A. BARISAN DAN DERET

1. Pengertian Barisan

Misalnya : 10,20,40,80,160,320

Bilangan-bilangan tersebut memiliki pola : bilangan berikutnya adalah dua kali dari

bilangan sebelumnya. Suatu susunan bilangan yang memiliki aturan tertentu seperti

diatas disebut sebagai barisan bilangan.

Contoh : 1,1,2,3,5,8,….

Pada barisan ini bilangan berikutnya merupakan jumlah dua bilangan sebelumnya,

sehingga bilangan ke-7 ba risan tersebut adalah 5 + 8 = 13 demikian seterusnya. Barisan

diatas disebut barisan Fibonacci yang diambil dari nama Leonardo Fibonacci seorang

matematikawan Italia.

Bilangan-bilangan dalam suatu barisan disebut suku barisan. Suku pertama disimbolakn

u1, suku kedua disimbolakn u2, suku ketiga disimbolkan u3 , dan secara umum suku ke-n

bilangan asli disimnolkan dengan un.

Dari abrisan 1,3,5,7,9,….. dapat ditentukan rumus suku ke-n barisan tersebut yaitu

un=2n- 1. Demikian sebaliknya jika rumus suku ke-n suatu barisan diketahui, maka dapat

ditentukan suku-suku barisan tersebut. Misalnya suku ke-n suatu barisan adalah un = 3n +

1, maka diperoleh suku-suku barisan tersebut sebagai berikut :

u1 = 3(1) + 1 = 4

u2 = 3(2) + 1 = 7

u3 = 3(3) + 1 = 10

u4 = 3(4) + 1 = 13

Demikian seterusnya, sehinggan diperoleh barisan 4,7,10,13,….

Cara lain menyajikan suatu barisan adalah denagn menggunakan relasi rekursi. Kata

rekursi berarti kita menghitung nilai suku berikutnya berdasarkan suku sebelumnya

dengan menggunakan prosedur tertentu. Contoh penyajian suatu barisan dengan

menggunakan rekursi berbentuk seperti :

un+1 = 2un – 1 ; u1 = 2

Simbol un+1 berarti suku berikutnya setelah suku ke un

Pengertian Deret

Penjumlahan suku-suku dari barisan bilangan selanjutnya disebut sebagai deret bilangan.

Secara umum dapat dituliskan berikut ini

Jika u1, u2, u3,….. un adalah suku-suku suatu barisan, maka deret yang bersesuaian dengan

barisan tersebut adalah u1 + u2 + u3 + ….+ un

B. Barisan dan Deret Aritmetika

1. Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah abrisan bilangan yang selisih dua suku berurutan adalah

tetap. Selisih yang tetap tersebut disebut dengan beda dan disimbolkan dengan b.

Pada barisan aritmetika : u1, u2, u3,….. un-1, un, berlaku b= u2 - u1 = u3 – u2 = …= un- un-1

a. Rumus suku ke-n

Misalnya suatu barisan aritmetika mempunyai suku pertama a dan beda b.

barisan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut

a a + b a+2b a+3b a+4b

perhatikan bahwa

u1 = au2 = a + bu3 = a + 2bu4 = a + 3bu5 = a + 4b

u1 = a + (1 - 1)bu2 = a + (2 – 1)bu3 = a + (3 – 1)bu4 = a + (4 – 1)bu5 = a + (5 – 1)b

Dari pola di atas didapatkan bahwa suku ke-n suatu barisan aritmetika adalah un = a + (n - 1)b Rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika yang mempunyai suku pertama a dan beda b adalah un = a + (n - 1)b.

b. Suku tengahPada suatu barisan aritmetika yang banyak sukunya merupakan bilangan ganjil yang lebih dari satu, maka terdapat suku tengah (suku yang letaknya di tengah). Suku tengah tersebut selanjutnya disimbolkan dengan u1. Sebagai contoh barisan u1, u2, u3, u4, u5 suku yang ditengah adalah suku ketiga atau u1 = u3.Contoh :

+ b + b + b + b + b

Tentukan suku tengah dari abrisan aritmetika 4, 7, 10, 13, …, 106. Jawab :Barisan aritmetika tersebut mempunyai suku pertama a=4 dan beda b = 3Untuk mengetahui suku tengah, terlebih dahulu kita tentukan banyaknya suku barisan tersebut berdasarkan nilai un = 106, yaitu :a + (n – 1) b = 1064 + (n – 1) 3 = 1064 + 3n – 3 = 106

3n = 105n = 35

dengan demikian suku tengah barisan tersebut adalah suku ke12

(35+1 )=18, yaitu

ut = u18

ut = a + (18 - 1) b = 4 + (17) (3) = 55Jadi suku tengah barisan tersbut adalah ut = 55

Rumus suku tengah barisan aritmetika tersebut adalah :

ut = un+1

2

= a + ( n+12

−1)b = a + ( n+1

2−1)b

= a +(n+1−2 )b

2

= 2 a+(n−1 )b

2

= a+a+(n−1 )b

2

= a+un

2

= u1+un

2

Maka suku tengah barisan tersebut adalah ut = u1+un

2

c. Sisipan

Pada suatu barisan aritmetika kita dapat menyisipkan beberapa bilangan diantara tiap dua suku yang berurutan sehingga bilangan semula bersama-sama dengan bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika yang baru. Jika diantara tiap dua suku yang berurutan dari suatu barisan aritmetika disispkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika yang baru, maka berlaku:

b = b

k+1¿

¿

n’ = (n-1)k + ndengan : b adalah beda barisan aritmetika semula

n adalah banyaknya suku barisan aritmetika semula.k adalah banyaknya bilangan yang disisipkanb’ adalah beda barisan aritmetika yang barun’ adalah banyaknya suku barisan aritmetika yang baru.

2. Deret AritmetikaPada bagian sebelumnya telah dijelaskan pengertian deret bilangan, yaitu penjumlahan suku-suku dari suatu barisan. Jika suku-suku yang dijumlahkan tersebut adalah suku-suku abrisan aritmetika, maka deret yang terjadi tersebut sebagai deret aritmetika.Misalnya u1, u2, u3,……. un menyatakan deret aritmetika, maka deret aritmetika yang bersesuaian dengan abrisan tersebut adalahu1 + u2 + u3 + ......+ un

penjumlahan tersebut disimbolakn dengan Sn = u1 + u2 + u3 + ......+ un . untuk menentukan rumus Sn’ daapt dinyatakan Sn ke dalam du acara berikut ini:a. Misalnya suku pertama barisan aritmetika adalah a dan bedanya b serta suku ke-n

adalah un’ makaSn = u1 + u2 + u3+ ….. + un-2 + un-1 + un

Sn = a + (a+b) + (a + 2b) + ….+ (un - 2b) + (un – b) + un ……..(1)b. Kita dapat menuliskan Sn tersebut dengan urutan terbalik dimulai dari

penjumlahan suku terakhir un sampai suku pertama a.Jika kita jumlahkan persamaan (1) dan (2) maka diperoleh2Sn = (a+un ) + (a+un ) + (a+un )+ ….+ (a+un ) + (a+un ) + (a+un )

2Sn = n (a+un)

Sn = n2

(a+un) dengan mengganti un = a+ (n – 1b), maka diperoleh :

Sn = n2

(a+a+(n – 1)b)

Sn = n2

(2a+(n – 1)b)

Dari hasil tersebut dapat disimpulkan berikut ini :Jika u1, u2, u3,……. un adalah barisan aritmetika , maka jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah :

Sn = n2

(a+un) atau Sn = n2

(2a+(n – 1)b)

Dengan : un adalah suku ke- na adalah suku pertamab adalah beda

dari perngertian jumlah n suku pertama barisan aritmetika diperoleh sifat berikut ini :

Sn-1 = u1 + u2 + u3 + ......+ un-1

Sn-1 = u1 + u2 + u3 + ......+ un-1 + un’

Sehingga Sn = Sn-1 + un

Jadi un = Sn - Sn-1

C. Barisan dan Deret Geometri1. Barisan Geometri

Adalah suatu barisan dimana perbandingan setiap dua suku yang berurutan selalu tetap. Perbandingan yang tetap tersebut sebagai pembanding atau rasio dan disimbolkan dengan r Secara umumPada barisan geometri u1, u2, u3,……. un berlaku

R = u2u1

= u3u 2

=……..= un

un−1

a. Rumus Suku ke-nMisalnya suatu barisan geometri mempunyai suku pertama a dan rasio r. barisan geometri tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut

a ar ar2 ar3 ar4

perhatikan bahwa

u1 = au2 = aru3 = ar2

u4 = ar3

u1 = ar1-1

u2 = ar2-1

u3 = ar3-1

u4 = ar4-1

xr xr xr xr xr

u5 = ar4 u5 = ar5-1

Rumus suku ke-n barisan geometri yang mempunyai suku pertama a dan rasio r adalah :

Un = arn-1

b. Suku tengahMisalnay barisan u1’, u2’, u3’,……. ut’……., un’ merupakan barisan geometri dengan n

ganjil. karena n ganjil, maka dapat dimisalkan n= 2t – 1 , sehingga barisanya menjadi u1’, u2’, u3’,……. ut’……., u2t-1’

ut = art-1

= √a2 r2(t−1 )

= √a . ar2 (t−1)

Dengan a = u1 dan a .ar(2t−2)maka u1 = √u1 X un

c. Sisipanjika diantara dua suku yang berurutan dari suatu barisan geometri disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri yang baru, maka berlaku hubungan

(r)k+1 = rDengan : r adalah rasio barisan geometri mula-mula

r’ adalah rasio barisan geometri yang baru k adalah banyaknya suku yang disispkan

2. Deret GeometriJika kita menjumlahkan suku-suku dari suatu barisan, maka kita akan mendapatkan deret yang bersesuaian dengan barisan tersebut. Demikian halnya pada penjumlahan suku-suku barisan geometri akan diperoleh deret geometri.Secara umum jika u1, u2, u3,……. un menyatakan barisan geometri, maka diperoleh deret geometri

Sn = u1 + u2 + u3 + ......+ un-2 + un-1 + un

Untuk barisan geometri dengan suku pertama a suku jedua ar, suku ketiga ar2, demikian seterusnya hingga suku ke-n adalah arn-1 , maka

Sn = a + ar + ar2 + ......+ arn-3

+ arn-2 + arn-1 …(1)

Kalikan kedua ruas persamaan (1) dengan r dan diperoleh

rSn = ar + ar2+ ar3+ ……+ arn-2 + arn-1 arn …. (2)

perhatikan bahwa suku-suku ruas kanan persamaan (1) adalah sama dengan suku-suku ruas kanan persamaan (2) kecuali suku pertama persamaan (1), yaitu a dan suku terakhir persamaan (2) , yaitu arn

selanjutnya kita kurangi persamaan (2) dengna persamaan (1) dan diperoleh

rSn – Sn = arn – a

(r-1) Sn = a(rn – 1)

Sn = a(r n – 1)

r−1 ; r ≠ 1

Secara umum didapat kesimpulan berikut :

Jika u1 , u2, u3,…….., un adalah barisan geometri, maka jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah :

Sn = a(r n – 1)

r−1 ; r ≠ 1

Dengan a adalah suku pertama dan r adalah rasio

Dari pengertian jumlah n suku pertama barisan geometri diperoleh sifat berikut ini

Sn-1 = u1 + u2 + u3 + ......+ un-1

Sn-1 = u1 + u2 + u3 + ......+ un-1 + un’

Sehingga Sn = Sn-1 + un

Jadi, un = Sn – Sn-1

3. Deret Geometri TakhinggaJika suatu deret geometri, Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un dengan n mendekati

takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

S∞ = U1 + U2 + …, Un-1 + …

Jika |r|≥1 , maka, S∞=lim it

n→∞

a (r n−1 )r−1

=∞ , karena . r∞

Jika |r|<1 ,maka S∞=lim it

n→∞

a (1−r n)1−r

= a1−r

, karena r∞ mendekati 0.

Sehingga,runus jumlah deret geometri takhingga untuk |r|<1 ,r≠0adalah :

S∞= a

1−r

D. Notasi Sigma :

1. Pengertian Notasi Sigma

∑ adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu

bilangan yang sudah berpola. ∑ merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani

adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah.

Jika am , am+1 , am+2 ,…… an , adalah bilangan real dan m dan n adalah bilangan bulat

sedemikian sehingga m≤ n maka

∑i=m

n

a1=am+am+1+am+2+…+an

Dalam notasi fungsi, definisi diatas dapat dinyatakan sebagai

∑i=m

n

f ( i )=f (m )+ f (m+1 )+ f (m+2 )+…+ f (n)

Jadi symbol ∑i=m

n

❑ menunjukkan penjumlahan dengan huruf I (disebut indeks

penjumlahan) mengambil nilai bilangan bulat yang berurutan mulai dari m dan berkahir

dengan n.

Dengan pengertian notasi sigma seperti diatas , maka:

a. ∑k =1

6

2k=2 X 1+2 X 2+2 X 3+2 X 4+2 X 5+2 X 6

b. ∑i=1

5

u1=u1+u2+u3+u4+u5

c. ∑i=1

51

j+1= 1

1+1+ 1

2+1+ 1

3+1+…+ 1

n+1+¿

d. ∑i=1

5

¿¿

2. Sifat-sifat Notasi Sigma

Sifat-sifat yang berlaku pada notasi sigma erat kaitanya dengan sifat sifat operasi

penjumlahan pada bilangan. Adapun sifat-sifat notasi sigma adalah sebagai berikut :

Sifat 1 :jika c adalah konstanta, maka ∑i=1

n

c=nc

Bukti

∑i=1

n

c = c + c + c + ….+ c

= nc

Sifat 2 :jika c adalah konstanta, maka ∑i=1

n

ca1=c∑i=1

n

a1

Bukti

∑i=1

n

ca1 = ca1 + ca2 + ca3 + ….+ can

= c(a1 + a2 + a3 +…..+ an )

= c∑i=1

n

a1

Sifat 3 :jika c adalah konstanta, maka ∑i=1

n

ca1=c∑i=1

n

a1

Bukti

∑i=1

n

¿¿¿ = (a1 + b1 )+ (a2 + b2 )+ (a3 + b3 )+…… (an + bn )

= (a1 + a2 + a3 +….+ an )+ (b1 + b2 + b3 +…..+ bn )

= ∑i=1

n

a1+∑i=1

n

b1

Sifat 4 : ∑i=1

n

(a¿¿i−bi)=¿∑i=1

n

a i−∑i=1

n

bi ¿¿

Bukti

∑i=1

n

(a¿¿i−bi)=¿¿¿(a1 - b1 )+ (a2 - b2 )+ (a3 - b3 )+…… (an - bn )

¿(a1 + a2 + a3 +…+ an ) - (b1 + b2 + b3…+ bn )

¿∑i=1

n

a i−∑i=1

n

b i¿¿

Sifat 5 : jika 1<m<n ,maka∑i=1

n

a i=¿∑i=1

n

ai+ ∑i=m+1

n

ai ¿

Bukti

∑i=1

n

ai=¿¿ a1 + a2 + a3 +…+ an , untuk 1¿m<n , maka

= (a1 + a2 + a3 +…+ am ) + am+1 + am+2 + am+3 +…+ an )

= ∑i=1

m

ai+¿ ∑i=m+1

m

ai¿

Sifat 6 : jika m, n ,dan p adalahkonstanta , maka ∑k=m

n

f (k )=¿ ∑k =m+p

n+p

f (k−p)¿

BuktiMisalnya k=j-p, dengan k dan j adalah variabel penjumlahan, maka

a. f(k) = f( j - p)b. batas bawah penjumlahan berubah menjadi

k = n ¿>¿ j – p = m ¿>¿ j = m+pc. batas atas penjumlahan berubah menjadi

k = n ¿>¿ j – p = n ¿>¿ j = n+psehingga

∑k=m

n

f (k)=¿ ∑k=m+p

n+p

f ( j−p)¿

Karena j adalah variabel penjumlahan, maka dapat dinyatakan sebagai

∑k=m

n

f (k)=¿ ∑k=m+p

n+p

f (k−p)¿

Dengan analogi pembuktian sifat 6, maka kita dapatkan sifat sebagai berikut

Sifat 7, jika m, n, dan p adalah konstanta maka ∑k=m

n

f (k)=¿ ∑k=m−p

n−p

f (k+ p)¿

Sifat-sifat notasi sigma tersebut dapat dirangkum sebagai berikut

1. jika c adalah konstanta, maka ∑i=1

n

c=nc

2. jika c adalah konstanta, maka ∑i=1

n

ca1=c∑i=1

n

a1

3. ∑i=1

n

(a1+b1)=¿∑i=1

n

a1+∑i=1

n

b1¿

4. ∑i=1

n

(a1−b1)=¿∑i=1

n

a1−∑i=1

n

b1 ¿

5. Jika 1 < m < n, maka ∑i=1

n

a1=¿∑i=1

n

a1+ ∑i=m+1

n

a1¿

6. Jika m, n dan p adalah konstanta, maka ∑k=m

n

f (k)=¿ ∑k=m+p

n+p

f (k−p)¿

7. Jika m, n dan p adalah konstanta, maka ∑k=m

n

f (k)=¿ ∑k=m−p

n−p

f (k+ p)¿

E. Induksi MatematikaCara pembuktian yang biasa digunakan dalam matematika adalah pembuktian dengan cara deduktif, yaitu dari hal yang umum digunakan untuk membuktikan hal yang khusus. Pembuktian yang merupakan kebalikan dari cara deduktif adalah pembuktian secara induktif, yaitu hal yang khusus digunakan untuk membuktikan hal yang umum. Pada matematika trdapat cara serupa yang disebut induksi matematika. Walaupun istilahnya induktif, namun sesungguhnya induksi matematika merupakan pembuktian secara deduktif.Secara skema proses induksi matematika tersebut adalah sebagai berikut :1. Ditunjukkan P (1) benar (langkah dasar)2. Ditunjukkan jika P(k) benar, maka P(k+1) benar (langkah induktif)

P(n) benar untuk semua bilangan asli n (kesimpulan)

Buktikan dengan induksi matematika bahwa : 1+3+5+7+9+….+(2n – 1) = n2 untuk semua bilangan asli n.Bukti :Langkah dasarLakukan pengujian bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Dengan mensubstitusikan n = 1 diperoleh

1 = 12

Yang merupakan pernyataan benarJadi, pernyataan tersebut benar untuk n = 1

Langkah induktifAsumsikan bahwa ternyata benar untuk n = k, yaitu1+3+5+7+9+…+(2k – 1) = k2 ……(1)Akan dibuktikan untuk n = k + 1, yaitu : 1+3+5+7+9+…+(2k – 1) + [ 2 (k + 1) – 1 ] = (k + 1)2 ……(2)Merupakan pernyataan yang benarDari persamaan (1) diperoleh pernyataan yang benar :

1+3+5+7+9+…+(2k – 1) = k2 Tambahkan kedua ruas persamaan (1) dengan [2(k+1) – 1] dan diperoleh :1+3+5+7+9+…+(2k – 1) + [ 2 (k + 1) – 1 ] = k2 + [ 2 (k + 1) – 1 ]

= k2 + 2 k + 2 – 1 = k2 + 2 k + 1 = (k + 1)2

Terbukti bahwa persamaan (2) adalah benarBerdasarkan prinsip induksi matematika, maka pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan asliJadi, 1 + 3 + 5 + 7+ 9 + ….+ (2n – 1 ) = n2