Judul

Model Persamaan Ruang Keadaan 1Outline MateriModel Ruang Keadaan:Konsep state State spaceDefinisi , model persamaanstate variablestate spacepersamaan keadaanmatrix transisi keadaanHubungan Fungsi alih dengan pers. ruang keadaanpersamaan outputcontrollabilityobservability23Model Persamaan Ruang Keadaan ( State Space Model )Teori kontrol modern diperlukan karena kecenderungan sistem yang makin kompleks yang mungkin mempunyai multiple input dan multiple output.Sistem kontrol modern dengan model ruang keadaan meng- gunakan pendekatan wawasan waktu ( time domain ) berbeda dengan sistem kontrol konvensional yang menggunakan wawasan frekuensi.State dari suatu sistem dinamik adalah himpunan variabel-variabel yang paling kecil ( disebut variabel keadaan / state variable ) dimana pengetahuan tentang variabel ini pada t = t0 bersama dengan pengetahuan tentang input pada t 0 secara lengkap akan menentukan kelakuan dari sistem untuk t t0.State variable menentukan state / keadaan dari sistem dinamik. Jika paling sedikit diperlukan n variabel x1, x2 , ..xn untuk menggambarkan secara lengkap kelakuan dari sistem dinamik maka n variabel diatas adalah himpunan variabel keadaan.4State vector adalah vektor yang n buah komponen-komponennya merupakan n buah variabel keadaan.State space adalah ruang berdimensi n yang sumbu koordinatnya terdiri dari sumbu x1, sumbu x2, .., sumbu xn.Persamaan Ruang Keadaan

A(t) : state matrix.B(t) : input matrix.C(t) : output matrix.D(t) : direct transmission matrix.

5Diagram Blok sistem dengan ruang keadaan

Pada sistem mekanik berikut akan diturunkan persamaan keadaan dan persamaan outputnya. u(t) adalah gaya luar yang merupakan input pada sistem dan y(t) adalah output yang merupakan perpindahan dari massa m dari titik setimbang ketika tidak ada gaya luar

6Pada sistem mekanik berikut merupakan sistem orde 2 akan diturunkan persamaan keadaan dan persamaan outputnya.u(t) adalah gaya luar yang merupakan input pada sistem dan y(t) adalah output yaitu perpindahan posisi dari massa m dari titik setimbang ketika tidak ada gaya luar

B Mu(t)y(t)K7Dari persamaan (1) , (2) dan (3) :

8Persamaan diatas merupakan persa-maan keadaan dan persamaan output dari sistem mekanik dan mempunyai bentuk standar :

dengan matrik D = 0

9Fungsi Alih terhadap Persamaan Ruang KeadaanPersamaan keadaan dan output sistem dinyatakan sbb :

Jika pada persamaan di atas dilakukan transformasi Laplace dengan kondisi awal x(0) adalah nol, maka :SX = AX + BUY = CX + DU( sI A ) X = B.U masukkan persamaan ini ke persamaan untuk Y,

10Y = C( sI A )-1BU + DUY = [ C( sI A )-1B + D ] U

Fungsi alih G(s) adalah ratio output terhadap input :

Contoh soal :Tentukanlah fungsi alih sistem mekanik pada contoh soal sebelumnya.

11

12Terminologi State space:StateSekumpulan minimum variable;shg dgn mengetahui keadaan variable tsb dpt menggambarkan keadaan sistemState variableSekumpulan variable minimum untuk dptmendeskripsikan sistemState vectorVektor yg menentukan secara unik keadaan sistemState spaceRuang berdimensi n dengan sumbu x1, x2,.......xnDengan x adalah state variablePersamaan state spacePersamaan untuk mendeskripsikan sistem; tidak unik tetapi mempunyai jumlah state variable yg sama utk sistem yg sama13

Model Ruang Keadaan (state space)

14

15

16

17

1811+s32+sr(t)ex2x3x1= y43+s

dalam bentuk matriks (state space) dituliskan sebagai:

19

uX1X2y

20dalam bentuk persamaan keadaan:

Pers. Diferensial sistem:uyX1

21

22

23syms s ta=[-1 1 1;0 -5 0;0 0 -3]b=[0 0 0;3 0 0;0 2 0]c=[1 0 0]u(1)=laplace(diff(t))u(2)=laplace(diff(2*t))u=[u(1);u(2);0]w=s*eye(3)-awi=inv(w)x=wi*b*uxt=ilaplace(x)x1=x(1)x2=x(2)x3=x(3)yt=x(1)pretty(yt)24Controllability dan observability sistem pengaturanControllability sistem pengaturanSistem disebut controlable jika utk semua input u(t) maka semua state dapat dialihkan berdasarkan input tsb.observability sistem pengaturanPd sistem yg observable maka semua state dpt diketahui keadaannya (dpt diukur )G1G2G3G0U(t)Sistem dgn 4 diagram sub-sistem:G0 =unobservable & uncontrollableG1 = controllable & unobservableG2 =controllable & observableG3 = uncontrollable & observable

3

4

21

2

s

s