DESAIN KENDALI LEAD LAG

I. DASAR TEORI

1. Lead lag compensator

Kompensator Lead-Lag dipengaruhi oleh penerapan pada robotik, kontrol satelit, diagnosa

pada mobil, kestabilan frekuensi laser, dan banyak lagi lainnya. Sangatlah penting membuat

blok pada sistem kontrol analog, dan bisa juga digunakan di dalam kontrol digital.

Kontrol plant yang telah ditentukan, dapat menentukan spesifikasi dengan menggunakan

kompensator. Kontrol I, D, PI, PD dan PID adalah kontroller yang bisa digunakan untuk

meningkatkan parameter sistem seperti mengurangi error steady state, mengurangi resonant

peak, meningkatkan respon sistem dengan cara mengurangi time rise. Semua nilai ini bisa

didapatkan melalui kompensator.

Ada banyak cara untuk menggunakan (analog) dari lead compensator seperti pada rangkaian

elektronik dengan penggunaan amplifier, rangkaian elektrik RC, dan sistem mekanik dari

spring-dashpot. Gambar 1 menunjukkan rangkaian elektronik dengan menggunakan

amplifier.

Gambar 1. rangkaian elektronik yang mana lead apabila R1C1 > R2C2 dan lag apabila R1C1 < R2C2

Sehingga

dimana

Dari persamaan diatas dapat kita lihat rangkaian akan lead apabila R1C1 > R2C2 atau α < 1.

Dan akan lag ketika R1C1 < R2C2.

Kedua kompensator ditunjukkan oleh pole-zero dari open loop transfer function. Transfer

function dapat ditulis dalam domain Laplace

Dimana X adalah input dari kompensator, Y adalah outputnya, s adalah variabel kompleks

dari transformasi laplace, z adalah frekuensi dari zero dan p adalah frekuensi dari pole. Pole

dan zero biasanya bernilai negatif. Pada lead compensator, pole berada pada kiri dari zero

dalam bidang komplek, |z|<|p| sedangkan pada lag compensator |z|<|p|. Pada lead-lag

compensator dimana lead compensator bertingkat dengan lag compensator. Sehingga

transfer functionnya dapat ditulis

Biasanya |p1|>|z1|>|z2|>|p2|, dimana z1 dan p1 adalah zero dan pole dari lead compensator, z2

dan p2 adalah zero dan pole dari lag compensator. Lead compensator menghasilkan phasa

yang mendahului dengan frekuensi yang tinggi. Ini akan menyebabkan pole bergerak

kesebelah kiri dimana meningkatkan tingkat respon dan stabilitas dari sistem. Lag

compensator menghasilkan phasa yang terlambat dengan frekuensi yang rendah dimana

menghasilkan error steady state.

Lokasi yang tepat dari pole dan zero tergantung dari karakteristik respon close loop dan

pengontrolan karakteristik sistem. Walaupun pole dan zero dari lag compensator harus dekat

sehingga tidak menyebabkan pole bergerak ke kanan, dimana bisa menyebabkan ketidak

stabilan atau konvergensi yang lambat. Karena tujuan awalnya adalah mempengaruhi

frekuensi rendah, maka akan berada pada nilai awalnya.

2.. Motor DC

Motor DC adalah motor yang digerakkan oleh sumber tenaga elektrik DC. Salah satu

jenis motor DC adalah motor DC dengan magnet permanen (Permanent Magnet Brushed

DC Motor). Motor DC jenis ini dapat digunakan untuk sistem kendali kecepatan dan sistem

kendali posisi.

Gambar 2. Rangkaian pengganti motor DC magnet permanen

Torka motorτ (t )=Km i(t )

dengan Km adalah konstanta torka motor. Tegangan balik motor

vemf ( t )=Kb ω ( t )

dengan Kb adalah konstanta tegangan balik. Persamaan mekanik motor

Jdωdt

=∑ τ=−K f ω ( t )+Km i( t )

dengan K f adalah konstanta gesekan (friction). Persamaan elektrik motor dapat dinyatakan sbb :

vapp( t )−vemf ( t )=Ldidt

+R i( t )

dengan demikian

vapp( t )=Ldidt

+R i( t )+ Kb ω ( t )

Persamaan model motor DC untuk kendali kecepatan disusun sbb :

ddt [ωi ]=[− K f

J

Km

J

−Kb

L− R

L] [ωi ]+[01 ] vapp

Dari persamaan state tersebut, fungsi alih sistem disusun sbb :

ωV app

=Km

LJ s2+( RJ+LK f ) s+( RK f +Km K b )

Model motor DC untuk pengendalian posisi harus ditambah sebuah state variable,

yaitu posisi, θ( t ) , dengan relasi sbb

dθdt

=ω

Persamaan state model motor DC untuk kendali posisi disusun sbb

ddt [ θ

ωi ]=[

0 1 0

0 −K f

J

K m

J

0 −Kb

L−R

L][ θ

ωi ]+[001 ]vapp

Dari persamaan state tersebut, fungsi alih sistem disusun sbb

θV app

=K m

LJ s3+( RJ+LK f ) s2+( RK f+K m Kb ) s

3. Sistem orde 3

Bentuk fungsi alih lingkar tertutup dari sistem orde 3 dapat dimodelkan sebagai

penjumlahan dari tanggapan sistem orde 1 dan orde 2 dengan bentuk umum sebagai

berikut :

C( s )R( s )

= K / τs+(1/τ )

+ωn

2

s2+2 ξ ωn s+ωn2

(1.6)

Dalam perancangan suatu sistem kendali harus diketahui spesifikasi-spesifikasi

yang mendefinisikan karakteristik sistem. Spesifikasi transient response sebagai berikut :

1. Rise time (Tr)

2. Peak time (Tp)

3. Maximum Peak (%Mp)

4. Settling time (Ts)

5. Final Value (Fv) atau nilai steady state

Rumus Untuk Menghitung step respons sistem orde –1:

Tr = 2.2

Ts(5%) = 3

Ts(2%) = 4

Fv=lims→ 0

C ( s )R(s )

Rumus Untuk Menghitung step respons sistem orde –2:

Tr = ( 1 - 0.4167 + 2.917 2 ) / n

Tp = / n ( 1 - 2 ) 0.5

%Mp = exp (- / ( 1 - 2 ) 0.5 )

Ts(5%) = 3 / (n)

Ts(2%) = 4 / (n)

Fv=lims→ 0

C ( s )R(s )

II. DATA PERCOBAAN

Lambang Besaran Parameter

J Momen Inersia 0.0001 kg m2

K fKoefisien gesekan 0.0000093 Nms rad-1

KmKonstanta torsi 0.105 Nm A-1

KbKonstanta ggl balik 0.105 Vs rad-1

R Resistansi2 .7 Ω

L Induktansi 0.004 H

Dari nilai-nilai besaran di atas maka fungsi alih sistem disusun sbb :

ωV app

=Km

LJ s2+( RJ+LK f ) s+( RK f +Km K b )= 0 . 105

(4 x 10−7 s2+2. 7 x10−4 s+0. 0111) s

Agar pole closed loop sistem yang dominan -80, maka pengendali Lead dengan metoda

pole zero cancellation didesain sbb :

Lead=90 ( s+43 .9687s+615 .8295 )

C(s)R(s)

= 0,1054 × 10−7 s3+2,7 ×10−4 s2+0,0111 s

C(s)R(s)

= 0,01114 × 10−7 s2+2,7 ×10−4 s+0,0111

+ k /τs / (1/τ )

S3 4×10-7 0,0111

S2 2,7×10-4 0,105+K

S1 2,955× 10−6−4 × 10−7 k2,7 ×10−4

S0 0,105+k

k 7,3875

ωn2=0,0111→ ωn=√0,0111=0,105

2 ε ωn s=2,7 ×10−4 s→ 2 ε (0,105 )=2,7 × 10−4→ ε=1,3 ×10−3

τ= 1ε ωn

= 1

(1,3 ×10−3 ) (0,105 )=7326,01

Spesifikasi orde 2

T r=(1−0,4167 ε+2,917 ε2 )

ωn

=(1−0,4167 (1,3 × 10−3 )+2,917 (1,3 ×10−3 )2 )

0,105=9,5

T p=π

ωn √1−ε 2= π

0,105√1−(1,3 ×10−3 )2=29.9

%Mp = (exp [-ε/(1-ε2)0,5] )×100%= (exp [-(1,3×10-3)/(1-(1,3×10-3)2)0,5]) ×100% = 99.6%

T s (5%)= 3ε ωn

= 3

( 1,3× 10−3 ) (0,105 )=21978,02

T s (2% )= 4ε ωn

= 4

(1,3 × 10−3 ) (0,105 )=29304,02

F v=lims →0

C (s)

R(s)=

lims → 0

0,0111

4 ×10−7 s2+2,7 × 10−4 s+0,0111=1

Spesifikasi orde 1

Tr = 2,2 = 2,2 (7326,01) = 16117,22

Ts (5%) = 3 = 3 (7326,01) = 21978.03

Ts (2%) = 4 = 4 (7326,01) = 29304.04

F v=lims →0

C (s)

R(s)=

lims → 0

k /τ

s+( 1)

=lims → 0

7,3875/7326,01

s+( 17326,01

) =7,3875

III. TUGAS DAN PERTANYAAN

Lambang Besaran Parameter

J Momen Inersia 0.02 kg m2

Kf Koefisien gesekan 0.2 Nms rad-1

Km Konstanta torsi 0.015 Nm A-1

Kb Konstanta ggl balik 0.01 Vs rad-1

R Resistansi 2 Ω

L Induktansi 0.5 H

Transfer Functionnya :

TF= θV app

=Km

[ LJ s2+( RJ+L K f ) s+(R K f +Km Kb)] s= 0.015

[0.01 s2+0.14 s+0.4] s

Persamaan karakteristiknya : (0.01 s2+0.14 s+0.4)s = 0

Diperoleh : s1 = -4, s2 = -10, s3 = 0

Agar pole closed loop sistem yang dominan -80, maka pengendali Lead dengan metoda pole zero

cancellation didesain sbb :

Lead=90 (s-s1

s-s2)=90( s+4

s+10 )=90 s+360s+10

Dimana untuk pengendali lead : s1 > s2 .

IV. KESIMPULAN

Pada kendali lead-lag compensator yang dicari adalah lead compensator karena Lead

compensator menghasilkan phasa yang mendahului dengan frekuensi yang tinggi. Ini

akan menyebabkan pole bergerak kesebelah kiri dimana meningkatkan tingkat respon

dan stabilitas dari sistem. Sedangkan lag compensator menghasilkan phasa yang

terlambat dengan frekuensi yang rendah dimana menghasilkan error steady state.

Kendali lead-lag compensator menghasilkan keseimbangan sistem sehingga

meminimalisir error steady state yang dihasilkan oleh lag compensator.

Lead-lag compensator meningkatkan parameter sistem seperti mengurangi error steady

state, mengurangi resonant peak, meningkatkan respon sistem dengan cara mengurangi

time rise.