1

MATERI PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA

Oleh : M.Setyo Winarko

Jurusan Matematika FMIPA ITS

No Soal Penyelesaian

1 Dalil Menelaos

A

B

C

P

Q

R

Buktikan :

Dalam hal ini,garis PR disebut garis transversal

2 Dalil Ceva A

B CP

QR

Buktikan :

Setiap cevian (garis bagi,garis berat dan garis tinggi

atau garis-garis lain yang ditarik dari titik-titik sudut

suatu segitiga) yang memenuhi dalil Ceva dikatakan

konkurent

3

∆ABC mempunyai panjang AC = 450 dan BC = 300.

Titik-titik K dan L masing-masing pada AC dan AB

sehingga AK = CK dan CL adalah garis bagi C.P

adalah titik potong BK dan CL, sedangkan M adalah

titik pada BK sehingga K titik tengah PM.Jika AM =

180,tentukan panjang LP

4

Pada ∆ABC,titik-titik D dan E masing-masing terletak

pada sisi BC dan AC.Jika AD dan BE berpotongan di T

sehingga AT:DT = 3:1 dan BT: ET = 4:1,maka tentukan

nilai CD:BD.

5

Pada ∆ABC diketahui AB = 7,AC = 8 dan BC = 9. Titik

D terletak pada lingkaran luar ∆ABC sehingga AD garis

bagi BAC.Tentukan nilai AD :CD

6

Pada ∆ABC, AB = 9, BC = 8 dan AC = 7.Garis bagi

dari A memotong BC di D.Sebuah lingkaran melalui

titik A menyinggung BC dititik D dan memotong AB

serta AC masing-masing dititik M dan N.Jika BDM =

BAC, maka tentukan panjang MN.

2

7

E dan F masing-masing adalah titik-titik tengah AB dan

AD dari persegi ABCD.Garis-garis DE dan CF

berpotongan di S.Buktikan BCSE dapat membentuk

segiempat talibusur

8

AE dan BF masing-masing adalah garis-garis tegak

lurus BC dan AD dari trapesium ABCD dengan

AB//CD dan AB > CD.Dengan E pada BC dan F pada

AD, maka buktikan DCEF membentuk segiempat

talibusur

9

Pada ∆ABC garis CD merupakan diameter lingkaran

dengan D pada sisi BC.Lingkaran tersebut memotong

sisi AC dan BC masing-masing dititik P dan Q.

Buktikan APQB membentuk segiempat talibusur.

10

Titik M adalah pusat lingkaran luar ∆ABC. Dengan AB

sebagai diameter dibuat lingkaran lain yang memotong

AC di P dan memotong BC di Q.Buktikan CM PQ.

11

Dua lingkaran dan berpotongan dititik P dan Q.

Melalui titik P dibuat garis yang memotong dititik

A dan memotong dititik B.Dari titik-titik A dan B

dibuat garis-garis singgung dengan kedua garissingung

tersebut berpotongan dititik C. Buktikan AQBC adalah

segiempat talibusur.

12

ABCD segiempat talibusur dengan E adalah titik

potong dari perpanjangan garis AD dan perpanjangan

garis BC.Diketahui M adalah perpotongan dari

perpanjangan garis BD dan garis yang melalui titik E

yang sejajar AC.Dari titik M dibuat garis yang

menyinggung lingkaran luar segiempat ABCD dititik T.

Buktikan MT = ME.

`13

Diketahui BD adalah garis bagi B dari ∆ABC dengan

D pada AC.Lingkaran luar ∆BDC memotong AB di E

dan lingkaran luar ∆ABD memotong BC di F.Buktikan

AE = CF.

14

∆ABC mempunyai BAC = 90⁰ dan I pusat lingkaran

dalam.Garis bagi ACB memotong AB dititik D.

Dari titik D ditarik garis tegak lurus BI dan memotong

BC dititik E.Juga melalui titik D ditarik garis yang

sejajar BI dan memotong AC dititik F.Buktikan titik-

titik E,I dan F segaris (kolinear).

15

Lingkaran dan garis l tidak berpotongan.AB adalah

diameter yang tegak lurus l dengan titik B lebih dekat

3

ke l dari pada titik A.Titik C pada dengan C A,B.

Garis AC memotong l di D.Garis DE menyinggung

di E dengan B dan E terletak pada sisi yang sama

terhadap AC.BE memotong l di F dan AF memotong

di G dengan G A.Buktikan bayangan titik G yang

dicerminkan terhadap garis AB terletak pada CF.

16

Diketahui dan dua lingkaran yang masing-masing

berpusat di dan dengan melalui titik .

dan berpotongan di A dan B.Garis

memotong lagi di C dengan C .Misal P sebarang

titik pada didalam .Garis CP memotong AB di Q

dan memotong lagi di R dengan R C.Misal D dan E

masing-masing adalah titik yang terletak pada AC dan

AB sehingga ADPE jajaran genjang.

a.Buktikan CP.QR = PQ.PR

b.Buktikan D,E,R segaris

17

Diketahui ∆ABC dengan I pusat lingkaran dalam.Titik-

titik D,E dan F masing-masing adalah proyeksi I pada

sisi AB,AC dan BC dari ∆ABC.M dan N masing-

masing titik-titik potong AI ,BI dengan EF.Buktikan

lingkaran luar ∆DMN selalu melalui titik tetap.

M.Setyo Winarko