

Pada gambar di atas, menunjukkan suatu segmen balok yang menderita

momen lentur positif (M). Pada irisan X-X momen terpakai ini mendapat

perlawanan dari tegangan yang berubah secara linier terhadap sumbu netral.

Tegangan yang tertinggi akan terjadi pada titik yang paling jauh dari sumbu

netral. Pada gambar di atas, tegangan maximum (max) akan terjadi disepanjang

garis “ed”.

Tegangan lain yang bekerja pada daerah penampang dihubungkan dengan

suatu perbandingan jarak dari sumbu netral. Besarnya tegangan pada suatu luas

kecil tak berhinga dA dengan jarak y dari sumbu netral adalah:

dimana: c = jarak terjauh dari sumbu netral,

y = jarak luas dA terhadap sumbu netral.

Untuk kondisi keseimbangan, maka jumlah semua gaya yang bekerja pada

irisan balok tersebut NOL. Momen luar M mendapat perlawanan dari momen

28


lentur bagian dalam (yang dibentuk oleh tegangan luntur pada suatu irisan).

Harga momen luar dan momen dalam adalah sama besar dan berlawanan arah.

Momen lentur dalam ditentukan dengan menjumlahkan gaya – gaya yang

bekerja pada daerah kecil yang tak berhingga dA dikalikan dengan lengan yang

bersangkutan terhadap sumbu netral, sehingga :

Sedangkan tegangan yang terjadi pada jarak y dari sumbu netral adalah :

dimana M = Momen lentur dalam (Nm); I adalah momen inersia penampang (m4).

5.3. PERHITUNGAN MOMEN INERSIA.

Pada saat menggunakan rumus lenturan, terlebih dahulu harus ditentukan

momen inersia penampang (I).Langkah pertama untuk mendapatkan I adalah

mendapatkan titik berat dari daerah tersebut, kemudian melakukan integrasi y2.dA

terhadap sumbu Horizontal yang melalui titik berat daerah tsb.

Untuk mendapatkan momen Inersia I pada daerah yang terdiri dari

beberapa bentuk sederhana, dapat dilakukan dengan teorema sumbu sejajar

(rumus perpindahan), yaitu sebagai berikut:

Pada gambar, daerah yang diarsir mempunyai momen inersia Io terhadap

sumbu horizontal yang melalui titik berat yaitu:

Gambar 29. Referensi untuk Perhitungan Momen Inersia

Dimana besarnya y diukur dari sumbu titik berat.

29


Jadi teorema sumbu sejajar dapat dinyatakan bahwa : “Momen Inersia

suatu luas terhadap suatu sumbu adalah sama dengan momen Inersia luas yang

sama terhadap sumbu seajajar yang melalui titik luas, ditambah dengan hasil kali

dari luas yang sama dengan kuadarat jarak antara kedua sumbu.

Tabel 1. Momen Inersia Untuk berbagai Bentuk Geometris

Contoh :

30


Tentukan momen inersia I thd. Sumbu horizontal,

untuk luas pada gambar di samping.

Jawab:

- letak sumbu netral:

y = A1 . y1 + A2 . y2 + A3 . y3 + A4 . y4

A1 + A2 + A3 + A4

= 800 .10 + 300 . 35 + 300 . 35 + 400 . 55

800 + 300 + 300 + 400

= 28,3 mm ( dari bawah )

- Momen inersia keseluruhan:

Io = ( b . h3 ) / 12

= ( 40 .603 ) / 12

= 72 x 104 ( mm4 )

Ad = (40 x 60 ) ( 30 – 28,3)2

= ( 2400 ) x ( 1,7 )2

= 0,69 x 104 ( mm4 )

maka:

Izz = Io + A . d2

= 72 . 104 + 0,69 . 104

= 72,69 x 104 ( mm4 )

Momen inersia rongga dalam:

Io = ( b . h3 ) / 12

= ( 20 . 303 ) / 12

= 4,50 x 104 ( mm4 )

Ad2 = ( 20 x 30 ) x ( 35 – 28,3)2

= 2,69 x 104 ( mm4 )

maka:

31


Izz = Io + A .d2

= ( 4,5 x 104 ) + ( 2,69 x 104 )

= 7,19 x 104 ( mm4 )

- jadi momen inersia gabungan

I = ( 72,69 – 7,19 ) x 104

= 65,50 x 104 ( mm4 )

Contoh: Sebuah balok kayu kantilever dengan ukuran 0,3m x 0.4m mempunyai

berat 76 kg / m, memuat gaya terpusat keatas sebesar 20 KN pada

ujungnya seperti pada gambar. Tentukan tegangan lentur maximum

pada sebuah irisan 2m dari ujung beban.

Gaya reaksi Pada irisan dengan jarak 2 m :

Fy = 0: V = 20 – ( 0,75 x 2 )

= 20 – 1,5

= 18,5 KN

M = 0:M = (- 0,75x2x1) + (20x2)

= 38,5 KN . m.

Jarak serat terjauh dari sumbu netral pada penampang balok tersebut adalah 0,2

meter; sehingga c = 0,2m.

- momen inersia penampang:

Izz = ( b . h3 ) / 12

= 0,3 x 0,43 ) /12

= 16 x 10-4 ( m4 )

- Tegangan maximum

32


max = ( M . c ) / I

= (38,5 x 0,2 ) / ( 16 x 104 )

= 4813 ( KN / m2 )

Pengaruh tegangan lentur pada penampang balok:

1. Bagian atas balok ( titik A ) adalah TEKAN.

2. Bagian bawah balok ( titik B ) adalah TARIK.

5.4. LENTURAN PADA IRISAN TAK SIMETRIS

Gambar 30. Balok dengan irisan penampang tak simetris

Momen Myy yang mungkin sekitar sumbu y adalah:

5.5. LENTURAN TAK ELASTIS DARI BALOK.

Rumus lenturan Elastis yang diturunkan sebelumnya hanya berlaku

tegangan berbanding lurus dengan regangan. Untuk bahan yang tidak mematuhi

hukum HOOK ketentuan di atas tidak dapat diberlakukan.

5.6. BALOK DUA BAHAN.

Pada pembahasan sebelumnya balok dianggap terbuat dari satu macam

bahan yang homogen. Dalam praktek sering kita menemukan balok dengan

beberapa bahan yang berlainan. Misal balok kayu seringkali diperkuat dengan

ikatan – ikatan logam, dan balok beton diperkuat dengan batang – batang baja.

Sebuah balok yang simetris terbuat dari dua macam bahan dengan irisan

penampang seperti pada gambar ( a ); Bahan bagian luar (bahan 1) mempunyai

33


modulus elastisitas E1; dan modulus bahan bagian dalam (bahan 2) adalah adalah

E2.

Gambar 31. Balok Dua Bahan

Bila balok dihadapkan pada lenturan, irisan – irisan bidang datar. Karena itu

regangan haruslah berupa secara linier dari sumbu netral, seperti yang terlihat

gambar (b).

34


Untuk keadaan elastis, tegangan adalah sebanding dengan regangan, dan

distribusi tegangan dengan menganggap E1>E2, terlihat dalam gambar (c). Pada

permukaan sambungan kedua bahan di tujukkan suatu perubahan intensitas dari

tegangan.

Meskipun regangan pada permukaan kedua bahan adalah sama, tetapi

tegangan yang lebih tinggi terjadi pada bahan yang lebih kaku. Karena kekakuan

suatu bahan tergantung pada besarnya modulus elastisitas E.

Transportasi sebuah irisan dikerjakan dengan mengubah ukuran atau

dimensi irisan penampung yang sejajar disuatu sunbu netral adalah berdasarkan

pada perbandingan modulus elastisitas dari masing – masing bahan.

Misalnya bila irisan padanan dikehendaki didalam bahan 1 (bahan 1

sebagai patokan), maka ukuran bahan 1 tidak boleh berubah, sedangkan ukuran 2

berubah dengan perbandingan n. Dimana n = E1/E2 seperti ditunjukkan

olehgambar (D).

Pada bagian yang lain irisan transformasi tersebut adalah dari bahna 2;

maka ukuran bahan lain berubah dengan suatu perbandingan n1 = E1/ E2 seperti

pada gambar (e).

Contoh:

Tinjaualah sebuah balok campuran dengan irisan penampung seperti yang

terlihat pada gambar. Bagian atas dengan ukuran 150 X 250 mm terdiri dari

35


kayu ( Ew = 10000 Mpa). Bila balok ini dihadapkan dengan momen lentur

sebesar 0,03 MN . m terhadap sumbu horizontal, berapakah tegangan

maximum dalam baja dan kayu.

Penyelesaian :

- Harga perbandingan modulus elastis kedua bahan:

ns = ( Es / Ew )

= 200000 / 10000

= 20

jadi dengan menggunakan irisan kayu yang ditransformasikan ( dimensi kayu

tetap ), maka lebar dari pelat besi sebagaimana ditunjukkan pada gambar ( b )

adalah:

Is = ns . bs = 20 x 0,150 = 3 meter.

Letak sumbu netralnya adalah:

y = Aw . Yw + As . Ys

Aw + As

= ( 150 x 250 ) . 125 + ( 10 x 3000 ) . 255

( 150 x 250 ) + ( 10 x 3000 )

= 183 mm ( dari atas ).

Momen inersia terhadap sumbu titik berat :

Izz = {(bw . hw3) /12} + Aw.yw2 + {(bs.hs3)/12} + As.ys2

= ((150.2503 )/12 + 150.250)(58)2 + (3000x103)/12 +(3000x10 ) (72)2

= 478 x 10-6 ( m4 ).

Tegangan maksimum pada kayu :

(w)max = ( M . CA ) / I

= ( 0,03 x 0,183 ) / ( 478 x 10-6 )

36


= 11,5 ( Mpa ).

Tegangan maximum dalam baja:

(s)max = ns x {( M .CB ) / I}

= 20 x {(0,03.0,77)/(478.10-6)]

= 96,5 ( Mpa ).

BAB VI

TEGANGAN GESER BALOK

37


Tegangan geser pada balok berhubungan secara tidak terpisahkan dengan

perubahan momen lentur pada irisan-irisan yang saling bersebelahan.

6.1. GAYA GESER & MOMEN LENTUR.

Gambar32. Balok dengna irisan dx

Gambar di atas, menunjukkan suatu elemen dx diisolasikan dari balok dengan dua

irisan berdampingan yang diambil tegak lurus terhadap sumbu balok.

Pada irisan elemen dx tersebut, gaya geser dan momen lentur masing-

masing dapat berubah dari irisan yang satu keirisan berikutnya. Maka pada

permukaan elemen sebelah kanan perubahan gaya–gaya tersebut dapat dinyatakan

dengan V+dV dan M+dM. Sedangkan gaya aksial tidak dimasukkan karena pada

elemen ini ditinjau tidak mengandung gaya–gaya aksial.

Beban terdistribusi q(x) yang bekerja pada balok dan elemen dx ditinjau

positif bila bekerja dalam arah keatas. Pada posisi keseimbangan pada elemen

tersebut:

MA = 0;(M+dM)–M–(V+dV).dx + q.dx.(dx/2) = 0

atau:

MA= 0; dM – V . dx + q(x ).dx.(dx /2) =0

dM = {V + q (x) . (dx / 2)} . dx

dM = V + q (x) . (dx / 2)dx

pada x =0;

dM = V dx

dari penyederhanaan dan pengabaian diperoleh.

38


dM = V . dx atau dM / dx = V

Hal ini berarti bila suatu gaya geser bekerja pada sebuah irisan, maka akan ada

momen lentur pada irisan yang berdampingan.

Jika terdapat gaya geser maka perbedaan momen lentur pada irisan yang

berdampingan adalah sama dengan V . dx.

Bila tidak ada gaya geser yang bekerja. Maka tidak akan ada perbedaan

momen lentur.

6. 2 ALIRAN GESER ( SHEAR FLOW ).

Tinjauan sebuah balok yang terbuat dari beberapa papan continue seperti

anggota yang terpadu, maka diandaikan papan – papan tersebut dipererat oleh

baut – baut vertical.

Bila baut yang terlihat pada gambar 6-3 ( b ) dikenakan momen +MA pada

ujung A dan +MB pada ujung B, sehingga tegangan – tegangan lentur terbentuk

tegak lurus terhadap irisan.

Tegangan lentur itu berubah secara linier dari sumbu netral. Masing –

masing besarnya tegangan lentur tersebut tergantung pada besarnya y dari sumbu

netral, dimana besarnya tegangan lentur tersebut adalah:

A = - {( MA . yA ) / I}

B = - {( MB . yB ) / I}

Diketahui bahwa perkalian tegangan dengan luas adalah gaya: Maka gaya

pada ujung A dan B adalah:

FB = sluas {- ( MB . y) / I } .dA fghj

= ( MB / I ) . sluas ( y . dA) fghj

diketahui bahwa:

Q = sluas (y . dA) Fghj

= Afghj . y……………………………..( 6-3 )

Maka gaya masing – masing titik adalah:

FB = - ( MB . Q ) / I

FA = - ( MA . Q ) / I……………………..( 6-4 )

39


Bila MA MB, yang selalu terjadi apabila terdapat gaya geser dalam

irisan yang berdampingan, maka FA FB. Jadi terdapat gaya dorong atau tarik

yang lebih besar pada ujung papan dibandingkan pada bagian yang lainnya.

Jadi bila MA > MB; maka [ FB ] > [ FA ] dan kesetimbangan gaya horizontal

dapat dicapai dengan membangun gaya perlawanan horizontal R dalam baut

sehingga [ FB ] = [ FA ] + R.

Aliran geser adalah merupakan besaran yang secara fisis menyatakan

perbedaan antara gaya – gaya FB dan FB pada sebuah elemen balok dari satuan

panjang, atau:

q = dF / dx

= ( dM / dx ) . ( 1 / I ) . sluas ( y . dA )

= ( V . Afghj . y ) / I

jadi:

q = ( V. Q ) / I……………………………….( 6-4 )

dimana:

I = Momen inersia penampang terhadap sumbu netral,

V = Gaya geser total.

Q = y . dA

Besanya gaya geser yang bekerja adalah:

V = (dM / dx )……………………….( 6-5 )

Contoh:

Dua papan kayu yang panjang membentuk sebuah irisan T dari balok yang

terlihat dalam gambar bila balok ini meneruskan suatu gaya geser tetap sebesar

3000 N, tentukanlah jarak antar paku yang diperlukan antara kedua papan untuk

membuat balok berlaku sebagai satu kesatuan, anggap gaya geser yang dizinkan

setiap paku adalah 700 N / paku.

Letak sumbu netral:

Yc = {(A1 . y1) + A2 . y2)}

A1 + A2

40


= (500 . 200) . 25 + (50 . 20) . 150

(50 . 200) (50 . 200)

= 87,5 (mm)

Jarak.pusat benda 1 kesumbu netral.

y1 = yc – (0,5 x 50)

= 62,5 (mm)

I = b1.h13 +h 1.b1.y1

2 +b 2.h23 +b 2.h2y2

2

12

= 113,5 x 10-6 (mm4)

Besarnya momen statis:

Q = Afghj . y1

= (50 . 200 ) (62,5)

= 625 x 103 (mm3)

Maka besarnya aliran geser:.

q = (V . Q) / I

=(3000 . 625 x 10-6) / (113, 5 x 10-6)

= 16500 (N / m)

Jadi besarnya gaya yang harus dipindahkan dari sebuah papan kepapan yang lain

dalam setiap meter linier sepanjang balok adalah sebesar 16500 N.

Jarak paku yang dapat menahan gaya:

X = Vijin / q

= ( 700 ) / ( 16500 )

= 0,043 (meter)

Maka supaya geser tetap konstan pada irisan – irisan beruntundari balokmaka

masing – masing paku dipasang sejauh 43 mm.

6. 3 RUMUS TEGANGAN GESER BALOK.

Rumus tegangan balok diperoleh dengan memodifikasi rumus aliran geser.

Sebuah elemen balok diisolasi antara dua irisan berdampingan yang diambil tegak

41


lurus terhadapa sumbu balok. Kemudian dengan kita buat irisan khayal yang

melalui elemen tersebut sejajar dengan sumbu balok, sehingga kita peroleh

elemen baru sebagai mana gambar 6.4.

Pandangan samping dari elemen yang demikian dapat dilihat pada gambar

6.4 ( a ); dimana irisan longitudinal khayal dibuat pada jarak y1 dari sumbu netral

( dengan penampang balok sebagai mana gambar ( c ).

Bila gaya geser terdapat pada irisan melalui balok, maka momen lentur

yang berbeda terjadi pada irisan A dari pada B, Gaya longitudinal yang terjadi

sepanjang dx adalah:

dF = (dM / I) sluas { y. dA} fghj

= (dM / I ) . Afghj . y

Sehingga:

dF = (dM/ I .Q……………………………………( 6-6- )

Dalam sebuah balok padat, gaya yang melalui dF dapat terbentuk hanya

dalam bidang potongan yang diambil sejajar dengan sumbbu balok, oleh karena

itu dengan menggap tegangan geser terdistri busi secara merata melalui

potongan tersebut dengan lebar t, maka tegangan geser dalam bidang longitudinal

tersebut diperoleh dengan membagi dF terhadap luas ( t . dx ).

= dF / (dx . t)

= ( dM / dX ). {( Afghj . y ) / ( I . t )}

bila V = (dM / dx ) dan q = ( V . Q ) / I , maka :

= ( V . Q ) / ( I . t )……………………………( 6-8 )

dimana: V = Tegangan geser total pada irisan,

I = Momen lembam penampang terhadap sb. Netral

Q = Momen statis sekitar sumbu netral.

y = Jarak sumbu netral thd titik berat Afghj

t = Lebara potongan membujur khayal = tebal / lebar

Contoh: Turunkan ungkapan untuk distribusi tegangan geser dalam balok

berpenampang siku empat pada yang meneruskan gaya geser

vertical V.

Jawab:

42


Pada gambar ( a ) penampang balok terdapat potongan membujur sepanjang balok

pada jarak y1 dari sumbu netral sehungga mengisolasikan sebagian daerah fghj

dari penampang.

Diketahui t = b dan dA = b . dy, maka tegangan geser horizontal

pada y1 dari balok adalah:

= ( V. Q ) / ( I . t )

= { V / ( I . t )} . sluas { y . dA } fghj

= { V / ( I . t )} . sh/2 y . ( b . dy ) y1

= ( V / I ) . [(y2 / 2 ]h/2 y1

= ( V / 21 ) . {( h/2 ) 2 – ( y1 )2}

Persamaan diatas menunjukkan bahwa dalam balok yang

berpenampang siku empat kedua tegangan geser vertical dan horizontal berubah

secara parabolis dengan tegangan geser maximum bila bila y1 = NOL.

Pada gambar ( b ) ditujukkan bahwa max terjadi pada sumbu netral

balok, dan nilainya semakin kecil dengan bertambahnya jarak dari sumbu netral

sehingga tegangan gesernya berangsur – angsur menuju Nol. Besarny max tersebut

adalah:

max = ( V / 21 ) . {( h/2 )2 – ( 0 )}

= ( Vh2 ) / ( 81 )

= ( Vh2 ) / ( 8. { bh3 / 12})

= ( 12 . V . h2 ) / ( 8 . b . h3)

= ( 3V ) / ( 2 . b . h)

= ( 3V ) / ( 2A )

Cara lain dapat diperoleh secara lebih langsung, dimana nilai ( V . Q ) /

(I . t ) menjadi maximum; maka Q haruslah mencapai harga yang paling besar

yaitu diperoleh dengan meninjau separo daerah penampang sekitar sumbu netral

balok.

max = ( VQ ) / ( I t )

= V . Afghj . y

( I . t )

= V . ( bh / 2 ) . ( h / 4 )

43


( bh3 / 12 ) . t

max = V . ( bh 2 / 8 )

( b2 32 / 12 )

= V. b . h 2 . 12

b2 . h3 . 8

max = ( 3 / 2 ) . ( V / A )………………………..( 6-9 )

BAB VII

ANALISA TEGANGAN DAN REGANGAN BIDANG

7.1 METODA PERHITUNGAN

Tegangan adalah vektor orde tinggi, sebab selain memiliki besar dan arah

juga berhubungan dengan satuan luas dimana mereka bekerja. Dalam menghitung

44


tegangan normal dan geser terlebih dahulu harus mengubah tegangan tersebut

menjadi gaya, sehingga dapat ditambah dan dikurangkan secar vektorial.

Contoh: Hitunglah tegangan yang harus bekerja pada bidang AB dari pasak

kecil tak berhingga dengan sudut () = 22,5o untuk menjaga elemen

tersebut dalam keseimbangan.

Gambar33. Analisa Tegangan pada Bidang AB

ABC = bag . elemen irisan; = sudut pasak; x= 3 Mpa; y = 1 Mpa; = 2 Mpa

ABC adalah bidang irisan dimana tegangan pada permukaan AC dan BC dapat

kita ketahui.

Tegangan normal dan geser yang tidak di ketahui bekerja pada

bidang/permukaa AB dan kita lambangkan dengan dan Untuk mempermudah perhitungan kita misalkan luas permukaan yang

ditujukkan oleh garis AB adalah 1 m2 maka:

- Luas AC = 1 . Cos = 0,924 m2

- Luas BC = 1 . sin = 0,383 m2

Gaya F1, F2, F3, dan F4 diperoleh dengan mengalikan tegangan dengan

luas daerah yang bersangkutan

Gaya penyeimbang yang tidak diketahui adalah N yang bekerja tegak lurus

AB, dan S menyinggung bidang AB.

Dengan persamaan keseimbangan statis terhadap gaya – gaya yang bekerja

pada pasak maka besarnya N dan S adalah :

F1 = x . luas AC = 3 x 0,924 = 2,78 (MN)

45


F2 = y . luas AC = 2 x 0,924 = 1,85 (MN)

F3 = y . luas BC = 2 x 0,383 = 0,766 (MN)

F4 = x . luas BC = 1 x 0,383 = 0,383 (MN)

FN = 0;

N =F1.cos – F2.sin – F3.cos + F4sin

=2,78x0,78+1,85x0,924–0,77x0,924+0,38x0,38

= 1,29 (MN)

Fs = 0;

S = F1 . sin + F2 . cos – F3 . sin – F4 . cos

=2,78x0,38+1,85x0,924 – 0,77x0,38 – 0,38x0,924

= 2,12 (MN)

maka tegangan yang bekerja pada bidang AB :

= ( N / luas AB )

= (1,29 /I )

= 1,29 (MN)

= ( S / luas AB )

= 2,12 /I

= 2,12 ( MN)

7.2 TRANSFORMASI TEGANGAN BIDANG

46


Gambar34. Transformasi Tegangan Bidang

Tegangan geser positif didefinisikan bekerja dengan arah ke atas pada

permukaan sebelah kanan DE.

Transformasi tegangan dari sistem sumbu koordinat XY menjadi koordinat

X’Y’, dimana sudut menentukan letak sumbu X. Sudut nilainya positif bila

diukur dari sumbu X menuju sumbu y dengan arah berlawanan dengan arah jarum

jam.

Melalui bidang BC yang tegak lurus sumbu X memotong elemen tersebut

mengisolasikan irisan sebagaimana ditunjukkan pada gambar (b).

Bidang BC membuat sudut dengan sumbu vertikal, dimana bidang BC

mempunyai luas DA maka:

Luas permukaan BC = dA . sin

Luas permukaan AC = dA . sin

Bila tegangan dengan luas yang bersangkutan, maka dapat dibuat diagram

gaya yang bekerja pada pasak tersebut seperti gambar (c). Kemudian dengan

persamaan kesetimbangan statis untuk gaya yang bekerja pada pasak tersebut

maka kita peroleh tegangan x’ dan x’y’. yaitu:

* Fx’ =0;

x’ = x.cos2 + y.sin2 + 2.xy.sin.cos

sehingga :

dengan cara yang sama akan diperoleh :

47


Persamaan diatas adalah merupakan pernyataan umum untuk tegangan

normal dan geser pada bidang yang letaknya ditentukan oleh sudut dan tegangan

penyebabnya diketahui.

7.3 TEGANGAN UTAMA

Untuk mendapatkan bidang dengan tegangan normal yang maximum atau

minimum persamaan di atas, dideferensialkan terhadap sudut ; dan hasil

pedeferensialan tersebut disamadengankan NOL. Sehingga:

atau ditunjukkan pada gambar berikut :

pada bidang dimana tegangan normal (maximum atau minimum) terjadi, tidak

akan terdapat tegangan geser.

Bidang ini disebut sebagai bidang utama tegangan; dan tegangan yang

bekerja pada bidang ini disebut TEGANGAN UTAMA yaitu tegangan normal

maximum (1) dan tegangan normal minimum (2).

48


7. 4. TEGANGAN GESER MAXIMUM.

Untuk menentukan letak bidang dimana bekerja tegangan geser maximum

atau minimum dalam diagram cartesiusnya adalah:

Sehingga tegangan geser maksimumnya adalah :

atau :

7. 5. LINGKARAN TEGANGAN MOHR.

Gambar 35. Lingkaran Mohrn

Berdasarkan tegangan yang diberikan pada gambar (a), dapat diplot grafik dengan

koordinatnya dan (gb. b). Ordinat dari lingkaran adalah tegangan geser (x’y’)

dan absisnya adalah Tegangan Normal (x’); lingkaran ini dikenal sebagai

LINGKARAN MOHRN atau LINGKARAN TEGANGAN.

Dari gambar lingkaran Mohrn diperoleh kesimpulan penting sebagai

berikut:

1. Tegangan normal paling besar adalah 1 ; yang terkecil adalah2, dan

tegangan geser tidak terjadi pada salah satu sumbu utama.

49


2. Teg. geser terbesar (max) nilainya sama dengan jari-jari lingkaran yaitu

(1-2)/2; dan Teg. normal yang terjadi pada tegangan geser maximum adalah

(2+2)/2.

3. Bila 2=2 maka lingkaran mohrn berupa sebuah titik dan teg. gesernya

adalah NOL.

4. Bila (y+x)=0, maka pusat lingkaran mohrn akan berhimpit dengan titik

asal koordinat; dan terjadilah geser murni.

7.6. KONSTRUKSI LINGKARAN MOHRN.

Gambar36. Pembuatan lingkaran mohrn

Prosedur pembuatan lingkaran Mohrn;

1. Buat sketsa elemen dimana tegangan normal () dan tegangan geser ()

telah diketahui.

2. Buat sistem sumbu koordinat dimana sumbu mendatar adalah dan

sumbu tegaknya adalah .

3. Tentukan titik pusat lingkaran, yaitu pada sumbu mendatar (x+y)/2 dari

titik asal. Tegangan tarik adalah (+), sedangkan tegangan tekan adalah negatif

(-).

50


4. Dari elemen yang nilainya diketahui; maka gambarkan posisi titik A (x,

xy) (dari pusat)

5. Jarak titik pusat terhadap titik A merupakan jari – jari lingkaran (R).

sehingga

6. Gambar lingkaran, dengan jari-jari R.

7. Untuk menerangkan arah dan sikap tegangan yang bekerja pada bidang

miring adalah sebagai berikut:

Tariklah garis yang sejajar dengan bidang miring terssebut melalui titik A.

Tentukan letak titik B yang merupakan perpotongan garis dengan

lingkaran.

Tentukan letak titik S yang terletak secara vertikal pada sisi yang

berlawanan pada lingkaran dari titik B.

Titik S tersebut memberikan besarnya tegangan yang bekerja pada bidang

miring tersebut pada gambar besarnya adalah (+a) dan (-a ).

Contoh 2

Diberikan status tegangan di samping.

Buat lingkaran mohrnnya, dan tentukan tegangan utamanya.

Jawab :

- pusat lingkaran pada sb. : (-2+4)/2 = + 1 Mpa

- Koordinat titik A : (-2, -4).

51


- Jari-jari lingkaran :

= 5 Mpa

sehingga gambarnya sebagai berikut :

Berdasarkan gambar diperoleh :

1=+6Mpa; 2=-4 Mpa; max = 5 Mpa.

BAB VIII

DEFLEKSI BALOK

Sumbu sebuah balok akan terdefleksi (melentur) dari kedudukannya

semula bila berada di bawah pengaruh gaya terpakai.

52


Gambar 37. Deformasi Segmen Balok Dalam Lentur

8.1. KURVA REGANGAN & KURVA MOMEN

Sebuah segmen yang semula balok lurus diperlihatkan dalam keadaan

berdeformasi (gambar a). Sumbu defleksi dari balok yaitu kurva elastis, terlihat

melentur menjadi radius pada pusat O. Letak pusat O dapat diperoleh dengan

memperluas perpotongan setiap dua irisan yang berdekatan (misal A’B’ dan D’C’)

Dalam pandangan yang diperbesar dari elemen A’B’C’D’ (gambar b);

dapat kita lihat bahwa deformasi u dari setiap serat :

dimana :

= sudut dua irisan yang berdampingan.

Y = jarak dari sumbu ke serat yang diregangkan.

(positif arah ke atas).

Setelah dilakukan perhitungan secara matematis, diperoleh hubungan dasar antara

kurva elastis dan regangan linier, sebagai berikut :

dimana dan , maka :

8.2. PERSAMAAN DEFLEKSI BALOK ELASTIS

53


Hubungan diferensial antara beban terpakai, gaya geser dan momen

dinyatakan oleh persamaan :

Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi :

8.3. SYARAT-SYARAT BATAS.

54


Gambar 38. Syarat Batas Pada Berbagai Tumpuan

Untuk menyelesaikan persoalan defleksi balok, terlebih dahulu kita harus tentukan

syarat-syarat batas :

1. Tumpuan apit atau jepit

Simpangan dan kemiringan dv/dx = NOL

Pada posisi x = a :

2. Tumpuan Rol atau Pasak.

Pada ujung yang ditinjau (posisi x = a) tidak ada defleksi dan tidak ada

momen

3. Ujung bebas.

Bebas dari momen dan geser, jadi :

4. Tumpuan Kendali.

Gerak vertikal bebas diperbolehkan.

Perputaran bagian ujung harus dicegah

Tidak mampu melawan setiap gesekan

8.4. PENYELESAIAN DEFLEKSI BALOK DENGAN INTEGRASI

LANGSUNG.

Dengan mengintegrasikan pers. defleksi di atas :

Bila diketahui , maka :

55


Harga C1, C2, C3 dan C4, ditentukan dari syarat-syarat batas.

Contoh 1:

Suatu momen lentur M1 diletakkan kepada ujung bebas sebuah kantilever dengan

panjang L dan kekakuan lentur yang tetap EI. Carilah persamaan kurva

elastisnya.

Jawab :

Berdasarkan diagram benda bebas, diketahui bahwa momen lentur dalam balok

adalah +M1, sehingga :

56


Pada x = 0; (0) = 0, Eiv(0) = C3 = 0, sehingga :

Tetapi v(0)=0; jadi EIv(0) = C4 = 0

Sehingga :

Tanda positif menujukkan bahwa defleksi yang disebab kan oleh M1 adalah ke

atas. Harga v yang terbesar terjadi pada x = L.

Contoh 2:

Sebuah balok sederhana menumpu suatu beban ke arah bawah yang terdistribusi

merata (wo). Kekakuan EI adalah konstan. Dapatkanlah kurva elastis nya.

Jawab :

Berdasarkan gambar :

sehingga akan diperoleh persamaan kurva elastis

tetapi v(0)=0; jadi EIv(0)=0=C4; dan v(L)=0.

57


Berdasarkan kesimetrisan, defleksi terbesar terjadi pada x = L/2; dimana :

syarat di atas digunakan untuk menentukan C3. Bila diketahui bahwa v’(L/2)=0;

maka :

sehingga diperoleh :

58

diktat besar1

Documents