Bab IV

Bab I

Penyajian Ruang Keadaan (State Space) Sistem

1.1 Pendahuluan

Kelemahan pokok dari teori kontrol konvensional adalah pada umumnya teori ini hanya dapat diterapkan pada sistem linier parameter konstan (time invariant) yang mempunyai satu masukan dan satu keluaran. Teori ini tidak dapat diterapkan untuk sistem parameter berubah (time varying), sistem non-linier (kecuali yang sederhana), dan sistem multi masukan-multi keluaran. Jadi teknik-teknik konvensional (metode tempat kedudukan akar dan metode respon frekuensi) tidak dapat diterapkan untuk mendesain sistem kontrol optimal dan sistem kontrol adaptif, yang sebagian besar merupakan sistem parameter berubah atau non-linier.

Kecenderungan modern dalam sistem rekayasa adalah menuju ke sistem yang semakin kompleks, terutama disebabkan oleh kebutuhan tugas yang semakin kompleks dan ketelitian yang bagus. Sistem-sistem yang kompleks mungkin mempuyai multi masukan-multi keluaran dan mungkin parameternya berubah terhadap waktu. Karena perlu penyesuaian antara persyaratan performansi sistem kontrol yang semakin berat, semakin kompleksnya sistem, dan kemudahan perhitungan pada komputer besar, maka teori kontrol modern yang merupakan pendekatan baru dalam analisis dan desain sistem kontrol yang kompleks telah dikembangkan sejak tahun 1960. Pendekatan baru ini didasarkan pada konsep keadaan. Konsep keadaan sendiri bukan merupakan hal baru karena telah lama digunakan dalam bidang dinamika klasik dan bidang-bidang lainnya.

Teori kontrol modern sangat berbeda dengan teori kontrol konvensional dalam hal : kalau teori kontrol modern dapat diterapkan pada sistem multi masukan-multi keluaran yang mungkin linier atau non-linier, parameter konstan atau parameter berubah, maka teori kontrol konvensional hanya dapat diterapkan pada sistem satu masukan-satu keluaran, linier, parameter konstan. Di samping itu, pada dasarnya teori kontrol modern merupakan pendekatan kawasan frekuensi.

Desain sistem dalam teori kontrol klasik didasarkan pada prosedur coba-coba, yang pada umumnya tidak menghasilkan sistem kontrol optimal. Sebaliknya, desain sistem dalam teori kontrol modern memungkinkan untuk mendesain sistem kontrol yang optimal terhadap indeks performansi yang diberikan. Di samping itu, desain dalam teori kontrol modern dapat dilakukan untuk suatu kelompok masukan, bukan lagi merupakan suatu fungsi masukan tertentu, seperti fungsi impuls, fungsi tangga, atau fungsi sinusoid. Teori kontrol modern juga memungkinkan untuk memasukkan syarat awal dalam desain.

1.2 Penyajian Ruang Keadaan SistemKeadaan suatu sistem dinamik adalah himpunan terkecil variabel keadaan sedemikian hingga dengan mengetahui variabel-varibel ini pada t = t0, bersama-sama dengan masukan untuk t( t0, dapat ditentukan secara lengkap perilaku sistem untuk setiap waktu t( t0. Jadi, keadaan suatu sistem dinamik pada saat t secara unik ditentukan oleh keadaan tersebut pada t=t0 dan masukan untuk t( t0, dan tidak bergantung pada keadaan dan masukan sebelum t0. Dalam membahas sistem linier parameter konstan biasanya dipilih waktu acuan t0 sama dengan nol.

Variabel keadaan suatu sistem dinamik adalah himpunan terkecil dari variabel-variabel yang menentukan keadaan sistem dinamik. Jika paling tidak diperlukan n variabel x1(t), x2(t)., xn(t) untuk melukiskan secara lengkap perilaku suatu sistem dinamik (sedemikian hingga setelah diberikan masukan untuk t( t0 dan syarat awal pada t = t0 maka keadaan sistem yang akan datang telah ditentukan secara lengkap), maka n variabel x1(t), x2(t) ., xn(t) tersebut merupakan suatu himpunan variabel keadaan. Variabel keadaan tidak perlu merupakan besaran fisis yang dapat diukur atau diamati. Meskipun demikian secara praktis sebaiknya dipilih variabel keadaan yang merupakan besaran yang dapat diukur secara mudah karena hukum kontrol optimal akan memerlukan umpan balik semua variabel keadaan dengan pembobotan yang sesuai.

Jika diperlukan n variabel keadaan untuk menggambarkan secara lengkap perilaku suatu sistem yang diberikan, maka n variabel keadaan ini dapat dianggap sebagai n komponen suatu vektor x(t). Vektor semacam ini disebut vektor keadaan. Jadi vektor keadaan adalah suatu vektor yang menentukan secara unik keadaan sistem x(t) untuk setiap t( t0, setelah ditetapkan masukan u(t) untuk t( t0.

Ruang n dimensi yang sumbu koordinatnya terdiri dari sumbu x1, sumbu x2, ., sumbu xn disebut ruang keadaan. Setiap keadaan dapat dinyatakan dengan suatu titik pada ruang keadaan.

Contoh 1.1

Tinjau sistem rangkaian pada Gambar 1.1. Perilaku dinamik sistem ini terdefinisi secara lengkap untuk t( t0 jika harga-harga awal dari arus i2(t0), tegangan kapasitor vc1(t0) dan vc2(t0), serta tegangan masukan v(t) untuk t( t0 diketahui. Jadi, keadaan rangkaian tersebut untuk t( t0 secara lengkap ditentukan oleh i2(t), vc1(t), vc2(t), dan tegangan masukan v(t) untuk t( t0. Oleh karena itu, i2(t), vc1(t), dan vc2(t) merupakan suatu himpunan variabel keadaan dari sistem ini. [Akan tetapi perlu diperhatikan bahwa pemilihan variabel keadaan mantap suatu sistem yang diberikan adalah tidak unik].

denga kondisi awal pada t = t0, i20, vc10, vc20, maka

variabel keadaan

u = Ri1 + v1 = Ri1+ x1(i1= (u-x1)/R = -x1/R + u/R

v1= 1/c1((i1-i2) dt + v10(x1= 1/c1((i1-x3)dt + v10 kedua ruas diturunkan

v2 = 1/c2(i2 dt + v20(x2 = 1/c2(x3 dt + v20 kedua ruas diturunkan

Sehingga diperoleh persamaan keadaan :

dan persamaan keluaran :

y = vc2 = x2 (

Sistem kompleks modern mungkin mempunyai beberapa masukan dan beberapa keluaran, dan ini mungkin saling mengkait dengan suatu cara yang rumit. Untuk menganalisis sistem semacam ini, perlu disederhanakan kekompleksan ekspresi matematik maupun menggunakan komputer untuk sebagian besar perhitungan-perhitungan berulang yang diperlukan dalam analisis. Berdasarkan pandangan ini maka pendekatan yang paling sesuai pada analisis sistem adalah pendekatan ruang keadaan.

Teori kontrol konvensional berdasarkan pada hubungan masukan-kaluaran atau fungsi alih, sedangkan teori kontrol modern berdasarkan pada deskripsi persamaan sistem dalam bentuk n persamaan diferensial orde pertama. Penggunaan notasi matriks-vektor ini akan sangat menyederhanakan penyajian matematik dari sistem persamaan. Penambahan banyaknya variabel keadaan, banyaknya masukan, atau banyaknya keluaran tidak menambah kekompleksan persamaan. Sebenarnya, analisis sistem multi masukan-multi keluaran yang rumit dapat dilakukan dengan prosedur-prosedur yang hanya sedikit lebih rumit daripada prosedur yang diperlukan untuk analisis sistem persamaan diferensi skalar orde pertama.

Dari segi perhitungan, metode ruang keadaan sangat cocok untuk perhitungan komputer digital karena pendekatannya dalam kawasan waktu. Ini berarti membebaskan dari tugas menghitung yang membosankan sehingga memungkinkan pemusatan perhatian pada aspek analitik persoalan.

1.3 Penyajian Ruang Keadaan Persamaan Diferensial Linier Tanpa Fungsi Penggerak Bentuk Turunan

Sistem dinamik yang terdiri dari sejumlah terhingga elemen terkumpul (lumped element) dapat digambarkan dengan persamaan diferensial ordiner dengan waktu sebagai variabel bebas. Dengan menggunakan notasi matriks-vektor orde pertama. Jika n elemen vektor tersebut merupakan himpunan variabel keadaan, maka persamaan diferensial matriks-vektor tersebut disebut persamaan keadaan.

Persamaan diferensial linier dengan fungsi penggerak tidak melibatkan bentuk turunan :

(1-1)

Dengan mengingat bahwa pengetahuan mengenai y(0), y.(0), ,y(n-1)(0), bersama-sama dengan masukan u(t) untuk t> 0, menentukan secara lengkap perilaku yang akan datang dari sistem, maka dapat dipilih y(t), y.(t), ,y(n-1)(t) sebagai himpunan n variabel keadaan.

Jika didefinisikan

x1= y

x2= y.

.

xn= y(n-1)Persamaan (1-1) dapat dituliskan sebagai berikut

atau

(1-2)

dengan

Persamaan keluaran menjadi

atau

y = Cx

(1-3)

di mana

C = [1 0 0]

Persamaan defernsial orde pertama, Persamaan (1-2), adalah persamaan keadaan, dan persamaan aljabar, Persamaan (1-3), adalah persamaan keluaran.

Contoh 1-2. Tinjau sistem yang didefinisikan oleh

dengan y adalah keluaran dan u adalah masukan sistem. Carilah penyajian ruang keadaan sistem !

Dipilih variabel keadaan sebagai berikut

selanjutnya diperoleh

Persamaan terakhir dari tiga persamaan ini diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial asal untuk suku turunan yang tertinggi dan kemudian mensubstitusikan ke dalam persamaan yang diperoleh. Dengan notasi matriks-vektor, tiga persamaan diferensial orde pertama ini dapat digabung :

Persamaan dapat ditulis dalam bentuk standar sebagai berikut :

Ketidakunikan himpunan variabel dapat ditunjukkan sebagai berikut :

misalkan bahwa x1, x2, , xn adalah suatu himpunan variabel keadaan. Selanjutnya sebagai himpunan variabel keadaan yang lain dapat menggunakan setiap himpunan fungsi

dengan syarat bahwa untuk setiap himpunan harga terdapat suatu himpunan harga x1, x2, , xn yang unik dan sebaliknya. Jadi, jika x merupakan suatu vektor keadaan, maka yang memenuhi hubungan juga merupakan suatu vektor keadaan, dengan syarat bahwa matriks P non-singuler. Vektor-vektor keadaan yang berbeda membawa informasi yang sama mengenai perilaku sistem.

Nilai eigen dari matriks A nxn adalah akar persamaan karakteristik

Nilai eigen sering disebut akar karakteristik. Sebagi contoh, dari matriks A berikut :

Persamaan karakteristiknya

Jadi, nilai eigen dari A adalah akar dari persamaan karakteristik, yaitu -1(akar kembar 3).

Untuk sistem multi masukan-multi keluaran yang ditunjukkan dalam Gambar 1.3, x1, x2, , xn menyatakan variabel keadaan; u1, u2, , ur menyatakan variabel masukan; dan y1, y2, , ym adalah variabel keluaran, maka diperoleh persamaan sistem sebagai berikut :

dengan a(t) dan b(t) adalah konstan atau fungsi dari t. Dalam bentuk notasi matriks-vektor, n persamaan ini dapat ditulis secara kompak sebagai

(1-4)

Persamaan (1-4) adalah persamaan keadaan sistem, suatu persamaan diferensial matriks-vektor seperti Persamaan (1-4) (atau n persamaan diferensial orde pertama ekivalen) yang menggambarkan dinamika suatu sistem, merupakan persamaan keadaan jika dan hanya jika himpunan variabel bebas pada persamaan diferensial matriks-vektor tersebut memenuhi definisi variabel keadaan.

Untuk sinyal keluaran diperoleh

dalam bentuk notasi matriks-vektor, m persamaan ini dapat ditulis

y = C(t)x + D(t)u

(1-5)

Persamaan (1-5) adalah persamaan keluaran sistem. Matriks-matriks A(t), B(t), C(t) dan D(t) mencirikan dinamika sistem secara lengkap.

1.4 Penyajian Ruang Keadaan Persamaan Diferensial Linier dengan Fungsi Penggerak Bentuk Turunan

Jika persamaan diferensial sistem melibatkan turunan sebagai fungsi penggerak

(1-6)

maka himpunan n variabel tidak memenuhi persyaratan sebagai himpunan variabel keadaan, sehingga metode langsung yang digunakan di atas, tidak dapat diterapkan. Ini disebabkan karena n persamaan diferensial orde pertama

dengan x1=y tidak menghasilkan jawaban yang unik.

Persoalan utama dalam mendefinisikan variabel keadaan untuk kasus ini terletak pada bentuk turunan pada ruas kanan n persamaan di atas yang terakhir. Variabel-variabel keadaan tersebut harus sedemikian hingga mengeliminasi turunan-turunan u pada persamaan keadaan.

Merupakan suatu kenyataan yang dikenal dengan baik dalam teori kontrol modern bahwa jika didefinisikan n variabel berikut sebagai himpunan n variabel keadaan

(1-7)

di mana ditentukan dari

(1-8)

maka jawab persamaan keadaan tersebut dijamin ada dan unik. (Perhatikan bahwa ini bukan merupakan satu-satunya pilihan dari himpunan variabel keadaan). Dengan memilih variabel keadaan seperti di atas, kita peroleh persamaan keadaan dan persamaan keluaran dari sistem yang dinyatakan oleh Persamaan (1-6), sebagai berikut:

atau

(1-9)

y = Cx + Du

(1-10)

dengan

Syarat awal x(0) dapat ditentukan Persamaan (1-7).

Pada penyajian ruang keadaan ini, pada dasarnya matriks A sama seperti pada sistem yang dinyatakan oleh Persamaan (1-1). Turunan pada ruas kanan Persamaan (1-6) hanya mempengaruhi elemen matriks B.

Penyajian ruang keadaan untuk fungsi alih berikut

juga diberikan oleh Persamaan (1-9) dan (1-10).

Contoh 1.3

Sistem kontrol yang ditunjukkan dalam Gambar 1.5 memiliki fungsi alih lup tertutup sebagai berikut

Persamaan diferensial untuk fungsi alih tersebut adalah

Berdasarkan Persamaan (1-7), didefinisikan

dengan (0, (1 dan (2 ditentukan dari Persamaan (1-8) sebagai berikut :

Sehingga persamaan keadaan dan persamaan keluaran sistem menjadi

1.5 Penyajian Ruang Keadaan dari Fungsi Alih Sistem

Secara umum fungsi alih sistem adalah sebagai berikut

Penyajian persamaan ruang keadaan dari fungsi alih sistem dapat dilakukan dengan 2 cara, sebagai berikut :

1) Secara langsung (direct)

(1-11)

Contoh 1.4

2) Secara paralel

Fungsi alih sistem diubah ke dalam pecahan parsial sebagai berikut :

dengan (1, (2, .., (n adalah akar karakteristik sistem.

(1-12)

Contoh 1.5

Latihan :1. Buat persamaan keadaan dan keluaran secara langsung dari fungsi alih berikut :

2. Buat persamaan keadaan dan keluaran dari persamaan diferensial berikut :

3. Buat persamaan keadaan dan keluaran secara paralel dari fungsi alih berikut :

1/s

1/s

1/s

-3

-3

-1

x3

x2

y

x1

u

Gambar 1.2 Penyajian Diagram Blok Contoh 1.2

Plant linier

Elemen keluaran

u1 u2

.

.

ur

x1

x2

xn

.

.

.

.

y1

y2

.

.

ym

Gambar 1.3 Sistem Multi Masukan-Multi Keluaran

D(t)

(dt

A(t)

C(t)

B(t)

u

y

x

Gambar 1.4 Penyajian Diagram Blok Sistem dari Persamaan (1-4) dan (1-5)

4(s+4)

s+16

__40__

s(s+2)

y

u

-

Gambar 1.5 Diagram Blok Sistem Kontrol

s+2

s+1

u

_1_

s+3

_1_

s+4

y

s

-

5

_1149969021.unknown

_1149993698.unknown

_1149999611.unknown

_1150001217.unknown

_1150002541.unknown

_1150007632.unknown

_1150008136.unknown

_1150008462.unknown

_1150008572.unknown

_1150008018.unknown

_1150007045.unknown

_1150007456.unknown

_1150006905.unknown

_1150001622.unknown

_1150001843.unknown

_1150001330.unknown

_1150000497.unknown

_1150001077.unknown

_1149999638.unknown

_1149996356.unknown

_1149998701.unknown

_1149998922.unknown

_1149996766.unknown

_1149994374.unknown

_1149996256.unknown

_1149994214.unknown

_1149971581.unknown

_1149976879.unknown

_1149977929.unknown

_1149978390.unknown

_1149977521.unknown

_1149971904.unknown

_1149974974.unknown

_1149971815.unknown

_1149971210.unknown

_1149971404.unknown

_1149971438.unknown

_1149971239.unknown

_1149970632.unknown

_1149970945.unknown

_1149971140.unknown

_1149969326.unknown

_1149670733.unknown

_1149942432.unknown

_1149968703.unknown

_1149969013.unknown

_1149942445.unknown

_1149941286.unknown

_1149941596.unknown

_1149940694.unknown

_1149670218.unknown

_1149670308.unknown

_1149670489.unknown

_1149670236.unknown

_1149669558.unknown

_1149669995.unknown

_1149669449.vsd

R

L

C1

C2

V(t)

Vc2(t)

Vc1(t)

I2(t)

I1(t)

Gambar 1.1 Rangkaian Listrik