catatan si thamrin
TRANSCRIPT
C a t a t a n S i T h a m r i n 1
A . Pen gert i an St at i st i k a Ilmu yang mempelajari pengambilan,
penyajian, pengolahan, dan penafsiran data
B . St at i st i k Da ta Tu ngg al 1. Median
Median adalah nilai tengah dari suatu
kumpulan data yang telah terurutkan
Diketahui n data yang telah diurutkan,
Jika n ganjil, median = ๐ฅ๐+1
2
Jika n genap, median = 1
2(๐ฅ๐
2
+ ๐ฅ๐
2+1)
2. Kuartil
Diketahui n data yang telah diurutkan
Kuartil pertama (๐1) adalah datum
ke-๐+1
4
Kuartil pertama (๐2) adalah datum
ke-๐+1
2
Kuartil pertama (๐3) adalah datum
ke-3(๐+1)
4
3. Statistik Lima Serangkai
4. Rataan Kuartil dan Rataan tiga
Rataan kuartil =1
2(๐1 + ๐3)
Rataan tiga =1
4(๐1 + ๐2 + ๐3)
5. Jangkauan/rentang data (๐ฑ)
๐ฝ = ๐ฅ๐๐๐๐ โ ๐ฅ๐๐๐
6. Jangkauan antarkuartil/hamparan (๐ฏ)
๐ป = ๐3โ๐1
7. Satu Langkah (L)
๐ฟ = 1,5 ร ๐ป
8. Pagar dalam (PD) dan pagar luar (PL)
๐๐ท = ๐1 โ ๐ฟ
๐๐ฟ = ๐3 + ๐ฟ
C . Peny a j i an Data 1. Diagram Kotak Garis
Diagram kotak garis merupakan diagram yang
menyajikan nilai minimum, kuartil bawah,
median, kuartil atas, nilai maksimum, dan
jangkauan (range) dari suatu data
2. Diagram Batang daun
menyajikan penyebaran dari suatu data
sehingga secara keseluruhan data individu-
individu dapat terlihat apakah ada
kecenderungan data tersebut menyebar atau
memusat pada suatu nilai tertentu, atau nilai
manakah yang paling sering muncul dan yang
jarang muncul
Contoh:
Nilai ulangan umum fisika dari 36 siswa adalah
sebagai berikut.
Gambar berikut ini menyajikan diagram
batang daun untuk data yang tersedia.
Untuk membuat suatu diagram batang daun
untuk data nilai-nilai ulangan fisika yang
masing-masing terdiri dari dua angka seperti
pada situasi di atas, kita tetapkan angka
puluhan sebagai bagian batang dan angka
satuan sebagai bagian daun.
3. Tabel Distribusi Frekuensi Data
Berkelompok
Cara mengorganisasikan data dengan
membagi data menjadi beberapa
kelompok atau kelas. Setelah itu, setiap
kelompok atau kelas dari data dicatat
mengenai banyaknya data atau frekuensi
yang masuk dalam kelompok tersebut.
Langkah menyajikan data:
Tentukan rentang data
Bagi data dalam beberapa
kelompok/interval/kelas dengan
rentang antarkelas (Panjang interval)
sama besar. Kelompok tersebut
disebut kelas interval
Catat banyak datum yang termuat
dalam setiap kelompok atau kelas
Untuk menentukan banyak kelas interval
dapat digunakan dua aturan berikut:
a. Aturan Sturgess
๐ = 1 + 3,3(log ๐)
Keterangan:
๐ = Banyak kelas
๐ = Banyak data
b. Aturan semua panjang interval atau
kelas harus sama
๐ = ๐ฅ๐๐๐๐ โ ๐ฅ๐๐๐
๐ =๐
๐
Keterangan:
๐ = Rentangan data
๐ = Panjang setiap kelas interval
Istilah-istilah dalam distribusi frekuensi:
a. Batas bawah dan batas atas kelas
Batas bawah kelas (๐ต๐): nilai terkecil
pada kelas interval
Batas atas kelas (๐ต๐): nilai terbesar
pada kelas interval
b. Limit bawah dan limit atas kelas
Limit bawah kelas (๐ฟ๐) = batas
bawah kelas - 0,5๐
Limit bawah kelas (๐ฟ๐) = batas atas
kelas + 0,5๐
Dengan ๐ = selisih antara batas atas interval
dengan batas bawah interval berikutnya
c. Panjang kelas
Panjang kelas (c) = limit atas kelas โ
limit bawah kelas
d. Titik tengah kelas
Merupakan nilai rataan batas bawah
dan bawah atas kelas. Dapat
dianggap sebagai nilai yang mewakili
kelas itu.
Titik tengah kelas (๐ฅ๐) = 1
2 (batas
bawah kelas + batas atas kelas)
4. Tabel distribusi frekuensi kumulatif dan
relatif
Tabel frekuensi kumulatif pada suatu
kelas interval diperoleh dengan
menjumlahkan frekuensi dari kelas
interval pertama sampai dengan kelas
interval tersebut.
Distribusi frekuensi relatif menyatakan
proporsi data yang berada pada suatu
kelas interval.
๐ ๐ซ๐๐ค๐ฎ๐๐ง๐ฌ๐ข ๐ซ๐๐ฅ๐๐ญ๐ข๐ =๐๐ซ๐๐ค๐ฎ๐๐ง๐ฌ๐ข
๐๐๐ง๐ฒ๐๐ค ๐ฌ๐๐ฆ๐ฉ๐๐ฅ ๐ฉ๐๐ง๐๐ฅ๐ข๐ญ๐ข๐๐ง
5. Histogram
Data yang diperlukan histogram adalah
tepi atas dan tepi bawah tiap kelas.
6. Poligon Frekuensi
Data yang diperlukan poligon frekuensi
adalah nilai tengah dari tiap kelas, dan
nilai tengah satu kelas sebelum dan
sesudah data kelas yang ada
7. Ogive
Ogive adalah kurva distribusi frekuensi kumulatif. Ogive
dibagi menjadi 2, Ogive positif dan Ogive negative.
a. Ogive positif
Data yang digunakan untuk ogif positif berasal
dari tabel distribusi kumulatif kurang dari
dengan tambahan tepi bawah dari kelas
terendah. Ciri dari ogif positif adalah grafiknya
menaik
b. Ogive negatif
Data yang digunakan untuk ogif negatif berasal
dari tabel distribusi kumulatif lebih dari
dengan tambahan tepi atas dari kelas tertinggi.
Ciri dari ogif negatif adalah grafiknya menurun
D. U ku ran P emu satan Data
1. Rataan Hitung (Mean)
Rataan hitung data tunggal
C a t a t a n S i T h a m r i n 2
C a t a t a n S i T h a m r i n 3
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ =๐ฅ1 + ๐ฅ2 + ๐ฅ3 + . . . + ๐ฅ๐
๐
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ =1
๐โ ๐ฅ๐
๐
๐=1
Dengan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ menyatakan rataan hitung, n menyatakan
ukuran data, dan ๐ฅ๐ menyatakan datum ke-i.
Pada data berkelompok, data dianggap sebagai titik
tengah kelas dengan frekuensi sesuai dengan banyak
data pada kelas tersebut,
Rataan hitung data berkelompok
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ =๐ฅ1๐1 + ๐ฅ2๐2 + ๐ฅ3๐3 + . . . + ๐ฅ๐๐๐
๐1 + ๐2 + ๐3
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ =โ ๐ฅ๐๐๐
๐๐=1
โ ๐๐๐๐=1
Dengan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ menyatakan rataan hitung, n menyatakan
banyak kelas, ๐ฅ๐ menyatakan datum ke-i atau nilai
tengah kelas ke-i, dan ๐๐ menyatakan frekuensi kelas
ke-i.
2. Modus
Modus adalah nilai dari data dengan kemunculan atau
frekuensi tertinggi.
Modus data berkelompok adalah kelas interval dengan
frekuensi paling besar dan nilainya ditentukan sebagai
berikut.
๐๐ = ๐ฟ๐ + (โ1
โ1 + โ2) ๐
Dengan ๐๐ menyatakan nilai modus, ๐ฟ๐ menyatakan
nilai limit bawah kelas modus, โ1 menyatakan selisih
frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya,
โ2 menyatakan selisih frekuensi kelas modus dengan
kelas sesudahnya, dan ๐ menyatakan panjang interval
kelas.
3. Median
Median adalah nilai tengah dari data yang terurut.
Pada data berkelompok, median terletak pada kelas
dengan distribusi kumulatif 1
2 banyak data dan nilainya
ditentukan sebagai berikut.
๐๐ = ๐ฟ๐ + (
12
๐ โ ๐๐
๐) ๐
Dengan ๐๐ menyatakan nilai median, ๐ฟ๐ menyatakan
nilai limit bawah kelas median, ๐ menyatakan ukuran
data, ๐๐ menyatakan frekuensi kumulatif dari kelas
sebelum kelas median, f menyatakan frekuensi kelas
median, dan ๐ menyatakan panjang interval kelas.
4. Kuartil, Desil, dan Persentil
Pada statistika juga dikenal ukuran-ukuran khusus yang
membagi data menjadi seperempat (kuartil),
sepersepuluh (desil), dan seperseratus (persentil)
Rumus untuk menentukan kuartil, desil, dan persentil
adalah sebagai berikut.
๐ฟ๐ + (๐ฅ โ ๐๐
๐) ๐
Dengan ๐ฟ๐ menyatakan nilai limit bawah kelas
kuartil/desil/persentil, ๐ฅ menyatakan letak
kuartil/desil/persentil, ๐๐ menyatakan frekuensi
kumulatif dari kelas sebelum kelas
kuartil/desil/persentil, f menyatakan frekuensi kelas
kuartil/desil/persentil, dan ๐ menyatakan panjang
interval kelas.
E . U ku ran Peny ebara n D ata
1. Simpangan Rata-Rata Simpangan rata-rata menyatakan ukuran seberapa
jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai
rataan.
Simpangan rata-rata data tunggal
๐๐ =1
๐โ|๐ฅ๐ โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ|
๐
๐=1
Dengan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ menyatakan rataan hitung, n menyatakan
ukuran data, dan ๐ฅ๐ menyatakan datum ke-i.
Simpangan rata-rata data berkelompok
๐๐ =1
๐โ ๐๐|๐ฅ๐ โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ|
๐
๐=1
Dengan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ menyatakan rataan hitung, n menyatakan
ukuran data, k menyatakan banyak kelas, ๐ฅ๐ menyatakan
datum ke-i atau nilai tengah kelas ke-i, dan ๐๐
menyatakan frekuensi kelas ke-i.
2. Ragam dan Simpangan Baku
Ragam dan simpangan baku data tunggal
๐2 =1
๐โ(๐ฅ๐ โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ)2
๐
๐=1
C a t a t a n S i T h a m r i n 4
๐ = โ1
๐โ(๐ฅ๐ โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ)2
๐
๐=1
Dengan ๐2 menyatakan ragam, ๐ menyatakan
simpangan baku, ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ menyatakan rataan hitung, n
menyatakan ukuran data, dan ๐ฅ๐ menyatakan datum ke-i
F . C onto h Soal
1. Perhatikan data berikut.
Nilai Frekuensi
4 2
12 8
24 20
34 10
Tentukan rataan hitung dan simpangan rata-rata
dari data tersebut!
Penyelesaian:
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ =โ ๐ฅ๐๐๐
๐๐=1
โ ๐๐๐๐=1
=8 + 96 + 480 + 340
2 + 8 + 20 + 10=
924
40= 23,1
๐๐ =1
๐โ ๐๐|๐ฅ๐ โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ| =
1
40(38,2 + 88,8 + 18 + 109)
๐
๐=1
=1
40(254)
= 6.35
2. Perhatikan data berikut.
Tinggi Badan (dalam cm) Frekuensi
110 โ 119 1
120 โ 129 5
130 โ 139 8
140 โ 149 11
150 โ 159 16
160 โ 169 6
170 - 179 3
Tentukan modus dan median data tersebut!
Penyelesaian:
๐๐ = ๐ฟ๐ + (โ1
โ1 + โ2) ๐
= 149,5 + (5
5 + 10) 10
= 149,5 + 3,33
= 152,83 cm
๐๐ = ๐ฟ๐ + (
12
๐ โ ๐๐
๐) ๐
= 139,5 + (25 โ 14
11) 10
= 139,5 + 10
= 149,5 cm
3. Perhatikan data berikut.
Nilai Frekuensi
2 3
4 4
6 6
8 4
10 3
Tentukan ragam dan simpangan baku dari data
tersebut!
๐2 =1
๐โ(๐ฅ๐ โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ)2 =
1
20(48 + 16 + 0 + 16 + 48)
๐
๐=1
=128
20
= 6,4
๐ = โ๐2 = โ6,4 = 2,53
4. Urutkanlah data berat badan berikut dari terkecil
sampai terbesar!
Penyelesaian:
- Tentukan berat terkecil, berat terbesar,
kuartil bawah, median, dan kuartil atas
dari data tersebut.
- Setelah data diurutkan, diperoleh berat
terkecil dan terbesarnya secara berturut-
turut adalah 40 dan 75.
- Banyak data keseluruhannya adalah 36
- Letak kuartil bawahnya ada pada data ke 36 + 1
4= 9,25, yaitu terletak di antara
data ke-9 dan 10. Sehingga ๐1
merupakan rata-rata dari data ke-9 dan
10, yaitu ๐1 =๐ฅ9 + ๐ฅ10
2=
47 + 50
2= 48,5.
C a t a t a n S i T h a m r i n 5
- Mediannya terletak pada data ke 36 + 1
2=
18,5, sehingga ๐2 =๐ฅ18+ ๐ฅ19
2=
58 + 60
2=
59.
- Kuartil atasnya terletak pada data ke 3
4โ
(36 + 1) = 27,75 yaitu ๐3 =๐ฅ27 + ๐ฅ28
2 =
64 + 64
2= 64.
5. Tentukan frekuensi kumulatif dan frekuensi relatif
dari data berikut!
Usia (dalam
tahun)
Frekuensi
15-19 2
20-24 10
25-29 19
30-34 27
35-39 16
40-44 10
45-49 6
50-54 5
55-59 3
60-64 2
Penyelesaian:
Usia
(dalam
tahun)
Frekuensi Frekuensi
Kumulatif
Frekuensi
Relatif
Frekuensi
Relatif
Kumulatif
15-19 2 2 0,02 0,02
20-24 10 12 0,10 0,12
25-29 19 31 0,19 0,31
30-34 27 58 0,27 0,58
35-39 16 74 0,16 0,74
40-44 10 84 0,10 0,84
45-49 6 90 0,06 0,90
50-54 5 95 0,05 0,95
55-59 3 98 0,03 0,98
60-64 2 100 0,02 1
6. Gambarlah histogram dan poligon frekuensi dari
data berikut.
Penyelesaian:
C a t a t a n S i T h a m r i n 6
1) Histogram
2) Poligon Frekuensi