CHAPTER 1CHAPTER 1

ELEMENTS OF LINIER ELEMENTS OF LINIER ALGEBRAALGEBRA

M A T R I K SM A T R I K S

1. MATRIKS1. MATRIKS

1.1. Definisi1.1. Definisi

Matriks adalah suatu susunan angka/bilangan Matriks adalah suatu susunan angka/bilangan berbentuk persegi empat dan dinyatakan dalam berbentuk persegi empat dan dinyatakan dalam bentuk berikut ini : bentuk berikut ini :

aa11 11 aa1212 … a … a1n1n

aa21 21 aa2222 … a … a2n2nA = A = . . .. . . .. . . . . . . .. . . aam1m1 a am2m2 … a … amnmn

Angka m dan n disebut dimensi. Jika m = n maka Angka m dan n disebut dimensi. Jika m = n maka disebut matriks bujur sangkar. disebut matriks bujur sangkar.

1.1.2. Definisi1.1.2. Definisi

Matriks n x 1 disebut vektor kolom dan matriks 1 Matriks n x 1 disebut vektor kolom dan matriks 1 x n disebut vektor baris. Baik vektor kolom atau x n disebut vektor baris. Baik vektor kolom atau vektor baris disebut n-vektor atau vektor.vektor baris disebut n-vektor atau vektor.

1.1.3. Notasi1.1.3. Notasi

Himpunan n vektor yang elemennya adalah Himpunan n vektor yang elemennya adalah bilangan rill dinotasikan dengan Rbilangan rill dinotasikan dengan Rn n kolom vektor.kolom vektor.

xx1 1

xx22X =X = .. .. .. xxnn

XXtt = [ x = [ x11 , x , x22 … x … xn n ]] Vektor barisVektor baris

1.2. Operasi Matriks1.2. Operasi Matriks1.2.1 Definisi1.2.1 Definisi : : Dua Matriks A + B adalah sama jika Dua Matriks A + B adalah sama jika

dan hanya jika mereka memiliki dan hanya jika mereka memiliki dimensi yang sama dan dimensi yang sama dan aaijij = b = bijij i;ji;j

1.2.2 Definisi1.2.2 Definisi : :

A + B adalah maktriks m x n. Penjumlahan A + A + B adalah maktriks m x n. Penjumlahan A + B didefenisikan sebagai berikut :B didefenisikan sebagai berikut :

A + B = [ aA + B = [ aij ij + b+ bijij ] ]

Pengurangan didefinisikan sebagai berikut :Pengurangan didefinisikan sebagai berikut :

A – B = [ aA – B = [ aij ij – b– bijij ] ]

1.2.3 Definisi1.2.3 Definisi : :

Perkalian skalar Perkalian skalar dari matriks A adalah matriks dari matriks A adalah matriks

A = [ A = [ aaijij ] ]

1.2.4 Definisi :1.2.4 Definisi : x, y x, y R Rnn. Perkalian inti (inner product) dari x . Perkalian inti (inner product) dari x dan y didefinisikan dengan :dan y didefinisikan dengan :

xxtty = y = x xi i yyii

n

i=1

1.2.5 Komentar1.2.5 Komentar1. Property (sifat) dari inner product dengan 1. Property (sifat) dari inner product dengan

mudah dapat diverifikasi seperti berikut ini :mudah dapat diverifikasi seperti berikut ini : (i) x(i) xtty = yy = yttxx (ii) x(ii) xtt((y) = (y) = (x)x)tty = y = (x(xtty)y)(iii) (x + y)(iii) (x + y)ttz = xz = xttz + yz + yttzz(iv) x(iv) xttx x ≥ 0 ; x≥ 0 ; xttx = 0 jika x = 0x = 0 jika x = 0

2.2. Dua vektor bukan nol dapat saja memiliki Dua vektor bukan nol dapat saja memiliki suatu perkalian inti nolsuatu perkalian inti nolContoh : xContoh : xtt = [1 -1] y = [1 -1] ytt = (1 1), maka = (1 1), maka

xxtty = 0y = 0

1.2.6 Contoh :1.2.6 Contoh :xxtt = (x = (x11, x, x22 … x … xnn) mewakili vektor konsumsi ) mewakili vektor konsumsi untuk n barang dari seorang konsumen untuk n barang dari seorang konsumen pptt = (p = (p11, p, p22 … p … pnn) adalah vektor harga, ) adalah vektor harga, maka inner productmaka inner product ppttxx = p= p11xx1 1 + p+ p22xx2 2 + … + p+ … + pnnxxn n

menunjukkan total pengeluaran konsumsi.menunjukkan total pengeluaran konsumsi.

1.2.71.2.7 DefinisiDefinisiA adalah matriks m x n, B adalah matriks n x p. A adalah matriks m x n, B adalah matriks n x p. Hasil perkalian AB adalah matriks m x pHasil perkalian AB adalah matriks m x pC = [ CC = [ Cijij ] didefinisikan dengan C ] didefinisikan dengan Cijij = a = ai i . b. bjj

Dimana aDimana ai i .. bbj j adalah inner product dari baris ke i adalah inner product dari baris ke i untuk matriks A dan kolom ke j untuk matriks Buntuk matriks A dan kolom ke j untuk matriks B

1.2.8 Contoh :1.2.8 Contoh :

A = dan B =A = dan B =

maka maka

AB = =AB = =

1.2.91.2.9 Komentar Komentar(1)(1) Perkalian matriks AB dapat dilakukan Perkalian matriks AB dapat dilakukan hanya ketika jumlah kolom A sama dengan hanya ketika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Sehingga A x B dapat jumlah baris B. Sehingga A x B dapat dinyatakan tetapi B x A mungkin tidak dapat. dinyatakan tetapi B x A mungkin tidak dapat. Jika A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah Jika A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x 4 maka AB dapat diperoleh 2 x 4 matriks 3 x 4 maka AB dapat diperoleh 2 x 4 tetapi BA tidak dapat dilakukan.tetapi BA tidak dapat dilakukan.

1 2 32 -1 0

1 02 1 3 2

a1.b1 a1.b2

a2.b1 a2.b2

14 8 0 -1

(2)(2) AB dan BA mungkin. Keduanya dapat diperoleh tetapi AB dan BA mungkin. Keduanya dapat diperoleh tetapi AB tidak perlu sama dengan BAAB tidak perlu sama dengan BAContoh :Contoh :

A = B =A = B =

Maka Maka

AB = sedang BA = AB = sedang BA =

(3)(3) Sistim persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk Sistim persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks. Contoh sistim persamaan :matriks. Contoh sistim persamaan :

xx11 + 3x + 3x22 – 2x – 2x33 = 1 = 1-2x-2x11 + x + x33 + x + x44 = 8 = 8

2x2x11 + 2x + 2x22 - 3x - 3x44 = 4 = 4atau dituliskan sebagai berikut :atau dituliskan sebagai berikut :

1 3 -2 0 x1 3 -2 0 x11 1 1-2 0 1 1 x-2 0 1 1 x22 = 8 = 8 2 2 0 -3 x2 2 0 -3 x33 4 4

xx44

1 2 -3 0

2 0 1 3

4 6 -6 0

2 4 -8 2

1.3.11.3.1 DefinisiDefinisiMatriks m x n yang memiliki elemen nol disebut Matriks m x n yang memiliki elemen nol disebut matriks nol yang dinotasikan dengan [ 0 ]matriks nol yang dinotasikan dengan [ 0 ]

1.3.21.3.2 Katakan A, B dan C adalah matriks m x n Katakan A, B dan C adalah matriks m x n maka :maka :

(i) A + B = B + A(i) A + B = B + A (ii) A + B + C = A + (B + C)(ii) A + B + C = A + (B + C)(iii) A + [0] = A = [0] + A(iii) A + [0] = A = [0] + A

1.3.31.3.3 TheoremaTheorema Jika A adalah matriks m x n, B adalah matriks n x Jika A adalah matriks m x n, B adalah matriks n x p dan C adalah matriks p x q, maka p dan C adalah matriks p x q, maka

A(BC) = (AB)CA(BC) = (AB)C1.3.41.3.4 TheoremaTheorema Bila Bila , , R (skalar), A R (skalar), A

adalah matriksadalah matriks m x n dan B adalah matriks n x p. makam x n dan B adalah matriks n x p. maka

(i) (i) (A (A ) = () = ( )A)A(ii) A((ii) A(B) = B) = (AB)(AB)

1.3. Sifat Aljabar Suatu Matriks1.3. Sifat Aljabar Suatu Matriks

1.3.51.3.5 Theorema Theorema(i) (i) Katakan A dan B adalah matriks m x n, Katakan A dan B adalah matriks m x n, dan dan

C adalah matriks n x p. maka,C adalah matriks n x p. maka, (A + B)C = AC + BC(A + B)C = AC + BC(ii)(ii) Katakan C adalah matriks m x n, dan Katakan C adalah matriks m x n, dan

A dan B adalah matriks n x p. maka,A dan B adalah matriks n x p. maka,C(A + B) = CA + CBC(A + B) = CA + CB

1.3.61.3.6 Theorema Theorema Bila Bila , , R dan A, B adalah matriks m x n. R dan A, B adalah matriks m x n. maka :maka :

(i) ((i) ( + + )A = )A = A + A + AA(ii) (ii) (A + B) = (A + B) = A + A + BB1.4. Transpose Suatu Matriks1.4. Transpose Suatu Matriks

1.4.11.4.1DefinisiDefinisiJika A adalah matriks m x n, kemudian Jika A adalah matriks m x n, kemudian transpose dari A adalah matriks n x m dari transpose dari A adalah matriks n x m dari matriks Bmatriks B

B = [ bB = [ bij ij ] = [ a] = [ ajiji ] ]

1.4.21.4.2Contoh :Contoh :

Jika A = maka AJika A = maka Att = =

1.4.31.4.3TheoremaTheorema (i) (i) (A(Att))tt = A = A (ii)(ii) (A + B)(A + B)tt = A = Att + B + Btt

(iii)(iii) ((A)A)tt = = AAtt

1.4.41.4.4TheoremaTheorema(AB)(AB)tt = B = BttAAtt

1 0 -2 3 4 5

1 3 0 4 -2 5

1.5. Determinan1.5. Determinan1.5.11.5.1DefinisiDefinisi

Jika A = [ AJika A = [ A1111], maka | A | = A], maka | A | = A1111

Contoh :Contoh : A = [ - 3 ] | A | = -3A = [ - 3 ] | A | = -3

Jika A = maka | A | = aJika A = maka | A | = a1111aa2222 – a – a2121aa2222

aa1111 aa1212 aa2121 aa2222

1.5.21.5.2DefinisiDefinisiA matriks n x n. Minor AA matriks n x n. Minor Aijij dinotasikan | A dinotasikan | Aijij |, adalah |, adalah determinan dari submatriks Adeterminan dari submatriks Aijij dari A diperoleh dari A diperoleh dengan menghilangkan baris i untuk A dan kolom A dengan menghilangkan baris i untuk A dan kolom A untuk j untuk j

AA2323==

Cofactor dari ACofactor dari Aijij dinotasikan dengan C dinotasikan dengan Cijij, diperoleh , diperoleh dengan :dengan :

CCijij = ( -1 ) = ( -1 )i+ji+j | A | Aij ij ||

1.5.31.5.3Contoh :Contoh :

A = A = Minor AMinor A2323 = = = 8 – 14 = -6= 8 – 14 = -6

CofactorCofactorCC2323 = (-1) = (-1)2+32+3(-6) = (-1)(-6) = (-1)55(-6) = 6 (-6) = 6

3 4 5 0 1 2 6 2 1

3 4 6 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 7 8

1.5.41.5.4 Theorema.Theorema. Untuk setiap matriks 3 x 3 dari A Untuk setiap matriks 3 x 3 dari A

AAijijCCij ij = = A AknknCCknkn, dimana i,n = 1,2,3, dimana i,n = 1,2,3

1.5.51.5.5TheoremaTheoremaKatakan A adalah matriks n x n, kemudian Katakan A adalah matriks n x n, kemudian

AAijijCCij ij = = A AknknCCknkn, dimana i,n = 1,2,3, … n, dimana i,n = 1,2,3, … n

1.5.61.5.6Definisi Definisi Jika A adalah matriks n x n, kemudian Jika A adalah matriks n x n, kemudian

|A| = |A| = A Aij ij CCijij

= = A AknknCCknkn

1.5.7.1.5.7. Contoh :Contoh : 1 0 -21 0 -2

(i) A = 3 1 4(i) A = 3 1 4 5 2 -35 2 -3

3

j=1

3

k=1

n

j=1

n

k=1

n

k=1

n

j=1

|A| = a|A| = a1111CC1111 + a + a1212CC1212 + a + a1313CC1313

CC1111 = (-1) = (-1)1+11+1 = 1 (-3 – 8) = -11 = 1 (-3 – 8) = -11

CC1212 = (-1) = (-1)1+21+2 = -1 (-9 – 20) = 29 = -1 (-9 – 20) = 29

CC1313 = (-1) = (-1)1+31+3 = 1 (6 – 5) = 1 = 1 (6 – 5) = 1

|A| = 1(-11) + 0(29) – 2(1) = -13|A| = 1(-11) + 0(29) – 2(1) = -13

1 42 3

3 45 -3

1 0 0 4-4 1 2 3 2 0 0 0 2 0 1 1

A =

3 15 2

(ii)

|A| = a|A| = a1212CC1212 + a + a2222CC2222 + a + a3232CC32 32 ++

aa4242CC4242

= 0.C= 0.C1212 + 1.C + 1.C2222 + 0.C + 0.C32 32 ++ 0.C0.C4242

= 0 + 1.8 + 0 + 0 = 0 + 1.8 + 0 + 0 = 8= 8

CC2222 = (-1) = (-1)2+2 2+2

= 1 (0 + 0 + 8 – 0 – 0 – 0)= 1 (0 + 0 + 8 – 0 – 0 – 0) = 1 (8) = 1 (8) = 8= 8

|A| = 8|A| = 8

1 0 4 1 0 2 0 0 2 0 2 1 1 2 1

1.6. Sifat Dasar Determinan1.6. Sifat Dasar Determinan1.6.11.6.1TheoremaTheorema

|A|Att| = |A|| = |A|

1.6.21.6.2TheoremaTheoremaJika B diperileh dari A dengan mempertukarkan dua Jika B diperileh dari A dengan mempertukarkan dua baris (kolom) dari A, maka |B| = -|A|baris (kolom) dari A, maka |B| = -|A|

1.6.31.6.3 Jika matriks A mempunyai 2 baris (kolom) yang Jika matriks A mempunyai 2 baris (kolom) yang sama, maka determinannya sama dengan nolsama, maka determinannya sama dengan nol

1.6.41.6.4 Jika B diperoleh dari A dengan mengalikan baris Jika B diperoleh dari A dengan mengalikan baris (kolom) matriks A dengan sebuah skalar maka |B| = (kolom) matriks A dengan sebuah skalar maka |B| = |A||A|Contoh :Contoh :

aa1111 a a1212 … a … a1n1n

A = A = aa2121 a a2222 … a … a2n2n

... … ...... … ...aan1n1 a an2n2 … a … annnn

B diperoleh dengan mengalikan baris pertama B diperoleh dengan mengalikan baris pertama dengan dengan , yaitu :, yaitu :

aa1111 aa1212 … … aa1n1n

B = B = aa2121 a a2222 … a … a2n2n

aan1n1 a an2n2 … a … annnn

|B| = |B| = aa1111cc1111 + + aa2222cc12 12 + … + + … + aa1n1ncc1n1n = = |A||A|

1.6.51.6.5 Jika A adalah matriks n x n dan Jika A adalah matriks n x n dan adalah skalar maka adalah skalar maka :: ||A| = A| = nn|A||A|

1.6.61.6.6LemmaLemmaJika elemen dari baris (kolom) dari matriks A adalah Jika elemen dari baris (kolom) dari matriks A adalah perkalian dengan cofactor dari kolom (baris) lain perkalian dengan cofactor dari kolom (baris) lain sehingga menghasilkan penjumlahan sama dengan sehingga menghasilkan penjumlahan sama dengan nolnol

aarjrjCCsjsj = 0 = 0

n

j=1

1.6.71.6.7Theorema Theorema jika r jika r s dan B adalah matriks diperoleh dari s dan B adalah matriks diperoleh dari matriks A dengan mengganti baris (kolom) ke r dari matriks A dengan mengganti baris (kolom) ke r dari A dengan A dengan (A(Arr. + . + AAss.) atau (A..) atau (A.r r + + A.A.ss) maka |B| = |A|) maka |B| = |A|

1.6.81.6.8 Jika A dan B adalah matriks dengan ordo sama, Jika A dan B adalah matriks dengan ordo sama, maka maka

|AB| = |A| |B||AB| = |A| |B|

1.6.91.6.9DefinisiDefinisiMatriks bujur sangkar A dikatakan matriks segitiga Matriks bujur sangkar A dikatakan matriks segitiga atas jhj aatas jhj aijij = 0 untuk i > j = 0 untuk i > j

aa1111 aa1212 aa1313 … a … a1n1n

0 0 aa2222 aa2323 … a … a2n2n

0 0 0 0 aa3333 … a … a3n3n.. .. . .. . .. .. . .. ... .. . .. .00 00 0 … a0 … annnn

Matriks A adalah matriks segitiga bawah jhj aMatriks A adalah matriks segitiga bawah jhj aijij = 0 = 0 untuk i< juntuk i< j

aa1111 0 0 … 0… 0aa2121 aa2222 … 0… 0

A =A = .. . .. . . ... . .aan1n1 aan2n2 … a… annnn

1.6.101.6.10 Jika A untuk matriks diagonal jika a Jika A untuk matriks diagonal jika aijij = 0 untuk i = 0 untuk i jj

aa1111 0 0 … 0… 0aa2121 aa2222 … 0… 0

A =A = .. . .. . . ... . .00 00 … a… annnn

1.6.111.6.11 Theorema TheoremaA disebut matriks diagonal jika determinan dari A disebut matriks diagonal jika determinan dari matriks segitiga adalah perkalian dari elemen matriks segitiga adalah perkalian dari elemen diagonalnyadiagonalnya

1.6.121.6.12 Komentar Komentar Sifat determinan yang dikemukakan pada Sifat determinan yang dikemukakan pada section ini mungkin dapat digunakan untuk section ini mungkin dapat digunakan untuk menghitung determinan dengan mudah tanpa menghitung determinan dengan mudah tanpa melalui perhitungan minor dan cofaktor. melalui perhitungan minor dan cofaktor. Utamanya kombinasi theorema 1.6.7 dan 1.6.11Utamanya kombinasi theorema 1.6.7 dan 1.6.11Contoh : 1.5.7Contoh : 1.5.7

1 0 -21 0 -2A =A = 3 1 4 buat menjadi 3 1 4 buat menjadi matriks diagonalmatriks diagonal

5 2 -35 2 -3

Kalikan baris 1 dengan -3 dan tambahkan ke Kalikan baris 1 dengan -3 dan tambahkan ke baris ke 2; kalikan baris 1 dengan -5 dan baris ke 2; kalikan baris 1 dengan -5 dan tambahkan ke baris ke 3tambahkan ke baris ke 3

1 0 -21 0 -20 1 100 1 10 Theorema 1.6.7Theorema 1.6.70 2 70 2 7

Kalikan baris ke 2 dengan -2 dan tambahkan Kalikan baris ke 2 dengan -2 dan tambahkan ke baris ke 3ke baris ke 3

1 0 - 21 0 - 20 1 10 = -130 1 10 = -13

Theorema 1.6.11Theorema 1.6.110 0 -130 0 -13

1.7. Invers matriks bujur sangkar1.7. Invers matriks bujur sangkar1.7.11.7.1 DefinisiDefinisi

Matriks Matriks I = (II = (Iijij) adalah matriks n x n ) adalah matriks n x n

1, 1, i = ji = j0,0, i i j j

matriks di atas adalah matriks identity dengan matriks di atas adalah matriks identity dengan ordo nordo n

1.7.21.7.2 RemarkRemarkJika A dan I mempunyai ordo sama, makaJika A dan I mempunyai ordo sama, maka

AI = A = IAAI = A = IA

Iij =

1.7.31.7.3 DefenisiDefenisiInvers matriks A dengan ordo n x n adalah Invers matriks A dengan ordo n x n adalah matriks B dengan ordo n x n sehingga :matriks B dengan ordo n x n sehingga :

AB = BA = IAB = BA = I

1.7.41.7.4 ContohContoh-1 -2-1 -2 3 3 2 2

2 32 3 -2-2 -1-1

B adalah invers dari A jika :B adalah invers dari A jika :

-1 -2 3 2 1 0-1 -2 3 2 1 0 2 3 -2 -1 0 12 3 -2 -1 0 1

dan dan 3 2 -1 -2 1 03 2 -1 -2 1 0

-2 -1 2 3 0 1-2 -1 2 3 0 1

A =

B =

AB =

= = I

BA =

= = I

1.7.51.7.5 KomentarKomentarTidak semua matriks bujur sangkat memiliki Tidak semua matriks bujur sangkat memiliki invers, contoh :invers, contoh :

11 1111 11

aa bbcc dd

BA = IBA = Ia b a b 1 1 1 01 1 1 0c d c d 1 1 0 11 1 0 1

atau atau a + b = 1a + b = 1 a + b = 0a + b = 0c + d = 0c + d = 0 c + d = 1c + d = 1

Sehingga tidak ada matriks B seperti BA = ISehingga tidak ada matriks B seperti BA = IAkibatnya, A tidak memiliki inversAkibatnya, A tidak memiliki invers

A =

B =

dan

adalah Invers A, maka

=

sistim persamaan ini tidak memiliki solusi

1.7.61.7.6 TheoremaTheoremaInvers suatu matrik adalah unik Invers suatu matrik adalah unik Bukti : jika B dan C adalah invers A, maka Bukti : jika B dan C adalah invers A, maka AB = BA = I, AC = CA = IAB = BA = I, AC = CA = ISekarang, B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = CSekarang, B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

1.7.71.7.7 Notasi.Notasi. Invers matriks bujur sangkar Invers matriks bujur sangkar dinotasikan dengan Adinotasikan dengan A-1-1 (A inverse) (A inverse)

1.7.81.7.8 DefinisiDefinisiSuatu matriks bujur sangkar dikatakan non-Suatu matriks bujur sangkar dikatakan non-singular jhj memiliki suatu inverssingular jhj memiliki suatu invers

1.7.91.7.9 TheoremaTheoremaJika A dan B adalah matriks non-singular Jika A dan B adalah matriks non-singular dengan memiliki ordo yang sama, maka dengan memiliki ordo yang sama, maka demikian pula AB dandemikian pula AB dan

(AB)(AB)-1-1 = B = B-1-1AA-1-1

Bukti :Bukti :Pertama : APertama : A-1-1 dan B dan B-1-1 keduanya exist karena A dan B keduanya exist karena A dan B adalah non singular, sekarangadalah non singular, sekarang

(AB) (B(AB) (B-1-1AA-1-1) = A(BB) = A(BB-1-1)A)A-1-1 = AIA = AIA-1-1 = AA = AA-1-1 = = II

(B(B-1-1AA-1-1) (AB) = B) (AB) = B-1-1(A(A-1-1A)B = BA)B = B-1-1IB = BBIB = BB-1-1 = I= Isehingga, Bsehingga, B-1-1AA-1-1 adalah invers dari AB adalah invers dari AB

1.7.10 Theorema1.7.10 TheoremaJika A adalah non-singular, maka demikian pula AJika A adalah non-singular, maka demikian pula A-1-1 dan (Adan (A-1-1))-1-1 = A = A

1.7.111.7.11Theorema. Theorema. Jika A adalah non-singular, maka Jika A adalah non-singular, maka demikian pula Ademikian pula Att dan (A dan (Att))-1-1 = (A = (A-1-1))tt

Bukti :Bukti : A non singular, maka : A non singular, maka : (A(A-1-1)A = I , AA)A = I , AA-1-1 = I , (AB) = I , (AB)tt = B = BttAAtt

dari Theorema 1.4.4 diperolehdari Theorema 1.4.4 diperoleh(A(Att)(A)(A-1-1))tt = I = Itt = I, (A = I, (A-1-1))tt(A(Att) = I) = Itt = I = I

Dengan demikian (ADengan demikian (Att))-1-1 = (A = (A-1-1))tt

1.8. Linier Independen dan Non-1.8. Linier Independen dan Non-SingularSingular1.8.11.8.1 DefinisiDefinisi

S = {XS = {X11, X, X22, … ,X, … ,Xkk} adalah himpunan vektor dari } adalah himpunan vektor dari RRnn suatu vektor X suatu vektor X R Rnn dikatakan linier dikatakan linier kombinasi dari vektor dalam S jhj terdapat kombinasi dari vektor dalam S jhj terdapat skalar skalar 11, , 22, … , , … , k k Seperti X = Seperti X = 11XX11 + + 22XX2 2 +… +… + + kkXXkk

1.8.21.8.2 Contoh Contoh (1) Andaikan vektor dalam R(1) Andaikan vektor dalam R22 di bawah ini : di bawah ini :

XX11 = = XX2 2 == XX33 = =

Vektor X = adalah linier kombinasi Vektor X = adalah linier kombinasi dari Xdari X11, X, X2 2

dan Xdan X33 jika terdapat skalar jika terdapat skalar 11 , , 22 dan dan 33 sepertiseperti

X = X = 11XX11 + + 22XX22 + + 33XX33

yaitu: yaitu: 11 + + 22 + + 3 3 ==

21

10

11

12

21

10

11

12

Atau Atau 2211 + + 22 + + 33 = 1 = 1 11 + + 33 = 2 = 2 11 = 2 - = 2 - 33

22 = -2 = -21 1 - - 33 + 1 + 122 = -2 (2 - = -2 (2 - 33) - ) - 3 3 + 1+ 122 = 1 - 4 + 2 = 1 - 4 + 233 - - 33

22 = -3 + = -3 + 33

Dengan memilih Dengan memilih 3 3 = 0, = 0, 11 = 2 dan = 2 dan 2 2 = -= -3, kita 3, kita

lihat bahwa X adalah linier kombinasi lihat bahwa X adalah linier kombinasi dari Xdari X11, X, X22

dan xdan x33

(2) Andaikan vektor dalam R(2) Andaikan vektor dalam R33 di bawah ini di bawah ini

Apakah vektor X = adalah linier Apakah vektor X = adalah linier kombinasi dari kombinasi dari

XX11, X, X22 dan X dan X33 ? ?

110

X1=230

X2=010

X3=

123

Jika benar, maka kita dapat menemukan skalar Jika benar, maka kita dapat menemukan skalar 11, , 22, , 33 sebagai berikut : sebagai berikut :

atau :atau : 11.1 + .1 + 22.2 + .2 + 33.0 = 1.0 = 111.1 + .1 + 22.3 + .3 + 33.1 = 2.1 = 211.0 + .0 + 22.0 + .0 + 33.0 = 3.0 = 3

Tidak ada skalar Tidak ada skalar 11, , 22, , 3 3 yang memenuhi yang memenuhi persamaan tiga, akibatnya X tidak dapat persamaan tiga, akibatnya X tidak dapat menjadi linier kombinasi dari Xmenjadi linier kombinasi dari X11, X, X22 dan X dan X33

1.8.31.8.3 RemarkRemark(1)(1) Definisi linier kombinasi hanya Definisi linier kombinasi hanya membutuhkan membutuhkan

eksistensi skalar eksistensi skalar ii. Koefisien ini tidak . Koefisien ini tidak perlu unik. perlu unik.

Pada contoh 1.8.2 (i) di atas dapat Pada contoh 1.8.2 (i) di atas dapat dibuat dibuat 33=1, =1, 22=-2 dan =-2 dan 11=1 atau =1 atau 33=3, =3, 22=0 dan =0 dan 11=-1=-1

110

1

230

010

+ 2

+ 3

123

=

(2)(2) Suatu sistim persamaan linier dapat Suatu sistim persamaan linier dapat dinyatakan sebagai suatu linier kombinasi dinyatakan sebagai suatu linier kombinasi dari vektor. dari vektor.

Contoh :Contoh :aa1111XX11 + a + a1212XX22 + … + a + … + a1n1nXXnn = b = b11

aa2121XX11 + a + a2222XX22 + … + a + … + a2n2nXXnn = b = b22.. . ... . ... . .aam1m1XX11 + a + am2m2XX22+ … + a+ … + amnmnXXnn = b = bmm

Dapat ditulis seperti :Dapat ditulis seperti :a11a21a31...am1

X1+

a12a22a32...am2

a1na2na3n...amn

X2+ … + Xn=

b1b2b3...bm

1.8.41.8.4 DefinisiDefinisiKatakan S = {XKatakan S = {X11, X, X22, … X, … Xnn} adalah himpunan dari } adalah himpunan dari vektor jarak Rvektor jarak Rn.n.

S dikatakan S dikatakan linier dependent linier dependent jhj terdapat jhj terdapat skalar skalar 11, , 2 2 … … k k tidak semua nol seperti tidak semua nol seperti

11XX11 + + 22XX22

+ … + + … + kkXXkk= 0= 0Sebaliknya,Sebaliknya,S dikatakan S dikatakan linier independent linier independent jhj jhj 11XX11

+ + 22XX22 + … + + … + kkXXkk= 0 = 0

yang mengakibatkan yang mengakibatkan 11= …… = = …… = kk= 0= 0

1.8.51.8.5 ContohContoh(i) (i) Andaikan S terdiri dari vektor berikutAndaikan S terdiri dari vektor berikut

XX11 = X = X22 = = 12

24

Untuk melihat S adalah linier dependent, kita Untuk melihat S adalah linier dependent, kita harus temukan skalar harus temukan skalar 11, , 22, (tidak semua sama , (tidak semua sama dengan nol) yaitu :dengan nol) yaitu :

11 + + 22 = =

1 1 + 2+ 222 = 0 = 0 1 1 = -2= -222 => => 22 = 1; = 1; 1 1 = -2= -2221 1 + 4+ 422 = 0 = 0 Semua nilai juga Semua nilai juga memungkinkan memungkinkan Sehingga S adalah Sehingga S adalah Linier dependentLinier dependent

(ii)(ii) Katakan S terdiri dari vektor berikut :Katakan S terdiri dari vektor berikut :

XX11= = XX22== XX33==

Untuk melihat linier dependent atau tidak lihat Untuk melihat linier dependent atau tidak lihat persamaan ini :persamaan ini :

12

24

00

100

010

001

11 + + 22 + + 33 ==

Atau :Atau :11.1.1 + + 22.0 + .0 + 33.0 = 0.0 = 011.0.0 + + 22.1.1 + + 33.0 = 0.0 = 011.0.0 + + 22.0 + .0 + 33.1 = 0.1 = 0

sehingga sehingga 11,,22,,33 = 0 dan S adalah = 0 dan S adalah Linier Linier IndependentIndependent

1.8.61.8.6 TheoremaTheorema

Himp vektor S = {XHimp vektor S = {X11, X, X22, X, X33, … X, … Xkk} adalah linier } adalah linier dependent jhj setidaknya satu vektor dalam S dependent jhj setidaknya satu vektor dalam S adalah linier kombinasi satu sama lainnya.adalah linier kombinasi satu sama lainnya.

100

010

001

000

Bukti :Bukti :=>=> Andaikan himpunan S adalah linier dependent Andaikan himpunan S adalah linier dependent

kemudian terdapat skalar kemudian terdapat skalar 11, , 22, … , , … , kk tidak tidak semua nol (katakan semua nol (katakan 11 0) yaitu : 0) yaitu :11XX11

+ + 22XX22 + + 33XX33

+ … + + … + kkXXkk = 0= 0

sekarang, Xsekarang, X11 = - X = - X22 - … - X - … - Xkk

memperlihatkan bahwa Xmemperlihatkan bahwa X11 adalah suatu linier adalah suatu linier kombinasi dari Xkombinasi dari X22, X, X33, … X, … Xkk..

=>=> Andaikan bahwa suatu vektor, katakan XAndaikan bahwa suatu vektor, katakan X11 adalah adalah linier kombinasi dengan lainnya.linier kombinasi dengan lainnya.contoh : Xcontoh : X11 = = 22XX22 + + 33XX33 + … + + … + kkXXkk

Maka, 1XMaka, 1X11 – – 22XX22 – – 33XX33 – … – – … – KKXXkk = 0 = 0

22

11

kk

11

Ini menunjukkan ada skalarIni menunjukkan ada skalar11=1, =1, 22=-=-22, … , , … , kk= -= -kk

(Tidak semua nol karena (Tidak semua nol karena 11 0) 0)seperti :seperti :11XX11

+ + 22XX22 + … + + … + kkXXkk

= 0= 0Sehingga S adalah Sehingga S adalah linier dependent linier dependent

1.8.7 Komentar1.8.7 Komentar(1) Secara geometrik linier dependensi untuk (1) Secara geometrik linier dependensi untuk 2 vektor pada R2 vektor pada R22 menunjukkan bahwa vektor menunjukkan bahwa vektor terletak pada garis yang sama melalui origin.terletak pada garis yang sama melalui origin.

Jika Jika 11XX11 + + 22XX22

= 0 dengan = 0 dengan 0, 0, makamaka

XX11 = X = X22;;

Sehingga XSehingga X11 adalah suatu perkalian adalah suatu perkalian skalar Xskalar X22..

Pada RPada R33, 3 vektor adalah linier , 3 vektor adalah linier dependent jika mereka terletak pada plane dependent jika mereka terletak pada plane yang sama.yang sama.

22

11

1.8.7 Theorema1.8.7 TheoremaSuatu matriks bujursangkar adalah non-singular Suatu matriks bujursangkar adalah non-singular jhj vektor kolomnya adalah linier independent jhj vektor kolomnya adalah linier independent

Bukti : Andaikan A adalah suatu n x n non-singular Bukti : Andaikan A adalah suatu n x n non-singular matriks. Kita ingin menunjukkan bahwa vektor matriks. Kita ingin menunjukkan bahwa vektor kolomnya akolomnya a11,a,a22,… a,… an n adalah linier independent, adalah linier independent, yaitu :yaitu :

11aa1 1 + + 22aa2 2 + … + + … + nnaan n = 0= 0mengakibatkan mengakibatkan 11 = = 22 = = 3 3 = … = = … = nn = 0 = 0

Persamaan tersebut dapat ditulis Persamaan tersebut dapat ditulis a11a21...an1

a12a22...an2

a1na2n...ann

+ … + n =

00...0

1 + 2

Atau Atau

atau Aatau A = 0 = 0dimana dimana = [ = [11, , 22, … , , … , nn]]tt karena A adalah karena A adalah

non-singularnon-singularmaka maka

AA-1-1AA = A = A-1-100 II = 0 = 0 = 0= 0yang mana memperlihatkan bahwa :yang mana memperlihatkan bahwa : 11 = = 22 = … = … nn = 0 = 0

a11

a21...an1

a12

a22...an2

a1n

a2n...ann

……

1

2...n

00...0

=

1.8.91.8.9 CorellaryCorellaryMatriks bujursangkar A adalah non-singular jhj Matriks bujursangkar A adalah non-singular jhj vektor barisnya adalah linier independent vektor barisnya adalah linier independent

Bukti :Bukti :Dalam theorema 1.7.11, A adalah non-singular Dalam theorema 1.7.11, A adalah non-singular jhj Ajhj Att adalah non-singular. Tetapi dengan adalah non-singular. Tetapi dengan theorema 1.8.8, Atheorema 1.8.8, Att non-singular jhj vektor non-singular jhj vektor kolomnya adalah linier independent dan vektor kolomnya adalah linier independent dan vektor kolom Akolom Att adalah vektor baris A. Dengan adalah vektor baris A. Dengan demikian lihat 1.8.10.demikian lihat 1.8.10.

1.8.10 1.8.10 TheoremaTheorema A adalah singular jhj |A| = 0A adalah singular jhj |A| = 0

1.8.11 1.8.11 RemarkRemarkDengan kata lain, theorema 1.8.10 Dengan kata lain, theorema 1.8.10 mengatakan bahwa A adalah non-singular jhj |mengatakan bahwa A adalah non-singular jhj |A| A| 0 0

1.9. Inverse Matriks1.9. Inverse Matriks1.9.11.9.1DefinisiDefinisi

Cofactor suatu matriks ACofactor suatu matriks Anxnnxn adalah adalah

Dimana CDimana Cijij adalah cofactor a adalah cofactor aijij

1.9.21.9.2DefinisiDefinisiMatriks Adjoint dari A adalah transpose dari matriks Matriks Adjoint dari A adalah transpose dari matriks kofactor A, yaitu :kofactor A, yaitu :

Adj A = (Cof A)Adj A = (Cof A)tt

1.9.3 Theorema1.9.3 TheoremaJika A adalah non-singular, maka Jika A adalah non-singular, maka

AA-1-1 = adj A = adj A

C11

C21...Cn1

C12

C22...Cn2

C1n

C2n...Cnn

……

Cof A =

11|A||A|

1.10. Persamaan Linier Simultan1.10. Persamaan Linier Simultan1.10.11.10.1 DefinisiDefinisi

Katakan A adalah matriks m x n, X adalah suatu Katakan A adalah matriks m x n, X adalah suatu n vektor, dan b suatu m vektor. Solusi n vektor, dan b suatu m vektor. Solusi persamaan AX = b adalah vektor X yang persamaan AX = b adalah vektor X yang memenuhi persamaan. Jika Ax = b tidak memenuhi persamaan. Jika Ax = b tidak memiliki solusi, maka dikatakan tidak konsisten. memiliki solusi, maka dikatakan tidak konsisten. Jika memiliki solusi disebut konsisten. Matriks [A Jika memiliki solusi disebut konsisten. Matriks [A : b] disebut matriks augmented. : b] disebut matriks augmented.

1.10.21.10.2 DefenisiDefenisiPersamaan AX = 0 dinamakan persamaan Persamaan AX = 0 dinamakan persamaan homogeneous. Solusi X = 0 pada persamaan homogeneous. Solusi X = 0 pada persamaan homogeneous disebut trivial solution sedang homogeneous disebut trivial solution sedang solusi X solusi X ≠ 0 disebut solusi non-trivial.≠ 0 disebut solusi non-trivial.

1.10.31.10.3 DefinisiDefinisiRank baris (kolom) suatu matriks adalah jumlah Rank baris (kolom) suatu matriks adalah jumlah maksimal baris (kolom) yang liniearly maksimal baris (kolom) yang liniearly independent independent

1.10.41.10.4 TheoremaTheoremaRank baris dan rank kolom suatu matriks adalah Rank baris dan rank kolom suatu matriks adalah sama.sama.

1.10.51.10.5 Komentar Komentar (1) Kita merefer rank baris dan rank kolom suatu (1) Kita merefer rank baris dan rank kolom suatu matriks matriks sebagai rank baris sajasebagai rank baris saja(2) Jika I adalah n x n maka rank (I) = n(2) Jika I adalah n x n maka rank (I) = n(3) Jika A(3) Jika Amxnmxn, maka rangk (A) , maka rangk (A) ≤ min {m,n}≤ min {m,n}

1.10.61.10.6 TheoremaTheoremaMatriks AMatriks Anxn nxn adalah non singular jhj rank A = nadalah non singular jhj rank A = n

1.10.71.10.7 TheoremaTheoremaKatakan A adalah nxn matriks. Kemudian AX = 0 Katakan A adalah nxn matriks. Kemudian AX = 0 memiliki solusi trivial jhj rank A < nmemiliki solusi trivial jhj rank A < n

1.10.81.10.8 RemarkRemarkCara lain menyatakan theorema 1.10.7 adalah Cara lain menyatakan theorema 1.10.7 adalah dengan menyatakan bahwa AX=0 memiliki solusi dengan menyatakan bahwa AX=0 memiliki solusi non-trivial jhj A adalah singular.non-trivial jhj A adalah singular.

1.10.91.10.9 Theorema.Theorema. Katakan A adalah matriks mxn. AX = Katakan A adalah matriks mxn. AX = b adalah konsisten jhj rank (A) = rank ([A : b])b adalah konsisten jhj rank (A) = rank ([A : b])

1.10.101.10.10 TheoremaTheoremaKatakan A adalah matriks non-singular maka AX = Katakan A adalah matriks non-singular maka AX = b memiliki solusi unique ditentukan dengan X = Ab memiliki solusi unique ditentukan dengan X = A--

11bb

1.10.111.10.11 TheoremaTheorema(Cramer’s rule) Ditentukan persamaan AX = (Cramer’s rule) Ditentukan persamaan AX = b, dimana A adalah non-singular. Katakan A b, dimana A adalah non-singular. Katakan A adalah matriks diperoleh dari A dengan adalah matriks diperoleh dari A dengan mengganti A.mengganti A.jj dengan b. Jika X adalah solusi dengan b. Jika X adalah solusi dari AX = b, maka dari AX = b, maka

XXjj = =

Bukti : Untuk penyederhanaan, ABukti : Untuk penyederhanaan, A3x33x3

XX = A= A-1-1bb

== (adj A) b (adj A) b

==

||jjA|A||A||A|

11|A||A|

11|A||A|

XX11

XX22

XX33

CC11

11

CC11

22

CC11

33

CC22

11

CC22

22

CC22

33

CC33

11

CC33

22

CC33

33

bb11

bb22

bb33

11|A||A|

XX11

XX22

XX33

(b(b11CC11 11 + b+ b22CC21 21 + b+ b33CC3131))Atau

=11

|A||A|11

|A||A|

(b(b11CC12 12 + b+ b22CC22 22 + b+ b33CC3232))

(b(b11CC13 13 + b+ b22CC23 23 + b+ b33CC3333))

Sekarang 1A =bb11

bb22

bb33

aa1212

aa2222

aa3232

aa1313

aa2323

aa3333

Evaluasi |1A| dengan kolom pertama diperoleh |1A| = b1C11 + b2C21+ b3C31

Dimana C11, C21, C31 adalah juga cofactor untuk kolom pertama A. Sama halnya

|2A| = b1C12 + b2C22+ b3C32

|3A| = b1C13 + b2C23+ b3C33

||11A|A||A||A|

XX11

XX22

XX33

Sehingga

=||22A|A||A||A|

||33A|A||A||A|

1.10.121.10.12 ContohContoh Sebuah Model MakroekonomiSebuah Model Makroekonomi

YYtt = C = Ctt + I + Itt + G + Gtt

CCtt = = 00 + + 11YYtt ( (00 > 0, 0 > 0, 0 < < 11 < 1) < 1)

IItt = = 00 + + 11YYt-1t-1 + + 22YYtt

Menulis ulang modelMenulis ulang model YYtt – C – Ctt – I – Itt = G = Gtt

--11YYtt + C + Ctt = = 00

--22YYtt + I + Itt = = 00 + + 11YYtt – 1 – 1

11--11

--11

Atau

=-1-11100

-1-10011

YYtt

CCtt

IItt

GGtt

00

00+ + 11YYt-1t-1

Katakan

A =11

--11

22

-1-11100

-1-10011

|A| = 1 - 1 - 2 Asumsikan tidak sama dengan nol sehingga A-1 dapat dihitung :

A-1 = 11 - 1 - 2

1111

22

111-1-22

22

1111

1-1-11

Sekarang

Yt

Ct =It

11 - 1 - 2

11 11

22

111-1-22

22

1111

1-1-11

= GGtt

00

00+ + 11YYt-1t-1

1111

1-1-11

Disini diperoleh

Yt =1

1 - 1 - 2

(Gt + 0 + 0 + 1Yt-1)

Ct =1

1 - 1 - 2

(1Gt + (1 – 2)0 + 1 (0 + 1Yt-1)

It =1

1 - 1 - 2

(2Gt + 20 + (1- 1)(0 + 1Yt-1)

Reduce form menyatakan 1 unit Gt

Pendapatan nasional sebesar

Konsumsi sebesar

Investasi sebesar

Dapat pula diselesaikan dengan cara cramer rule

11-1-2

1

(1-1- 2)2

(1-1- 2)

1.10.131.10.13 Contoh model sederhana Contoh model sederhana pendapatan pendapatan nasionalnasional

YYii = C = Cii + I + Iii + G + Gii + X + Xii – M – Mii (i = 1,2,3) (i = 1,2,3) (1-3) (1-3)

fungsi konsumsi setiap negara fungsi konsumsi setiap negara CCii = k = kiiYYi i , 0 < k, 0 < kii < 1 < 1 (1-4) (1-4)fungsi impor negara i dan negara j fungsi impor negara i dan negara j

adalahadalahMMjiji = = 1i1iYYii , 0 , 0 ≤ ≤ ji ji < 1< 1

Total impor negara i adalah Total impor negara i adalah MMii = = 1i1iYYii + + 2i2iYYi i + + 3i3iYYii

= (= (1i1i + + 2i 2i + + 3i3i) Y) Yii

= = iiYYi i

…………………………………………………. (1-5)…………………………………………………. (1-5)Dimana Dimana II = = 1i1i + + 2i 2i + + 3i3i (catatan (catatan 1i1i =0, i = =0, i = 1,2,3)1,2,3)Asumsi 0 Asumsi 0 ≤ ≤ i i < k< kii < 1 < 1Dengan definisi, impor negara i dari j adalah Dengan definisi, impor negara i dari j adalah export negara j ke i sehingga :export negara j ke i sehingga :Xi = Xi = i1i1yy11 + + i2i2yy22 + + i3i3yy33 ……………………………. ……………………………. (1-6)(1-6)Substitusi (1-4), (1-5), (1-6) ke dalam (1-3) Substitusi (1-4), (1-5), (1-6) ke dalam (1-3) diperoleh :diperoleh :yyii = = kkiiYYii + I + Iii + G + Gii + ( + (i1i1yy11 + + i2i2yy22 + + i3i3yy33)- )- iiyyii Catatan Catatan iiii = 0 = 0yy11 = (k = (k11--11)y)y11 + + 1212yy22 + + 1313yy33 + I + I11 + G + G11

yy22 = = 2121yy11 + (k + (k22--22yy22) + ) + 2323yy33 + I + I22 + G + G22

yy33 = = 3131yy11 + + 3232yy22 + (k + (k33--33)y)y33 + I + I33 + G + G33

kk11--11

2121

3131

yy11

yy22

yy33

1212

kk22==22

3232

1313

2323

kk33--33

yy11

yy22

yy33

II11 + G + G11

II22 + G + G22

II33 + G + G33

== ++

y = By + d ; y = By + d ; Jika [I – B] non singular, makaJika [I – B] non singular, maka

y = [I – B]y = [I – B]-1 -1 d d

1.11. Eigen Value dan Eigen Vectors1.11. Eigen Value dan Eigen Vectors

1.11.11.11.1DefinisiDefinisiKatakan AKatakan Anxnnxn, eigen value (karakteristik value) , eigen value (karakteristik value) dari A adalah suatu skalar dari A adalah suatu skalar yaitu terdapat yaitu terdapat vektor tak nol X vektor tak nol X R Rnn memenuhi AX memenuhi AX = = X. Vektor X disebut eigen vektor X. Vektor X disebut eigen vektor diasosiasikan dengan diasosiasikan dengan ..

1.11.21.11.2ContohContoh

Skalar Skalar 11 = 2 adalah eigen value A sejak vektor = 2 adalah eigen value A sejak vektor tidak tidak

nol X = memenuhi persamaan AX = 2X.nol X = memenuhi persamaan AX = 2X.

Skalar Skalar 22 = 3 juga eigen value A karena vektor = 3 juga eigen value A karena vektor X = memenuhi persamaan AX = 3X.X = memenuhi persamaan AX = 3X.

1.11.31.11.3RemarkRemarkEigen vektor X diasosiasikan dengan eigen Eigen vektor X diasosiasikan dengan eigen value value adalah tidak unik. adalah tidak unik.Jika Jika adalah skalar tidak nol maka adalah skalar tidak nol maka A(A(X) = X) = (AX) = (AX) = ((X) = X) = ((X) sehingga X) sehingga X X adalah eigen vektor berasosiasi dengan adalah eigen vektor berasosiasi dengan . . Eigen value matriks bujursangkar A dapat Eigen value matriks bujursangkar A dapat diperoleh dengan menggunakan theorema diperoleh dengan menggunakan theorema berikutberikut

1-1

12

-1 4

A =

1-2

1.11.41.11.4TheoremaTheoremaSkalar Skalar adalah eigen value A jhj (A - adalah eigen value A jhj (A - I) = 0I) = 0

Bukti :Bukti : =>=> Jika Jika adalah eigen value A, maka AX = adalah eigen value A, maka AX =

X untuk X X untuk X ≠0, sehingga (A - ≠0, sehingga (A - I)X = 0 sejak X ≠ I)X = 0 sejak X ≠ 0, maka [A-0, maka [A-I] adalah singular (komentar I] adalah singular (komentar 1.10.8), akibatnya |A-1.10.8), akibatnya |A-I|=0I|=0

=>=> Jika |A-Jika |A-I|=0 maka A-I|=0 maka A-I adalah singular I adalah singular sehingga [A-sehingga [A-I]X =0 memiliki solusi non-I]X =0 memiliki solusi non-trivial X ≠ 0 yaitu :trivial X ≠ 0 yaitu :

(A - (A - I)X =0I)X =0 AX - AX - X =0X =0

AX = AX = X X Ini mengikuti bahwa Ini mengikuti bahwa adalah eigen value dari A adalah eigen value dari A

1.11.51.11.5DefinisiDefinisiPersamaan |A - Persamaan |A - I| = 0 disebut persamaan karak-I| = 0 disebut persamaan karak-teristik A dan |A-teristik A dan |A-I| adalah karakteristik I| adalah karakteristik polynomial Apolynomial A

1.11.61.11.6TheoremaTheoremaEigen value dari matriks segitiga (triangular) Eigen value dari matriks segitiga (triangular) adalah elemen diagonalnya adalah elemen diagonalnya

Proof : Proof : Katakan matriks segitiga adalah Katakan matriks segitiga adalah

Jadi :Jadi :11 = a = a1111, , 22 = a = a2222, , 33 = a = a3333, … , , … , nn

= a= annnn

a11

0...0

a12

A22...0

a1n

a2n...ann

……

…

A =

a11-0...0

a12

a22-...0

a1n

a2n...ann-

……

…A-I = = (a11-) (a22-) … (ann-)

= 0

1.11.71.11.7ContohContoh

Persamaan karakteristik A adalah Persamaan karakteristik A adalah

Untuk menemukan eigenvektor berasosiasi Untuk menemukan eigenvektor berasosiasi dengan dengan 11 = 2 kita bentuk persamaan : = 2 kita bentuk persamaan : (A – 2I)X = 0(A – 2I)X = 0

12

-1 4

A =

-14-|A - I| =

1-2 = 0

(1-) (4-) + 2 = 0 2 - 5 + 6 = 0 1 = 2, 2 = 3

-14-2

1-22

X1

X2

00=

-12

-12

X1

X2

00=

Dan disini diperoleh X2 = -X1. Kita mungkin memilih secara sembarang nilai untuk X1, katakanlah X1 = 1 dan memperoleh eigen vektor X1 = yang diasosikan dengan 1 = 2Sama halnya kita dapat peroleh eigen vektor berasosiasi dengan 2 = 3 yaitu X2 =

1-1

1-2

1.11.81.11.8KomentarKomentarJika A adalah matriks bujursangkar dengan Jika A adalah matriks bujursangkar dengan ordo n, maka karakteristik polinomialnya (|A - ordo n, maka karakteristik polinomialnya (|A - I|) adalah derajat n. Sehingga A memiliki n I|) adalah derajat n. Sehingga A memiliki n eigen value meskipun beberapa diantara eigen value meskipun beberapa diantara mereka akan muncul beberapa kali. Dalam mereka akan muncul beberapa kali. Dalam beberapa kasus eigen value boleh jadi suatu beberapa kasus eigen value boleh jadi suatu bilangan kompleks. Tetapi ketika matriks A bilangan kompleks. Tetapi ketika matriks A adalah symetrik sehingga eigen valuenya juga adalah symetrik sehingga eigen valuenya juga real.real.

1.11.91.11.9 DefinisiDefinisiA adalah symetrik jhj AA adalah symetrik jhj Att = A = A

1.11.101.11.10 TheoremaTheoremaEigen value dari matriks symetrik adalah realEigen value dari matriks symetrik adalah real

1.11.111.11.11 TheoremaTheoremaEigen vektor berasosiasi dengan distinct Eigen vektor berasosiasi dengan distinct eigen value atau linier independenteigen value atau linier independent

1.11.121.11.12 RemarkRemarkTheorema 1.11.11 mengatakan bahwa jika Theorema 1.11.11 mengatakan bahwa jika eigen value suatu matriks bujursangkar eigen value suatu matriks bujursangkar adalah distinct (jarak), maka asosiasi eigen adalah distinct (jarak), maka asosiasi eigen vektor adalah membentuk matriks non-vektor adalah membentuk matriks non-singularsingular

1.12. Quadratic Forms1.12. Quadratic Forms

1.12.11.12.1 DefinisiDefinisiBentuk kuadratik adalah suatu ekspresi Bentuk kuadratik adalah suatu ekspresi bentukbentuk

g(X) = g(X) = aij Xi Xj aij Xi Xj

Dimana aij Dimana aij R dalam notasi matriks R dalam notasi matriksg(X) = Xg(X) = XttAXAX …………………………… (1-…………………………… (1-7)7)Dimana A = [aij] i,j = 1,2, … nDimana A = [aij] i,j = 1,2, … n

1.12.21.12.2 DefinisiDefinisi-- Bentuk kuadratik (1-7) dikatakan Bentuk kuadratik (1-7) dikatakan positif semidefenit jhj g(X) positif semidefenit jhj g(X) 0 0 X X R Rnn. . Matriks A juga dikatakan jadi positif Matriks A juga dikatakan jadi positif semidefenitsemidefenit

n

i=1

n

j=1

-- Bentuk kuadratik (1-7) dikatakan Bentuk kuadratik (1-7) dikatakan positif defenit jhj g(X) > 0 positif defenit jhj g(X) > 0 X X R Rnn. Matriks . Matriks A juga dikatakan jadi positif defenit.A juga dikatakan jadi positif defenit.-- Untuk negatif semi defenit g(X) Untuk negatif semi defenit g(X) 0 0 negatif defenit g(X) < 0negatif defenit g(X) < 0-- Indefenit jhj g(X) < 0 untuk Indefenit jhj g(X) < 0 untuk beberapa X dan g(X) > 0 untuk X lainnya.beberapa X dan g(X) > 0 untuk X lainnya.

1.12.31.12.3 RemarkRemark Biasanya diasumsikan bahwa matriks A Biasanya diasumsikan bahwa matriks A

dalam quadratik form g(X) = Xdalam quadratik form g(X) = XttAXAX adalah adalah symetriksymetrik

1.12.41.12.4 TheoremaTheoremaMatriks positif defenit (negatif defenit) adalah Matriks positif defenit (negatif defenit) adalah non singularnon singular

1.12.51.12.5 ContohContoh

Untuk setiap X Untuk setiap X R R22, X, XttAX = [XAX = [X11 X X22] ] = 2X= 2X11

2 2 + 4X+ 4X2222 0 0

Sehingga A adalah positif semi defenit. Jika X Sehingga A adalah positif semi defenit. Jika X ≠ 0, maka ≠ 0, maka XX11 ≠ 0, ≠ 0, XX22 ≠ 0, akibatnya X≠ 0, akibatnya XttAX>0 AX>0 dan begitu pula A adalah positif defenitdan begitu pula A adalah positif defenit

1.12.61.12.6 TheoremaTheorema(i) (i) Matriks real symetrik adalah positif Matriks real symetrik adalah positif (negatif) (negatif)

semi defenit jhj eigen valuenya non semi defenit jhj eigen valuenya non negatif negatif

(non positif)(non positif)(ii)(ii) Matriks real symetrik adalah positif Matriks real symetrik adalah positif (negatif) (negatif)

defenit jhj eigen valuenya adalah defenit jhj eigen valuenya adalah positif positif

(negatif)(negatif)

20

04

A =

20

04

X1

X2

1.12.71.12.7 TheoremaTheoremaMatriks positif (negatif) semi defenit memiliki Matriks positif (negatif) semi defenit memiliki non negatif (non positif) elemen diagonalnon negatif (non positif) elemen diagonal

1.12.81.12.8 DefinisiDefinisiAndaikan A adalah matriks bujur sangkar Andaikan A adalah matriks bujur sangkar dengan ordo n dan j adalah subjek dari indek dengan ordo n dan j adalah subjek dari indek set {1,2,…,n} yang terdiri dari r elemen. set {1,2,…,n} yang terdiri dari r elemen. Matriks diperoleh dengan menghilangkan baris Matriks diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom dari A yang dihubungkan pada dan kolom dari A yang dihubungkan pada indeks bukan dalam j disebut indeks bukan dalam j disebut prinsiple prinsiple submatriks PSr(A) submatriks PSr(A) dengan order r dandengan order r dan dinotasikan dengandinotasikan dengan PSr(A). PSr(A). Determinan dariDeterminan dari PSr(A) PSr(A) disebutdisebut principle minor principle minor..Prinsiple submatriks dari order r yang Prinsiple submatriks dari order r yang diperoleh dengan menghapus baris dan kolom diperoleh dengan menghapus baris dan kolom A koresponden dengan pada indeks yang lebih A koresponden dengan pada indeks yang lebih besar dari r disebut besar dari r disebut leading prinsiple leading prinsiple submatriks submatriks dan dinotasikan dengandan dinotasikan dengan LPsr(A). LPsr(A). Determinanya disebutDeterminanya disebut leading prinsiple minor. leading prinsiple minor.

1.12.91.12.9 ContohContoh

leading prinsipleleading prinsiple submatrikssubmatriks adalah adalah

1.12.10 Theorema1.12.10 Theorema (i)(i) Transpose Transpose principle submatriksprinciple submatriks A A

adalah adalah prinsipleprinsiple submatrikssubmatriks dari transpose A dari transpose A (ii)(ii) Transpose Transpose leading principle submatriksleading principle submatriks A A

adalah adalah leading principle submatriksleading principle submatriks dari dari transpose Atranspose A

aa1111

aa2121

aa3131

aa1212

aa2222

aa3232

aa1313

aa2323

aa3333

AA==

aa1111

aa2121

aa3131

aa1212

aa2222

aa3232

aa1313

aa2323

aa3333

aa1111

aa2121

aa1212

aa2222aa1111

1.12.11 Theorema1.12.11 Theorema (i)(i) A dan AA dan Att memiliki memiliki prinsiple minorprinsiple minor yang identik yang identik (ii)(ii) A dan AA dan Att memiliki memiliki leading prinsiple minorleading prinsiple minor

yang identikyang identik

1.12.12 Theorema1.12.12 Theorema (i)(i) Matriks real symetrik A adalah positif semi Matriks real symetrik A adalah positif semi

defenit jhj |Psr(A)| defenit jhj |Psr(A)| ≥ 0 ≥ 0 r = 1,2,…n r = 1,2,…n (ii)(ii) Matriks real symentrik A adalah negatif semi Matriks real symentrik A adalah negatif semi

defenit jhj (-1)defenit jhj (-1)rr|Psr(A)||Psr(A)|≥ 0 ≥ 0 r = 1,2,…,n r = 1,2,…,n

1.12.13 Contoh1.12.13 Contoh

1-23

-24-6

369

A=

Prinsiple minor A adalahPrinsiple minor A adalahj(1)=|1| = 1 j(2)=|4| = 4 j(3)=|9| = 9j(1)=|1| = 1 j(2)=|4| = 4 j(3)=|9| = 9

j(2,3) j(2,3) ==>>

4-6

69

= = 00

j(1,3) j(1,3) ==>>

13

39

= = 00

j(1,2) j(1,2) ==>>

1-2

-24

= = 00

j(1,2,3) j(1,2,3) 1-23

-24-6

369

= 0= 0

A adalah positif semi defenit A adalah positif semi defenit

1.12.14 Remark1.12.14 RemarkUntuk matriks real symetrik adalah positif Untuk matriks real symetrik adalah positif atau negatif defenit, kita tidak perlu mencek atau negatif defenit, kita tidak perlu mencek semua principle minor, cukup mencek leading semua principle minor, cukup mencek leading prinsiple minorprinsiple minor

1.12.15 Theorema1.12.15 Theorema (i)(i) Matriks real symetrik adalah positif defenit jhj Matriks real symetrik adalah positif defenit jhj

|LPsr(A)|>0 |LPsr(A)|>0 r = 1,2,…,n r = 1,2,…,n (ii) (ii) Matriks real symetrik adalah negatif defenit Matriks real symetrik adalah negatif defenit

jhj (-1)jhj (-1)rr|LPsr(A)|>0|LPsr(A)|>0

1.12.16 Contoh1.12.16 Contoh (1)(1)

3-13/2

-11-2

3/2-2-5

A=

Leading principle minorLeading principle minor|3| = 3 > 0|3| = 3 > 0

A adalah positif defenitA adalah positif defenit

(2)(2)

Leading principle minorLeading principle minor

3-1

-11

= 2 > 0= 2 > 0

= 7/4 > 0= 7/4 > 03-13/2

-11-2

3/2-2-5

-110

-101

01-2

A=

Leading principle minorLeading principle minor|-1| = -1 < 0|-1| = -1 < 0

A adalah negatif defenitA adalah negatif defenit

-10

-10

= 1 > 0= 1 > 0

-110

-101

01-2

= -1 < 0= -1 < 0