Cara Menghitung Barisan dan Deret Aritmatika

Nah pada kesempatan ini kita akan kembali membahas mengenai barisan dan deret bilangan,

akan tetapi yang dibahas adalah barisan dan deret aritmatika. Apa itu barisan dan deret

aritmatika?

Sebelumnya kita sudah membahas bahwa bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola

(aturan) tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Barisan bilangan yang suku berikutnya

didapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap (tertentu) dinamakan

barisan aritmetika. Bilangan yang tetap itu dinamakan beda (dilambangkan dengan huruf b).

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai sesuatu yang menggunakan prinsip barisan

aritmatika. Misalnya pada pemasangan meja di gedung DPR RI di Senayan seperti gambar

berikut ini.

Pada gambar di atas tampak pada barisan ke-1 terdiri dari 4 buah meja, barisan ke-2 teridiri

dari 5 buah meja, barisan ke-3 terdiri 6 buah meja dan begitu juga seterusnya. Sekarang,

bisakah kamu menebak berapa ada meja pada barisan ke-7 dan jumlah semua meja tersebut

dari barisan ke-1 sampai barisan ke-7? Untuk memjawab hal tersebut anda harus pahami

terlebih dahulu konsep barisan dan deret aritmatika.

Sekarang coba perhatikan contoh barisan bilangan berikut ini.

a. 1, 3, 5, 7, 9, ..., Un,

b. 2, 4, 8, 16, 32, ..., Un.

Selisih dua suku berurutan pada barisan (a) selalu tetap, yaitu 2. Barisan bilangan yang

demikian dinamakan barisan aritmetika. Adapun selisih dua suku berurutan pada barisan (b)

tidak tetap. Barisan bilangan (b) bukan merupakan barisan aritmetika.

.

Pada barisan aritmetika, selisih dua suku berurutan dinamakan beda dan dilambangkan

dengan b. Secara umum, barisan aritmetika didefinisikan sebagai berikut. Suatu barisan U1,

U2, U3, ..., Un, Un + 1 dinamakan barisan aritmetika jika untuk setiap n bilangan asli

memenuhi

Un + 1 – Un = Un – Un–1 = ... = U2 – U1 = b.

Suku ke-n barisan aritmetika dirumus kan sebagai berikut.

Un = a + (n – 1) b

Conto Soal 1

Tentukan suku ke-61 dari barisan bilangan 4, 8, 12, 16, . . Un

Penyelesaian:

a = 4 dan b = 4

sehingga Un = a + (n – 1)b

U61 = 4 + (61 – 1)4 = 4 + 240 = 244

Jadi, suku ke-61 dari barisan 4, 8, 12, 16, . . Un adalah 244.

Sekarang coba perhatikan kembali contoh barisan bilangan berikut ini.

1, 3, 5, 7, 9, ..., Un,

Jika dijumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai

berikut.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + Un

Jadi, deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika. Sekarang,

bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut?

Untuk deret aritmetika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah

untuk menghitungnya. Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kamu

akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya. Rumus untuk menghitung

jumlah suku-suku deret aritmetika adalah sebagai berikut.

Sn = (n/2)(a + Un)

Kita ketahui bahwa Un = a + (n – 1) b, rumus untuk jumlah dari deret aritmatika dapat ditulis

sebagai berikut.

Sn = (n/2)(2a + (n – 1) b)

Sekarang, kamu akan mempelajari sifat-sifat deret arimetika. Suatu deret aritmetika memiliki

sifat-sifat sebagai berikut.

(1) Jika diketahui deret aritmetika U1 + U2 + U3 + ... + Un maka

U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = ... = Un – Un – 1

(2) Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku deret aritmetika maka

2U2 = U1 + U3

(3) Jika Um dan Un adalah suku-suku deret aritmetika maka

Um = Un + (m – n)b

Contoh Soal 3

Tentukan nilai x jika suku-suku barisan x – 1, 2x – 8, 5 – x merupakan suku-suku deret

geometri.

Jawab:

Diketahui :

U1 = x – 1

U2 = 2x – 8

U3 = 5 – x

2U2 = U1 + U3 maka

2 (2x – 8) = (x – 1) + (5 – x)

4x – 16 = x – 1 + 5 – x

4x – 16 = 4

4x = 20

x = 5

Jadi, nilai x sama dengan 5.

Contoh Soal

Dari suatu deret aritmetika diketahui bahwa suku keempatnya adalah 38 dan suku

kesepuluhnya adalah 92. Tentukan:

a. beda deret aritmatika tersebut,

b. suku ketujuh deret aritmetika tersebut

Jawab:

a. Diketahui

U4 = 38

U10 = 92

Untuk mencari beda:

Um = Un + (m – n)b

92 = 38 + (10 – 4)b

92 – 38 = (10 – 4)b

54 = 6b

b = 54/6

b = 9

b. Diketahui:

U4 = 38

b = 9

Um = Un + (m – n)b maka

U7 = U4 + (7 – 4)b

U7 = 39 + (7 – 4)9

U7 = 39 + 27

U7 = 65