catkuliah_pengstatmat

Catatan Kuliah

Pengantar Statistika Matematik(a)

“Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika”

disusun oleh

Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPAInstitut Teknologi Bandung

2014

Tentang Pengantar Statistika Matematik(a)

A. Jadwal kuliah:

• Senin, 13.00-17.00

• Rabu, 08.00-12.00

B. Silabus:

• Peubah acak dan distribusi

• Distribusi diskrit

• Distribusi kontinu

• Fungsi peluang bersama

• Peluang dan ekspektasi bersyarat

C. Buku teks:

• Sheldon M Ross; A First Course in Probability.

• Mathematical Statistics.

D. Penilaian:

1. Ujian 1 (45%) - Rabu, 2.4.2014

2. Ujian 2 (45%) - Rabu, 21.5.2014

3. PR/Kuis (10%)

Pengantar Statistika Matematik(a) i K. Syuhada, PhD.

D. Matriks kegiatan perkuliahan:

Table 1: Matriks perkuliahan Analisis Data.

Minggu- Materi Keterangan

1-2 Pengantar Penjelasan kuliahPeubah acak dan distribusi

3-4 Distribusi diskrit5-6 Distribusi kontinu7 UTS Rabu, 2.4.20148 “Praktik Nyata Peluang” Nyoblos!

9-10 Fungsi peluang bersama11-12 Peluang dan ekspektasi bersyarat1314 UAS Rabu, 21.5.2014

Pengantar Statistika Matematik(a) ii K. Syuhada, PhD.

Daftar Isi

1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi 11.1 Peubah Acak Diskrit dan Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Tentang Fungsi Distribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Ekspektasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Fungsi Pembangkit Momen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

iii

BAB 1

Peubah Acak dan FungsiDistribusi

Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak kontinu, fungsi distribusi, fungsipeluang.

Statistika Matematik(a) adalah perkuliahan yang menitikberatkan pada kajianpeluang secara matematik. Untuk itu, peluang yang harus ditekankan adalahpeluang pada nilai peubah acak.

Tujuan yang ingin dicapai dalam mempelajari peubah acak dan distribusiadalah:

1. memahami dan membedakan peubah acak diskrit dan kontinu

2. menghitung peluang pada nilai peubah acak

3. menentukan fungsi distribusi

4. menentukan transformasi peubah acak dan distribusi peluang yang meny-ertainya

1.1 Peubah Acak Diskrit dan Kontinu

Apa yang dapat kita katakan tentang peubah acak?

• Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”

• Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan ruang sampel S ke bilan-gan real R

1

DefinisiPeubah acakX dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan{ai, i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga

P(∪

i

{X = ai})=

∑i

P (X = ai) = 1

Catatan:Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit.

FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung{ai, i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {pi, i = 1, 2, . . . } dari bilanganpositif yang bersesuaian sedemikian hingga∑

i

pi = 1

dan

FX(x) =∑ai≤x

pi

Jika diberikan himpunan terhitung {ai, i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif{pi, i = 1, 2, . . . } sdh

∑i pi = 1, fungsi peluang pX(x) adalah

pX(x) = pi = P (X = ai),

dengan x = ai

Catatan:

• P (a < X ≤ b) = F (b)− F (a)

• P (X ≤ b) ̸= P (X < b)

•

P (X < b) = P

(limn→∞

{X ≤ b− 1

n

})= lim

n→∞P

(X ≤ b− 1

n

)= lim

n→∞F

(b− 1

n

)

Pengantar Statistika Matematik(a) 2 K. Syuhada, PhD.

DefinisiMisalkanX peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsi(densitas) peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi,

fX(x) =d

dxFX(x); f(x) ≥ 0, ∀x

atau dengan kata lain

FX(x) =

∫ x

−∞fX(t) dt

Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi (densitas) peluang adamaka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu.

Catatan:

1 = FX(∞) =

∫ ∞

−∞fX(t) dt

P (a ≤ X ≤ b) = FX(b)− FX(a) =

∫ b

a

fX(t) dt

P (X = a) =

∫ a

a

fX(t) dt = 0

LATIHAN:

1. Misalkan X ∼ Bin(3, 0.5), maka fungsi distribusi F (x) adalah...

2. Misalkan X peubah acak dengan ‘support’ S = [a, b], b > 0. Misalkanpeluang X akan berada di selang S proporsional terhadap panjang se-lang. Dengan kata lain,

P (x1 ≤ X ≤ x2) = λ (x2 − x1),

untuk a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b. Untuk menentukan λ, misalkan x1 = a danx2 = b. Maka,

P (a ≤ X ≤ b) = 1 = λ (b− a) ⇒ λ = 1/(b− a).

Fungsi distribusinya adalah...Fungsi peluangnya adalah...


1.2 Tentang Fungsi Distribusi

Fungsi distribusi berperan dalam kajian peluang pada peubah acak. Jika kitamemiliki fungsi distribusi maka fungsi peluang dapat (dengan mudah) diten-tukan. Namun, hal sebaliknya tidak berlaku. Pada kajian statistika lanjut,seperti konsep Copula, fungsi distribusi akan “lebih bermanfaat” dibandingkandengan fungsi peluang.

Sifat-sifat fungsi distribusi:

• F (−∞) = 0 dan F (∞) = 1

• F merupakan fungsi tidak turun; F (a) ≤ F (b) untuk a ≤ b

• F adalah fungsi kontinu kanan; limϵ→0+

F (x+ ϵ) = F (x)

Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x).

• Jika b ≥ a, maka P (a < X ≤ b) = F (b)− F (a)

• Untuk setiap x,

P (X = x) = limϵ→0+

P (x− ϵ < X ≤) = F (x)− F (x−)

(Perhatikan notasi F (x−) dan kasus apabila fungsi distribusi kontinukiri)

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX(x).

• Misalkan g(X) fungsi naik satu-satu kontinu. Untuk y yang berada didaerah hasil dari g, fungsi invers x = g−1(y) ada. Misalkan Y = g(X).Fungsi distribusi dari Y adalah...

• Misalkan g(X) fungsi turun satu-satu kontinu. Untuk y yang berada didaerah hasil dari g, fungsi invers x = g−1(y) ada. Misalkan Y = g(X).Fungsi distribusi dari Y adalah...

• Misalkan X mempunyai fungsi peluang f(x) = 1 dan Y = g(X) =hX + k, h < 0. Maka

X = g−1(Y ) = · · ·

FX(x) = · · ·

FY (y) = · · ·

Y ∼ · · ·


LATIHAN:

1. Misalkan X peubah acak kontinu yang memiliki fungsi distribusi FX(x)yang naik murni. Misalkan Y = FX(X). Tentukan distribusi dari Y .

2. Misalkan U peubah acak berdistribusi U(0, 1). Misalkan FX(x) fungsidistribusi yang naik murni dariX. Tentukan fungsi distribusi dari peubahacak F−1

X (U).

3. Misalkan U1, U2, . . . , Un sampel acak dari U(0, 1). Bangkitkan sampelacak dari FX(x) (ambil contoh misalnya untuk FX(x) = 1− e−λx, x > 0)

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX(x). MisalkanY = g(X) fungsi kontinu tidak monoton. Kita ketahui bahwa pada fungsiyang monoton,

FY (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y)

dimana dalam hal ini setiap solusi inverse x = g−1(y) digunakan untuk menen-tukan FY (y) dengan menggunakan FX(g

−1(y)). Untuk X ∼ U(−1, 2) dang(X) = Y = X2, kita dapatkan fungsi distribusi dari Y :

FY (y) = · · ·

LATIHAN:

1. Misalkan λ bilangan riil positif. Jika F (x) = 1− e−λx, maka f(x) = · · ·

2. *Misalkan f(x) = c/(1 + x2) untuk −∞ < x < ∞ dan c konstanta.Fungsi f(x) tak negatif dan

∫∞−∞ (1 + x2)−1 dx = π. Berapa nilai c agar

f(x) menjadi fungsi peluang? Tentukan fungsi distribusinya.

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f(x) dan Y = g(X)fungsi yang terdiferensial bernilai tunggal. Maka fungsi peluang dari Y :

fY (y) = fX(g−1(y))

∣∣∣∣ ddyg−1(y)

∣∣∣∣untuk ‘support’ Y = g(X). Komponen

J(y) =d

dyg−1(y)

adalah transformasi Jacobian.


Misalkan g(x) memiliki lebih dari satu fungsi invers maka unsur peluang yangterpisah harus dihitung untuk setiap fungsi invers. Contoh, misalkan X ∼U(−1, 2) dan Y = g(X) = X2. Maka untuk y ∈ [0, 1], terdapat 2 fungsi inversyaitu · · · , dan satu fungsi invers untuk y ∈ (1, 4] yaitu · · · . Fungsi peluangdari Y adalah

f(y) = · · ·

1.3 Ekspektasi

Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f(x). Nilai harapan atauekspektasi dari X, jika ada, adalah

E(X) = µX =

∫ ∞

−∞f(x)dx

Catatan: nilai ekspektasi dikatakan ada jika nilai integral adalah hingga.

Misalkan X p.a. dengan f.p. f(x). Maka nilai harapan/ekspektasi dari g(X),jika ada, adalah

E[g(X)] =

∫ ∞

−∞g(x)f(x)dx.

Operator integral bersifat linier. Jika g1(X) dan g2(X) fungsi-fungsi yangmemiliki ekspektasi dan a, b, c konstanta, maka

E[ag1(X) + bg2(X) + c] = aE[g1(X)] + bE[g2(X)] + c

LATIHAN:

1. Jika distribusi X simetrik di sekitar c dan nilai harapannya ada makaE(X) = c.

2. Misalkan X ∼ U(a, b). Tunjukkan bahwa distribusi tersebut simetrikdisekitar (a+ b)/2.

3. Misalkan X berdistribusi Cauchy dengan fungsi peluang

f(x) =1

σπ[1 + (x−µ)2

σ2

] ,


dengan µ, σ konstanta yang memenuhi |µ| < ∞ dan σ ∈ (0, σ). Tun-jukkan bahwa fungsi peluang simetrik di sekitar µ namun ekspektasinyabukanlah µ.

4. Misalkan X ∼ Exp(λ). Nilai harapan/ekspektasi dari X adalah...

1.4 Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan X peubah acak kontinu, fungsi pembangkit momen dari X adalah

MX(t) = E(etX) =

∫ ∞

−∞etxf(x)dx,

asalkan ekspektasi ada untuk t disekitar 0. Jika semua momen dari X tidakada, maka fungsi pembangkit momen juga tidak ada. Fungsi pembangkitmomen berkaitan dengan fungsi pembangkit peluang

MX(t) = GX(et)

asalkan GX(t) ada untuk t disekitar 1. Jika MX(t) adalah fungsi pembangkitpeluang maka MX(0) = 1.

Contoh/Latihan:

1. Jika fX(x) = λe−λx I0,∞(x), maka

MX(t) = · · ·

2. Jika MX(t) ada maka

Ma+bX(t) = · · ·

3. Jika Xi, i = 1, . . . , n saling bebas, MXi(t) ada untuk setiap i, dan S =∑

Xi, maka

MS(t) = · · ·

4. Fungsi pembangkit momen bersifat unik. Setiap distribusi memilikifungsi pembangkit momen yang unik, dan setiap fungsi pembangkitmomen berkorespondensi dengan tepat satu distribusi. Akibatnya, jikafungsi pembangkit momen ada maka fungsi pembangkit momen tersebutsecara unik menentukan distribusinya. Beri contoh.


5. Pandang turunan dari MX(t) yang kemudian dievaluasi di t = 0. Apayang dapat anda katakan? Dapatkah kita mendapatkan momen ordetinggi?

6. Dapatkah hasil diatas digunakan untuk distribusi diskrit? Ambil contohdistribusi Geometrik dengan parameter p.

7. Misalkan Y ∼ U(a, b). Gunakan fungsi pembangkit momen untuk men-dapatkan momen pusat

E((Y − µY )2) = E

((Y − a+ b

2

)r)


catkuliah_pengstatmat

Documents