Dari Penulis:Buku ini diterbitkan oleh Penerbit ITBTahun 2002 ISBN 979-9299-54-3Versi terbaru tahun 2010 berjudulAnalisis Rangkaian Listrikdalam 3 jilidbisa diunduh bebas dihttp://www.buku-e.lipi.go.idAnalisisRangkaian ListrikOlehSudaryatno SudirhamiiiIsiIsiPengantarDaftar NotasiBab 1. Model Sinyal dan Model Piranti1.1. Model Sinyal1.2. Model Piranti1.3. Spektrum SinyalBab 2. Dasar-Dasar Analisis Rangkaian.2.1. Hukum-Hukum Dasar2.2. Kaidah-Kaidah Rangkaian2.3. Teorema Rangkaian2.4. Metoda Analisis Dasar2.5. Metoda Analisis UmumBab 3. Contoh Aplikasi: Rangkaian Pemroses Energi dan PemrosesSinyal3.1. Rangkaian-Rangkaian Arus Searah3.2. Rangkaian Dengan Dioda3.3. Rangkaian Dengan OP AMPBab 4. Analisis Transien Sistem Orde Pertama Dan Orde Kedua4.1. Sistem Orde Pertama4.2. Sistem Orde Dua4.3. Penentuan Persamaan Rangkaian dan Kondisi AwalDengan Menggunakan Operator Diferensial DBab 5. Analisis Rangkaian di Kawasan Fasor5.1. Fasor, Impedansi, dan Analisis Rangkaian Sistem SatuFasa5.2. Analisis Daya Pada Sistem Satu Fasa5.3. Rangkaian Resonansi5.4. Sistem Tiga FasaBab 6. Rangkaian Magnetik6.1. Hukum- Hukum Dasar6.2. Perhitungan Pada Rangkaian Magnetik6.3. Rugi-Rugi Dalam Rangkaian Magnetik6.4. Gaya Magnetik6.5. InduktorBab 7. Pengenalan Pada Mesin-Mesin Listrik7.1. Transformator Satu Fasa7.2. Transformator Pada Sistem Tiga Fasa7.3. Generator Sinkron7.4. Motor AsinkronBab 8. Analisis Rangkaian di Kawasan s.8.1. Pernyataan Sinyal di Kawasan s Melalui TransformasiLaplace.8.2. Analisis Rangkaian di Kawasan s.8.3. Fungsi Jaringan.ivSudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrikvviiix1220414546536374829596106113127128144154159160179197199209209211215217219225225235238249261262276287Bab 9. Tanggapan Frekuensi9.1. Tanggapan Terhadap Sinyal Sinus Keadaan Mantap9.2. Bode Plots. Pedekatan Garis Lurus Kurva Gain danKurva FasaBab 10. Analisis Rangkaian Menggunakan Transformasi Fourier.10.1. Deret Fourier.10.2. Transformasi Fourier dan Sifat-Sifatnya.10.3. Analisis rangkaian menggunakan TransformasiFourier.Bab 11. Pengenalan Pada Sistem.11.1. Pengertian Sinyal dan Sistem.11.2. Diagram Blok.11.3. Persamaan Ruang Status.Lampiran A. Peubah Kompleks.B. Resistor.C. Kapasitor.D. Matriks dan Sistem Persamaan Linier.DaftarPustaka297297303321324327336343343345355359363365371390vPengantarAssalamualaikum w.w.Buku ini merupakan pengembangan dari Catatan Kuliah: Analisis Rangkaian Listrik danRangkaian Magnetik yang diterbitkan oleh Penerbit ITB pada 1999, yang penulis susundalam rangka pemberian kuliah di ITB. Materi bahasan ditujukan untuk membangunkemampuan analisis pada rangkaian listrik dengan menggunakan suatu pendekatan yangpenulis harapkan dapat seawal mungkin memperkenalkan para mahasiswa pada pemecahanberbagai persoalan yang biasa dijumpai dalam teknik elektro. Urutan sajian materi adalahsebagai berikut.Bab-1, berisi uraian mengenai dua hal pokok yang ditangani dalam analisis rangkaian listrikyaitu sinyal listrik dan piranti listrik. Dari bab ini diharapkan mahasiswa memahami dua hal.Yang pertama adalah mengenai berbagai bentuk gelombang sinyal, model matematisnyaserta pernyataan-pernyataanya, baik yang berkenaan dengan amplitudo (nilai-nilaimaksimum, rata-rata, efektif) maupun yang berkenaan dengan waktu (perioda, frekuensi).Yang kedua adalah mengenai berbagai macam piranti listrik yang dimodelkan sebagaielemen rangkaian dengan karakteristik arus-tegangannya. Berbekal pemahaman mengenaidua hal tersebut para mahasiswa diajak masuk ke pemahaman mengenai dasar-dasar analisisrangkaian yang disajikan di Bab-2, yang meliputi hukum-hukum dasar, kaidah-kaidahrangkaian, teorema rangkaian, serta metoda-metoda analisis rangkaian. Dengan selesainyaBab-2, diharapkan mahasiswa telah mempunyai pengetahuan yang cukup untuk mampumelakukan analisis rangkaian-rangkaian sederhana. Kemampuan untuk melakukan analisisini diberi arahan dalam bentuk contoh aplikasi di Bab-3 yang mencakup contoh-contohrangkaian arus searah, sumber dan distribusi daya listrik arus searah, rangkaiandengandioda, dan rangkaian dengan OP AMP. Setelah analisis rangkaian dalam keadaan mantap diBab-3, mahasiswa diperkenalkan pada analisis rangkaian dalam keadaan peralihan di Bab-4yang meliputi pembahasan rangkaian orde pertama dan orde kedua. Bab-4 ini merupakanakhir dari pembahasan analisis rangkaian listrik di kawasan waktu. Selanjutnya Bab-5 berisibahasan mengenai analisis rangkaian di kawasan fasor atau dikenal dengan analisisrangkaian arus bolak-balik keadaan mantap. Diawali dengan pemahaman mengenaipernyataan sinyal sinus dalam fasor serta pengertian impedansi, dilakukanlah analisisrangkaian arus bolak-balik dan analisis daya untuk sistem satu fasa serta analisis pada sistemtiga fasa keadaan seimbang. Dalam bab ini dibahas pula rangkaian resonansi. Denganselesainya Bab-5 ini diharapkan mahasiswa telah memiliki pengetahuan dan kemampuanuntuk melakukan analisis rangkaian arus searah, rangkaian arus bolak-balik keadaan mantap,serta rangkaian-rangkaian dalam keadaan peralihan.Pada tahap berikutnya mahasiswa diperkenalkan pada aplikasi pengetahuan dankemampuannya untuk melakukan analisis pada piranti yang tidak hanya mengandungrangkaian listrik tetapi juga rangkaian magnetik, yaitu mesin-mesin listrik. Untuk itu terlebihdahulu diberikan suatu uraian mengenai rangkaian magnetik di Bab-6 yang merupakanlangkah awal dalam mengenal mesin-mesin listrik yang diberikan di Bab-7. Di sinihanyadiperkenalkan tiga macam mesin listrik yang sering ditemui dalam praktek yaitutransformator, generator sinkron, dan motor asinkron.viSudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian ListrikTiga bab berikutnya berisi bahasan mengenai analisis rangkaian di kawasan frekuensi. Bab-8membahas analisis rangkaian di kawasan s (analisis rangkaian menggunakan transformasiLaplace). Pokok bahasannya meliputi pernyataan sinyal di kawasan s, konsep impedansi,analisis rangkaian serta fungsi alih. Analisis rangkaian di kawasan s ini dilanjutkan denganpembahasan mengenai tanggapan frekuensi di Bab-9, yang mencakup pembahasanmengenai pernyataan tanggapan frekuensi serta Bode plots. Bab-10 berisi analisisrangkaiandengan menggunakan transformasi Fourier yang akan memperluas pemahaman mengenaitanggapan frekuensi, baik mengenai perilaku sinyal itu sendiri maupun rangkaiannya.Bahasan di bab ini meliputi deret Fourier, transformasi Fourier, sifat-sifat transformasiFourier, dan analisis rangkaian menggunakan transformasi Fourier.Bab-11 merupakan bab terakhir dalam buku ini dan berisi pengenalan tentang sistem. Di sinidiberikan pengertian yang lebih luas mengenai sinyal serta konsep sistem, modelsistemdengan transformasi Laplace, serta persamaan ruang status.Analisis rangkaian listrik merupakan materi ajaran di tingkat dasar bagi mahasiswa elektro.Mahasiswa mulai mempelajarinya di semester pertama tahun kedua, akan tetapi tidaktertutup kemungkinan untuk mulai mempelajarinya pada semester kedua tahun pertama.Untuk membantu mahasiswa, pada bagian akhir buku ini diberikan dua lampiran yangmemuat perangkat matematika yaitu Lampiran-A berisi ulas-ulang mengenai peubahkompleks dan Lampiran-D berisi ulas-ulang mengenai matriks dan sistem persamaanlinier.Selain daripada itu, mengingat bahwa analisis rangkaian dilakukan dengan menggunakanmodel ideal dari piranti-piranti listrik, maka untuk memberikan gambaran tentangpirantinyata diberikan pula dua lampiran yaitu Lampiran-B berisi uraian singkat mengenai resistordan Lampiran-C yang berisi uraian singkat mengenai kapasitor.Akhir kata, penulis menyampaikan penghargaan dan terimakasih kepada Penerbit ITBataspenerbitan buku ini dan kepada rekan-rekan serta berbagai pihak yang telah memberikankemudahan dan saran dalam penyiapannya.Bandung, April 2002.PenulisviiDaftar NotasiTegangan :v atau v(t)VVrrVrmsVmaksV|V|V(s)::::::::tegangan sebagai fungsi waktu.tegangan dengan nilai tertentu, tegangan searah.tegangan, nilai rata-rata.tegangan, nilai efektif.tegangan, nilai maksimum, nilai puncak.fasor tegangan dalam analisis di kawasan fasor.nilai mutlak fasor tegangan.tegangan fungsi s dalam analisis di kawasan s.Arus :i atau i(t)IIrrIrmsImaksI|I|I(s)::::::::arus sebagai fungsi waktu.arus dengan nilai tertentu, arus searah.arus, nilai rata-rata.arus, nilai efektif.arus, nilai maksimum, nilai puncak.fasor arus dalam analisis di kawasan fasor.nilai mutlak fasor arus.arus fungsi s dalam analisis di kawasan s.Daya :p atau p(t)prrS|S|PQ::::::daya sebagai fungsi waktu.daya, nilai rata-rata.daya kompleks.daya kompleks, nilai mutlak.daya nyata.daya reaktif.Muatan dan Energi :q atau q(t): muatan, fungsi waktu.w: energi.Elemen Rangkaian, Impedansi, Admitansi :R: resistor; resistansi.L: induktor; induktansi.C: kapasitor; kapasitansi.Z: impedansi.Y: admitansi.Fungsi Jaringan:TV (s): fungsi alih tegangan.: fungsi alih arus.TI (s): admitansi alih.TY (s): impedansi alih.TZ (s)Faktor Proporsionalitas Sumber Tak-Bebas :: gain tegangan.: gain arus.r: resistansi alih, transresistance.g: konduktansi; konduktansi alih, transconductance.viiiSudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian ListrikBAB 1Model Sinyal danModel PirantiRangkaian listrik (atau rangkaian elektrik) merupakan interkoneksi eragai piranti (divais device) yang secara ersama melaksanakan suatu tugas tertentu. Tugas itu dapat erupapemrosesan energi ataupun pemrosesan sinyal. Energi dan informasi adalah dua diantaraanyak keutuhan pokok manusia. Manusia memutuhkan energi dalam eragai entukmisalnya energi mekanis, panas, cahaya. Sementara itu, energi yang tersedia di alam tidakselalu dalam entuk yang diutuhkan akan tetapi terkandung dalam eragai entuksumertenaga misalnya air terjun, atuara, angin, sinar matahari. Selain itu sumer energi terseuttidak selalu erada di tempat di mana ia diperlukan. Oleh karena itu energi primer yangmerupakan energi non listrik dikonversikan menjadi energi listrik dan dalam entuk inilahenergi dapat disalurkan dengan leih mudah ke tempat ia diperlukan. Di tempat tujuanenergi listrik dikonversikan kemali ke dalam entuk yang sesuai dengan keutuhan.Demikian pula halnya dengan informasi. Beragai entuk informasi dikonversikan ke dalamentuk sinyal-sinyal listrik dan kemudian disalurkan ke tempat ia diperlukan dandikonversikan kemali dalam entuk-entuk yang dapat ditangkap oleh indera manusiaseperti suara dan gamar, ataupun dimanfaatkan untuk suatu keperluan tertentu sepertipengendalian peralatan.Sistem pemroses energi maupun informasi, diangun dari rangkaian-rangkaian listrik. Untukmempelajari perilaku suatu rangkaian listrik kita melakukan analisis rangkaian.Untuk iturangkaian listrik yang ingin kita pelajari kita pindahkan ke atas kertas dalam entuk gamar,yang kita seut seagai diagram rangkaian. Diagram rangkaian memperlihatkaninterkoneksi eragai piranti yang digamarkan dengan menggunakan simol. Perilakusetiap piranti kita nyatakan dengan model piranti. Untuk memedakan piranti seagai endanyata dengan modelnya, maka model itu kita seut elemen. Sinyal listrik yang hadir dalamrangkaian, kita nyatakan seagai peuah rangkaian yang tidak lain adalah model matematisdari sinyal-sinyal terseut. Jadi dalam pekerjaan analisis rangkaian, kita menghadapidiagram rangkaian (selanjutnya diseut dengan singkat rangkaian) yang menggamarkanhuungan dari eragai elemen dengan peuah rangkaian yang merupakan model sinyal.Seagai langkah pertama dalam mempelajari analisis rangkaian listrik, di a inikita akanmemahas mengenai model sinyal yang kemudian akan dilanjutkan dengan model piranti.Karena pekerjaan analisis menggunakan model-model sedangkan model merupakanpendekatan terhadap keadaan yang seenarnya dengan pematasan-pematasan tertentu,maka hasil suatu analisis harus juga difahami seagai hasil yang erlaku dalam atas-atastertentu pula.11.1. Model SinyalTujuan : menyadari ahwa pemahasan analisis rangkaian yang akan dipelajarierkenaan dengan sinyal waktu kontinyu; memahami esaran-esaran listrik yang menjadi peuah sinyal dalamanalisis rangkaian; memahami ahwa pengolahan peuah sinyal harus memperhatikan referensisinyal; memahami eragaipernyataannya;entukgelomangsinyaldanpernyataan mampu menyatakan entuk gelomang sinyal secara grafis maupunmatematis; mampu mencari nilai rata-rata dan nilai efektif suatu entuk gelomangsinyal;SinyalDalam kelistrikan, ada dua esaran fisika yang menjadi esaran dasar yaitu muatan listrik(selanjutnya diseut dengan singkat muatan, dengan simol q) dan energi listrik(selanjutnya diseut dengan singkat energi, dengan simol w). Muatan dan energi,sepertihalnya massa, panjang, dan waktu, merupakan konsep dasar fisika yang menjadi fondasiilmiah dalam teknologi elektro. Tetapi dalam manangani masalah teknologi praktiskitajarang meliatkan secara langsung kedua esaran ini. Besaran yang leih sering kita olahadalah arus, tegangan, dan daya. Dalam analisis rangkaian listrik, tiga esaranini menjadipeuah rangkaian yang kita seut seagai peuah sinyal. Muatan dan energi iasanyadinyatakan dalam tiga peuah sinyal ini. Alasan untuk eruat demikian ini cukupsederhana, yaitu ahwa arus dan tegangan adalah esaran-esaran yang mudah diukur dandengan demikian menjadi peuah yang sesuai dengan praktek teknologi.Sinyal listrik pada umumnya merupakan fungsi waktu, t. Dalam teknologi elektro yang telaherkemang demikian lanjut kita mengenal dua macam entuk sinyal listrik yaitu sinyalwaktu kontinyu dan sinyal waktu diskrit. Suatu sinyal diseut seagai sinyal waktu kontinyu(atau diseut juga sinyal analog) jika sinyal itu mempunyai nilai untuk setiap tdan t sendirimengamil nilai dari satu set ilangan riil. Seagai contoh sinyal waktu kontinyu adalahtegangan listrik di rumah kita. Sinyal waktu diskrit adalah sinyal yang mempunyai nilaihanya pada t tertentu yaitu tn dengan tn mengamil nilai dari satu set ilanganulat. Sinyalwaktu diskrit kita peroleh misalnya melalui sampling pada tegangan listrik di rumah kita.G.1.1. memperlihatkan kedua macam entuk sinyal terseut. Dalam mempelajari analisisrangkian di uku ini, kita hanya akan menghadapi sinyal waktu kontinyu saja.v(t)v(t)0t0Sinyal waktu kontinyu0t0Sinyal waktu diskritG.1.1. Sinyal waktu kontinyu dan sinyal waktu diskrit.2Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian ListrikPeuah SinyalArus, dengan simol i, adalah ukuran dari aliran muatan. Ia merupakan laju peruahanjumlah muatan yang melewati titik tertentu. Dalam entuk diferensial ia didefinisikanseagai:dqi=(1.1)dtDalam sistem satuan SI, arus mempunyai satuan ampere , dengan singkatan A. Karenasatuan muatan adalah coulom, maka1 ampere = 1 coulom / detikPerlu kita ingat ahwa ada dua jenis muatan yaitu muatan positif dan negatif. Arah aruspositif ditetapkan seagai arah aliran muatan positif netto, mengingat ahwa aliran arus disuatu titik mungkin meliatkan kedua macam muatan terseut.Tegangan, dengan simol v, erkaitan dengan peruahan energi yang dialami oleh muatanpada waktu ia erpindah dari satu titik ke titik yang lain di dalam rangkaian. Teganganantara titik A dan titik B di suatu rangkaian didefinisikan seagai peruahan energi persatuan muatan, yang dalam entuk diferensial dapat kita tuliskan seagai:v=dwdq(1.2)Satuan tegangan adalah volt, dengan singkatan V. Oleh karena satuan energi adalah joule,maka 1 volt = 1 joule/coulom.Daya, dengan simol p, didefinisikan seagai laju peruahan energi, yang dapat kitatuliskan:dwp=(1.3)dtDari definisi ini dan definisi untuk arus dan tegangan (1.1) dan (1.2) kita dapatkan:dwdw= vidqdqdtp==dt(1.4)Satuan daya adalah watt, dengan singkatan W. Sesuai dengan huungan (1.3) maka 1watt =1 joule / detik.Untuk memperoleh esar energi yang teralihkan dalam selang waktu antara t1 dan t2 kitamelakukan integrasi daya antara t1 dan t2w=t1 pdt(1.5)t1Satuan energi adalah joule.Muatan dapat diperoleh dengan mengintegrasi arus terhadap waktu. Jadi jumlah muatanyang dialihkan oleh arus i dalam selang waktu antara t1 dan t2 adalah :q=t2 idt(1.6)t1Satuan muatan adalah coulom.3Referensi Sinyal dan Konvensi PasifArus dan tegangan mempunyai huungan erat namun mereka juga mempunyai peredaanyang sangat nyata. Arus merupakan ukuran esaran yang melewati suatu titik sedangkantegangan adalah ukuran esaran antara dua titik. Jadi arus diukur di satu titiksedangkantegangan diukur di antara dua titik.Dalam pekerjaan analisis, arah arus dinyatakan dengan tanda anak panah yang menjadireferensi arah positif arus. Referensi ini tidak erarti ahwa arah arus sesungguhnya (yangmengalir pada piranti) adalah seperti ditunjukkan oleh anak panah. Arah arus sesungguhnyadapat erlawanan dengan arah anak panah dan jika demikian halnya kita katakan arusnegatif. Dalam hal arah arus sesungguhnya sesuai dengan arah anak panah, kita katakan aruspositif.Pada elemen rangkaian, tanda + dipakai untuk menunjukkan titik yang dianggapmempunyai tegangan yang leih tinggi diandingkan dengan titik yang ertanda , daninimenjadi referensi tegangan. Di sinipun titik yang bertanda + pada keadaan sesungguhnyatidak selalu mempunyai potensial lebih tinggi dibandingkan dengan titik yang bertanda .Tetapi jika benar demikian keadaannya kita katakan bahwa tegangan pada piranti adalahpositif, dan jika sebaliknya maka tegangan itu negatif.Dalam menentukan referensi tegangan dan aruskita mengikuti konvensi pasif. Arah arusdigambarkan masuk ke elemen pada titik yangbertanda +.+Barus melewati pirantipirantiGb.1.2. Tegangan dan aruspada satu piranti.Konvensi ini disebut konvensi pasif sebab dalam konvensi ini piranti menyerap daya.Perhatikan Gb.1.2. Dengan konvensi ini, jika arus dan tegangan memiliki tanda yang sama,daya bernilai positif. Jika arus dan tegangan berlawanan tanda maka daya bernilai negatif.Daya positif berarti elemen menyerap daya;daya negatif berarti elemen mengeluarkan daya.Selain referensi arus dan tegangan padaelemen, untuk menyatakan besar tegangan diberbagai titik pada suatu rangkaian kita dapatmenetapkan titik referensi umum yang kitanamakan titik pentanahan atau titik nol atauground. Tegangan di titiktitik lain padarangkaian dihitung terhadap titik nol ini.Perhatikan penjelasan pada Gb.1.3. Tegangandi titik A dapat kita sebut sebagai vA yaitutegangan titik A terhadap titik referensiumum G. Demikian pula vB adalah tegangantitik B terhadap G. Beda tegangan antara titikA dan B adalah vA vB = vAB = v2 .4Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrikreferensiarusi1i2A+1 v12+ v2 referensi teganganpirantiB+v3 3i3Greferensi teganganumum (ground)Gb.1.3. Referensi arus dan tegangan.CO TOH 1.1 : Tegangan pada suatu piranti adalah 12 V (konstan) dan arus yang mengalirpadanya adalah 100 mA. a). Berapakah daya yang diserap ? b). Berapakah energi yangdiserap selama 8 jam? c). Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui pirantitersebut selama 8 jam itu?Penyelesaian:a). Daya yang diserap adalah : p = vi = 12 100 103 = 1,2 Wb). Energi yang diserap selama 8 jam adalah880w=0 pdt = 1,2dt = 1,2t80= 9,6 Whc). Jumlah muatan yang dipindahkan selama 8 jam adalah8800q = idt = 100 103 t = 0,1 8 = 0,8 AhPemahaman :Satuan daya adalah Watt. Untuk daya besar digunakan satuan kW, 1 kW = 1000 W.Satuan daya yang lain adalah horse power (HP).1 HP = 746 W atau 1 kW = 1,341 HPWatthour (Wh) adalah satuan energi yang biasa dipakai dalam sistem listrik.1 Wh = 3600 J atau 1 kWh = 3600 kJSatuan muatan adalah Coulomb. Dalam penyelesaian soal di atas, kita menggunakansatuan Amperehour (Ah) untuk muatan. Satuan ini biasa digunakan untuk menyatakankapasitas suatu accu (accumulator). Contoh : accu mobil berkapasitas 40 Ah.karena 1 A = 1 C/s maka 1 C = 1 As dan 1 Ah = 3600 CCO TOH 1.2 : Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan 200V (konstan).Berapakah besar arus yang mengalir dan berapakah energi yang diserap selama 8 jam ?Penyelesaian :i=p 100== 0,5 A ;v 200w=88100dt = 100t 0 = 800 Wh = 0,8 kWH0CO TOH 1.3 : Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t)= 0,05tampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t =0sampai t = 5 detik ?Penyelesaian :Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah5q= 055idt =00,05tdt =0,05 21,25t== 0,625 coulomb220CO TOH 1.4 : Tegangan pada suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai v =220cos400t dan arus yang mengalir adalah i = 5cos400t A. a). Bagaimanakah variasidaya terhadap waktu ? b). Menyerap atau memberikan dayakah piranti ini ? c).Berapakah nilai daya maksimum dan daya minimum ?Penyelesaian :a). p = 220 cos 400t 5 cos 400t = 1100 cos 2 400t W = 550(1 + cos 800t ) = 550 +550 cos 800t Wb). Suku pertama pernyataan daya bernilai positif + 550 W. Suku kedua bervariasiantara 550 dan + 550 . Secara keseluruhan daya selalu bernilai positif. Piranti menyerap daya.c). Nilai daya : pmaksimum = 550 + 550 = 1100 W;pminimum = 550 550 = 0 W5CO TOH 1.5 : Tegangan pada suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai v =220cos400t dan arus yang mengalir adalah i = 5sin400t A. a). Bagaimanakah variasidaya terhadap waktu ? b). Tunjukkan bahwa piranti ini menyerap daya pada suatuselang waktu tertentu dan memberikan daya pada selang waktu yang lain. c). Berapakahdaya maksimum yang diserap ? d). Berapakah daya maksimum yang diberikan ?Penyelesaian :a). p = 220 cos 400t 5 sin 400t = 1100 sin 400t cos 400t = 550 sin 800t Wb). Dari a) terlihat bahwa daya merupakan fungsi sinus. Pada waktu bernilaipositif (selama setengah perioda) piranti menyerap daya ; pada waktu bernilainegatif (setengah perioda berikutnya) ia memberikan daya.c). Daya maksimum yang diserap pmaks diserap = 550 Wd). Daya maksimum yang diberikan pmaks diberikan = 550 WBentuk GelombangPada umumnya sinyal merupakan fungsi waktu, seperti yang kita lihat pada contohcontohdi atas. Variasi sinyal terhadap waktu disebut bentuk gelombang. Secara formal dikatakan:Bentuk gelombang adalah suatu persamaan atau suatu grafikyang menyatakan sinyal sebagai fungsi dari waktu.Sebagai contoh, bentuk gelombang yang konstan untuk seluruh waktu, secara matematikdinyatakan dengan persamaan:v = V0; i = I0, untuk < t < (1.7)Walaupun persamaan tersebut di atas hanyalah model, tetapi model ini sangat bermanfaatsebab ia merupakan pendekatan untuk sinyal yang secara nyata dibangkitkan oleh sumbersebenarnya, misalnya batere.Bentuk gelombangdikelompokkan dalamdua kelompok.Kelompok pertamadisebut bentukgelombang dasaryang meliputi bentukgelombang anaktangga, sinus, daneksponensial, sepertiterlihat pada Gb.1.4.v0vv000tt0t0SinusAnak tanggaEksponensialGb.1.4. Bentuk Gelombang Dasar.vv000vt0t0tKelompok keduadisebut bentuk geGelombang persegi Eksponensial gandaSinus teredamlombang komposit.vBentuk gelombang inivvtersusun dari beberapa0tbentuk gelombang00ttdasar, seperti terlihatDeretan pulsaGigi gergajiSegi tigapada Gb.1.5. BentukGb.1.5. Beberapa gelombang komposit.gelombang sinusteredam misalnya,merupakan hasil kali gelombang sinus dengan eksponensial; gelombang persegi merupakan6Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrikkombinasi dari gelombanggelombang anak tangga, dan sebagainya. Dalam analisisrangkaian, bentukbentuk gelombang ini kita nyatakan secara matematis seperti halnyadengan contoh sinyal konstan (1.7) di atas. Dalam kenyataan, bentukbentuk gelombang bisasangat rumit; walaupun demikian, variasinya terhadap waktu dapat didekati denganmenggunakan gabungan bentukbentuk gelombang dasar.Bentuk Gelombang DasarBentuk gelombang dasar atau bentuk gelombang utama meliputi fungsi anaktangga (stepfunction), fungsi eksponensial (exponential function), dan fungsi sinus (sinusoidal function).Fungsi AnakTangga ( Fungsi Step ). Secara umum, fungsi anaktangga didasarkan padafungsi anaktangga satuan, yang didefinisikan sebagai berikut:u (t ) = 0 untuk t < 0= 1 untuk t 0VAv0t(a)VAv0Ts(1.8.a)Beberapa buku membiarkan fungsi u(t) tak terdefinisikanuntuk t = 0,u (t ) = 0 untuk t < 0(1.8.b)= 1 untuk t > 0sehingga secara matematis fungsi ini mempunyai ketidakkontinyuan pada t = 0. Kita akan menggunakan definisi(1.8.a)t(b)Gb.1.6. Bentuk gelombanganaktangga.Dalam kenyataan, tidaklah mungkin membangkitkansinyal yang dapat berubah dari satu nilai ke nilai yang laintanpa memakan waktu. Yang dapat dilakukan hanyalahmembuat waktu transisi itu sependek mungkin.Bila u(t) kita kalikan dengan sesuatu nilai konstan VA akan kita peroleh bentukgelombanganak tangga (Gb.1.6.a.):v = V Au (t ) v = 0 untuk t < 0(1.9.a)= V A untuk t 0Jika t kita ganti dengan (tTs) kita peroleh bentuk gelombang VA u(tTs) yang merupakanbentuk gelombang anak tangga tergeser ke arah positif sebesar Ts (Gb.1.6.b.).v = V Au (t Ts ) v = 0 untuk t < Ts(1.9.b)= V A untuk t TsBentuk Gelombang Eksponensial. Sinyal exponensial merupakan sinyal anaktangga yangamplitudonya menurun secara eksponensial menuju nol. Persamaan bentuk gelombangsinyal ini adalah:v0.368VA()v = V A e t / u ( )VAVA e / u()012345 /Gb.1.7. Benuk gelombang eksponensial.(1.10)Parameer yang pening pada sinyal benukini adalah ampliudo VA dan konsanawaku (dalam deik). Konsana waku inimenenukankecepaanmenurunnyaampliudo sinyal. Makin besar makinlamba menurunnya ampliudo dan makinkecil makin cepa menurunnya ampliudo.7Pada = sinyal sudah menurun mencapai 36,8 % VA. Pada = 5 sinyal mencapai0,00674VA, kurang dari 1% VA. Oleh karena iu kia definisikan durasi (lamaberlangsungnya) suau sinyal eksponensial adalah 5. Kalau kia hanya meninjau keadaanunuk > 0, maka u() pada persamaan gelombang ini idak perlu diuliskan lagi.Jadi:v = V A e / (1.11)Benuk Gelombang Sinus. Sinus merupakan pengulangan anpa heni dari suau osilasianara dua nilai puncak, seperi erliha pada Gb.1.8. di bawah ini. Ampliudo VAdidefinisikan sebagai nilai maksimum dan minimumosilasi. Perioda To adalah waku yang diperlukanT0vunuk membua sau siklus lengkap. DenganVAmenggunakan dua parameer ersebu, yaiu VA dan To, kia dapa menuliskan persamaan sinus ini dalam0 0fungsi cosinus:VAv = VA cos(2 t / To)(1.12)T0vSeerti halnya fungsi anak tangga, ersamaan umumVAfungsi sinus dieroleh dengan mengganti t dengan0(t-Ts). Jadi ersamaan umum gelombang sinus adalah:0VATsv = V A cos[2(t Ts ) / To ](1.13)Gb.1.8. Benuk gelombang sinus.dengan Ts adalah waku pergeseran, yang diunjukkanoleh posisi puncak yang erjadi perama kali seperierliha pada Gb.1.8. Pada gambar ini Ts adalah posiif. Jika Ts negaif pergeserannya akan kearah negaif.Pergeseran waku dapa juga diyaakan dengan menggunakan sudu:v = V A cos[2 t / To ](1.14)Parameter disebut sudut asa. Hubungan antara waktu pergeseran Ts dan sudut asaadalah :T = 2 s(1.15)T0Variasi dari gelombang sinus daat juga dinyatakan dengan menggunakan frekuensi.Frekuensi fo didefinisikan sebagai jumlah erioda dalam satu satuan waktu, yangdisebutfrekuensi siklus. Oleh karena erioda To adalah jumlah detik (waktu) er siklus,makajumlah siklus (erioda) er detik adalah:1f0 =(1.16)T0dengan satuan hertz ( Hz ), atau siklus er detik. Selain frekuensi siklus, kitamengenal ulafrekuensi sudut o yang dinyatakan dalam radian per detik, yaitu:0 = 2f 0 =2T0(1.17)Dengan demikian ada dua cara untuk menyatakan frekuensi, yaitu frekuensi siklus(Hz) danfrekuensi sudut (radian er detik), dan fungsi sinus daat dinyatakan sebagaiv = V A cos[2 f 0 t ] atauv = V A cos[0 t ]8Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik(1.17.a)CO TOH 1.6 : Tegangan pada suatu piranti adalah 12 V (konstan) dan arus yang mengalirpadanya adalah 100 mA. a). Berapakah daya yang diserap ? b). Berapakah energi yangdiserap selama 8 jam? c). Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui pirantitersebut selama 8 jam itu?Penyelesaian:Penyelesaian soal ini telah kita lakukan pada contoh 1.1. Di sini kita akan melihatmodel sinyalnya. Model matematis dari sinyal tegangan 12 V (konstan) kita tuliskansebagai v = 12u (t ) V, dan arus 100 mA kita tuliskan i = 100u (t ) mA.Jika sinyalsinyal ini kita gambarkan akan berbentuk seperti di baah ini.v12 Vi100 mAv=12u(t) V0ti=100u(t) mA0tDaya yang diserap adalah p = v i = 1.2 W dan jika kita gambarkan perubahan dayaterhadap aktu adalah sepert gambar berikut.p1,2 Wp1,2 Wp=vi00t8t (jam)Energi yang diserap selama 8 jam adalah integral dari daya untuk jangka aktu 8jam.Besar energi ini ditunjukkan oleh luas bagian yang diarsir di baah kurva daya sepertiditunjukkan pada gambar di sebelah kanan.CO TOH 1.7 : Carilah persamaan bentuk gelombang tegangan yang tergambar di baahini.v [V]v [V]21Penyelesaian :'2'3'4 t [s]13a).'2'3'4 t [s]b).a). Bentuk gelombang tegangan ini adalah gelombang anak tangga yang persamaanumumnya adalah v(t) = A u(t Ts) , dengan A = amplitudo dan Ts = pergeseran aktu.Maka persamaan gelombang pada gambar a) adalah v1 (t ) = 2u (t 1) V.Gelombang ini mempunyai nilaiv1 (t ) = 2 V untuk t 1= 0 V untuk t < 1b). Bentuk gelombang tegangan gambar b) adalah v 2 (t ) = 3u (t 2) V.Gelombang ini mempunyai nilaiv2 (t ) = 3 V untuk t 2= 0Vuntuk t < 2Pemahaman :u(t) adalah ungsi anak tangga satuan, sebagaimana telah dideinisikan. Fungsi ini tidakmempunyai satuan. Bentuk gelombang tegangan pada gambar a) diperoleh dengan9mengalikan suatu tegangan konstan sebesar 2 V dengan ungsi anak tangga satuanu(t1) yaitu ungsi anak tangga satuan yang bergeser 1 detik. Sedangkan gelombangtegangan pada gambar b) diperoleh dengan mengalikan tegangan konstan sebesar 3 Vdengan ungsi anak tangga satuan yang bergeser 2 detik.Bentuk gelombang apapun, jika dikalikan dengan ungsi anak tangga satuan u(t)akan bernilai nol untuk t < 0, dan jika dikalikan dengan u(tTs) akan bernilai noluntuk t < Ts.CO TOH 1.8 : Carilah persamaan dan gambarkanlah dua bentuk gelombang eksponensialberikut ini dalam satu gambar.v1(t) : amplitudo 5 V, konstanta aktu 2 detikv2(t) : amplitudo 10 V, konstanta aktu 2 detikv3(t) : amplitudo 10 V, konstanta aktu 4 detikPenyelesaian :Persamaan umum gelombang eksponensial adalah v(t) = Aet/u() dengan A =ampliudo, = konsana waku. Jadi pernyaaan kedua gelombang iu masingmasingadalah10v1 ( ) = 5e / 2 u ( ) Vv 2 ( ) = 10e / 2 u ( ) Vv 3 ( ) = 10e / 4V5u ( ) Vv1v2v3 [ deik]0Benuk gelombang ergambar di samping ini.024681012Pemahaman :Kia liha bahwa walaupun v1 dan v2 mempunyai ampliudo yang jauh berbeda, merekaeredam dengan kecepaan yang sama karena konsana wakunya sama. Pada = 5 konsana waku, yaiu 5 2 = 10 deik, nilai gelombang elah dapa diabaikan.Gelombang egangan v2 dan v3 mempunyai ampliudo sama eapi konsana wakunyaberbeda. Kia liha bahwa gelombang yang konsana wakunya lebih besar lebih lambamenuju nol, yang konsana wakunya lebih kecil lebih cepa menuju nol.CO TOH 1.9 : Tuliskan persamaan gelombang sinus unuk > 0, yang ampliudonya 10 V,frekuensi siklus 50 Hz, dan puncak posiif yang perama erjadi pada = 3 milideik.Gambarkanlah benuk gelombangnya.Penyelesaian : Tsu ( )Pernyaaan umum gelombang sinus sandar unuk > 0 adalah v = A cos 2T0dengan A adalah amlitudo, Ts = ergeseran waktu, T0 = erioda, dan u(t) adalahfungsianak tangga satuan. Karena frekuensi siklus f = 1/T0 maka ersamaan umum ini jugadaat ditulis sebagaiv = A cos(2 f (t T s ) u (t )Dari apa yang diketahui dalam persoalanyang diberikan, kita dapat menuliskanpersamaan teganganv = 10 cos(100(t 0,003) u (t )dengan bentuk gelombang terlihat padagambar di samping ini.10Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik10v [V]5005100.010.020.030.040.05t [detik]Pemahaman :Perhatikan baha puncak pertama positi terjadi pada t = 0,003 detik. Karena rekuensigelombang 50 Hz, maka ada lima puluh siklus dalam satu detik atau dengan kata lainperioda gelombang ini adalah 1/50 detik = 0,02 detik. Persamaan umum gelombangsinus dapat ditulis dalam berbagai bentuk seperti berikut ini.t Tsv = A cos2T0v = A cos((t Ts ) )atauv = A cos(2 f (t Ts ) )atauv = A cos(t )atauDari persamaanpersamaan umum ini kita dapat dengan mudah menuliskan persamaanbentuk gelombang sinus berdasarkan parameterparameter yang diketahui.CO TOH 1.10 : Tuliskan persamaan gelombang sinus untuk t > 0, yang rekuensinya1000rad/s, dan puncak positi yang pertama terjadi pada t = 1 mili detik. Pada t = 0gelombang ini mempunyai nilai 200 V.Penyelesaian :Puncak positi yang pertama terjadi pada t = 1 mili detik, artinya pada bentukgelombang ini terjadi pergeseran aktu sebesar 0,001 detik. Persamaan umum ungsisinus yang muncul pada t = 0 adalah v = A cos[(t T s )]u (t ) . Amplitudo darigelombang ini dapat dicari karena nilainya pada t = 0 diketahui, yaitu 200 V.200 = A cos(1000(0 0,001) ) u (t ) = A cos( 1) = A 0,54 A = 200 / 0,54 = 370 VJadi persamaan gelombang sinus ini adalah : v = 370 cos[1000(t 0,001)] u (t ) VBentuk Gelombang KompositBentuk gelombang yang diperoleh melalui kombinasi bentuk gelombang dasar disebutbentuk gelombang komposit. Beberapa di antaranya akan kita lihat berikut ini.Fungsi Impuls. Secara umum fungsi impuls dapat dituliskan sebagai :v = Au (t T1 ) Au (t T2 )= A [u (t T1 ) u (t T2 )]va).0tT1T2v0Gb.1.9. Impulsa) Impuls.b) Simetris thd nol.c) Impuls satuan.Bentuk gelombang ini adalah kombinasi dari dua gelombang anaktangga dengan amplitudo berlawanan tanda, masingmasing denganpergeseran waktu T1 dan T2 . (Gb.1.9.a)Fungsi Impuls Satuan. Perhatikan gelombang impuls yang simetristerhadap titik nol seperti pada Gb.1.9.b. Persamaan bentukgelombang ini adalah:b).T/2v0 +T/2vc).(t)(1.18)tt1Tu t +(1.18.a)22TT u t Impuls engan persamaan iatas mempunyai amplituo 1/T anbernilai nol i semua t kecuali paa selang T/2 t +T/2.v1 =Luas biang i bawah pulsa aalah satu karena amplituonyaberbaning terbalik engan urasinya (lebarnya). Jika lebar pulsa Tkita perkecil engan mempertahankan luasnya tetap satu, makaamplituonya akan makin besar. Bila T menuju nol makaamplituonya menuju tak hingga, namun luasnya tetap satu. Fungsi11yang iperoleh paa konisi limit tersebut inamakan impuls satuan (unit impuls), engansimbol (t). Representasi grafisnya terlihat paa Gb.1.9.c. Definisi formal ari impulssatuan aalah:v = (t ) = 0 untuk t 0 ;t( x)x = u (t )(1.18.b)Konisi yang pertama ari efinisi ini menyatakan bahwa impuls ini nol i semuat kecualipaa t = 0, seangkan konisi keua menyatakan bahwa impuls ini aalah turunan ari (t ) =fungsi anaktangga satuan. Jaiu (t )t(1.18.c)Amplituo impuls satuan aalah tak hingga. Oleh karena itu besarnya impuls iefinisikanmenurut luasnya. Suatu impuls satuan yang muncul paa t = Ts ituliskan sebagai (tTs).Fungsi Ramp. Jika kita melakukan integrasi paa fungsi anak tangga satuan, kitaakanmenapatkan fungsi ramp satuan yaitur(t) tu(t)tr (t ) = u ( x)x = tu (t )(1.19)Ramp satuan ini bernilai nol untuk t 0 an sama engan tuntuk t > 0. Perhatikan bahwa laju perubahan (kemiringan) arir(t)K(tTs)u(tTs) ramp satuan aalah 1. Jika kemiringannya aalah K makaspersamaannya aalah rk (t) = K t u(t). Bentuk umum fungsitramp aalahTs(1.19.a)r(t)= K(tTs)u(tTs),Gb.1.10. Fungsi ramp.yang bernilai nol untuk t < Ts engan kemiringan K.tBentuk Gelombang Sinus Teream. Bentuk gelombang komposit ini iperoleh enganmengalikan fungsi sinus engan fungsi eksponensial, yang memberikan persamaan :(= V A sint evVA/20)v = sin(t ) V Ae t / u ( )VAV Ae510V AeVA/2 / 515 / 52025sin(t)Gb.1.11. Gelombang sinus teredam.t / (1.20)u ( )Fungsi anak angga u() yang menjadi salahsau fakor dalam persamaan ini unukmemberikan nilai nol pada < 0. Pada = 0,gelombang melalui iik asal karena sin(n) =0. Bentuk gelombang ini tidak eriodik karenafaktor eksonensial memaksa amlitudonyamenurun. Osilasi ini telah mencaai nilaisangat kecil ada t = 5 sehingga elah dapadiabaikan pada > 5.Benuk Gelombang Eksponensial Ganda. Gelombang komposi ini diperoleh denganmenjumlahkan dua fungsi eksponensial berampliudo sama api berlawanan anda.Persamaan benuk gelombang ini adalah :VAv = V Ae / 1 u ( ) V Ae / 2 u ( )VA e / 5(1.21) / 52 / 5vVA (e e)= V e / 1 e / 2 u ( )A025VA e2 / 5VAGb.1.12. Gelombang eksponensial ganda.12()Benuk gelombang komposi ini, dengan 1 >2 erliha pada Gb.1.12. Unuk < 0gelombang bernilai nol. Pada = 0 gelombangmasih bernilai nol karena kedua fungsi salingmeniadakan. Pada >> 1 gelombang inimenuju nol karena kedua benuk eksponensialSudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrikiu menuju nol. Fungsi yang mempunyai konsana waku lebih besar akan menjadi fungsiyang lebih menenukan.Gabungan Fungsi Anak Tangga. Benuk Gelombang Persegi. Benuk gelombang persegijuga merupakan gelombang komposi. Karena periodik maka persamaan gelombang inidapa diperoleh dengan menjumlahkan persamaan unuk seiap siklus.Persamaan unuk siklus yang perama seelah = 0,merupakan jumlah dari iga fungsi anakangga, yaiu:Tv1 = V Au ( ) 2V Au ( 0 ) + V Au ( To )2V APersamaan unuk siklus yang kedua seelah = 0Gb.1.13. Gelombang persegi.adalah persamaan siklus perama yang digeser sebesarsau perioda :3TTv2 = V Au ( T0 ) 2V Au ( 0 T0 ) + V Au ( 2To ) = V Au ( T0 ) 2V Au ( 0 )V Au ( 2To )22Persamaan unuk siklus yang ke k adalah persamaan siklus perama yang digeser sebesar(k1) perioda:2k 1vk = V Au ( [k 1]T0 ) 2V Au ( T0 ) + V Au ( kTo )2Persamaan gelombang persegi dapa diperoleh dengan menjumlahkan vk() dari k = sampai k = +.v()T0VAk = +v= v ()(1.22)kk = Penjumlahan dari sampai + ersebu diperlukan karena gelombang persegi melebar keak hingga baik ke arah posiif maupun ke arah negaif.CO TOH 1.11 : Gambarkanlah benukbenuk gelombang yang persamaannya adalahb). v2 = 3 u(2) Va). v1 = 4 u() Vd). v4 = 4u()7u(2)+3u(5) Vc). v3 = 4u()3u(2) VPenyelesaian :a). Benuk gelombang ini adalah gelombang anak anggadengan ampliudo 4 vol dan muncul pada = 0.Benuk gelombang erliaha pada gambar di samping.b). Gelombang anak angga ini mempunyai ampliudo 3vol dan muncul pada = 2. Gambar benukgelombang erliha di samping ini4Vv10v201 2 3 4 5c). Benuk gelombang ini erdiri dari gelombang anak 3Vangga berampliudo 4 vol yang muncul pada = 04Vdiambah (disusul) dengan gelombang anak anggav3berampliudo 3 vol yang muncul pada = 2. Liha1V0gambar di samping ini.1 2 3 4 5d). Benuk gelombang ini erdiri dari iga gelombang anak4Vangga yang masingmasing muncul pada = 0, = 2v4dan = 5. Ampliudo mereka beruruuru adalah 4,7, dan 3 vol. Benuk gelombang erliha pada01 2 3 4 5 6gambar di samping ini.3V13CO TOH 1.12 : Gambarkanlah benukbenuk gelombang yang persamaannya adalaha). v1 = 2 u() V ; b). v2 = 2(2) u(2) V ; c). v3 = 2u() 2(2) u(2) Vd). v4 = 2u() 4(2)u(2) V ; e). v5 = 2u() 2(2)u(2) 4u(5) V ;f). v6 = 2u() 2(2)u(2) 4u(2) VPenyelesaian :4Va). v101 2 3 4 5 64V4Vd). v40v2b).0v1 = 2 u()2u() 2(2) u(2)1 2 3 4 5 64V c). v302(2) u(2)4Vv6e). 4Vv51 2 3 4 5 62u() 2(2)u(2) 4u(5)01 2 3 4 5 62u() 4(2)u(2)1 2 3 4 5 62u() 2(2)u(2) 4u(2)1 2 3 4 5 6CO TOH 1.13 : Tenukanlah persamaan benuk gelombang yang mulai muncul pada =0beriku ini. a). Gelombang sinus : ampliudo 10 V, frekuensi sudu 50 rad per deik,puncak posiif perama erjadi pada = 20 milideik. b). Gelombang sinus padaa) yangerredam sehingga pada = 0,5 deik gelombang sinus ini sudah dapa diabaikannilainya. c). Gambarkanlah benuk gelombang pada a) dan b).Penyelesaian:a). Gelombang sinus ini baru muncul pada = 0, sehingga persamaan umumnya adalahv = A cos((t Ts ) )u (t ) . Dari parameter yang diketahui, persamaan gelombang yangdimaksud adalah v1 = 10 cos(50(t 0,020) )u (t ) V.b). Agar gelombang sinus pada a) teredam, maka harus dikalikan dengan ungsieksponensial. Jika nilai gelombang sudah harus dapat diabaikan pada t = 0,5 detik,maka konstanta aktu dari ungsi eksponensial sekurangkurangnya haruslah = 0,5 / 5 = 0,1 . Jadi persamaan gelombang yang dimaksud adalahv2 = 10 cos(50( 0,020) ) e / 0,1 u ( )c). Gambar kedua benuk gelombang ersebu di aas adalah sebagai beriku.1010v1V5500v2000.10.10.20.20.30.30.40.4 [deik]5510Pemahaman:Gelombang sinus pada umumnya adalah nonkausal yang persamaan umumnya adalahv = A cos((t Ts ) ) . Dalam soal ini dinyatakan baha gelombang sinus baru munculpada t = 0. Untuk menyatakan gelombang seperti ini diperlukan ungsi anak tanggau(t)sehingga persamaan akan berbentuk v = A cos((t Ts ) )u (t ) .10Dengan menyatakan bentuk gelombang sinus dengan ungsi cosinus, identiikasi bentukgelombang menjadi lebih mudah. Puncak pertama suatu ungsi cosinus tanpa pergeseranaktu terjadi pada t = 0. Dengan demikian posisi puncak pertama ungsi cosinusmenunjukkan pula pergeseran aktunya.14Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian ListrikDengan mengalikan ungsi sinus dengan ungsi eksponensial kita meredam ungsi sinustersebut. Peredaman oleh ungsi eksponensaial berlangsung mulai dari t = 0. Olehkarena itu puncak positi pertama dari gelombang sinus teredam pada persoalan diatasmempunyai nilai kurang dari 10 V.Beberapa Bentuk Gelombang Komposit Yang LainFungsi Parabolik Satuan dan Kubik Satuan. Telah kita lihat baha integrasi ungsi anaktangga satuan memberikan ungsi ramp satuan. Jikaintegrasi dilakukan sekali lagi akan memberikan ungsikubikparabolik satuan dan integrasi sekali lagi akan vmemberikan ungsi kubik satuan. Gambar di samping iniparabolikmemperlihatkan evolusi bentuk ungsi anak tanggamenjadi ungsi ramp, parabolik, dan kubik melaluiintegrasi.rampFungsiramp, parabolik, dan kubik ini menuju nilai takhingga jika t menuju tak hingga. Oleh karena ituanak tanggapemodelan dengan menggunakan ungsiungsi inidibatasi dalam selang aktu tertentu. Kita ingat sinyaltgigi gergaji pada Gb.1.5. dimodelkan dengan ungsiramp yang berulang pada setiap selang aktu tertentu.Fungsi Signum. Suatu sinyal konstan (teganganmisalnya) yang pada t = 0 berubah polaritas, dimodelkandengan ungsi signum, dituliskan sebagaiv(t ) = sgn(t )(122.a)Bentuk gelombang ungsi ini terlihat pada gambar disamping ini. Fungsi signum ini merupakan jumlah dariungsi anak tangga yang telah kita kenal, ditambahdengan ungsi anak tangga yang diperluas untuk t < 0.sgn(t ) = u (t ) u (t )v(t)1u(t)0u(t)t1(1.22.b)Fungsi Eksponensial Dua Sisi. Perluasan ungsi anaktangga untuk mencakup kejadian sebelum t = 0 dapatpula dilakukan pada ungsi eksponensial. Dengandemikian kita dapatkan ungsi eksponensial dua sisiyang kita tuliskan sebagaiv(t ) = e t u (t ) + e ( t ) u (t )(1.22.c)yng secr grfis terliht pd gmbr di smping ini.v(t)1et u(t)e(t) u(t)0tPernytnPernytn Gelombng SinylGelombng Periodik dn Aperiodik. Sutu gelombng disebut periodik jik gelombng itusellu berulng setip selng wktu tertentu. Jdi jik v(t) dlh periodik, mkv(t+T0)=v(t) untuk semu nili t, dengn T0 dlh periodny yitu selng wktuterkecilyng memenuhi kondisi tersebut. Sinyl yng tidk periodik disebut jug sinyl periodik.Sinyl Kusl dn Sinyl onKusl. Sinyl kusl bernili nol sebelum st Ts tertentu.Jdi jik sinyl v(t) dlh kusl mk v(t) 0 untuk t < Ts . Jik tidk demikin mksinyl itu disebut sinyl nonkusl. Sinyl kusl bis dinggp bernili nolpd t < 0,dengn mengnggp t = 0 sebgi wl munculny sinyl. Contoh dri sinyl kusldlh :fungsi nktngg, eksponensil, dn sinus teredm. Sinyl sinus sendiri dlhnonkusl.15ili sest. Nili mplitudo gelombng v(t), i(t), tupun p(t) pd sutu stt tertentudisebut nili sest dri bentuk gelombng itu.Amplitudo. Pd umumny mplitudo gelombng berubh terhdp wktu dintr duniliekstrem yitu mplitudo mksimum, Vmks, dn mplitudo minimum, Vmin .ili mplitudo punck ke punck (pek to pek vlue) menytkn fluktusi totldrimplitudo dn didefinisikn sebgi:V pp = Vmks Vmin(1.23)Dengn definisi ini mk Vpp sellu positif, wlupun mungkin Vmks dn Vmin kedunynegtif.ili punck. Nili punck Vp dlh mksimum dri nili bsolut mplitudo.{V p = Mx Vmks , Vmin}(1.24)ili rtrt. Nili rtrt secr mtemtis didefisikn sebgi:Vrr =1Tt 0 +T(1.25)v( x)dxt0Untuk sinyl periodik, selng wktu T sm dengn period T0. Ad tidkny nilirtrtmenunjukkn pkh sutu sinyl mengndung komponen konstn (tidk berubh terhdpwktu) tu tidk. Komponen konstn ini disebut jug komponen serh dri sinyl.ili efektif ( nili rms ; rms vlue). Nili ini menunjukkn nili rtrt dy yngdibw oleh sinyl. Untuk memhmi hl ini kit liht dulu dy sest yng diberiknkepd resistor R oleh tegngn v(t), yitu:p (t ) =1[v(t )]2R(1.26)Dy rtrt yng diberikn kepd resistor dlm selng wktu T dlh:1Prr =Tt 0 +T [ p(t )]dt(1.27)t0Klu kedu persmn di ts ini kit gbungkn, kn kit peroleh:t0 +T1 1Prr =[v(t )] 2 dt(1.28)R Tt0Ap yng berd di dlm kurung besr pd persmn di ts merupkn nili rtrtdri kwdrt gelombng. Akr dri besrn inilh yng digunkn untuk mendefinisiknnili rms tu nili efektif.V rms1=Tt 0 +T [v(t )]2dt(1.29)t0Untuk sinyl periodik, kit mengmbil intervl stu siklus untuk menghitung nili rtrt.Dengn menggunkn nili rms kit dpt menuliskn dy rtrt yng diberiknkepdresistor sebgi:Prr =1 2VrmsR(1.30)Perhtikn bhw persmn untuk menghitung Prr dengn menggunkn besrn rmstersebut di ts mirip bentukny dengn persmn untuk menghitung dy sest pdsinyl serh, yitu :p (t ) =1[v(t )]2R(1.31)Oleh kren itulh mk nili rms jug disebut nili efektif kren i menentukn dy rtrt yng diberikn kepd resistor, setr dengn sinyl serh v(t)= Vs yng menentuknbesr dy sest.16Sudrytno Sudirhm, Anlisis Rngkin ListrikCO TOH 1.14 : Tentuknlh nili tegngn punck (Vp), tegngn punckpunck (Vpp),period (T), tegngn rtrt (Vrr), dn tegngn efektif dri bentuk gelombngtegngn berikut.6V6V0 1 2 3 4 5 6 7 8 t)Penyelesin :Vp = 6 V).;1Vrr =32013Veff =b).1Vrr =30 2 dt=23V pp = 10 V6dt +013Veff =6 2 dt +2T = 3s10dt32= (6 2 + 0) = 4 V2;;30Vp = 6 V1 2 3 4 5 6 7 8 9b)V pp = 6 V6dt +t04V;1(36 2 + 0) = 4,9 V3T = 3s1 4dt32= (6 2 4 1) = 2,66 V326 2 dt +01(4) 2 dt=(36 2 + 16 1) = 5,42 V323Pemhmn :Gelombng periodik dlm contoh di ts, mempunyi persmn gelombng yngterdiri dri bnyk suku sebgimn dijelskn pd gelombng komposit. Akn tetpiuntuk menghitung nili rtrt tupun efektif, kit cukup meliht stu siklussj dngelombngpun kit nytkn dlm bginbgin yng mempunyi persmn yngsederhn.CO TOH 1.15 :Tentuknlh nili tegngn punck (Vp), tegngn punckpunck (Vpp),period (T), tegngn rtrt (Vrr), dn tegngn efektif dri bentuk gelombngtegngn di smping ini.v6Vt0Penyelesin :Vp = 6 VVrr =Veff =;V pp = 6 V1 23tdt +4 0T = 4s3(6 6(t 2))dt +21 2 29t dt +4 0;316 30dt== 2,25 V4 234(6 6(t 2)) 2 dt +20 2 dt3417= 3,0 VSOALSOAL : MODEL SI YALDlm solsol berikut ini, stun wktu t dlhs = detik ; ms = milidetik ; s = mikrodetik1. Gmbrkn dn tentukn persmnbentuk gelombng sinyl nk tnggberikut ini :) v1: mplitudo 5 V, muncul pd t = 0.b) v2: mplitudo 10 V, muncul pd t =1s.c) v3: mplitudo 5 V, muncul pd t =2s.2. Dri sinylsinyl di sol 1, gmbrknlh bentuk gelombng sinyl berikut ini.). v4 = v1 + v29.b). v5 = v1 + v3c). v6 = v1 + v2 + v33. Gmbrknlh bentuk gelombng sinylyngdiperolehdengncrmengintegrsi bentuk gelombng sinylpd sol 1.4. Gmbrknlh bentuk gelombng sinylyngdiperolehdengncrmengintegrsi bentuk gelombng sinylpd sol 3.5. Gmbrkn dn tentuknbentuk gelombng pulsberikut ini :). Amplitudo 5 V, lebrmuncul pd t = 0.b). Amplitudo 10 V, lebrmuncul pd t = 1s.c). Amplitudo 5 V, lebrmuncul pd t = 2 s.persmntegngnpuls 1 s,Gmbrknlh bentuk gelombngkomposit berikut.). v1 = 10 1 e 100t u(t ) V{puls 3 s,7. Dri bentuk gelombng sinyl pd sol6, gmbrknlh bentuk gelombngsinyl berikut.). vd = v + vbb). ve = v + vcc). v f = v + vb + vcSudrytno Sudirhm, Anlisis Rngkin Listrik{b). v2 = 10 5e100 t}}u(t ) Vc). v3 = {10 + 5 sin(10 t ) }u(t ) V{}d). v4 = 10 1 + e t sin(10 t ) u(t ) V10. Gambarkanlah bentuk gelombang sinusyangdisearahkanenuh,yangersamaannya adalahv = A cos( 2 t / T0 ) Vdengan A = amlitudo, T0 = erioda.11. Tentukan ersamaan siklus ertamadari bentuk gelombang eriodik yangdigambarkan berikut ini.eriodaulsa 2 s,6. Gambarkan dan tentukan ersamaanbentuk gelombang sinyal eksonensialyang muncul ada t = 0 dan konstantawaktu , beriku ini :a). va = ampliudo 5 V, = 20 ms.b). vb = ampliudo 10 V, = 20 ms.c). vc = ampliudo 5 V, = 40 ms.188. Tenukan persamaan benuk gelombangsinyal sinus beriku ini :a). Ampliudo 10 V, puncak peramaerjadi pada = 0, frekuensi 10 Hz.b). Ampliudo 10 V, puncak peramaerjadi pada = 10 ms, frekuensi 10 Hz.c). Ampliudo 10 V, pergeseran sudufasa 0o, frekuensi 10 rad/deik.d). Ampliudo 10 V, pergeseran sudufasa +30o, frekuensi 10 rad/deik.v 5[V]01 23 4 56 (deik)512. Tenukan persamaan siklus peramadari benuk gelombang periodik yangdigambarkan beriku ini.periodav 5[V]031 23 4 56 (deik)13. Tenukan persamaan siklus peramadari benuk gelombang periodik yangdigambarkan beriku ini.periodav 5[V]031 2 (deik)3 4 514. Tenukan persamaan siklus peramadari benuk gelombang periodik yangdigambarkan beriku ini.perioda1 23 4 56 (deik)55021. Hiung nilai raaraa dan nilai efekifsinyal pada soal 15.22. a). Gambarkan benuk gelombangsinyal periodik yang berupa dereanpulsa egangan yang ampliudonya 10V, lebar pulsa 20 ms, perioda 50 ms.b). Hiung nilai raaraa sinyal.23. a). Gambarkan benuk gelombangsinyal periodik hasil inegrasi benukgelombang pada soal nomer 22.b). Hiung nilai raaraa sinyal.Tenukan persamaan siklus peramadari benuk gelombang periodik yangdigambarkan beriku ini.periodav[V]20. Hiung nilai raaraa dan nilai efekifsinyal pada soal 14.c). Hiung nilai efekif sinyal.v 5[V]015.19. Hiung nilai raaraa dan nilai efekifsinyal pada soal 13.1 2 3 4 5 6 (deik)516. Hiung nilaisinyal pada soal17. Hiung nilaisinyal pada soal18. Hiung nilaisinyal pada soalraaraa dan nilai efekif10.raaraa dan nilai efekif11.raaraa dan nilai efekif12.c). Hiung nilai efekif sinyal.24.a). Gambarkan sinyal eganganperiodik berbenuk gelombang gigigergaji yang ampliudonya 10 Vdengan perioda 0,5 s.b). Hiung nilai raaraa sinyal.c). Hiung nilai efekif sinyal.25. Unuk menggerakkan sebuah banduldiperlukan pulsa arus 50 mA denganlebar pulsa 3 ms. Pulsa arus ersebuharus diberikan seiap deik. Jika pulsaarus iu diambil dari baere berkapasias0,5 Ah, berapa lamakah baere akanberahan ?191.2. Model PiraniTujuan : memahami bahwa dalam analisis rangkaian lisrik pirani dinyaakan sebagaielemen rangkaian yang merupakan model linier dari pirani; mampu memformulasikan karakerisik arusegangan pirani / elemen pasif :resisor, kapasior, indukor, ransformaor, saklar; mampu memformulasikan karakerisik arusegangan pirani / elemen akif :sumber egangan & sumber arus bebas maupun akbebas.Karakerisik PiraniSuau uni pirani mempunyai karakerisik erenu.Perilaku suau pirani dinyaakan oleh karakerisik iv yang dimilikinya, yaiuhubungananara arus yang melalui pirani dengan egangan yang ada di anara erminalnya.Pada umumnya hubungan ini cukup rumi dan idak linier. Unuk keperluan analisis, kiamenggunakan suau model linier yang lebih sederhana yang cukup mendekai sifasifayang menonjol dari pirani iu. Unuk membedakan anara pirani sebagai benda nyaadengan modelnya, model iu kia sebu elemen. Beriku ini akan kia bahas piranipiranidan elemenelemen rangkaian, yang kia kelompokkan menjadi dua kelompok yaiu elemenpasif dan elemen akif.Pirani dan Elemen PasifResisorKia mengenal resisor dalam renang dimensi (ukuran) yang lebar. Resisor yangdigunakanpada rangkaian elekronika berukuran hanya beberapa milimeer bahkan ukuran mikronyang ergabung dalam sau chip. Unuk keperluan variasi egangan erdapa poensiomeeryang berupa resisor dengan konak geser. Unuk rangkaian pemroses energi, resisormempunyai ukuran yang besar seperi misalnya resisor yang digunakan dalam lokomoifkerea lisrik model lama. Pada dasarnya kia memerlukan resisor yang murni resisif. Akaneapi dalam kenyaaan hal ini idak selalu dapa dicapai. Namun demikian denganeknikeknik pembuaan erenu, selalu diusahakan agar resisor mendekai keadaan resisif murniersebu (liha Lampiran B).Resisor adalah pirani yang sesungguhnyamempunyai karakerisik iv yang idak linier (nonlinier) seperi erliha pada Gb.1.14. Namun kalaukia perhaikan karakerisik ini, ada bagian erenuyang dapa didekai dengan hubungan linier, yaiubagian yang berada dalam baas daerah operasiresisor ersebu. Baas daerah operasi ini biasanyadinyaakan sebagai baas daya (power raing), yaiudaerah yang mempunyai kurva iv berbenuk garislurus melalui iik asal. Dalam analisis rangkaiankia selalu memanfaakan resisor dalam baasbaaskemampuan dayanya sehingga kia mempunyairesisor linier.20Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian LisrikRSimbol :ibaas daerahliniernyaamodelvGb.1.14. Karakerisi iv resisor .Karakerisik iv Resisor. Dengan mengikui konvensi pasif, hubungan anara arus danegangan dari resisor dapa diulis dalam suau persamaan yang dikenal sebagaihukumOhm yaiu :v R = R iRaauiR = G v Rdengan G =1R(1.32)R dan G adalah konsana posiif.Parameer R disebu resisansi dengan sauan ohm, . Parameer G disebu kondukansidengan sauan siemens, S (aau mho dalam lieraur lama). Secara grafis, hukum Ohmberbenuk garis lurus. Karakerisik iv dalam hukum Ohm adalah linier dan bilaeral. Linierberari karakerisiknya berbenuk garis lurus, sehingga egangan selalu sebanding denganarus, dan demikian pula sebaliknya. Bilaeral berari bahwa kurva karakerisiknya simeriserhadap iik (0,0). Karena sifa bilaeral ini maka pembalikan egangan akan menyebabkanpembalikan arah arus anpa mengubah besar arusnya. Dengan demikian kia dapamenghubungkan resisor dalam rangkaian anpa memperhaikan polariasnya. Hal iniberbeda dengan pirani lain seperi dioda, ransisor, OP AMP, sumber, yang menunu kiaunuk selalu memperhaikan polariasnya karena piranipirani ini idak bersifa bilaeral.Daya Pada Resisor. Daya yang diserap resisor dapa dihiung dengan hubungan22p R = v R iR = iR R = v R G =2vRR(1.33)Di sini, R bernilai posiif maka daya selalu posiif. Berdasarkan konvensi pasif, hal iniberari bahwa resisor selalu menyerap daya.CO TOH 1.16 : Tegangan pada sebuah resisor 400 adalah 200 V (konsan). Berapakaharus yang mengalir melalui resisor esebu dan berapakah daya yang diserap ? Dalamwaku 8 jam, berapakah energi yang diserap ?Penyelesaian:Arus dan daya pada resisor adalahi=v 200== 0,5 AR 400danp = vi =v 2 (200)2== 100 WR400Karena egangan dan arus konsan maka jumlah energi yang diserap selama 8 jamadalah880w=0 pd = 100d = 100 8 = 800 Wa. jam = 0,8 kWHCO TOH 1.17 : Tegangan pada suau resisor 1200 berubah erhadap waku sebagai vR =240sin400 Vol. Bagaimanakah arus yang melalui resisor dan daya yang diserapnya ?Penyelesaian :Arus yang melalui resisor adalah iR =vR 240 sin 400== 200 sin 400 mA.R1200Daya yang diserap adalah pR = vRiR = 240 sin 400 0.2 sin 400 = 48 sin 2 400 WDengan menggunakan kesamaan sin2=(1cos2)/2, mk nili dy dpt ditulisknpR = 48 (1 cos 800 t ) / 2 = 24 24 cos 800 t WPemhmn :Jik kit gmbrkn tegngn,rus, dn dy kn kit perolehgmbr seperti di smping ini.v 300i 200p 100vip0100 02000.010.020.030.040.05t [detik]30021Arus dn tegngn bervrisi secr bersmn. Hl ini terliht jug dri persmn rusdn tegngn, yng keduny merupkn fungsi sinus. Dy bervrisi secr periodikdengn frekuensi du kli lipt dri frekuensi tegngn mupun rus, nmun nilinytidk pernh negtif. Nili rtrt dy sellu positif; hl ini dpt dilihtjug dripersmnny yng menunjukkn bhw dy terdiri dri komponen konstn 24 Wditmbh komponen yng bervrisi sinus (yng nili rtrtny 0). Menurut konvensipsif, hl ini berrti bhw resistor sellu menyerp dy.KpsitorSeperti hlny resistor, kit mengenl kpsitor yng berdimensi kecil yng sering dipkipd rngkin elektronik smpi kpsitor berdimensi besr yng digunkn dlmrngkin pemrosesn energi yng kit kenl sebgi cpcitor bnk. Untuk keperlunpenln, kit mengenl jug kpsitor dengn nili yng dpt diubh yng disebutkpsitor vribel.Kpsitor dlh sutu pirnti dinmik yng berbsis pd vrisi kut medn listrik yngdibngkitkn oleh sumber tegngn. Ad berbgi bentuk kpsitor yng dpt kitjumpidlm prktek (liht Lmpirn C). Bentuk yng pling sederhn dlh du peltprlelyng dipishkn oleh sutu bhn dielektrik. Bhn dielektrik ini memberikn gejlresistnsi. Dlm mempeljri nlisis rngkin listrik kit mengnggp kpsitor sebgipirnti idel, tnp mengndung resistnsi. Sutu kpsitor mempunyi kpsitnsi C yngbesrny dlh A(1.34)C= 0 rddngan r adalah prmitivitas rlatif dilktrik dan 0 adalah prmitivitas ruang hampa. Aadalah luas plat dan d adalah tbal dilktrik yang sama dngan jarak plat. Kapasitansi inimrupakan konstanta hubungan antara bda tgangan plat-plat kapasitor dnganmuatannya:q = Cv C(1.35)Satuan kapasitansi adalah farad (F) (sbagai pnghormatan kpada Michl Faraday,sorangfisikawan Inggris).Karaktristik i-v Kapasitor Idal. Hubungan antara arus dan tgangan kapasitor dapat kitaprolh dari turunan q(t)dqd (Cv C )dv(1.36)iC = C ==C CdtdtdtHubungan i-v ini dapat kita gambarkan dalam bntuk grafik sprti trlihat padaGb.1.19.Arus iC brbanding lurus dngan turunan trhadap waktu dari vC dan kmiringan dari garisitu adalah C.Dalam rlasi (1.36), arus iC mrupakan turunantrhadap waktu dari tgangan vC. Hal ini brartibahwa jika vC konstan maka arusnya nol, dansbaliknya kalau arusnya nol brarti tgangannyaCkonstan. Dngan kata lain kapasitor brsifat1sbagai rangkaian trbuka jika dibri tgangansarah. Jadi arus hanya akan mngalir jikatgangannya brubah trhadap waktu dan olh Gb.1.15. Karaktristik i-v kapasitor.karna itu kapasitor disbut lmn dinamik.Akan ttapi prubahan tgangan yang tak-kontinu akan mmbrikan arus yang tak-trhinggabsarnya; hal dmikian ini scara fisis tidak mungkin. Olh karna itu tgangankapasitorharus mrupakan fungsi kontinu dari waktu. Untuk mncari tgangan vC kita gunakan22Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrikhubungan antara arus dan tgangan yang sudah kita prolh, yaitu iC = C dvC /dt,dnganmngalikan kdua ruas dngan dt dan mngintgrasinya:vC ( t )tdvC =vC ( t 0 )1iC dtC(1.37)t0Jika dalam mnntukan batas-batas intgrasi trsbut diatas, kita mnganggap bahwa padasaat t = t0 kapasitor sudah mmpunyai tgangan sbsar vC(t0) maka intgrasi diatasmmbrikan :t1vC = vC (t0 ) +C i dtC(1.38)t0Kalau pada saat t=t0 kapasitor blum brtgangan maka vc(t0)=0, shingga kita mmpunyaihubungantvC =1iC dtC(1.39)t0Daya Dan Enrgi Pada Kapasitor. Dngan mngikuti konvnsi pasif, daya kapasitordapatkita tuliskan sbagaipC = vC iC = CvCdvCd 1 2= CvCdtdt2(1.40)Prsamaan (1.40) ini mnunjukkan bahwa daya bisa positif bisa juga ngatif karnatgangan kapasitor dan laju prubahannya bisa mmpunyai tanda yang brlawanan. Dayapositif brarti kapasitor mnyrap daya, sdangkan kalau daya ngatif brarti kapasitormmbrikan daya. Kmampuan kapasitor untuk mnyrap dan mmbrikan daya inimmpunyai arti bahwa kapasitor dapat mnyimpan nrgi. Bsarnya nrgi yang trsimpanpada kapasitor dapat kita lihat dari prsamaan (1.40). Karna kita tahu bahwa daya adalahturunan trhadap waktu dari nrgi, maka apa yang brada dalam tanda kurung padaprsamaan (1.40) di atas tntulah mnunjukkan bsarnya nrgi. Scara matmatisbsarnyanrgi pada saat t dapat kita prolh dari prsamaan di atas, yaituwC =12C vC + konstanta2(1.41)Konstanta pada (1.41) adalah bsarnya nrgi yang tlah trsimpan sblumnya. Apabilasimpanan nrgi awal ini nol, makawC =12C vC2(1.42)Enrgi yang trsimpan ini tidak prnah ngatif sbab ia sbanding dngan kwadratdaritgangan. Kapasitor akan mnyrap daya dari rangkaian jika ia sdang mlakukanpnyimpanan nrgi. Ia akan mngluarkan nrgi yang disimpannya itu pada waktuiammbrikan nrgi pada rangkaian. Namun alih nrgi ntto tidak prnah ngatif ;hal inibrarti bahwa kapasitor adalah lmn pasif.Karna tgangan kapasitor mnntukan status atau kadaan nrgi dari lmn ini,makatgangan kapasitor disbut sbagai pubah kadaan (stat variabl).23Scara singkat dapat kita katakan bahwa kapasitor mrupakan suatu lmn dinamikdngansifat-sifat sbagai brikut :1). Arus yang mlalui kapasitor akan nol jika tgangannya tidak brubah trhadapwaktu.Kapasitor brprilaku sprti rangkaian trbuka pada tgangan sarah.2). Tgangan kapasitor adalah fungsi kontinu dari waktu. Prubahan tak kontinu daritgangan kapasitor mmrlukan arus dan daya yang tak trhingga bsarnya, yang scarafisis tidak mungkin trjadi.3). Kapasitor mnyrap daya dari rangkaian jika ia mlakukan pnyimpanan nrgi.Iamngluarkan nrgi yang disimpan sblumnya, jika ia mmbrikan nrgi padarangkaian.CO TOH 1.18 : Tgangan pada suatu kapasitor 2 F brubah trhadap waktu sbagai vC=200sin400t Volt. Bagaimanakah arus yang mlalui kapasitor dan daya yang disrapnya?Pnylsaian :Arus yang mlalui kapasitor adalahiC = CdvCd= 2 10 6 (200 sin 400t ) = 160 cos 400t mAdtdtDy yng diserp kpsitor dlhpC = vC iC = 200 sin 400t 0.16 cos 400t )= 32 cos 400t sin 400t= 16 sin 800t WPemhmn :Jik tegngn, rus, dn dy kit gmbrkn kn kit liht kedn yng berbeddengn p yng kit temui pd resistor pd contoh 1.17.Pd wktu tegngn muli nik, rus justru sudh muli menurun dri nilimksimumny. Bentuk gelombng tegngn mencpi punck pertmny lebihlmbtdribentukgelombng rus; dengn200vperktnlinrusvi 100mendhului tegngn.ippPerbedn kemunculn ini0disebut pergesern fs yng00.010.020.030.040.05untuk kpsitor besrny100ot [detik]jdirusdlh90 ;mendhului tegngn dengn200bed fs sebesr 90o. Hl inikn kit peljri lebih lnjutdi Bb5.Dy bervrisi secr sinus dengn frekuensi du kli lipt dri frekuensi tegngnmupun rus. Akn tetpi vrisi ini berd di sekitr nili 0; hl ini berbeddriresistor. Pd selng wktu tertentu dy bernili positif (selm setengh period) dnpd selng wktu berikutny bernili negtif (selm setengh period berikutny), dndemikin seterusny. Menurut konvensi psif, hl ini berrti bhw kpsitor menyerpdy selm setengh period dn memberikn dy selm setengh periodberikutny. Secr keseluruhn tidk kn d penyerpn dy netto; hl ini berbeddengn resistor yng justru sellu menyerp dy kren dy sellu positif.24Sudrytno Sudirhm, Anlisis Rngkin ListrikInduktorInduktor sebgi pirnti induktif, dengn dimensi kecil, bnyk dipki dlm rngkinelektronik. Untuk rngkin pemroses energi, kit mengenl pirnti induktif berukurnukurn besr yng disebut rektor (liht subbb 6.2). Induktor dibngun dri kwt(konduktor) yng dililitkn pd sutu inti yng terbut dri bhn mgnetik tupun tnpinti (berinti udr). Kegunn dri inti bhn mgnetik dpt diliht pd subbb 6.1. Olehkren i terbut dri gulungn kwt, mk induktor sellu mengndung resistnsi. Akntetpi dlm nlisis rngkin listrik yng kn kit peljri, kit mengnggpinduktorsebgi pirnti idel tnp mengndung resistnsi.Induktor dlh elemen dinmik yng berbsis pd vrisi medn mknit yng ditimbulknoleh rus. Pd kumprn dengn jumlh lilitn , dn diliri rus sebesr iL , kn timbulfluksi mgnit sebesr = k iL , dengan k adalah suatu konstanta. Jika tidak ada kebocoran,luksi ini akan memberikan luksi lingkup sebesar = = k 2 iL. . Hubungan antaraarusyang meaui induktor itu dengan uksi ingkup yang ditimbukannya dinyatakan dengansuatu konstanta L yang kita sebut induktansi induktor dengan satuan henry.2 = LiL = k(1.43)iLKarakteristik i-v Induktor Idea. Menurut hukum Faraday, tegangan pada induktorsamadengan aju perubahan uksi ingkupnya. Karakteristik i-v dari induktor dapat diperoehdari turunan terhadap waktu dari dengan mengingat bahwa L adaah suatu konstanta.vL =simbo :Ld d [LiL ]di==L Ldtdtdt(1.44)Dengan demikian kita mendapatkan hubungan i-v untukinduktordiLdtvL = L1/LdiLdt(1.45)1Hubungan ini dapat kita gambarkan seperti terihat padaGb.1.16. Turunan terhadap waktu dari iL pada (1.45) di atas,Gb.1.16. Karakteristikmenunjukkan bahwa tegangan pada induktor adaah no jikai-v induktorarus tidak berubah terhadap waktu. Jadi pada arus searahtegangan induktor adaah no, vL = 0; ia berperiaku sepertisuatu hubung singkat. Induktor adaah eemen dinamik karena hanya jika ada perubahanarus maka ada tegangan. Akan tetapi perubahan arus yang tak kontinu menyebabkantegangan menjadi tak terhingga besarnya, yang secara isis tak mungkin terjadi.Oeh karenaitu arus iL harus kontinu terhadap waktu (arus tidak dapat berubah secara tiba-tiba).vLUntuk mencari arus iL kita gunakan hubungan antara arus dan tegangan yang sudahkitaperoeh, yaitu vL =L di/dt, dengan mengaikan kedua ruas dengan dt dan mengintegrasinya:iL (t )di L =iL (t0 )t1v L dtLt(1.46)0Jika daam menentukan batas-batas integrasi tersebut diatas kita menganggap bahwa padasaat t=t0 induktor sudah diairi arus sebesar iL(t0), maka integrasi di atas memberikan :ti L = i L (t 0 ) +1vL dtL(1.47)t025Kaau pada saat t = t0 induktor beum diairi arus maka iL = 0, dant1iL =vL dtL(1.48)t0Daya Dan Energi Pada Induktor. Dengan mengikuti konvensi pasi, daya pada induktordapat kita tuiskan sebagaipL = vLiL = LiLdiLd 1 2= LiLdtdt2(1.49)Seperti hanya pada kapasitor, persamaan daya untuk induktor ini juga menunjukkan bahwadaya bisa positi bisa juga negati karena arus induktor dan aju perubahannya bisamempunyai tanda yang berawanan. Daya positi berarti induktor menyerap daya sedangkankaau dayanya negati berarti induktor memberikan daya. Kemampuan induktor untukmenyerap dan memberikan daya; ha ini berarti bahwa induktor dapat menyimpan energi.Besarnya energi yang tersimpan pada induktor dapat kita ihat dari persamaan (1.49). Dayaadaah turunan terhadap waktu dari energi, maka apa yang berada daam tanda kurung padapersamaan (1.49) menunjukkan besarnya energi. Secara matematis besarnya energi pada saatt dapat kita peroeh dari persamaan tersebut, yaituwL =1 2Li L + konstanta2(1.50)Konstanta pada (1.50) adaah besarnya energi yang teah tersimpan pada saat tertentusebeumnya. Apabia simpanan energi awa ini no, maka energi induktor adaahwL =1 2Li L2(1.51)Energi yang tersimpan ini tidak pernah negati sebab ia sebanding dengan kwadratdari arus.Induktor akan menyerap daya dari rangkaian jika ia sedang meakukan penyimpananenergi.Ia akan mengeuarkan energi yang disimpannya jika ia memberikan energi pada rangkaian.Seperti hanya pada kapasitor, aih energi netto pada induktor tidak pernah negati; ha inimenunjukkan bahwa induktor adaah eemen pasi. Karena arus induktor menentukanstatusatau keadaan energi dari eemen ini, maka arus disebut sebagai variabe keadaan(statevariabe) dari induktor.Secara singkat dapat kita katakan bahwa induktor merupakan suatu eemen dinamikdengansiat-siat sebagai berikut :1). Tegangan pada induktor akan no jika arusnya tidak berubah terhadap waktu. Induktorberperiaku seperti suatu hubung singkat pada arus searah.2). Arus yang meaui induktor adaah ungsi kontinu dari waktu. Perubahan tak kontinu dariarus induktor memerukan tegangan serta daya yang tak terhingga besarnya, yang secaraisis tidak mungkin terjadi.3). Induktor menyerap daya dari rangkaian jika ia meakukan penyimpanan energi.Iamengeuarkan energi yang disimpan sebeumnya jika ia memberikan energi padarangkaian.CO TOH 1.19 : Tegangan pada suatu induktor 2,5 H berubah terhadap waktu sebagaivL =200sin400t Vot. Bagaimanakah arus yang meaui induktor dan daya yang diserapnya ?26Sudaryatno Sudirham, Anaisis Rangkaian ListrikPenyeesaian :vL = Ldi L1 iL =dtLv L dt =200 ( cos 400t ) + K2.5 400Konstnt integrsi K dlh rus pd induktor pd st wl integrsi dilkukn,yng kit sebut rus wl induktor. Jik rus wl ini tidk d mk i L = 200 cos 400t mA p L = v L i L = 200 sin 400t (0.2 cos 400t ) = 40 sin 400t cos 400t= 20 sin 800t WPemahaman :Gambar variasi v, t, dan p pada induktor adalah sebagai berikut.v 200i100pvipt[detik]000.010.020.030.040.05100200Bentuk gelombang tegangan mencapai nilai puncak pertamanya lebih awal dari bentukgelombang arus. Jadi tegangan mendahului arus atau lebih sering dikatakan bahwaarusketinggalan dari tegangan (hal ini merupakan kebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasadi sini juga 90o, artinya arus ketinggalan dari tegangan dengan sudut fasa 90o.Kita akanmempelajari hal ini lebih lanjut di Bab5.Seperti halnya dengan kapasitor, daya bervariasi secara sinus di sekitar nilai nol. Jadipada induktor juga tidak terjadi penyerapan daya netto. Induktor menyerap daya dalamsetengah perioda, dan memberikan daya pada setengah perioda berikutnya.Induktansi BersamaMisalkan ada sebuah kumparan yang dialiri arus yang berubah terhadap waktu. Misalkanpula ada sebuah kumparan lain yang berdekatan dengan kumparan yang pertama. Fluksi darikumparan yang pertama akan melingkupi pula kumparan yang kedua dan akanmembangkitkan tegangan pada kumparan yang kedua itu. Kopling antara arus yang berubahdi kumparan yang pertama dengan tegangan yang terbangkitkan di kumparan yang keduamenunjukkan adanya suatu induktansi bersama. Hal yang sebaliknya juga terjadi, yaitu jikakumparan kedua dialiri arus maka akan timbul tegangan di kumparan pertama. Jadikalaumasingmasing dialiri arus maka keduanya akan saling mempengaruhi.Misalkan jumlah lilitan kumparan pertama adalah 1 ; jika arus yang mengalir adalah i1maka akan timbul fluksi magnet sebesar 1=k1 1i1 , dengan k1 adaah konstantaproporsionaitas. Jika kita anggap tidak ada kebocoran uksi, maka 1 akan meingkupisemua iitan di kumparan ini dan akan menimbukan apa yang kita sebut sebagai uksiingkup sebesar 11= 11=k1 12i1. Misakan pua jumah iitan kumparan kedua 2 denganarus i2. Fuksi magnet di kumparan ini adaah 2=k2 2i2 dan uksi ingkupnya 22= 22=k2 22i2. Jadi secara singkat1 = k1 1i1 dan 2 = k 2 2i2(1.52)2211 = k1 1 i1 dan 22 = k 2 2 i227Sebagai akibat uksi ingkup masing-masing, di setiap kumparan terdapat teganganv11 =d11= k1dt21di1ddan v22 = 22 = k2dtdt22di2dt(1.53)Kaau kedua kumparan itu didekatkan satu terhadap ainnya, maka sebagian uksiyangditimbukan oeh kumparan yang satu akan meingkupi pua kumparan yang ain. Jadi seainuksi yang ditimbukannya sendiri, setiap kumparan meingkupi juga uksi yangberasadari kumparan yang ain. Kumparan pertama meingkupi uksinya sendiri 1, dan uksiyang berasa dari kumparan kedua 12= 1k122. Demikian pua dengan kumparan kedua,seain 2 meingkupi pua 21= 2k211 yang berasa dari kumparan pertama.Di kumparan pertama, 12 akan memberikan uksi ingkup 12= 112= 12 k122 dantegangan v12 . Di kumparan kedua, 21 akan memberikan uksi ingkup 21 = 221= 22 k211dan tegangan v21. Dengan demikian maka di kumparan pertama ada tegangan v11 yangtimbu karena uksi ingkupnya sendiri, 11 , dan ada tegangan v12 yang timbu karena adapengaruh dari kumparan kedua, 12. Jadi tegangan tota di kumparan pertama adaahv1 = v11+ v12 . Demikian pua hanya dengan kumparan kedua; di kumparan ini terdapat tegangantota sebesar v2 = v22 + v21. Keadaan untuk kedua kumparan ini kita tuiskan seperti berikut.Kumparan 1Kumparan 2ddv1 = v11 + v12 = 11 + 12dtdtdi2 di1= k1 1+ [k12 1 2 ] 2dtdtv2 = v22 + v21 =[ ]d22 d21+dtdt[ ] di + [kdt= k222221 2 1] di1dt(1.54)Kita dapat meihat pada (1.54) bahwa ada empat macam parameter induktansi yaitu:L1 = k1dan21M12 = k12L2 = k2M 21 = k211 222(1.55)(1.56)2 1Induktansi L1 dan L2 adaah induktansi sendiri dari masing-masing kumparan sedangkanparameter M12 dan M21 adaah induktansi bersama antara dua kumparan tersebut. Daammedium magnet yang inier k12 = k21 = kM dan oeh karena itu makaM12 = M 21 = k M1 2= M = k L1L2(1.57)dengan k = kM / (k1k2).Dengan demikian maka secara umum tegangan di masing-masing kumparan adaah :v1 = v11 + v12 = L1di1diM 2dtdtdanv2 = v22 + v21 = L2di2diM 1dtdt(1.58)Tanda pada (1.58) diperukan karena pengaruh dari kumparan yang satu terhadapkumparan yang ain tidakah seau positi tetapi dapat pua negati. Pengaruh itu positi jikauksi dari kumparanyang satu memperkuati111 2 i2i1i2uksi dari kumparanyangdipengaruhi,sedangkanapabiamemperemah maka2dikatakanbahwapengaruhnya negati.a). Menguatkan (aditi)b). Meemahkan (substrakti)Bagaimana pengaruhGb.1.17. Induktor terkope : aditi atau substrakti.positi dan negati ini28Sudaryatno Sudirham, Anaisis Rangkaian Listrikterjadi dapat dijeaskan meaui Gb.1.17 yang memperihatkan dua kumparan terkopemagnetik. Arah uksi yang dibangkitkan oeh arus di masing-masing kumparan menurutikaidah tangan kanan. Dengan arah iitan kumparan seperti Gb.1.21.a. maka uksi1 yangdibangkitkan oeh i1 dan 2 yang dibangkitkan oeh i2 akan sama arahnya. Daam keadaandemikian uksi 2 dan 1 saing memperkuat atau aditi . Pada Gb.1.21.b. arah iitankumparan kedua berawanan dengan arah iitan kumparan kedua pada Gb.1.21.a. Fuksi 2berawanan arah dengan 1. Daam ha ini kedua uksi saing meemahkan atau substrakti.Konvensi Titik. Karena ada kemungkinan uksi dari kumparan yang satu memperkuatataumemperemah uksi dari kumparan yang ain sehingga diperukan tanda pada persamaan(1.58), timbu pertanyaan kapan tanda + atau kit gunkn sedngkn kit thu bhwnili M sellu positif. Untuk itu kit menggunkn konvensi titik (dot convention) untukmenytkn pengruh positif tu negtif dri stu kumprn terhdp kumprn linny.Kit memberikn tnd titik di slh stu ujung di setip kumprn dengn pengertin:Arus i yng msuk ke ujung yng bertnd titik di slh stu kumprn, knmembngkitknkn tegngn berpolrits positif pd ujung kumprn yng linyng jug bertnd titik. Besrny tegngn yng terbngkit dlh M di/dt.Hubungn Tegngn dn Arus. Dengn konvensi titiki2i1tersebut di ts, hubungn rus dn tegngn pd duMkumprn yng terkopel secr mgnetik, yng simbolny+terliht pd Gb.1.18., dpt kit turunkn. DlmL1v2penurunn hubungn ini, untuk rngkin msingmsing_kumprn kit tetp menggunkn konvensi psif,sedngkn untuk kopling ntr kedu kumprn kitGb.1.18. Kopling ditif.gunkn konvensi titik. Jdi hubungn tegngn dn rusuntuk Gb.1.18. dlhdidididi(1.59)v1 = v11 + v12 = L1 1 + M 2 ; v2 = v22 + v21 = L2 2 + M 1dtdtdtdtGb.1.18. dlh simbol dri du kumprn yng terkopelditif, yitu du kumprn dengn rh lilitn seperti pdMGb.1.17.. Simbol untuk kumprn terkopel substrktif,++dengn rh lilitn seperti Gb.1.17.b., diperlihtkn olehL2 v2v1 L1Gb.1.19. dengn hubungn tegngn dn rus :__did ( i2 )didiv1 = v11 + v12 = L1 1 + M= L1 1 M 2dtdtdtdtGb.1.19. Kopling substrktif.(1.60)di2di1Mv2 = v22 + v21 = L2dtdtPerhtiknlh bhw tnd titik terkit dengn kedn nyt (rh lilitn) sedngknreferensi rus dn tegngn ditentukn tnp dikitkn dengn kedn sebenrny(kitingt bhw rh referensi rus dn tegngn tidk sellu sm dengn kednsebenrny). Oleh kren itu tnd titik tidk sling terkit dengn referensi rus dntegngn. Hl ini jels terliht dri Gb.1.19. dn persmn (1.60) di ts. Berikut ini ducontoh lin penurunn hubungn tegngn dn rus du kumprn yng terkopel mgnetik.i2i1Md (i1 )d (i2 )didi++v1 = L1+M= L1 1 M 2dtdtdtdtL2 v2v1 L1di2d (i1 )di2di1__v2 = L2M= L2+Mdtdtdtdt(1.61)i1i229i2i1v1+ML1L2v2+d (i1 )dididi M 2 = L1 1 M 2dtdtdtdtdi2di1+Mv2 = L2dtdt(1.62)v1 = L1Perhtiknlh bhw dlm penurunn persmn di ts kit tetp mengikuti konvensipsif , sedngkn pengruh timbl blik dri kumprn, yng ditunjukkn oleh M di/dt ,kit mengikuti konvensi titik.CO TOH 1.20 : Pd du kumprn terkopel mgnetikseperti pd gmbr di smping ini, dikethui bhwtegngn di kumprn pertm dlhi2i1+v1_v1 = 10 cos 100t VML1+L2 v2_Tentuknlh tegngn v2 pd kumprn kedu.L1=L2=10 mH ; M = 2 mHPenyelesin :Hubungn rus dn tegngn pd rngkin kumprn pertm dlhdi1didi+ M 2 10 cos100 t = 0,01 1 + 0dtdtdtdi1kren i2 = 0. Untuk kumprn kedu, v2 = 0 + 0,002dtv1 = L1Dengn memsukkn nili di1/dt dri persmn kumprn pertm ke persmnkumprn kedu diperoleh v2 = 0,00210 cos100 t= 2 cos100 t V0,01Pemhmn :Apbil kit slh memilih tnd induktnsi bersm, mk hsil yng kn kit perolehdlh v2 = 2 cos100 t VKeslhn dlm menentukn tnd untuk M kn menyebbkn terinversiny sinylv2. Keslhn demikin jik terjdi dlm prktek, mislny untuk pengturnkeceptn motor, pd wktu motor hendk diperlmbt justru keceptn motor knbertmbh. Oleh kren itu kit hrus berhtihti.CO TOH 1.21 : Pd duseperti pd gmbr dimsingmsing kumprni1=5cos10000t dn i2 =kumprn terkopel mgnetiksmping ini, dikethui bhw rusdlh2sin5000t A.i1+v1_i2ML1+L2 v2_Tentuknlh tegngn v1 dn v2.Penyelesin :L1=0.2 mH, L2= 0.5 mHM = 0.3 mHPersmn tegngnrus untuk msingmsing kumprndlhdid ( i2 )didiv1 = L1 1 + M; v2 = L2 2 + M 1dtdtdtdtDengn memsukkn nilinili yng dikethui, kn diperolehv1 = 10 sin 10000 t 3 cos 5000 t Vv2 = 5 cos 5000 t 15 sin 10000 t V30Sudrytno Sudirhm, Anlisis Rngkin ListrikTrnsformtor IdelAp yng kit bhs mengeni kumprn terkopel mgnetik di ts dlh prinsip dritrnsformtor. Kumprn yng pertm disebut kumprn primer sedng yng kedudisebut kumprn sekunder. Seperti hlny resistor, induktor dn kpsitor, kitmengenltrnsformtor ukurn kecil yng dipki pd rngkin elektronik, dn trnsformtorukurn besr yng dipki pd rngkin pemroses energi, yng bis disebuttrnsformtor dy. Selin itu d pul trnsformtor ukur untuk keperlun pengukurnrus besr , yng disebut trnsformtor rus, dn pengukurn tegngn tinggi yng disebuttrnsformtor tegngn. Dlm kenytn, trnsformtortrnsformtor tersebutmengndung ketidksempurnn mislny fluksi bocor, rugi dy di belitn dn rugi dydlm intiny, sert ketidkliniern. Trnsformtor yng kn kit bhs di sini dlhtrnsformtor idel.Kopling Sempurn. Pd trnsformtor idel kit mengnggp bhw kopling mgnetikntr kumprn terjdi secr sempurn, rtiny semu fluksi yng melingkupi kumprnprimer jug melingkupi kumprn sekunder dn demikin pul seblikny.Jik jumlh lilitn di kumprn primer dn sekunder msingmsing dlh 1 dn 2sedngkn rus msingmsing dlh i1 dn i2 mk fluksi msingmsing kumprndlh1 = k11i1dan 2 = k 22 i2dengan k1 dan k2 adaah konstanta proporsionaitas.Seain uksinya sendiri, setiap kumparan juga meingkupi uksi yang dibangkitkan dikumparan yang ain, yaitu12 = k12dan 21 = k 212 i21i1Jika terjadi koping sempurna, makayang berarti : k1212 = 22 i2 = k 2sehingga :k12 = k 2dan2 i2dank 21dan 21 = 11i1 = k11i1k 21 = k1Untuk medium maknit yang inier maka k12 = k21 = kM , sehingga untuk transormator ideaini k1 = k2 = k12 = k21 = kM .Dengan demikian maka (1.55) dan (1.56) menjadi2L1 = k M 1; L2 = k M22; M = k M 1 2 = L1L2(1.63)Dengan menggunakan (1.58), tegangan pada kumparan primer dan sekunder dapat kitaperoeh yaitudidididiv1 = L1 1 M 2 = 1dtdtdtdt(1.64)di2di1di2di1v2 = L2M= 2 kM 2+ kM 1dtdtdtdtk M 1 1 k M 2 2Rasio persamaan pertama dan kedua dari (1.64), memberikanv1=v21=a(1.65)231Parameter a disebut perbandingan iitan. Jika a > 1, kita mempunyai transormator penuruntegangan (step-down transormer) dan jika a < 1 kita mempunyai transormator penaiktegangan (step-up transormer). Tanda + atau tergntung dri rh referensi rusprimerdn sekunder reltif terhdp referensi titik. Jik referensi rh rus di kedukumprnmenuju tu meningglkn referensi titik kit berikn tnd +.Rugi Dy ol.Selin kopling sempurn, kit jug mengnggp bhw dlmtrnsformtor idel tidk d rugi dy. Hl ini berrti bhw dy yng diserp(tuhilng) di kedu kumprn dlh nol.v1 i1 + v2 i2 = 0i2v= 1 =mi1v2tu1=m2(1.66)Dri (1.65) dn (1.66) jels bhw jik tegngn sekunder lebih besr dri tegngn primer(stepup trnsformer) mk rus sekunder lebih kecil dri rus primer. Trnsformtor jenisinilh yng digunkn pd trnsmisi dy listrik. Dengn tegngn yng tinggi,rus pdslurn trnsmisi menjdi kecil sehingg rugirugi dy pd slurn (i2R) dptditekn.CO TOH 1.22 : Sutu trnsformtor mempunyi perbndingn lilitn 1/ 2 = 0,1. Dengntegngn msukn 120sin400t V, dn dengn mengnggp trnsformtor ini idel,tentuknlh tegngn sekunder, rus sekunder, sert rus primer, jik diberi bebnresistif sebesr 50 . Hiung pula daya yang diserap oleh beban.Penyelesaian :Gambar dari rangkaian ransformaor ini adalah seperi beriku.i1+v1_v2 =i22i2 =v1 = 1200 sin 400 V1+v2_ 50i1 =2v2= 24 sin 400 A50i2 = 240 sin 400 A1pL = v2i2 = 1200 24 sin 2 400 W = 28.8 sin 2 400 kW.CO TOH 1.23 : Dalam conoh 1.22, berapakah resisansi yang diliha oleh sumber (yaiuresisansi di sisi primer) ?Penyelesaian :Dalam conoh ini egangan primer adalah v1 = 120sin400 sedangkan arus yang mengaliradalah i1 = 240sin400. Jadi resisansi yang erliha di sisi primer adalah'R2 =v1 120 sin 400== 0,5 i1 240 sin 400Pemahaman :R'2 ini disebu resisansi masukan ekivalen ( equivalen inpu resisance). Jikakiaperhaikan lebih lanju akan erliha bahwa'R232v(= 1 =i1(=2 / 1 )i21/2 )v 2Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik2R221CO TOH 1.24 : Sebuah ransformaor (ideal) digunakan unuk menurunkan egangan dari220cos314 V ke 110cos314 V. Jumlah lilian primer maupun sekunder idak dikeahui.Unuk mencarinya dibua kumparan pembanu (kumparan keiga) dengan 20 lilian.Dengan memberikan egangan sebesar 220cos314 V pada belian primer diperolehegangan sebesar 5,5cos314 V di kumparan pembanu. Carilah jumlah lilian primerdan sekunder.Penyelesaian :Pada waku egangan primer 220cos314 V, egangan di kumparan pembanu adalah5,5cos314 V. Jadi perbandingan jumlah lilian kumparan primer dan kumparanpembanu adalah1=3Karena3=20 , maka1 =4020220 cos 314= 405.5 cos 314= 800 lilian.Perbandingan lilian ransformaor adalah21Jadi jumlah lilian sekunder adalah2==110 cos 314= 0,5220 cos 314400 lilian.SaklarSaklar adalah pirani yang digunakan unuk menuup dan membuka rangkaian. Dalamkeadaan eruup, suau saklar mempunyai baas arus maksimum yang mampu ia salurkan.Dalam keadaan erbuka, saklar mempunyai baas egangan maksimum yang mampu iaahan. Dalam keadaan erbuka ini, erdapa arus kecil yang eap mengalir yang kia sebuarus bocor. Sebaliknya dalam keadaan eruup masih erdapa egangan kecil anarerminalnya.Unuk rangkaianelekronik kia mengenal saklar dengan kemampuan arus dalam ordemAdan egangan dalam orde Vol. Sedangkan pirani penuup dan pembuka rangkaian dengankapasias besar kia jumpai pada rangkaian pemroses energi. Pemuus dan pembukarangkain berkapasias besar ini mempunyai kemampuan arus dalam orde kA dan egangandalam kV yang dikenal dengan sebuan circui breaker. Dalam analisis rangkaian,saklardimodelkan sebagai kombinasi rangkaian hubungerbuka dan rangkaian hubungsingkadan dianggap ideal dalam ari idak erdapa rugi daya aau dengan kaa lain daya selalu nol(idak menyerap daya). Dalam keadaan erbuka, arus bernilai nol (anpa arus bocor)sedangkan egangan pada erminalnya bernilai sembarang anpa baas. Dalam keadaaneruup egangan anara erminalnya nol sedangkan nilai arusnya sembarang anpabaas.Gb.1.20. di bawah ini menggambarkan karakerisik saklar ideal yang dimaksud.ivsimbolvsimbol(b) saklar eruupv = 0 , i = sembarangGb.1.20. Karakerisik i v saklar ideal.(a) saklar erbukai = 0 , v = sembarang33Elemen Sebagai Model Dari GejalaSebagaimana dijelaskan di aas, elemen adalah model dari pirani, seperi resisor, kapasior,indukor dan sebagainya. Selain dari pada iu sering erdapa gejalagejala adanya resisansi,aau kapasiansi, aaupun indukansi pada pirani aau anar pirani, pada kondukor aauanar kondukor dalam rangkaian lisrik. Gejalagejala seperi iu dapa pula dimodelkansebagai elemen rangkaian. Sebagai conoh, pada saluran ransmisi daya erdapa resisansipada kawa, kapasiansi anar kawa dan anara kawa dengan anah, dan juga erdapaindukansi. Pada pirani elekronik juga erdapa kapasiansi anar erminal yang disebukapasiansi bocor. Accu mobil mengandung gejala adanya resisansi juga yang diseburesisansi inernal. Resisansi, kapasiansi, aaupun indukansi pada piranipirani ersebumerupakan gejala yang ada pada pirani yang juga dapa dimodelkan sebagai elemenrangkaian.Pirani dan Elemen AkifSumber BebasSumber bebas adalah sumber yang idak erganung dari peubah sinyal di bagian lain darirangkaian. Sumber sinyal dapa dimodelkan dengan dua macam elemen, yaiu: sumberegangan aau sumber arus. Sumbersumber ini dapa membangkikan sinyal yang konsanaaupun bervariasi erhadap waku, yang merupakan masukan pada suau rangkaian.Merekasering disebu sebagai fungsi penggerak aau forcing funcion aau driving funcion yangmengharuskan rangkaian memberikan anggapan.Sumber Tegangan Bebas Ideal. Gb.1.21. memperlihakan simbol dan karakerisik iv darisumber egangan bebas ideal. Perhaikan referensi arus dan egangannya, yang eapmengikui konvensi pasif. Karakerisikiv sumber egangan ideal memberikanipersamaan elemen sbb:+i_vs + i V o _v = vs ;Vo vi = sembarangPersamaan ini menyaakan bahwasumber egangan ideal membangkikanegangan vs pada erminalnya dan akanmemberikan arus berapa saja yangdiperlukanolehrangkaianyangerhubung padanya.(a)(b)(c)Gb.1.21. Sumber egangan ideal.(a) Sumber egangan bervariasi erhadap waku(b) Sumber egangan konsan(c) Karakerisik iv sumber egangan konsanSumber Arus Bebas Ideal. Gb.1.22. menunjukkan simbol dan karakerisik iv sumber arusbebas ideal. Perhaikan referensi arus dan egangannya, yang juga eap sesuai dengankonvensi pasif. Karakerisik iv sumber arusideal memberikan persamaan elemen:iii = is ; v = sembarangIsIs , isvSumber arus ideal memberikan arus is dalam+varah sesuai dengan arah anda anak panah pada(b)(a)simbolnya dan memberikan egangan berapasaja yang diperlukan oleh rangkaian yangGb.1.22. Sumber arus ideal.erhubung padanya. Perhaikan bahwa sumberarus bukan sumber yang egangannya nol.34Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian LisrikCO TOH 1.25 : Sebuah sumber egangan konsan 40 V ideal, mencau sebuah beban. Jikadikeahui bahwa beban menyerap daya konsan sebesar 100 W, berapakah arus yangkeluar dari sumber? Jika beban menyerap 200 W, berapakah arus yang keluar darisumber?Penyelesaian :Karena merupakan sumber egangan ideal maka ia akanmemberikan arus berapa saja yang dimina beban padaegangan yang konsan 40 V.+ 40V bebanJika daya yang diserap beban 100 W, maka arus yang diberikan oleh sumber adalahp 100== 2,5 Av40i=Jika daya yang diserap beban 200 W, maka arus yang diberikan oleh sumber adalahi=p 200==5 Av40Pemahaman :Sumber egangan ideal memberikan arus berapa saja yang dimina oleh beban, padaegangan kerja yang idak berubah. Sumber semacam ini dapa kia gunakan unukmendekai keadaan dalam prakek apabila sumber mempunyai kemampuan yang jauhlebih besar dari daya yang diperlukan oleh beban aau dengan kaa lain sumber ersebukia anggap mempunyai kapasias yang ak berhingga.CO TOH 1.26 : Sebuah sumber arus konsan 5 A ideal, mencau sebuah beban. Jikadikeahui bahwa beban menyerap daya konsan sebesar 100 W, pada eganganberapakah sumber beroperasi? Jika beban menyerap 200 W, berapakah egangansumber?Penyelesaian :Sumber arus ideal memberikan arus erenu, dalam hal ini 5A, pada egangan berapa saja yang diperlukan oleh beban.5A bebanJika daya yang diserap beban 100 W, maka egangan sumberadalah v =p 100== 20 Vi5Jika daya yang diserap beban 200 W, maka egangan sumber adalahv=p 200== 40 Vi5Sumber Prakis. Gb.1.23. menunjukkan modelsumber egangan dan sumber arus prakis;sumber ini disebu prakis karena mereka lebihmendekai keadaan nyaa dibandingkan denganmodel sumber ideal.Rsvs+_ii+visRpv+Suau sumber nyaa pada umumnya mengandungGb.1.23. Sumber egangan dangejalagejalaadanyaresisansiaaupunsumber arus prakisindukansi dan kapasiansi. Resisor Rs aaupunRp dalam model sumber prakis yang erlihapada Gb.1.23. merupakan represenasi dari gejala resisansi yang hadir dalam sumber yangdimodelkan dan bukan mewakili resisor yang berupa pirani.35CO TOH 1.27 : Sebuah sumber egangan konsan prakis dengan resisansi 4 , mencausebuah beban. Jika dikeahui bahwa beban menyerap daya konsan sebesar 100 W, dandikeahui pula bahwa arus yang mengalir padanya adalah 2,5 A, berapakah egangansumber dan arus yang keluar dari sumber? Jika sumber idak dibebani, berapakahegangannya?iPenyelesaian :+Rangkaian sumber prakis erdiri dari sumber ideal vi dan4vs bebanresisansi sebesar 4 . Tegangan sumber prakis adalah vs vi +_dan egangan ini sama dengan egangan pada beban.Jika daya dan arus pada beban adalah 100 W dan 2,5 A, maka egangan sumber adalahp 100vs = == 40 Vi2 .5Karena hanya ada sau beban yang dilayani oleh sumber prakis, maka arus yang keluardari sumber sama dengan arus beban yaiu 2,5 A. Arus ini pula yang keluar dari sumberegangan ideal vi dan mengalir melalui Ri. Bagi sumber egangan ideal vi, daya yangdiserap oleh resisansi Ri iku menjadi bebannya, yaiu pRi = i 2 Ri = (2.5) 2 4= 25 WDengan demikian sumber egangan ideal menanggung beban po = 100 + 25 = 125 W .Dengan arus yang 2,5 A, maka egangan sumber ideal adalah vi = 125 / 2.5 = 50 V.Tegangan inilah yang akan erliha pada sumber prakis, vs, apabila ia idak dibebani,karena pada saa anpa beban idak ada arus yang mengalir sehingga idak ada eganganpada Ri.Pemahaman :Dalam conoh di aas, sumber prakis yang merupakan sumber egangan konsan,mempunyai resisansi Ri yang kia sebu resisansi inernal. Resisansi inilah yangmenyebabkan erjadinya perbedaan nilai egangan sumber prakis pada saa berbebandan pada saa idak berbeban. Pada sumber prakis yang bukan egangan konsan,misalnya egangan sinus, idak hanya erdapa resisansi inernal saja eapi mungkinjuga indukansi inernal.CO TOH 1.28 : Sebuah accu (accumulaor) 12 V, berkapasias 40 Ah. Jika sebuah bebanyang menyerap daya 10 Wa dihubungkan padanya, berapa lamakah accu ersebudapa melayani beban yang dianggungnya ?Penyelesaian :Jika kia menganggap accu sebagai sebuah sumber egangan ideal yang memberikandaya kepada beban dengan egangan konsan 12 V, maka arus yang akan mengalir kebeban adalahp 10Ai= =iv 12Karena kapasiasnya 40 Ah, accu akan+beban+Rimampu mencau beban selamavmenyerap12 V 40_10 W== 48 jam!0 / 12Pemahaman :Accu mengubah energi kimia menjadi energi lisrik. Dalam proses pengubahan ersebuerdapa sejumlah energi yang idak dapa dikeluarkan melainkan berubah menjadipanas. Accu dapa dimodelkan sebagai sumber egangan dengan resisansi36Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrikinernal sebesar Ri. Jadi model rangkaian mirip dengan rangkaian pada conoh 1.27.seperi erliha di samping ini. Dengan model ini maka energi idak hanya diserap olehbeban eapi juga oleh Ri. Dengan adanya resisansi inernal iu egangan pada bebanakan lebih kecil dari egangan sumber ideal. Selain dari pada iu, jika accu idakmendapakan ambahan energi dari luar, egangan akan erus menurun selama prosespengaliran daya ke beban. Jika resisansi beban idak berubah, egangan pada bebanjuga akan menurun yang berari bahawa penyerapan daya pada beban juga idakkonsan 10 wa.Sumber TakBebas (Dependen Sources)Sumber bebas yang kia ulas di aas adalah model dari suau pirani; arinya, kiamengenalnya baik sebagai elemen maupun sebagai pirani (seperi halnya resisor,indukordan kapasior). Berbeda dengan elemenelemen ersebu, sumber akbebas adalah elemenyang idak mewakili pirani erenu melainkan menjadi model unjuk kerja suau pirani.Sumber akbebas adalah elemen akif yang kia gunakan dalam kombinasi dengan elemenlain unuk memodelkan pirani akif seperi misalnya ransisor aaupun OP AMP.Keluaransumber akbebas dikendalikan oleh (erganung dari) egangan aau arus di bagian lain darirangkaian. Sumber akbebas yang akan kia pelajari adalah sumber akbebas linier, baik iusumber egangan maupun sumber arus.Karena ada dua macam besaran yangdikendalikan, yaiu egangan aaupun arus, danada dua macam besaran pengendali yang mungkinjuga berupa arus aaupun egangan, maka kiamengenal empa macam sumber akbebas, yaiu:CCVS :+_i1ri1+_ v1a). Sumber egangan dikendalikancurrenconroled volage sourceb). Sumber egangan dikendalikanvolageconroled volage sourceVCVS :+v1oleh arus:(CCVS).oleh egangan:(VCVS)._c). Sumber arus dikendalikan oleh arus : currenconroled curren source (CCCS).d). Sumber arus dikendalikan oleh egangan :volageconroled curren source (VCCS).CCCS :i1i1G.1.24. memperlihatkan simol-simol sumertak eas.Kita amil contoh CCCS. Arus keluaran CCCStergantung dari arus masukan i1 dan faktorperkalian tak erdimensi , menjadi i1.Ketergantungan seperti ini tidak kita dapatkanpada sumer eas. Arus yang dierikan olehsumer arus eas, tidak tergantung darirangkaian yang terhuung ke padanya.VCCS :+v1_g v1G.1.24. Simol sumer tak-eas.Masing-masing sumer tak-eas mempunyai parameter tunggal , , r, dan g seagaicirinya. Parameter-parameter ini diseut gain. Dalam hal ini, dan merupakan parameteryang tak erdimensi yang masing-masing diseut voltage gain dan current gain. Parameter rerdimensi ohm dan diseut transresistance (kependekan dari transfer resistance).Parameter g erdimensi siemens, diseut transconductance.37CO TOH 1.29 : Seuah sumer tak-eas CCVS seperti tergamar di awah ini mencatuean konstan yang mempunyai resistansi 20 . Rangkaian pengendali erdiri darisumber egangan ideal vs dan resisansiisioRs = 60 . Hiunglah daya yangdiserap oleh beban jika sumber++ 500 is vegangan pengend