barisan limit

7/23/2019 Barisan LImit

1/13

BAB IIIBARISAN BILANGAN REAL

3.1. Barisan dan Limit

Pada bab ini kita akan mempelajari kelas khusus dari fungsi yangmempunyai domain himpunan bilangan asli N dengan daerah jelejah (range) di

dalam himpunan bilangan real .

Definisi 3.1.1 Barisan bilangan real adalah fungsi pada himpunan bilanganasli N

dengan daerah jelajah termuat di dalam himpunan bilangan real .

Dengan kata lain, barisan di dalam himpunan bilangan real adalahpengaitan setiap bilangan asli n dengan tunggal bilangan real. Bilangan-bilanganreal yang dihasilkan disebut suku dari barisan, dan biasa dituliskan dengan nx

(atau n atau nz ).

Secara umum, jika X : N suatu barisan. Nilai Xdi n akan dinotasikandengan nx . Selanjutnya barisan dinotasikan dengan:

X, ( )nx atau (xn : n N).

Di dalam buku ini tanda kurung ( ) digunakan untuk notasi barisan, sedangkankurung kurawal { } digunakan untuk notasi himpunan. Disini perlu diperhatikanperbedaan antara himpunan dan barisan. Pada himpunan, keanggotaannya tidakmemperhatikan urutan dan bila terjadi unsur dua kali atau lebih, cukup ditulis sekalisaja, sedangkan pada barisan urutan harus diperhatikan. Sebagai contohX =((-1)-n:

n N) adalah barisan dengan suku bergantian antara -1 dan 1, sedangkan {(-1)-n:

n N} adalah himpunan { 1,1} .

Contoh 3.1.2 (a) Misalkan a, barisan ( , , , . . .)A a a a= semua sukunya a disebutbarisan konstan a .

(b) Barisan S = (1/n : n N) = (1, , 1/3, ...) adalah barisan dari kebalikan bilangan

asli.

(c) Jika b , maka B = (bn : n N) adalah barisan 2 3( , , , , , )nB b b b b= K K .

Khususnya untuk12

b = , diperoleh barisan1 1 1 11 2 4 8 2( , , , ..., ,...)nB = .

Sedangkan untuk 2b = , memberikan barisan

2 (2, 4, 8, ,2 , )nB = K K .

(d) Barisan Fibonacci F= (fn : n N) dengan

1 1f = , 2 1f = , 2 1n n nf f f = + , untuk 2n > .Sebagai contoh barisan Fibonacci adalah (1,1, 2, 3,5,8,13,....)F= .

Definisi 3.1.3 Jika ( )nX x= dan ( )nY y= barisan bilangan real, perkalian skalarc, penjumlahan, perkalian, dan pembagian dari dua barisan berturut-turutdidefinisikan sebagai barisan

cX = (cxn : n N)

__________________________________________________________________Analisis Real 33


2/13

X + Y = (xn + yn : n N),

X.Y = (xn.yn : n N),.

= Nnyx

Y

X

n

n

, , asalkan yn 0 untuk semua n N.

Sebagai contoh, jika (3, 9,12,..., 3 ,...)X n= dan 1 1 1(1, , ,..., ,...)2 3

Yn

= , maka

2 (6,12,18,...,6 ,...)X n= ,213 28 3 1

(4, , ,..., ,...)2 3

nX Y

n

++ = ,

(3, 3, 3,...,3,...)X Y = ,2(3,12, 27,...,3 ,...)

Xn

Y= ,

sedangkan selisihnya diperoleh dari definisi pertama dan kedua dengan 1c = ,211 26 3 1(2, , ,..., ,...)

2 3nX Y

n = .

Limit dari Barisan

Jika diperhatikan kembali barisan-barisan pada Contoh 3.1.2, maka untuk

nilai n yang besar, barisanA suku-sukunya akan dekat dengan a, barisan S dan 1B

suku-sukunya akan mendekati 0. Dalam hal ini barisan-barisan ini dikatakan

konvergen. Sebaliknya, jika diambil nilai n yang besar, barisan 2B dan F suku-

sukunya akan membesar pula. Dalam hal demikian dikatakan barisan-barisan inidivergen. Definisi formalnya diberikan di bawah ini.

Definisi 3.1.4 Misalkan ( )nX x= barisan bilangan real. Bilangan real x dikatakanlimit dari X jika untuk sebarang bilangan 0> terdapat bilangan asli ( )K K = sehingga untuk setiap n K berlaku

nx x < .Dalam hal ini, dikatakan X konvergen ke x . Jika barisan mempunyai limit,dikatakan bahwa barisan konvergen dan jika tidak mempunyai limit dikatakan

bahwa barisan divergen. Jika barisan bilangan real ( )nX x= mempunyai limit x, ditulis

lim( )nx x= atau lim( )nn x x = atau nx x .

Negasi dari definisi di atas, barisan ( )nX x= tidak konvergen ke x, jikaterdapat 0 0 > sehingga untuk setiap K N terdapat n N dengan n K tetapi

0nx x .

Teorema 3.1.5 (Ketunggalan Limit) Jika barisan bilangan real ( )nX x= konvergen,maka limitnya tunggal.

Bukti: Misalkan 'nx x dan "nx x . Untuk membuktikan ketunggalan cukupdibuktikan bahwa ' "x x= . Diberikan sebarang 0> . Karena 'nx x , maka terdapatK1 N sehingga untuk setiap 1n K berlaku

__________________________________________________________________Analisis Real 34


3/13

'2

nx x

< .

Di pihak lain "nx x , sehingga untuk di atas terdapat K2 N sehingga untuksetiap 2n K berlaku

"2

nx x

< .

Jika dipilih 1 2maks ( , )K K K= , maka untuk setiap n K berlaku0 ' " ' "n nx x x x x x +

2 2

< + = .

Karena 0> sebarang, maka menurut Teorema 2.2.9, disimpulkan bahwa ' "x x= .

Contoh 3.1.6 (a) Barisan konstan ( )2, 2, 2, ,K konvergen ke 2.

Misalkan 2nx = , n N. Diberikan sebarang 0> . Untuk sebarang K N dansetiap n K berlaku

2 0nx = < .

Terbukti bahwa ( )lim 2nn

x

= .

(b)1

lim 0n n

=

.

Diberikan sebarang 0> . Dengan sifat Archimedes 2.5.2 (b) terdapat K N

sehingga1

K

< . Akibatnya untuk setiap n K berlaku

1 10nx n K

= < .

Terbukti bahwa1

lim 0n n

=

.

(c)2 3 2

lim5 1 5nn

n+ = +

.

Perhatikan bahwa untuk n K ,2 3 2 13 13 13 13

5 1 5 25 5 25 5 25 25

n

n n n n K

+ = = + + + .

Diberikan sebarang 0> . Terdapat K N sehingga1 25

13K

< . Sehingga untuksetiap n K berlaku

2 3 2 13

5 1 5 25

n

n K

+ . Menurut

hipotesis, terdapat Km N sehingga untuk mn K ,

nx x

< .Dengan memilih mK K m= + , maka suku-suku dari X untuk n K memenuhi

nx x < . Ini menunjukkan bahwaX konvergen kex.

Barisan X dikatakan pada akhirnya (ultimately) mempunyai sifattertentu, jika mempunyai suatu ekor dengan sifat ini. Sebagai contoh, barisan(1, 3, 6, 6,6, , 6, )K K adalah pada akhirnya konstan. Sebaliknya,

(1, 3, 1, 3, , 1, 3, )K K barisan yang tidak pada akhirnya konstan. Kekonvergenan

barisan dapat dinyatakan dengan pengertian ini : BarisanXkonvergen kexjika dan

hanya jika suku-suku dariXpada akhirnya di dalam persekitran darix.

Latihan 3.1

1. Suku ke-n dari barisan ( )nx diberikan oleh rumus-rumus berikut. Tulis lima suku

pertama dari setiap barisan.

(a) 1 ( 1)n

nx = + (b)( 1)n

nx n

=

(c)1

( 2)nx

n n=

+ (d) 21

1nx

n=

+

2. Beberapa suku dari barisan ( )nx diberikan oleh di bawah ini. Berikan rumus

suku ke-n dari berisan yang diberikan.

(a) 7, 9, 11, 13,K (b) 1 1 1 1, , , ,3 9 27 81 K

(c) 31 2 4, , , ,2 3 4 5 K (d) 1, 4, 9, 16,K

3. Tulislah lima suku pertama dari barisan-barisan berikut :

(a) 1 11, 3 1n nx x x+= = +

(b)1 2

1 1 22, ( )

nn n yy y y+= = +

(c) 1 2 2 1 11, 2, ( ) /( )n n n n nz z z z z z z+ + += = = +

(d) 1 2 2 13, 5, n n nt t t t t + += = = +

4. Buktikan bahwa untuk sebarang b, lim 0nb

n

= .5. Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini.

(a) 21

lim 02 3n n

= + (b)

4lim 4

3nn

n = +

(c)4 5 5

lim3 2 3n

n

n = +

(d)2

2

2 1lim 2

7nn

n

= +

6. Buktikan bahwa lim( ) 0nnx

= jika dan hanya jika ( )lim 0n

nx

= . Berikan contoh

barisan bahwa ( )lim nn

x

konvergen tetapi ( )nx divergen.

__________________________________________________________________Analisis Real 37


6/13

7. Buktikan bahwa jika lim( )nn

x x

= dan 0x > , maka terdapat M N sehingga

0nx > untuk semua n M .

8. Misalkan ( )na dan ( )nx barisan bilangan real sehingga n nx x c a untuksemua n N, untuk suatu c > 0 danx. Jika lim( ) 0n

na

= buktikan bahwa

lim( )nn

x x

= .9. Tunjukkan bahwa :

(a)1

lim 0, 01n

ana

= > + (b) .

1lim 0

2nn =

(c) ( )1

lim 1nn

c

= , 0c > (d) ( )1

lim 1nn

n

= .

10.Tunjukkan bahwa1 1

lim 02n n n

= + .

3.2 Teorema Limit Barisan

Pada bagian ini akan dibahas beberapa hasil yang sering digunakan untukmenghitung limit dari barisan yang konvergen.

Definisi 3.2.1 Barisan bilangan real ( )nX x= dikatakan terbatasjika terdapat

bilangan real 0M> sehingga nx M untuk semua n N.

Dengan definisi ini, ( )nX x= barisan terbatas jika dan hanya jika himpunan{xn : n N} terbatas di dalam .

Contoh 3.2.2 (a) Barisan ( )nx dengan12

53

+

+=

n

n

xn , terbatas.

Perhatikan bahwa

3 5 3 7 3 7 8

2 1 2 4 2 2 4.1 2 3n

nx

n n

+= = + + =

+ + +,

untuk setiap n N. Jadi ( )nx terbatas dengan8

3M = .

(b) Barisan (2 )n

tidak terbatas.

Misalkan 2n

nx = , maka dengan Ketaksamaan Bernulli Contoh 2.2.14 (c) berlaku(1 1) 1nnx n n= + + > .

Oleh karena itu untuk sebarang bilangan 0M> , dengan sifat Archimides terdapatbilangan asli n sehingga n M> . Akibatnya untuk n ini berlaku

nx n M> > ,

yang menyatakan bahwa (2 )n

tidak terbatas.

Teorema 3.2.3 Jika ( )nx barisan bilangan real konvergen, maka ( )nx terbatas.

__________________________________________________________________Analisis Real 38


7/13

Bukti: Misalkan lim( )nn

x x

= , ambil 1= . Menurut hipotetis, maka terdapat K N

sehingga untuk n K berlaku 1nx x < . Akibatnya untuk n K ,

1nx x< + .Pilih { }1 2 1maks , ,...., , 1KM x x x x= + . Sehingga berlaku

nx M untuk setiap n N,

yang mengatakan bahwa barisan ( )nx terbatas.

Kebalikan dari teorema di atas tidak selalu benar, sebagai contoh barisan

( )( 1)n terbatas oleh 1 tetapi barisan ini tidak konvergen, lihat Contoh 3.1.6 (e). Dariteorema ini juga dapat dipastikan bahwa setiap barisan yang tidak terbatas pastitidak konvergen.

Teorema 3.2.4 Jika ( )nX x= dan ( )nY y= masing-masing barisan bilangan realyang konvergen kexdan y, maka barisan , ,X Y X Y XY+ dan cX , dengan c,berturut-turut konvergen ke x y+ , ,x y xy dan cx . Selanjutnya jika ( )nZ z= barisan bilangan real tak nol yang konvergen ke 0z , maka barisan X/Z

konvergen kex

z.

Bukti (a) Untuk menunjukkan bahwa lim( )n nn

x y x y

+ = + , perlu diestimasi nilai dari

( ) ( )n nx y x y+ + . Dengan Ketaksamaan Segitiga 2.3.3 diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )n n n nx y x y x x y y+ + = +

n nx x y y + .Diberikan sebarang 0> . Dari yang diketahui terdapat K1 Nsehingga untuk

1n K ,

2nx x

< .

Juga terdapat K2 Nsehingga untuk 2n K

2ny y

< .

Pilih 1 2maks( , )K K K= , maka untuk n K berlaku( ) ( ) ( ) ( )n n n nx y x y x x y y+ + = +

n nx x y y + .

2 2

< + =

Karena 0> sebarang, maka barisan ( )n nX Y x y+ = + konvergen ke x y+ .(b) Dengan argumen yang serupa dapat dibuktikan barisan ( )n nX Y x y = konvergen kex - y.

(c) Untuk membuktikan bahwa ( )n nX Y x y = konvergen ke xy , diestimasi( ) ( )n n n n n nx y xy x y x y x y xy = +

( ) ( )n n nx y y y x x +

n n nx y y y x x= + .

__________________________________________________________________Analisis Real 39


8/13

Karena ( )nx konvergen, maka menurut Teorema 3.2.3, terdapat 1 0M > sehingga

1nx M untuk semua n N. Pilih 1maks( , )M M y= , sehingga diperoleh

n n n n

x y xy M y y M x x + .Diberikan sebarang 0> . Dari kekonvergenanXdan Yterdapat terdapat K1 Nsehingga untuk 1n K ,

2nx x

M

< ,

dan terdapat K2 Nsehingga untuk 2n K

2ny y

M

< .

Ambil 1 2maks( , )K K K= , sehingga untuk n K

n n n nx y xy M y y M x x +

<

=+

M.M

M.M

22.

Karena 0> sebarang, maka barisan ( )n nX Y x y = konvergen kexy.(d) Untuk menunjukkan barisan ( )ncX cx= konvergen ke cx, definisikan barisan

( ) ( , , , )nC c c c c= = K sehingga C konvergen ke c. Akibatnya menurut bukti (c),( ) ( )n n nc x cx= konvergen ke cx.

(e) Untuk membuktikan bahwaX

Ykonvergen ke

x

y, dengan (c) cukup dibuktikan

bahwa1

nz

konvergen ke1

z. Ambil 12 0z= > , dengan 0z . Pilih K1 N

sehingga nz z < apabila 1n K . Sehingga untuk 1n K ,

n nz z z z < atau 12 nz z z= .

Akibatnya untuk 1n K ,1 2

nz z .

Selanjutnya

1 1 1

. .n

nn n n

z zz z

z z z z z z

= =

2

2nz z

z

Diberikan sebarang 0> . Pilih K2 N sehingga untuk 2n K ,2

2nz

z z < .

Ambil 1 2maks( , )K K K= maka untuk n K ,

1 1 1

. .n

nn n n

z zz z

z z z z z z

= =

2

2 2

2 2

2nz

z zz z

< = .

Karena 0

>sebarang, maka barisan

1

nz

konvergen ke

1

z.

__________________________________________________________________Analisis Real 40


9/13

Teorema 3.2.4 dapat diperluas terhadap sejumlah berhingga barisan yang

konvergen. Sebagai contoh, jika ( ), ( ), , ( )n n nA a B b Z z= = =K adalah barisanbilangan real yang konvergen, maka penjumlahannya

( )n n nA B Z a b z+ + + = + + +L L barisan konvergen, danlim( ) lim( ) lim( ) lim( )n n n n n nn n n n

a b z a b z

+ + + = + + +L L .

Perkaliannya ( )n n nA B Z a b z = L L juga barisan konvergen, danlim( ) lim( ) lim( ) lim( )n n n n n nn n n n

a b z a b z

= L L .

Akhirnya, jika k Ndan ( )nA a= konvergen, maka

( )lim( ) lim( )k

k

n nn n

a a

= .

Buktinya ditinggalkan untuk pembaca.

Teorema 3.2.5 Jika ( )nX x= barisan bilangan real yang konvergen ke x dan0nx untuk semua n N, maka 0x .

Bukti: Andaikan 0x < , maka 0x= > . Karena ( )nx konvergen ke x , makaterdapat K N sehingga untuk n K

nx x < atau 0nx x x < < + = .

Ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa 0nx untuk semua n N. Jadipengandaian 0x < di atas salah, sehingga yang benar 0x .

Teorema 3.2.6(Teorema Apit) Jika ( ), ( )n nX x Y y= = dan ( )nZ z= barisan bilangan

real sehingga n n nx y z untuk semua n

N dan lim (xn) = lim (zn) maka Y = (yn)konvergen dan lim( ) lim( ) lim( )n n n

n n nx y z

= = .

Bukti: Misalkan lim( ) lim( )n nn n

t x z

= = . Diberikan sebarang 0> . Dapat dipilih K

Nsehingga untuk n K berlaku

nx t < dan nz t < .

Menurut hipotesis n n nx y z atau n n nx t y t z t , sehingga untuk n K

ny t < < .

Karena 0> sebarang, maka lim( )nn

y t

= .

Catatan: Karena sebarang ekor dari barisan konvergen mempunyai limit yangsama, maka hipotesis dari Teorema 3.2.5 dan 3.2.6 dapat diterapkan untuk ekorbarisan.

Contoh 3.2.7 (a) Barisan2( )n divergen.

Mudah ditunjukkan bahwa barisan ini tidak terbatas, sehingga menurut Teorema

3.2.32( )n divergen.

(b)2 1

lim 2n

n

n+ =

.

__________________________________________________________________Analisis Real 41


10/13

Jika ( ) (2)nx = dan1

( )ny n =

, maka2 1

( ) ( )n nn

x yn

+ = +

. Sehingga menurut

Teorema 3.2.4 (a)

2 1lim lim( ) lim( ) 2 0 2n nn n n

nx y

n + = + = + =

.

(c)2 1 2

lim3 5 3n

n

n+ =

.

Karena barisan (2 1)n + dan (3 5)n tidak konvergen (mengapa?), Teorema 3.2.4(e)tidak dapat langsung dipakai. Akan tetapi suku ke-n dari barisan ini dapatdinyatakan sebagai

2 12 1

3 5 3 5

nn

n n

++ = .

Dengan mengambil 2 1X n= + dan 3 5Z n= , maka dengan Teorema 3.2.4 (e)lim(2 1 )2 1 2

lim3 5 lim(3 5 ) 3

n

nn

nn

n n

++ = = .

(d) 22

lim 21n

n

n = +

.

Teorema 3.2.4 (e) tidak dapat langsung dipakai. Akan tetapi,

2 2

22

1 1 1

nn

n n=

+ + .

Dengan mengambil 2X n= dan 21 1Z n= + , maka dengan Teorema 3.2.4 (e)

2 2

lim(2 )2 0

lim 011 lim(1 1 )

n

n

n

nn

n n

= = = + + .

(e)sin

lim 0n

n

n =

.

Karena 1 sin 1n , maka1 sin 1n

n n n untuk semua n N.

Karena1

lim 0n n

=

dan1

lim 0n n

=

, maka menurut Teorema Apit 3.2.6,

sinlim 0n

n

n =

.

Teorema 3.2.8 Jika barisan ( )nX x= konvergen kex, maka ( )nx konvergen ke x .

Bukti: Diberikan sebarang 0> .Karena ( )nx konvergen ke x, maka terdapat KNsehingga untuk n K ,

nx x < .Oleh karena itu untuk n K berlaku

n nx x x x < .

Ini menyatakan bahwa ( )nx konvergen ke x .

__________________________________________________________________Analisis Real 42


11/13


12/13

1

1

1 3 1 11

33

nn

nn

x n

x n n+

++ = = +

,

sehingga1 1

lim 13n

nn

x

x+

=


13/13

16.Tunjukkan bahwa jika ( )n n n

nz a b= + dengan 0 a b< < , maka ( )lim nn z b = .

17.Jika 21

1n

n

k

x

n k=

=

+

, tunjukkan bahwa ( )nx konvergen.

18. Misalkan ( )nx barisan konvergen ke x. Jika1

1 n

n n

k

y xn =

= , buktikan bahwa( )ny konvergen.

19.Selidiki kekonvergenan dari barisan-barisan berikut, dengan 0 1a< < dan 1b > .

(a) nn

b

(b)2

n

n

b

(c) ( )2 nn a (d)!n

n

n

20. (a) Berikan contoh barisan bilangan real positif ( )nx konvergen sehingga

1lim 1nn

n

x

x+

=

.

(b) Berikan contoh barisan divergen dengan sifat ini!

21.Jika ( )nx barisan bilangan real positif sehingga1lim 1n

nn

xL

x+

= >

. Tunjukkan

bahwa ( )nx tidak terbatas, dan sehingga tidak konvergen !

22.Misalkan ( )nx barisan bilangan real positif sehingga ( )1lim 1nn

nx L

= < . Tunjukkan

bahwa terdapat bilangan r dengan 0 1r< < sehingga 0 nnx r< < untuk n yang

cukup besar. Gunakan ini untuk menunjukkan bahwa ( )lim 0nn

x

=

23. (a) Berikan contoh barisan bilangan real positif ( )nx konvergen sehingga

( )1lim 1nnn

x

= .

(b) Berikan contoh barisan divergen dengan sifat ini.

24.Jika 0 1 0ka a a+ + + =L , tunjukkan bahwa ( )0 1lim 1 0kn

a n a n a n k

+ + + + + =L .

25. Misalkan ( )nx barisan konvergen dan ( )ny sehingga untuk sebarang 0>

terdapat H sehingga n nx y < untuk semua n H . Apakah hal ini

menyimpulkan bahwa ( )ny konvergen?

__________________________________________________________________Analisis Real 45

barisan limit

Documents