DETERMINAN

PENGERTIAN DETERMINANSetiap matriks bujur sangkar A selalu mempunyai suatu besaran skalar yang disebut determinan. Sebaliknya, setiap matriks yang tidak bujur sangkar tidak mempunyai determinan. Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai elemen-elemennya, menurut rumus tertentu yang ditulis dengan simbol det(A) atau |A|. Jika nilai determinan itu nol, matrik bujur sangkar tersebut singular, artinya tidak memiliki invers. Jika nilai determinan atau matriks tidak nol, berarti matriks A tersebut nonsingular, yaitu matriks tersebut punyai invers.

A. PERHITUNGAN DETERMINAN MATRIKS BUJUR SANGKARa. Determinan Matriks Ordo 2 x 2Misalkan diketahui matriks

Determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut:

Contoh:

b. Determinan Matriks Ordo 3 x 3Misalkan diketahui matriks

Untuk mencari determinan dari matriks berordo 3x3, digunakan metode Sarrus yang langkah- langkahnya adalah sebagai berikut1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua kemudian tempatkan di sebelah kanan tanda determinan.

2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar). Nyatakan jumLah hasil kali tersebut dengan A{+).

3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (lihat gambar). Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan A(-).

Determinan matriks A adalah selisih antara A(+) dan A(-), yaitu

- -

+ + +

Contoh:Diketahui matrik , tentukan determinannyaJawab:

c. Minor dan KofaktorDidefinisikan bahwa minor dari matriks Aij adalah det(Aij) dan kofaktornya adalah (-1)i+j det(Aij). Di sini Aij adalah matriks A dengan elemen-elemen baris ke-i dan elemen- elemen kolom ke- j dibuang.Contoh:Diketahui matrik tentukan minor dan kofaktor dari A11 dan A32Jawab:A11 = matriks A dengan elemen-elemen baris ke-1 dan elemen-elemen kolom ke-1 dibuang.

Minor A11 = det(A11)=1.(-1) -0.3 = -1Kofaktor A11 = (-1)i+j det(A11)= (-l)l+1 (-l) = -1

A32= matriks A dengan elemen-elemen baris ke-3 dan elemen-elemen kolom ke-2 dibuang.

Minor A32 = det(A32) =(-3).3 -2.2= -13Kofaktor A32 = (-1)i+j det(A32) = (-1)3+2 (-13) =13

d. Determinan Matriks Ordo n xnDeterminan matriks ordo n x n dihitung menggunakan teorema Laplace.Teorema Laplace:Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Secara matematis ditulis sebagai berikut:

dengan i sembarang disebut ekspansi baris ke-i, atau

dengan j sebarang disebut ekspansi kolom ke-j. Kof(Aij) adalah kofaktor dari Aij.

Contoh:

Hitung determinan matriks

Ekspansi kolom ke 1:

Ekspansi baris ke 1