catatan penurunan rumus mekanika kelas a
DESCRIPTION
assadda sTRANSCRIPT
Hukum Newton I => pada posisi diam r
Hukum Newton II => yang tadinya diam menjadi bergerak
∑F = 0 => Hukum Newton I
∑F = ma => Hukum Newton II
a = ΔvΔt ~
dvdt = 0
Vf = Vi
V = dxdt
ʃ V dt = ʃ dx
V ( tf – ti ) = Xf – Xi + V (tf - ti) => Xf = Xi + (tf – ti ) Xi = Xo
Xf = Xo + V . 0 ti = 0
Xf = XO (diam / menunggu) tf = ti
a = dxdt
a ʃ dt = ʃ dv
Vf - Vi = a ( tf – ti )
Dimisalkan selisihnya t
Vf = Vi + at
(Vellandya – M0214069)
KINEMATIKA GERAK
GERAK JATUH BEBAS
Vf = Vi + at V merupakanturunandarijarakterhadapwaktu.
dxdt = Vi + atjikadtdipindahkeruaskanan, maka:
∫ dx = V i∫dt + a∫ t dt
Xf – Xi = Vi(tf–ti) +a 12 t2ǀtftihasilsetelahdiintegralkan.
Xf – Xi = Vi(tf–ti) + a12 (tf
2 – ti2)
X = X0t + V0t + a12t2ti= 0,Xi= X0,Xf = X, tf = t
X = X0t + V0t + a 12 t2
X = X0t + V0t - g 12 t2
a = -g saatbendadilemparkeatas, arahpercepatanbendaberlawanandenganarahgayagravitasi.
a > g saatbendadilemparkeatas, percepatanbendabisamelebihipercepatangravitasi.
gtergantungpada g = Gmr2
V = √2gh
g = Gmr2
g = Gm
(RӨ+h)2
g = GmRӨ2 .
1
(1+ hRӨ
)2
g = gs(1+ hRӨ
)−2
gs:gayasentripetal
g = gs(1 - 2hRӨ )
g = gsjika h >>> R , maka 2hRӨ bisadiabaikan
GERAK PARABOLA
waktukeatasdankebawah
α α = 90o
Komponen vector kecepatanawaldalamsumbu x dan y:
V0x = V0cosα
V0y = V0 sin α
Kecepatanbendasetiapsaat :
1. Dalamarahmendatar : Vx = V0x = cosα2. Dalamarah vertical : Vy = V0y –gt = sin α – gt
Maka, V = denganarahterhadapsumbu X adalah
= arc tan VyVx
Ketinggianmaksimal:
Padasaatbendamencapaiketinggianmaksimal, kecepatanarah vertical samadengan nol.
Vy= 0
V0 sin α – gt = 0
V0 sin α = gt
t = V 0sin α
g
t :waktu yang diperlukanuntukmencapaiketinggianmaksimal.
Bilanilai t disubstitusikankepersamaanposisiuntukgerakarah vertical:
Y = (V0 sin α) t - 12 gt2
Hmax = (V0 sin α) ( V 0sin α
g ) - 12 g (
V 0sin αg )2
= V 02sin 2α
g -
V 02sin 2α2g2
= V 02sin 2α2 g
Jarakjangkauan :
Jarakjangkauandapatdihitungdenganmeninjaubahwaposisi vertical bendaadalah nol.
Y = (V0 sin α) t - 12 gt2
0 = V0 sin α t - 12 gt2
12 gt2= V0 sin α
t = 2 Vosinα
g
Halaman kedua versi (ADE BAGUS – M0214001)
HUKUM NEWTON II
Gaya Pada Bidang Licin
∑F = ma
mg sin Ɵ – fk = ma , nilai fk = 0 karena pada bidang licin tidak terjadi gaya gesek antara permukaan balok dengan permukaan bidang
mg sin Ɵ – 0 = ma
a = g sin Ɵ
a = g ; jika Ɵ = 900 , maka
dƟdt = g sin Ɵ
dv = (g sin Ɵ) dt
vf = vi + g sin Ɵ (tf – ti)
vf = vi + gt sin Ɵ ; karna benda bergerak ke bawah maka nilai g adalah -
vf = vi – gt sin Ɵ
Gaya Pada Bidang Kasar
mg sin Ɵ – fk = ma Ɵ ; karena bidang kasar maka nilai fk ≠ 0
fk = µk.N
mg sin Ɵ - µk N = ma
g sin Ɵ - µk mg cos Ɵ = ma
g ( sin Ɵ - µk cos Ɵ) = a
jika Ɵ = 900 , maka
g = a ;karena cos 900 = 1
jika Ɵ = 00 , maka
g (sin Ɵ - µk cos Ɵ) = a ; karena di bumi g ≠ 0
sehingga, sin Ɵ - µk cos Ɵ → µk = tan Ɵ
µk = sin ƟcosƟ
µk → ∞
a = g sin Ɵ
x” = g sin Ɵ
2x’x” = 2x’g sin Ɵ
Karena, x’ = dxdt , x” ¿
ddxdtdt
2x’x” = x’x” + x”x’
dx ' dx '
dt = dx ' x '
dt
= x’x” + x”x’
Sehingga
d x ' x '
dt = 2x’g sin Ɵ
d x ' x '
dt = 2
dxdt g sin Ɵ
∫ d x ' x '=∫2g sin Ɵ dx
Halaman ketiga versi (Agus Tri P - M0214003)
JikaXi=Xo=0
X2=Xo2+2 g ( X−Xo ) sin θ
MakaXo = 0 sehinggarumusnyamenjadi
X2=2 gX sin θ
Untukθ = 90omakasin θ = 1
Xf =Xi2+2 g ( Xf −Xi )
Untukθ = 0omakasin θ = 0
Xf =Xi2
g (sinθ−μcosθ )=a
Jikaθ= 90omakaa=g
F V n
F=kmx
F=m ∆ v∆ t
Dimana∆ v∆ t
=amaka :
F=ma
W =kx
W 2= km
W =√ gl
W =2 πf
2πf =√ km
m x=−km x
m x+km x=0
x=−k x
d xdt
=−k x
∫Xi
Xf d xx
=−k∫ti
tf
dt
ln x ¿xixf −k (tf −ti)
ln xfxi
=−k ( tf−ti)
Xf =Xie−k (tf −ti)
Xf =Xie−k t
Untuk t ~ maka
Xf =0
Karenanilai
e−k =0
Untuk t=0 maka
Xf =Xi
Karenanilaidari
e−k 0=1
Halaman keempat versi (ANA MELIA W – M0214007)
∫ dvv
=¿−k∫ dt ¿
ln v=−kt +C v ( t=0 )=v0 ,C=ln v0
ln v=−kt + ln v0
ln v−ln v0=−kt
ln v❑
v0=−kt
v=v0 e−kt
dxdt
=v0 e−kt
∫ dx=∫ v0 e−kt dt
x=v0∫e−kt dt
x=v0(−1k
e−kt)+C
Jika t=0, dan x=0
Maka x=−v0
ke−kt+C
0=−v0
k+C C=
v0
k
Jika t=0 dan x=x0
x0=−v0
k+C ; C=
v0
k+ x0
x=−v0
ke−kt+
v0
k+x0
x=x0+v0
k(1−e−kt )
Jika t=0 dan x0=0
x=−v0
ke−kt+
v0
k
x=(−e−kt+1 ) v0
k
x=(1−e−kt ) v0
k
v=v0 e−kt
x= x0 e−kt
Saat t=0 maka kecepatannya konstan dimana v=v0
Saat k=0 maka kecepatannya juga konstan dan v=v0
Saat t , maka
v=v0 e−k
v=0
Kecepatannya sama dengan nol, hal ini menandakan berhenti karena adanya hambatan.
Saat k , maka v=0 , artinya benda tidak bergerak
Saat t
v=v0 e−kt❑→
0
v=v0(1−kt+ k2t 2
2!−…)
v=v0−v0 kt+v0 k2t 2
2 !−… v0 k2 t2
2 ! Diabaikan karena t 2 sangat kecil mendekati nol
v=v0−v0 kt
v=v0 (1−kt )−kt
Halaman kelima versi (ARIYANTI – M0214009)
x=(1−e−kt )Vo /k
Saat t = 0 (awal mula)
x= (1−1 ) Vok
x=0
Saat k = 0
x= (1−1 ) Vok
x=0
Saat t = ∞
x= (1−0 )Vok
x=Vo /k
Saat k = ∞
x= (1−0 )Vok
x=Vo /k
Saat t = 0
x=(1−(1−kt+ k2 t2
2!+…))Vo
k e−kt dirubah menggunakan deret Mac Laurin
x=(kt− k2 t2
2!) Vo
k
x=(Vot−Vo t 2
2)
x=Xo+ Vok
(1−e−kt )
Saat t = 0
x=xo+Vok
(1−1)
x=xo benda tidak berpindah tempat
Saat k = 0
x=xo+Vok
(1−1 )
x=xo
Saat t = ∞
x=xo+Vok
(1−0)
x=xo+Vok
Saat k = ∞
x=xo+Vo∞
(1−0)
x=xo Saat t = 0
x=Xo+ Vok (1−(1−kt+ k 2t 2
2 !+…))
x=Xo+ Vok ((kt+ k2t 2
2!+…))
x=Xo+Vot−Vok t2
2!
x=Xo+Vot−Vok t2
2!
kmv mg
F=m dvdt
=−kmv
-mg tanda “-“ Karena gaya grativasi selalu menunjukkan kebawah
m dvdt
=−mg−kmv
dvdt
=−g−kv
dvdt
=−(g+kv )
∫ dvg+kv
=−∫ dt
1k∫vi
vf d (g+kv )(g+kv )
=−∫ti
tf
dt dimana (g+kv) = dg + dkv
Halaman keenam versi (Azis Eko Prakoso, M0214011)
mgkmẋ
mẍ = -mg - kmẍ
ẍ = -g -kẋ
dẋ/dt = -(g+kx)
∫ dẋ(g+kx)
=∫−dt
d ( g+kẋ )=dg+dkẋ
d ( g+kẋ )=dg+kdẋ+ẋdk
d ( g+kẋ )=kdẋ
1k
( dg+kẋ )=dẋ
1k
ln ( g+kẋ )¿ẋiẋf=−(t f −t i )¿
¿
1k ( ln ( g+k ẋ f )−ln (g+k ẋ i ))=−(t f −t i)
ln ( g+k ẋ f
g+k ẋ i)=−k (t f− ti )
(g+k ẋ f )=(g+k ẋ i)e−k (t f −ti)
(t f −ti )=t
( g+k ẋ f )=( g+k ẋi ) e−kt
k ẋ f =(g+k ẋ i ) e−kt−g
ẋ f =( g+k ẋi ) e−kt−g
k
Jikat ∞
ẋ f =( g+k ẋi ) e−kt−g
k
e−kt=0
ẋ f =−gk
Berdasarkanpersamaanawal :
ẍ=−g−kẋ
ẍ=−g−k (−gk )
ẍ=−g+g=0(kec . konstan , sudahbergerak )
Jikat=0
ẋ f =( g+k ẋi ) e−kt−g
k
e−kt=1
ẋ f =(g+k ẋi )−g
k
ẋ f =ẋ i (kec .awal=kec .akhir )
Makaẍ=−g−k ẋ i
Jikat 0
ẋ f =( g+k ẋi ) e−kt−g
k
ẋ f =(g+k ẋi ) (1−kt+ k2 t2
2!−…)−g
k
ẋ f =g−gkt+ gk2 t2
2 !+k ẋi−k2 t ẋ i+
k3 t 2 ẋ i
2!−g
k Diabaikan
ẋ f =−¿+ gk t 2
2+ẋ i−kt ẋ i+
k2t 2 ẋ i
2
ẋ f =ẋ i−¿−kt ẋ i+gk t 2
2+
k2t 2 ẋ i
2
ẋ f =ẋ i−¿−kt ẋ i
ẋ f =ẋ i(1−kt )−¿
Jika k = 0 ẋ f =ẋ i−¿
Ataubiasaditulis :
v t=v0±>¿
v t=v0−¿
Halaman ketujuh versi (BAGAS PRATAMA – M0214013)
Gerak benda yang dipengaruhi oleh gaya gesek udara
x f =(g+k xi ) e−kt
k−gk
Gaya gesek di sini selalu dipengaruhi oleh besar kecilnya kecepatan benda yang dikalikan dengan konstanta gesek
Karena x f merupakan turunan pertama dari x f terhadap waktu maka dapat diubah menjadi dxdt
dxdt
=( g+k xi ) e−kt
k−gk
Kemudian dt dipindah ruas kanan untuk mengintegralkan persamaan tersebut
∫x i
x f
dx=∫t f
ti ( g+k xi ) e−kt
kdt−−g
k ∫t i
tf
dt
Karena (g+k x i )
k tidak memiliki komponen t maka dapat dianggap konstanta yang tidak akan
berubah jika diintegralkan
∫x i
x f
dx=¿( g+k xi )
k ∫t i
t f
e−kt dt−−gk ∫
t i
tf
dt ¿
x f −x i=( g+k xi )
k−1k
e−kt {t f
ti
− gk
t {t f
t i
x f −x i merupakan perpindahan benda dari titik awal ke titik akhir
x f −x i=g+k xi
k (−1k
(e−k tf−e−k t i))−gk (t f −ti )
Untuk ti =0 maka x i= x0→ x i=x0
x f −x0=g+k x0
k¿
x f −x0=g+k x0
k (−1k
(e−k tf−1))−gk
t f
Benda dimulai dengan t=0 yang artinya waktu yang berpengaruh hanya t f yang merupakan waktu akhir dari pergerakan benda tersebut.
Untuk tf =t, maka
x−x0=g+k x0
k¿
x=x0+g+k x0
k2 (1−e−kt )−gk
t
x=x0−¿k+
g+k xo
k2 (1−e−kt)
Jika t=0
x=x0+g+k xo
k2 (1−1 )
x=x0 → posisi konstan
Benda dianggap belum bergerak
Jika t→∞
x=x0−g∞k
+g+k x0
k2
x=∞
Benda akan selalu bergerak seiring bertambahnya t. Sehingga ketika t→∞ maka posisi benda tersebut akan x →∞juga
Jika t→0
x=x0−¿→0
k+
g+k xo
k2 (1−e−kt → 0)
e−kt →0diubah dengan menggunakan deret McLaurin menjadi(1−kt+( k2 t2
2 ! )−..)x=x0−0+
g+k xo
k2 (1−(1−kt+( k2 t2
2! )))x=x0+
g+k xo
k2 (kt+( k2 t2
2! ))x=x0+
gktk2 −g k2t 2
2k2 +k2 xot
k 2 −k3t 2 x0
2k2
Dengan nilai t yang sangat kecil yaitu mendekati 0 maka dapat digunakan pendekatan yaitu dengan menggunakan deret McLaurin.
Halaman kedelapan versi (DEWANGGA FEBRILIAN – M02014015)
s (v 0→v1 )= 12k
ln [ g−k v02
g−k v12 ]
Persamaan dasar F yakni:
F=−mg−mk v2
a=−g−k v2
a=−(g+k v2)
Karena,
d ( g+kv )=dg+d (k v2)
d (g+kv)=dg+kd v2
d (g+kv)=dg+2kv dv
Dengan dg= 0
Jika percepatan a=dvdt , maka:
dvdt
=dxdt
dvdx
=V dvdx
Sehingga persamaan F menjadi:
F=−mg−mk v2
ma=−mg−mk v2
m dvdt
=−mg−mk v2
v dvdx
=−( g+k v2 )
Kemudian, diintegralkan menjadi:
∫ v dvg+k v2=−∫ dx
12k∫v 0
v 1 d ( g+k v2 )g+k v2 =−∫
x 0
x 1
dx
12k
{ln(g+k v2)}v1v 0
={−x }x1x0
12k
{ln (g+k v 12 )−ln (g+k v02)}=−(x 1−x 0)
12k
ln( g+k v 12
g+k v 02 )=x 0−x 1
ln ( g+k v 12
g+k v 02 )=−2k (x1−x 0)
g+k v12=(g+k v02)e−2k(x 1−x 0)
k v12=−g+(g+k v02)e−2k(x 1−x 0)
v12=−gk
+(g+k v02)
ke−2k (x1− x0 )
Jika k=0, maka:
v12=−g0
+ (g+0)0
e−0 (x 1−x 0)
v12=∞
Jika x=∞, x=x1-x0, maka:
v12=−gk
+(g+k v02)
ke−2k ∞
1
2
3
v12=−gk
(DWI RIZKI – M0214017)
2.12Analisa gerak melempar benda ke udara
Dari 1 ke 2 (gerakankeatas):
F=−mg−km v2 (I)
(catatan: Beratbebanbernilainegatifdikarenakanmengarahkebawah, karenabendaakandipindahkankeatasmakabendamelawangeraknormalnyasehinggabernilainegatif.Nilaikm v2 adalah hambatan yang diterima benda saat bergerak, karena arah gaya hambat tersebut selalu berlawanan dengan arah bendamakabernilainegatif)
m dvdx
dxdt
=−m g−km v2 (II)
(catatan: nilaiF=ma dimana a=v , dengan v=dvdx
=dvdx
dxdt
=v dvdx . Variabel m di coret/hilangkan
dengan membagi keseluruhan dengan m)
Sehingga,
v dvdx
=−g−k v2 (III)
vdv=(−g−k v2)dx (IV)
∫ v(g+k v2)
dv=−∫ dx
(V)
(catatan: nilai g(gravitasi) dan k(konstanta) adalahkonstan, artinya dg maupundk = 0 )
( 12k )∫ 1
(g+k v2 )d ( g+k v2 )=−∫ dx (VI)
( 12k ) ln
( g+k vt 2 )(g+k vi2)
=−x (VII)
d ( g+k v2)=dg+d ( k v2 )=0+kd v2+v2 dk=kd v2=2kvdv
d ( g+k v2 )2kv
=dv
( g+k vt2 )( g+k vi2 )
=e−2kx
vt2=−gk
+( g+k vi2 )
ke−2kx
(catatan: padabagianinidiperlihatkankecepatanakhirsuatubenda yang dilemparkeataspadajaraktertentudan vi tertentu. Terlihatadanyavariabelpengurangan yang menghambatlalupadaakhirnyamenghentikangerakbenda)
Untukx →∞
vt2=−gk
(catatan:
x=( 12k ) ln
( g+k vi2 )( g+k vt2)
SaatXmaks, Vt=0 (padabagianatasbendasempatberhentisesaathinggakecepatannyanol)
Xmaks=( 12k ) ln
(g+k vi2 )(g )
Dari 2 ke 3 (gerakankebawah):
F=mg−km v2 (I)
(catatan: Beratbebanbernilainegatifdikarenakanmengarahkebawah, karenabendaakandipindahkankebawahmakabendasearahgeraknormalnyasehinggabernilaipositif. Nilai
km v2 adalah hambatan yang diterima benda saat bergerak, karena arah gaya hambat tersebut selalu berlawanan dengan arah bendamakabernilainegatif)
(catatan: analisa yang bekerjapadagerakankebawahpadabendatidakberbedajauhdengansaatbendakeatas, perbedaanhanyaterletakpadanilaiberatbeban (positifataunegatif))
Sehingga,
m dvdx
dxdt
=m g−k m v2 (II)
(catatan: nilaiF=ma dimana a=v , dengan v=dvdx
=dvdx
dxdt
=v dvdx . Variabel m di coret/hilangkan
dengan membagi keseluruhan dengan m)
Sehingga,
v dvdx
=g−k v2 (III)
vdv=(g−k v2)dx (IV)
∫ v(g−k v2)
dv=∫ dx (V)
d ( g−k v2 )=dg−d (k v2 )=0−kd v2−v2 dk=−kd v2=−2kvdv
d (g−k v2)−2kv
=dv
(catatan: padabagianinidiperlihatkankecepatanakhirsuatubenda yang jatuhkebawahpadajaraktertentudan vi = tertentu. Terlihatadanyavariabelpengurangan yang menghambatlalupadaakhirnyamenghentikangerakbenda)Untukx →(kecepatan terminal)(catatan: keadaaninimenerangkankecepatanbendasaatjatuhkebawah. Nilai v yang didapatadalahsuatupenambahannilai, semakinkebawahmakakecepatannyasemakintinggiakibatgayagravitasisemakinbesar)
SaatXmaks, Vi=0 (padabagianatasbendasempatberhentisesaathinggakecepatannyanol)
(catatan: nilai g(gravitasi) dan k(konstanta) adalahkonstan, artinya dg maupundk = 0 )
(−12 k )∫ 1
(g−k v2 )d (g−k v2)=∫dx (VI)
(−12 k ) ln
( g−k vt2 )(g−k vi2 )
=x (VII)
(FAUZI AHMAD – M0214019)
Contoh 2.6
Next, we treat projectile motion in two dimensions, first without considering air resistance. Let the muzzle velocity of the projectile be Vo and the angle of elevation be θ (figure 2-7). Calculate the projectile’s displacement, velocity, and range solution.
Diamati pergerakan benda yang bergerak terhadap dua dimensi x dan y dengan mengabaikan hambatan udara. seperti pada gambar 2-7 diamana sebuah benda yang di lemparkan dengan kecepatan awal Vo dengan sudut θ kearah sumbu x dan y sehingga benda tersebut memiliki gaya kearah x dan y.
∑F=0 0=∑F memiliki makna secara matematis sama, namun secara fisika berbeda.
0 = mx’’ mx’’ = 0
Pada gerak parabola saat ketinggian h maksimum maka kecepatannya nol, h maksimum terjadi pada saat setengah jarak sumbu x. sehingga waktu yang dibutuhkan sebuah benda dari titik (x,y) = (0,0) menuju titik ketinggian maksimum ialah setengah waktu yang dibutuhkan untuk menempuh jarak sumbu x maksimum.
sehingga waktu yang ditempuh hingga mencapai ketinggian h maksimum ialah :
Vt = V0 sinθ – gt
0 =V0 sinθ – gt
t=Vosinθg
Dimana komponen sumbu y = y = V0 sinθ t - 12
gt2 , sehingga waktu yang ditempuh keseluruhan ialah :
y = V0 sinθ t - 12
gt2
0 = (V0 sinθ - 12
gt) t
t=2Vo sinθg
Atau sama dengan dua kali waktu yang ditempuh hingga pada titik ketinggian h maksimum.
Dimana komponen sumbu x = x = V0 cosθ t ,sehingga range R ialah :
x = V0 cosθ t
x = V0 cosθ 2Vo sinθ
g
R = V o2 sin2θg
Contoh 2.7
Next, we add the effect of air resistance to the motion of the projectile in the previous example. Calculate the decrease in rafge under the assumption that the force caused by air resistance is directly proportional to the projectile’s velocity.
dengan keadaan yang sama pada contoh sebelumnya, dimana :
x(t = 0) = 0 = y(t=0)
x’(t = 0) = V0 cosθ = U
y’(t = 0) = V0 sinθ = V
dimana persamaan perpindahan sebelumnya :
mx’’ = -kmx’
my’’ = -kmy’ – mg
berdasarkan penyelesaan pada contoh 2.4 sebelumnya, didapatkan :
x=Uk
¿-kt)
Sehingga komponen y adalah :
Y = -¿k +
kV +gk2 (1-e-kt)
Jika t = T dan y = 0 maka
¿k =
kV +gk2 (1-e-kt)
T = kV +g
kg (1-e-kt) merupakan deret, sehingga :
T = kV +g
kg ( kT - 12k2T2 + 1
6k3T3 - . . . )
T = kV +g
g ( T - 12kT2 + 1
6k2T3 - . . . )
T = (kVg
+1¿ T (1 - 12kT + 1
6k2T2 - . . . )
11+kV / g = (1 -
12kT + 1
6k2T2 - . . . )
-12
kT + 16
kT2 = 1
1+kV / g−1+kV / g
1+kV / g
-12
T+ 16
kT 2 = - V /g
1+kv / g
T - 13
kT 3 = 2 v /g
1+ kVg
T = 2V /g
1+kV / g+ 1
3kT 3 . . . . .. . . (2.47)
(IFTITA IDA SOFIA – M0214019)
Deret Taylor
1/ ¿ [1 + (kvg
)] = 1 – (kvg ) + (
kvg )2 – …
Sehingga :
T = 2vg [1 –
kvg + (
kvg )2 – … ] +
13 kT2
T = [2vg – 2k v2
g2 + 2k2 v3
g3 – … ] + 13 kT2
Misalnya o (k) = 2k2 v3
g3 – 2 k3 v4
g4 + …
Maka
T = 2vg – 2k v2
g2 + 13 kT2 + o (k)
T = 2vg + k [ T
2
3 – 2v2
g2 ] + o (k) ….. (2.49)
Saat tidak ada gesekan udara (k=0) dan mengabaikan o (k)
T (k=0) = T0 = 2vg
Karena V = V0 sin ɵ
T0 = 2V 0sin ɵ
g
T = T0
T = 2vg + k [4 v2
3g2 – 6v2
3g2 ]
T = 2vg + k (−2v2
3 g2 )
T = 2vg –2k v2
3 g2
T = 2vg [ 1 –
kv3g ] …. (2.50) (
2vg
– 2k v2
3g) (
2vg
– 2k v2
3 g)
kv3g > 1 4 v2
g2 – 8k v3
3g3 – 4 k2 v4
9 g2
Dari persamaan 2.43
× = uk ( 1 – ekt)
× = uk ( kt –
12 k2t2 +
16 k3t3 – ….) …. (2.51)
Ketika x (t= T) = R’
R’ = uk ( kt –
12 k2t2 +
16 k3t3 – ….)
R’ = u ( T – 12 kT2 +
16 k2T3 – ….) …. (2.52)
Dari persamaan 2.50
T = 2vg [ 1 –
kv3g ]
R’ = u [ 2vg
– 2k v2
3 g2 12 k (4 v2
g2 – 8k v3
3 g3 – 4 k2 v4
9 g9 )
R’ = u [ 2vg
– 2k v2
3 g2 – 2 k v2
g2 +( 4 k2 v3
3 g3 + 2k2 v4
9 g2 )
m1ẍ1 = m1g - T
( 4 k2 v3
3 g3 + 2k2 v4
9 g2 ) ------> Diabaikan
R’ = u [ 2vg (1
kv3g –
kvg ) ]
R’ = u[ 2vg ( 1
4 kv3 g ) ]
R’ = 2uv
g ( 1 –4 kv3g ) ….. (2.53)
(JOKO PRIYONO – M0214027)
Contoh 2.9
T
T
m1.g m2.g
……….. (2.66)
berartiadanyaselisihgaya yang meninbulkankecepatan
m2ẍ2 = m2g – T ………… (2.67)
m1 m2
ẍ2 = - ẍ1
m1ẍ1 = m1g –(m2g - m2ẍ2)
= m1g – (m2g + m2ẍ2)
ẍ1 = g (m1 – m2) = - ẍ2 ………. (2.68)m1+ m2
Jikam1>>>m2maka :
ẍ1 g
T = 2 m1m2g m1[ 1 + (m2/m1)]
=2 m1m2g1 + m2
m1m1
dimana, (1+ m2m1 )
−1
dapatdideretdenganpersamaan :
(1+x )n=1+nx+n (n−1 )
2!x2+
n (n−1 ) (n−2 )3 !
x3+…
Sehingga :
T ≅2 m2g(1−m 2m 1
+−1 (−1−1 )
2 ! (m2m1 )
2
+…) x1’ x2’
x1” x1 x2 x2”
m1 ẍ1” = m1(ẍ1’+ ẍ1) = m1 g – T
m2 ẍ2” = m2 (ẍ2’+ ẍ2) = m2 g – T
dimana(ẍ1’+ ẍ1)adalahpercepatan lift danbenda,
denganẍ1’= ẍ2’ = α sehinggadidapat
m1
m2
m1 ẍ1” = m1 g – T–m1 ẍ1’ = m1(g – α) – T
m2 ẍ2” = m2 g – T–m2 ẍ2’ = m2(g – α) – T
karenaẍ2 = -ẍ1didapat
ẍ1 = - ẍ2 = (g – α) (m1 – m2)m1+ m2
dengan(g – α)menunjukkan lift padaposisinaik, sehinggadidapatnilai T yaitu :
T = 2 m1m2(g – α) …………….. (2.72)m1+ m2
(KRISTANTO ADI – M0214029)
Contoh 2.10
Gambar 1. Partikel masuk dalam medan magnet
V= x i+ y j+ z k
a= x i+ y j+ z k hanya menunjukkan arah pada sumbu y
B=B0 j
Dimana F=qV ×B tanda X (cross) menunjukkan arah
ma=qV × B
m( x i+ y j+ z k )=q ( x i+ y j+ z k)×B0 j
m ( x i+ y j+ z k )=q B0 ( x k− z i )
m x=−q B0 z m y=0 m z=q B0 x
Untuk m y=0kecepatan konstan
y= y0
dydt
= y0
˙∫ dy=∫ y0 dt
y= y0t +c
y= y0t + y0
m x=−q B0 z dijadikan α=q B0 /m
Sehingga :
x=−α z
z=α x
z=α x=−α 2 z
x=α z=−α 2 x
x=A cos αt+B sin αt
x=−Aα sin αt+Bα cosαt
x=−A α 2 cosαt−B α 2sin αt
x+α 2 x=0
(−A α 2 cosαt−B α 2sin αt )+α 2(A cosαt+B sin αt)=0
−A α 2cos αt−B α2 sin αt+ A α 2cos αt+B α 2 sin αt=0
(terbukti)
x=A cos αt+B sin αt
x=−Aα sin αt+Bα cosαt
x=A α 3sin αt−B α3 cosαt
x+α 2 x=0
( A α 3 sin αt−B α3 cosαt )+α2 (−Aα sin αt+Bα cos αt )=0
A α 3sin αt−B α3 cosαt−A α3 sin αt+B α3 cosαt=0
(MARISTA LARASATI – M0214033)
x=A cos αt+B sinαt
x '=−Aα sin αt+Bαcosαt
x ' '=−Aα2 cosαt – B α2 sin αt
x ' ' '=Aα3 sinαt – B α3 cos αt
x ' ' '=Aα4 cosαt + B α4 sin αt
X’’’’ + α2 x’’ = 0
¿α4 cosαt + B α4 sin αt) + α2 (−Aα2 cosαt – B α2 sin αt) = 0
Z- z0 = A’ Cosαt + B’ Sinαt
Z’’ = -A’ αsinαt + B’ αcosαt
soal 2.32
Koefisien friksi = µk
Pada sudut Ɵ berapakah kedua massa bergerak dengan kecepatan konstan?
2 mg sin Ɵ + 2µk mg cosƟ = mg
2sinƟ + 2 cosƟ = 1
sinƟ + cosƟ =12 → cos2 Ɵ + sin2 Ɵ = 1
sinƟ + ( 1-sin2Ɵ)1/2 = 12 cos2 Ɵ = sin2 Ɵ-1
(µk(1-sin2Ɵ)1/2 )2 = 12 – sinƟ µ2
µk2 (1-sin2Ɵ) = 14 – sinƟ + sin2 Ɵ
(1+ µk) sin2 Ɵ – sinƟ +( 14 -µ2) = 0
Maka
sinƟ = ¿ −b±√b2−4 ac2a
= ¿−1±√12−4 (i+µ2 )( 1
4−µ2)
2(i+µ2)
¿ −1±√3µ 2−4 µ42+2µ2
(Maya Fransisca – M0214035)
Soal 2.14
a. d?b. α ketikad max?c. d max?
Sumbu x GLB
X= Vo cos αt
Y= Vo sin αt - ½ gt 2
Y= Vo sin αx
vocos α - 1g x2
2Vo2cos2α
Y = x tan α - ½ gx2 1g x2
2Vo2cos2α
Y= d sin β x= d cos β
d sin β= d cos β tan α - 1gd2cos2 β2Vo2 cos2 α
d[sin β- d cos β tan α+ 1gd❑cos2 β2Vo2cos2 α
]=0
1gd❑cos2 β2Vo2cos2 α
= cos β tan α - sin β
a¿d= 2vo2 cos2 x {cos β tan α−sin β }
gcos2 β => cos α cos β tan α - cos α sin β =
cos β sin α−cosα sin β= sin (α−β ¿
d = 2vo2cos α sin α−β¿ ¿gcos2 β
max=> d/dx.d=0
d/dx 2vo2cos α sin α−β¿ ¿gcos2 β =0 => cos (A-B) = cos a cos B – sin A sin B
-sin α sin α−β¿¿+ cos α cos(α−¿β )cos¿¿=0
2α−β = π /2
α= π2+β /2 => sin A sin B = 2 cos (A+B)2 sin (A-B)/2
b¿b max= 2vo2cos¿¿
c ¿d max = 2vo2¿¿ = 2vo2(1−sin2 β )g¿¿
(Mita Handayani – M0214037)
h’ = R – R cos 45o
= Rx ( 1 – ½ √ 2)
A) Force on AB) Force on BC) V at release from bD) How far from A ,the mass will land anyground?
From C to Atu
EMc = EMa karena di C tidak kecepatan awal, makan tidak ada Eknya, begitu
Mgh = ½ mVa2 juga di A, tidak ada ketinggian maka Epnya nol.
Va = √2gh
From A to B
EMa = EMb
½ m Va2= ½ m Vb2 + mgh’
½ 2 gh = ½ Vb2 + gR ( 1 – cos 45o)
½ Vb2 = gh – gR ( 1 – cos 45o)
Vb = √ 2g¿
∑F = m a sentripetal gerak melingkar
N – mg = m Va2/R
N – mg = m 2gh/R
Na = mg (1 +2h/R)
∑F = m a sentripetal
N – mg cosᶿ = m Vb2/R
Nb = mg cos 45ᶿ + m/R 2g [h – R ( 1 – cos 45ᶿ)]
Nb = mg {cos 45ᶿ + 2/R [h – R ( 1- cos45ᶿ)]}
X = Xo + Vb cosᶿt ,Xo = R sinᶿ
Y =Yo + Vb sinᶿt – ½ gt2 ,Yo = R ( 1 - cosᶿ )
Land at Y = 0
0 = R ( 1-cosᶿ) + Vb sinᶿt – ½ gt2
½ gt= √ 2g {¿(1-cos45ᶿ)} sinᶿt – R(1 -cosᶿ) = 0
Dengan rumus abc, maka
T = √2 g [h−R (1−cos45 ᶿ ) ]sin ᶿ ±√2 gh−R (1−cos45 ᶿ ) sin 2ᶿ−4 12
g
g
(Muhammad Amrial – M0214039)
CONSERVATION THEOREMS
∑ Faksi=−¿∑ F reaksi¿
∑ Faksi+¿∑ Freaksi=0¿
∑ ( P s)aksi+¿∑ ( P s)reaksi=0¿
( P s )aksi+ (P s)reaksi=0
( dPdt
)s=0
( P s )=0
Ps=0 (2.80)
Persamaan 2.80 berarti persamaan tersebut tidak bergantung terhadap waktu
1m
=r×v
L=r × P (2.81)
Lm
=r×v
L=(r ×v ) m
N=dLdt
= ddt
m(r ×v)
¿m ddt
(r×v )
¿m [ ( r× v )+(r × v ) ]
Di mana v=r
¿m [ ( r× r )+(r × v ) ]
¿m [ (r× v ) ]
¿r ×m v
N=r× F (2.82)
dW =∫Fdr
dW =d ( F . r )
dW =Fdr
∫ dW=∫F .dv
¿∫m dvdt
. drdt
dt
¿∫m dvdt
vdt
Di mana
d ( v . v )dt
=v dvdt
+ dvdt
v
¿2 v dvdt
¿2 dvdt
v
12
dv2
dt=dv
dtv
Maka
∫1
2
dW=∫1
2 m2
dv2
dtdt
W 2−W 1=m2∫1
2
dv2
∆W =m2 (V 2
2−V 12 )
Dengan
T=12
m v2
Maka
∆ W =T 2−T 1
∫2
1
du=−∫1
2
du
¿−u|
¿−U2+U 1
¿U 1−U 2
U 1−U 2=∫ Fdr
(Naely Nurul Husna – M0214041)
Maka Etotal = (T2 - T1) + U1 – U2 = 0
U1 – U2 = T1 – T2
U = ½ kx2 nilai U tergantung pada ruang misalnya U( r ) = ½ kr²
ʃ F dx = ʃ kx dx
ʃ F dx = k ½ x²
dudx =
ddx ½ kx2
dudx = kx
F = dudx
F = - ∇ U
Alasan ada tanda negative (-) :
Missal : ddr U =
ddr (
−6m1m2r )
= ddr (
kr )
= ddr kr-1
= + kr-2
=± kk ²
E = T + U
= ½ m x² + ½ kx²
dEdt = 0
dEdẋ = mẋ → ʃ dE = m ʃ ẋ dx
dEdx = kx → ʃ dE = ʃ kx dx
dEdt =
ddt ( T + U )
=ddt (½ mv² + mgh )
= ½ m dv ²dt + mg
dhdt
= ½ m 2 v dv ²dt + gmḣ
= mvv + mgḣ
= Pv + Fgḣ
ddt ( T+V )
= ddt ( ½ mx² + ½ kx² )
= ½ m dx ²dt + ½ k
dx ²dt
= ½ m 2x dxdt + ½ k2x
dxdt
=mẍẋ + kxẋ
= Fẋ
(Niken Apriyani – M0214045)
dEdt
=dTdt
+dUdt
dTdt
=F drdt
=F r
dUdt
=∑i
∂U∂ xi
dx i
dt+ ∂U
∂ tdtdt
=∑i
∂U∂ x i
∂ x i+∂U∂ t
=(∇ U ) r+∂U∂ t
dEdt
=F r+(∇ U ) r+∂U∂ t
=(F+∇ U ) r+∂U∂ t
P=∂U∂ t
Fungsiwaktu
Merupakanfungsix,y,z (arah) sehinggamenjadir
ENERGY
V ( t )=dxdt
=√2m
[E−U (X ) ]
√m2 ∫
x0
x
( E−12
kx2 )1/2dx= t
t−t 0 =∫dx
√2m
( E−12
kx2)
=∫√2Ek
cosθ dθ
√2m
[E−12
k (2 Ek
sin2θ ) ]
=∫√2Ek
cosθ dθ
√2Em (1−sin2 θ)
=∫√2Ek
cosθ dθ
√2Em cosθ
=∫√2Ek
√2Em
=∫√2Ek √m
2 Edθ
=∫√mk
dθ
=∫ 1ω dθ
=1ω ∫
θ0
θ1
dθ
=1ω
(θ1−θ0)
θ1−θ0 =ω ( t−t 0)
(Novinda – M0214047)
U (x )=12
kx 2
sin θ=x√k2E
dx=√2 Ek
d sin θ
=√2Ek cosθ dθ
x=A sin θx=A sin ωt
A=√2 Ek
A2=2 Ek
dimana
dengan
E=12
kA2
Energy total
Limitation Of Newtonian Mechanics
Hukum Newton menggunakan konsep posisi, waktu, momentum dan energi
x p ≥ h
x p∆ t∆ t
E = t ≥ h
OSCILLATIONS
F(x) = F+ x1 !
( dFdx
)+ x2
2 !( d2 F
dx)+ x3
3 !( d3 F
dx)+…
F = kx2 K =Gm1m2
K = k’q1q2
F = kx-2
( dFdx
) = -2kx-3
= -2 kx3 F(x) = F0 + x(
dFdx
)
= F0 – 2x kx3
= F0 – 2 kx2
( d2 Fdx
) = 6 kx4
12! 6
kx4 = 3
kx2
Simple Harmonic Oscillation
m ẍ = 0
m ẍ = -kx
m ẍ + kx = 0
0 = m ẍ + kx F ≈ 1x2
ẍ + kmx = 0
ẍ + ω02x = 0
km = ω0 ; m =
kω0
(Nur Aini – M00214049)
X (t) = A sin ( ωot – δ )
X (t) = A cos ( ωot – φ )
T = ½ m ẋ2 = ½ m ωo2 A2 cos2 ( ωot – δ )
= ½ k A2 cos2 ( ωot – δ )
dW = - F dx = kx dx
U = ½ k x2
Sehingga :
U = ½ k A2 sin2 ( ωot – δ )
E = U + T = ½ k A2 (cos2 ( ωot – δ ) + sin2 ( ωot – δ ) ) cos2x + sin2x = 1
E = T + U = ½ k A2
Harmonic Oscillations in Two Dimensions
y (t) = B cos [ ωot-α + (α-β) ]
= B cos (ωot-α ) cos (α-β) – B sin (ωot-α ) sin (α-β)
sin2 (ωot-α ) + cos2 (ωot-α ) = 1
sin (ωot-α ) = √1−cos2(ωot−α)
jika :
δ = α – β
cos (ωot-α ) = XA
maka :
y (t) = BA x cos δ – B √1−( x2
A2 ¿)¿sin δ
y = BA x cos δ – B √ A2−x2
A2 sin δ
y = BA x cos δ -
BA √A2−x2 sin δ
y A = B x cos δ – B √ A2−x2 sin δ
( y A – B x cos δ ) = ( -B √ A2−x2 sin δ )
Phase Diagrams
x (t) = A sin ( ωot – δ )
ẋ (t) = A ωo cos ( ωot – δ )
x2
A2 = sin2 ( ωot – δ )
ẋ2
A2 ωo2 = cos2 ( ωot – δ )
dari penjumlahan kedua persamaan di atas diperoleh :
x2
A2 + ẋ2
A2 ωo2 = 1 ,dimana Ek = ½ k A2 ωo = √ km
x2
2 Ek
+ ẋ2
2 Em
= 1
x2
2k
+ ẋ2
2m
= E
E = ½ k x2 + ½ m x2
dẋdx = - ωo
2 xẋ
. . . . . (3.33)
ʃ ẋ dẋ = - ωo2 ʃ x dx
½ ẋ2 = - ωo2 ½ x2 + C
ẋ2 = - ωo2 x2
½ ẋ2 + ½ ωo2 x2 = ½ 0
½ m ẋ2 + ½ m ωo2 x2 = ½ m 0 T + U = 0
(Octavia – M0214051)
X’2 = -ω02x2
X’22- X’1
2 = = -ω02( X2
2- X12)
½ m(X’22- X’1
2) = 1/2m’ω02(X2
2- X12)
½ m(X’22- X’1
2) = persamaan energi kinetik
1/2m’ω02(X2
2- X12) = persamaan energi potensial
I = 2/5 mR^2
I= 2/5mR^2 + mR^2
I = 7/5 mR^2
∑❑
RXF=75
m R2 θ
g . sinθ=75
R θ
g .θ=75
R θ
θ−5 g7 R
θ=0
5g7R
=ω2
√ 5 g7 R
=ω
T=2π √ 5g7 R
¨x+2β x+ω02 X=0
d2 xd t 2 +2β dx
dt+ω02 x=0
D= ddt
D2 x+2 βDx+ω 02 x=0
D12=−β ±√ β2−ω02
A=−β+√β2−ω02
B=−β−√β2−ω02
( D+a ) x=0
dxdt
=−ax
dx=−a .dt
nx+c=−a .t
x=A 1.e−at
x1=A 1.exp ¿
x1=A 1.e− βt .exp [√ (√ β2−ω02)❑ t ]
x2=A 2.exp ¿
x2=A 2.e−βt .exp[−√ (√ β2−ω02)❑ t ]
xt=x1 t+ x2 t
xt=A 1.e−βt .exp [√ (√ β2−ω02)❑ t ]+ A 2.e−βt .exp [−√(√β2−ω02 )❑ t ]
xt=e−βt [ A 1. exp[√ (√ β2−ω02)❑ t ]+ A 2. exp [−√(√β2−ω 02 )❑t ] ](Opta Muzaki – M0214053)
Damped oscillations
mx’’ + kx = 0
mx’’ + bx’ + kx = 0
F gesek ~ x’n
Saat n = 1 maka
F = bx’
∑F = -bx’ – kx
mx’’ + bx’ + kx = 0
x’’ + ω2x = 0
x’’ + bm x’ + k
m x = 0
x’’ + 2β x’ + km x = 0 , β = b
2m
x = Aept
x’ = Apept
x’’ = Ap2ept
Ap2ept + ω2Aept = 0
p2 + ω2 = 0
p2 = - ω2
p = ± √−ω ²
p = ± iω
x (t) = Ae± iωt
x (t) = Ae iωt + Be- iωt
e iωt = cos ωt + i sin ωt
e- iωt = cos ωt – i sin ωt
x’’ + 2βx’ + ω2x = 0
Ap2ept + 2βApept + ω2Aept = 0
p2 + 2βp + ω2 = 0
p = −2β ±√2 β ²−4ω ²2
p = −2β ± 2√ β ²−ω ²2
p = -β + √ β ²−ω ²
p = -β - √ β ²−ω ²
x = Ae^(-β + √ β ²−ω ²) t
x = Ae^(-β + √ β ²−ω ²) t + Be^(-β - √ β ²−ω ²) t
x (t) = Ae-βt (Be^√ β ²−ω ² t + Ce^- √ β ²−ω ² t) ...................3.37
untuk t besar
β² > ωₒ²
β² < ωₒ²
x (t) = Ae-βt (Be^√−ωₒ ²−β ² t + Ce^- √−ωₒ ²−β ² t)
x (t) = Ae-βt (Be^i√ωₒ ²−β ² t + Ce^-i √ωₒ ²−β ² t)
(Pitri Handayani – M0214055)
D= A(ω0
2−ω2 )cos α+2ωβ sin α
¿ A
√(ω02−ω2 )2
+4ω2 β2
dDω
= ddω [A ( (ω0
2−ω2 )2+4ω2 β2 )
−12 ]
0=A .−12 ( (ω0
2−ω2 )2+4 ω2 β2)−3
2 (2 (ω02−ω2 ) (−2 ω ) )+8ω β2
0=−A (2 (ω0
2−ω2 )2 (−2ω)+8 ω β2 )2((ω0
2−ω2)2+4ω2 β2)
32
0=−A2 (2(ω0
2−ω2 ) (−2ω)+8ω β2 )
¿2 A (ω02−ω2 )ω−4 Aω β2
¿2 (ω02−ω2 )−4 β2
4 β2=2(ω02−ω2 )
2 β2=(ω02−ω2 )
ω=ωR
ω R2=ω02−2 β2
ωR=√ω02−2 β2
Jika ω02<β2 tidak terjadi resonansi
(Qudsy Sholahudin – M0214057)
ω R2=ω02−2β2
Q=ωR2 β
Jika ωR=2 β ωR=√ω02−2 β2
2 β=√ω02−2β2
4 β2=ω02−2β2
6 β2=ω02
ω02=6 β2
ω0❑=±√6 β❑
Jika Q ≡0 ,ωR=0 ω02=2 β2
ω0❑=±√2 β❑
Q ≡ ,2β=0 ω R2=ω02
T=mA2
4ω2
(ω¿¿02−ω2)2+4ω2 β2¿
dTdω
= ddω
mA4
ω2
(ω¿¿02−ω2)2+4ω2 β2¿
Misal : u'=2ω
v'=2(ω¿¿ 02−ω2) (2ω )+8ω2 β2¿
uv=u' v−v' u
v2
0=2ω(ω¿¿02−ω2)2+4ω2 β2−¿¿¿
¿2ω(ω¿¿02−ω2)2+4ω2 β2−(4 ω (ω02−ω2 )+8ω2 β2 )ω2¿
¿2¿
¿¿
−2ω2=ω02−ω2
−ω2=ω02
ω❑=ω0❑
Example 3.4
m x+ωx=Fcos (ωt )
m x+ωx=0
L d2 qdt 2
L q+ qc=0
q+ qLc
=0
ω2 1Lc
=¿ω= 1√Lc
∫ Idt=∫ dqdt
dt
(Retna Arilasita – M0214059)
vf= vi + at (daripersamaankecepatan/velocity disampingakandicaridxdt = vi+ at persamaanjarakdenganmengeluarkannilai v menjadi dx/dt
laludipisahkandtkeruaskananygmemilikinilai t. Lalukedua
∫ dx = vi∫ dt + a ∫ tdt ruas di integral)
tf
xf -xi = (vit + a12 t2) (laluhasil integral diatasdidapatkanpersamaan yang mengandung
ti nilai x final dan x initial. Serta nilai t final dan t initial)
xf -xi =vi(tf-ti) + 12a (tf
2-ti2)
x = xo + vot + 12at2 ti = 0 (daripersamaanygdidapatkankitaanggapbendabergerakdari
xi = xo keadaandiamsehinggati = 0 dan xi = xo. Laluuntuknilai x dan t xf = x final kitaanggapbendasudahbergeraksehingganilaixf = x dantf = t tf = t)
x = xo + vot + 12at2(persamaanjarakuntukgerak horizontal, karenaadaunsur a yaitupercepatan)
x = xo + vot -12gt2[persamaanjarakuntukgerak vertical, karenaadaunsur g yaitugravitasi. Dan kenapa
gbernilai minus, initergantungkeadaanjikakeatasditambah ( dapatmelawangravitasiberartibendadilemparkeatasdannilaipercepatannyalebihtinggidarinilai g) danjikakebawahdikurangi ( nilaipercepatanbendalebihlemahdarinilaigravitasi)]
ga = -ga > g mungkinterjadisaat g
bendadilemparkeatas
gtergantungpada g = G mr2 v = √2gh
( persamaankecepatanuntukgerakjatuhbebas, dimanaberawaldaripersamaan v2 = vo2 + 2gh.
Disinikitajatuhkanbendadariketinggiantertentudantidakmemilikikecepatanawal yang gerakjatuhkebawahnyahanyadipengaruhiolehnilaigravitasi.Jadikitaanggapnilaivo = 0 danmengakarkanruaskanansehinggadapatlahpersamaanv = √2gh )
g = G mr2 {berikutnyakitaakanmenentukannilaigravitasi yang terdapat di suatutitik
g = G m
(Rθ+h)2 diluardari jari2bumi. Dimanajari2bumidengantandaRθ. Lalukitaubahnilai r
g = Gm
R θ2(1+ hRθ
)2 (jarakdaripusatbumikebendatersebut) hasildaripenjumlahanRθsebagai jari2bumi
g = GmR θ2 .
1
(1+ hRθ
)2 ditambah h sebagaijarak/tinggibendadaripermukaanbumiketempatbendatersebut.
g = gs( 1 + h/Rθ)-2setelahitukitabongkarpersamaantersebutsedemikianrupahinggamenjadi
g = gs( 1 - h/Rθ)g = gs ( 1 - h/Rθ). (gsadalahnilaigrafitasipadapermukaanbumi). Laludapatkitaanalisa
g = gsjika h <<<Rθjika h bendanilainyasangatkecildibandingRθmakagravitasinyadapatkitaanggap
samadengangravitasi yang ada di permukaanbumi. Tapijikah bendanilainyasangat
besardibandingRθmakanilaigravitasinyaberbedadengan yang ada di permukaanbumi.
Sehinggadapatdisimpulkannilai h inilah yang mempengaruhinilaigravitasibumi
Di suatutitiksehinggaadanyaperbedaannilaigravitasiantarasatutempatdengan yang
Lainnya).
h = vosin α t - 12 gt2h = 0 maka
x = vocos α t 0 = vosin α t - 12 gt2
vf= vosin α– gt t = v o sin α
g t ( vosin α t - 12 gt2 ) = 0
t = 2v o sin α
g
(kurvadiatasmenunjukangerak parabola, darigerak parabola dapatkitatemukanbeberapapersamaanmengenaiwaktumaksimumsampaipuncakdanwaktu yang dibutuhkansampaibendajatuhkebawah. Persamaanitudapatkitaotak-atikdaripersamaan GLB dan GLBB.Dimanajikagerakterhadapsumbu x aka nada nilaicosα sedangkanterhadapsumbu y adannilaisin α . Untukmencariwaktumaksimumsampaititikpuncakdapatkidadapatkandaripersamaanvf= vosin α–
gtdandibongkarmenjadit = v o sin α
g. untukmencariwaktu yang
dibutuhkansampaibendajatuhkebawahtinggalmengalikan 2 daripersamaanwaktupadatitikpuncak,
namundapatjugakitabongkardaripersamaah = vosin α t - 12
gt2danakanmenjadit = 2 v o sin αg
).
HALAMAN 2 versi (Aula Lazuardian – M0214061)
Bidang Licin
ƩF = m a N
mg sin θ - f0 = m a mg sin θ - 0 = m a mg sin θ a = g sin θ mg cos θ mg a = g Nilai a akan sama dengan g apabila nilai θ sebesar 90 dimana nilai sin 90 sebesar 1 dθdt = g sin θ
dθ = (g sin θ) dt Vf = Vi + g sin θ (tf - ti) Vf = Vi + gt sin θ Vf = Vi - gt sin θ tf – ti = t
Bidang Kasar mg sin θ – fk = m a dimana fk = μk . N mg sin θ – μk . N = m a
mg sin θ – μk. mg cos θ = m a g (sin θ – μk cos θ) = aPada bidang kasar apabila nilai θ = 90 maka nila a = g Jika a = 0 g (sin θ – μk cos θ) = a nilai gravitasi (g) karena berada di bumi ≠ 0 sin θ – μk cos θ μk = tan θ
μk = sin θcosθ
μk = ∞
a = g sin θ ẍ = g sin θ 2 ẋ ẍ = 2ẋ g sin θ
dẋ ²dt = 2ẋ g sin θ
dẋ ²dt = 2
dxdt g sin θ
∫ dẋ2 = ∫ 2 dx g sin θ
ẋi²∫ẋf² dẋ2 = 2 g sin θ ẋi²∫ẋf² dx
ẋ2 ẋi²׀ẋf² = 2 g sin θ x ẋi²׀ẋf²
ẋf2 - ẋi2 = 2 g sin θ ( xf – xi ) ẋf2 = ẋi2 + 2g (xf – xi) sin θ ẋf2 = √ ẋ i ²+2g sin (xf−xi) = √ ẋ i ²+2g ( xf −xi ) sinθ xi = 0 maka xi = 0 ẋf = √2g ( xf −xi ) sinθApabila nilai θ sebesar 90 maka nilai ẋf = √2g xf
Halaman Ketiga versi (Santi Pratiwi – M0214063)
g (sin - cos ) = aϴ μ ϴ
jika ϴ = 90 maka a = g
F ⋍ V n apabila n= 1 maka:
F ⋍ V
F = kmẋ
F = m ΔVΔt
F = ma
w = -kx
w
+ wẍ 2x = 0
w2 = km w =√ g
l
m d2
dtx❑ = kx atau m d
2
dtx❑ = -kx
m d2
dtx❑ + kx =0
+ ẍ km x = 0
km = w2 sehingga w = √ k
m
2πf = √ km
x kmV
x
mẍ = -kmẋ
mẍ + kmẋ = 0
ẍ = -kẋ
dẋdt = -kẋ
∫ẋi
ẋf dẋẋ
= -k ∫ti
tf
dt
In (ẋf – ẋi) = -k (tf - ti)
In ẋf – In ẋi = -k (tf – ti)
In ẋfẋi = - k (tf – ti)
ẋf = ẋi e−k (tf – ti)
ẋf = ẋi e−kt saat t ~
ẋf = 0
ẋf = ẋi saat t -> 0
Halaman ke Empat versi (Susi Fatmawati – M0214065)
∫ dvv
=−k∫dt (1)
ln v=−kt +G jika v ( t=0 )=v0 ,G= ln v0
ln v=−kt + ln v0
ln v−ln v0=−kt
ln vv0
=−kt
v=v0 e−kt (2)
dxdt
=v0 e−kt
∫ dx=∫ v0 e−kt
x=v0∫e−kt dt
x=v0(−1k
e−kt)+c (3)
Jika t=0, x=0
Maka x=−v0
ke−kt+c
0=−v0
k+c , c=
v0
k(4)
Jika t=0, x=x0
Maka x0=−v0
k+c
c=v0
k+x0 (5)
Jika t = 0, x0 = 0
Maka x=−v0
ke−kt+
v0
k
¿ (−e−kt+1 ) v0
k
¿ (1−e−kt ) v0
k(6)
Jika x = x0 , t = 0
Maka x=v0
ke−kt+
v0
k+x0
¿ (1−e−kt ) v0
k+x0
x=x0+v0
k(1−e−kt ) (7)
v=v0 e−kt (8)
x= x0 e−kt
Saat t = 0 maka kecepatan konstan
v=v0 (9)
Saat k = 0 maka kecepatan konstan
v=v0 (10)
Saat t ,maka
v=v0 e−k
v=0 , berhenti akibat hambatan
Saat k , maka
v=0 , tidak bergerak
Saat t 0 , maka
v=v0 e−k t 0
v=v0(1−kt+ k2t 2
2!−…)
v=v0−v0 kt+v0 k2t 2
2 !−…¿
v=v0−v0 kt+v0 k2t 2
2 ! , t2 sangat mendekati nol maka bisa diabaikan
v=v0−v0 kt
v=v0(1−kt ) (11)
Halaman kelima versi (Bara Wahyu – M021221)
x=(1−e−kt ) v0
k(1)
Saat t=0 :
x=(1−1 )v0
k(2)
x=0 (3)
Saat k=0 :
x=(1−1 )v0
0(4)
x=00 (5)
Persamaan (5) merupakan nilai tak tentu, sehingga ditinjau menggunakan limit :
x=v0 limk →0
(1−e−kt )k
(6)
Dengan menggunakan aturan L’Hopital :
x=v0 limk →0
te−kt(7)
Sehingga mensubstitusikan k=0 :
x=v0t (8)
Saat t →∞ :
x=(1−0 )v0
k(9)
x=v0
k(10)
Saat k →∞ :
x=(1−0 )v0
∞(11)
x=0 (12)
Saat t →0 :
Menggunakan deret Taylor :
e−kt=1−kt+ ( kt )2
2!− (kt )3
3 !+… (13)
Dengan mengabaikan suku keempat dan seterusnya, maka persamaan (1) menjadi :
x=(1−(1−kt+(kt )2
2 )) v0
k(14)
x=(kt− (kt )2
2 ) v0
k(15)
x=v0 t−v0 k t 2
2(16)
x=v0t (1− 12
kt) (17)
x=x0+(1−e−kt ) v0
k(18)
Saat t=0 :
x=x0+(1−1 )v0
k=x0 (19)
Saat k=0 :
Caranya identik dengan persamaan (4) hingga persamaan (7), karena hanya ditambah
konstanta, sehingga solusinya adalah :
x=x0+v0 t (20)
Saat t →∞ :
x=x0+v0
k(21)
Saat k →∞ :
x=x0+(1−0 )v0
∞=x0 (22)
Saat t →0 :
x=v0t (1− 12
kt) (23)
Ditinjau suatu sistem seperti disamping. Persamaan gayanya adalah :
F=m dvdt
=−kmv−mg (24)
Sehingga dapat ditulis :
dvdt
=−kv−g (25)
dvdt
=−( g+kv ) (26)
∫ dv( g+kv )
=−∫ dt (27)
1k ∫
g+k v i
g+k v f d (g+kv )( g+kv )
=−∫ti
tf
dt (28)
1k
ln( g+k v f )( g+k v i)
=−t f +ti (29)
ln(g+k v f )(g+k v i )
=−k (t f −ti) (30)
Halaman keenam versi (Muh. Nur Farizki – M0212053)
x=−g−k x
d xdt
=−¿
∫ d x(g+kx)
=∫−dt
1k ∫xt
xf d (g+k x )(g+k x)
=∫ti
tf
dt
¿¿
1k¿
ln(g+k x f )(g+k x i)
=−k (tf −ti)
(g+k x f )=(g+k x i)e−k (tf −ti)
(g+k x f )=(g+k x i)e−kt
k x f =(g+k x i ) e−kt−g
x f =(g+k xi ) e−kt
k−g
k
Jika t mendekati ~
x f =gk
Jika t =0
x f =( g+k xi )
k− g
k
x f = x i
Maka
x❑=−g−k xi
Jika t mendekati 0
x f =(g+k xi ) e−kt → 0
k− g
k
x f =(g+k xi ) (1−kt+ k2 t2
2!−∙ ∙∙)−g
k
x f =−¿+ gk t 2
2+ x i−k ˙t xi+
k2 t 2 x i
2
x f = x i−k ˙t x i−¿+ gk t2
2+
k2t 2 xi
2
Dua tem terakhir dari persamaan diatas dapat diabaikan karena nilainya tidak signifikan
x f = x i−¿−k ˙t x i jika k=0 → xf= x i−¿
x f = x i (1−kt )−¿ atau bisa ditulis vt=v 0±>¿
vt=v 0−¿
Halaman ketujuh versi (Gesit Tali Singgih – M0213037)
x f =( g+k x i ) e−kt
k(−g )
k
dxdt
=( g+k x i )e−kt
k(−g )
k
∫x i
x f
dx=∫ ( g+k x i ) e− kt
kdt− g
k∫t i
tf
dt
∫x i
x f
dx= ( g+k x i )k ∫
ti
t f
e−kt dt− gk∫t i
tf
dt
x f −x i=g+k x i
k(−1 )
ke−kt|ti
tf− gk
t|ti
tf
x f −x i=g+k x i
k (−1k
e−k tf−e−k t i)− gk(t f−ti)
Untukt i=0 maka x i= xo →x i=xo
x f −xo=g+k xo
k (−1k
( e−k tf−e−k 0 ))−gk (t f−0 )
x f −xo=g+k xo
k (−1k
(e−k tf−1 ))− gk
tf
Untukt f =t maka
x−xo=g+k xo
k (−1k
(e−kt−1 ))− gk
t
x=xo+g+k xo
k 2 (1−e−kt )−gk
t
x=xo−¿k+
g+k xo
k 2 (1−e−kt )
Jikat=0
x=xo+(g+k xo)
k2 (1−1)
x=xo → posisi konstan
Jikat →∞
x=xo−∞+g+k xo
k
x=∞
Jikat →0
x=xo−¿k+
g+k xo
k 2 (1−e−kt→ 0 )
x=xo−0+g+k xo
k2 (1−(1−kt+ k2t 2
2 ! ))x=xo+
g+k xo
k 2 (kt− k2t 2
2! )x=xo+
gktk2 −g k2t 2
2k2 +k2 xot
k2 −k3 t2 xo
2 k2
Halaman kedelapan versi (Muh. Naufal – M0213051)