bab€€€i w . docutr a c k pendahuluan a. deskripsi · pdf filecontoh€6...

MGMP MatematikaSMK Kelompok TI dan PK Kabupaten Klaten

55

BAB IPENDAHULUAN

A. DeskripsiDalam modul 15 ini akan dipelajari 4 Kegiatan Belajar, yaitu :Kegiatan Belajar 1 adalah Lingkaran,Kegiatan Belajar 2 adalah Ellips,Kegiatan Belajar 3 adalah Parabola,Kegiatan Belajar 4 adalah Hiperbola.

B. PrasyaratKemampuan awal yang perlu dipelajari untuk mempelajari Modul 14 ini adalah siswa telahmempelajari Konsep Bilangan Real.

C. Tujuan AkhirSetelah mempelajari kegiatan belajar pada Modul 14 ini diharapkan siswa dapat menerapkankonsep irisan kerucut untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan seharihari.

D. Ceck KemampuanNO PERTANYAAN Ya Tdk

1. Dapatkah anda menentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0)dengan jarijari r?

2. Dapatkah anda menentuykan persamaan lingkaran yang pusatnya A(a,b)dengan jarijari r?

3. Dapatkah anda menentukan persamaan ellips yang pusatnya O(0,0) denganpanjang sumbu panjang 8 dan sumbu pendek 4.

4. Dapatkah anda menentukan persamaan ellips yang pusatnya P(2,5) denganpanjang sumbu panjang 8 dan sumbu pendek 4.

5. Dapatkah anda menentukan koordinat titiktitik api dari ellips 136y

100x 22

=+

6.Dapatkah anda menentukan persamaan ellips yang eksentrisitas numeriknya e

= 32 salah satu titik apinya F(6,0).

7. apatkah anda menentukan tititk api dan persamaan garis arah parabola y 2

=24x.

8. Dapatkah anda menentukan persamaan garis yang menghubungkan titik Mdan titik api parabola y 2 =20x, jika absis titik M adalah 7.

9. Dapatkah anda menentukan nilai k sehingga persamaan y=kx+2 menyinggungparabola y 2 =4x.

10Dapatkah anda menentukan persamaan hiperbola yang pusatnya di (0,0) jika

eksentrisitasnya 1213 sedangkan jarak antara kedua fokus 10.

11Dapatkah anda menentukan persamaan hiperbola yang pusatnya di (0,0) danpanjang sumbu hiperbola masingmasing 16 dan 12. Tentukan pula jarakantara dua fokus, persamaan direktrik, dan asimtot.

Apabila Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, pelajarilah materi tersebutpada modul ini. Apabila Anda menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan

mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE

www.docutrack.com Clic

k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com

http://www.docu-track.com/index.php?page=38



56

BAB IIPEMELAJARAN

A. Rancangan Belajar SiswaBuatlah rencana belajar anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh

guru, untuk menguasai kompetensi menerapkan konsepIrisan Kerucut, dengan menggunakan formatsebagai berikut :

No KegiatanPencapaian Alasan perubahan bila

diperlukanParaf

Tgl Jam Tempat Siswa Guru

Mengetahui, Klaten, ..................... 2007

Guru Pembimbing Siswa

(...........................) (.............................)

Rumuskan hasil belajar anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan.1. Untuk penguasaan pengetahuan, Anda dapat membuat suatu ringkasan menurut pengertian

Anda sendiri terhadap konsepkonsep yang berkaitan dengan kompetensi yang telah andapelajari. Selain ringkasan Anda juga dapat melengkapi dengan kliping terhadap informasiinformasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang Anda pelajari.

2. Administrasikan setiap tahapan kegiatan belajar/lembar kerja yang Anda selesaikan3. Setiap tahapan proses akan diakhiri, lakukanlah diskusi dengan guru pembimbing untuk

mendapatkan persetujuan, dan apabila ada halhal yang harus dibetulkan /dilengkapi, makaAnda harus melaksanakan saran guru pembimbing.

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




57

B. Kegiatan Belajar1. Kegiatan Belajar 1 a. Tujuan

Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini, diharapkan anda dapat mendeskripsikan irisankerucut yaitu lingkaran beserta pusat dan jarijarinya, antara lain :1. Memahami unsurunsur lingkaran.2. Menentukan persamaan lingkaran jika pusat dan jarijarinya diketahaui.3. Menghitung panjang garis sekutu luar dan dalam dari dua lingkaran.4. Dapat melukis garis singgung sekutu luar dan dalam dari dua lingkaran.5. Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran.

b. Uraian MateriKurva lengkung sederhana dan teratur yang banyak dijumpai dalam kehidupan seharihariadalah lingkaran. Buatlah kerucut dari kertas manila, kemudian potong sejajar bidang alas.Berbentuk apakah permukaan kerucut yang dipotong tadi? Permukaan kerucut yangdipotong tadi berbentuk lingkaran.Dalam matematika, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titiktitik (pada bidang datar)yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusatlingkaran. Sedangkan ruas garis yang menghubungkan tiaptiap titik pada lingkaran dan titikpusat lingkaran disebut jarijari lingkaran. Jadi lingkaran dapat dilukis jika titik pusat dan jarijari lingkaran diketahui.

1. MENENTUKAN PERSAMAAN LINGKARANAmbil sembarang titik pada lingkaran misalT(x1 ,y1) dan titik O sebagai pusat lingkaran.Tarik garis melalui T tegak lurus sumbu xmisal di T1.Pandang ∈ OT1T dan ∈ OT1T merupakansegitiga sikusiku, dimana membentuk sudutsikusiku di titik T1.Sehingga berlaku teorema pytagoras :

221

21 OTTTOT =+

x12 + y12 = r 2

Karena berlaku untuk semua titik padalingkaran maka x 2 + y 2 = r 2

x2 + y2 = r2

merupakan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan jarijari r

Contoh 1a. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jarijari 3 adalah : x 2 + y 2 = 9b. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jarijari 5 adalah : x 2 + y 2 = 25c. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jarijari 1 adalah : x 2 + y 2 = 1Contoh 2a. x 2 + y 2 = 16 adalah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jarijari 4b. x 2 + y 2 = 4 adalah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jarijari 2

2. PERSAMAAN LINGKARAN PUSAT TIDAK PADA (0,0)Ambil sebarang titik pada lingkaran missal T(x1 ,y1)dan titik P(a,b) sebagai pusat lingkaran. Tarik garismelalui T tegak lurus sumbu x misal di T1.

O T1

r

T ( x1 , y1 )

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




58

Buat garis yang melalui titik P sejajar sumbu x,sehingga memotong TT1 di titik Q.

Pandang ∈ PQT. ∈ PQT merupakan segitiga sikusikudi titik Q, TQ = (y1 – b) dan PQ = (x1 – a).

Sehingga berlaku teorema pytagoras :Ø 222 OTQTPQ =+

Ø 221

21 r)by()ax( =−+−

Karena berlaku untuk setiap titik T(x1 ,y1) pada lingkaran, maka berlaku : 222 r)by()ax( =−+−

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

merupakan persamaan lingkaran pusat (a,b) dengan jarijari r

Contoh 3Tentukan persamaan lingkaran dengan :

a. pusat (2, 3) dan jarijari 5b. pusat (3,1) dan jarijari 2c. pusat (2, 2) dan jarijari 1

Penyelesaiana. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jarijari 5 adalah (x – 2) 2 + (y 3) 2 = 25b. Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 1) dan jarijari 2 adalah (x + 3) 2 + (y 1) 2 = 4.c. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 2) dan jarijari 1 adalah (x – 2) 2 + (y + 2) 2 = 1

Contoh 4Tentukan koordinat pusat dan jari jari lingkaran dengan persamaan 4x2 + 4y2 4x + 16y 19 = 0Penyelesaian

4x2 + 4y2 4x + 16y 19 = 0, kedua ruas dibagi 4 didapat 0y4xyx 41922 =−+−+

0y4xyx 41922 =−+−+ dijadikan kuadrat sempurna sehingga didapatkan :

41922 y4xyx =+−+ ⇔ 4

1922 y4yxx =++−

4y44yxx 41

4192

412 ++=++++−

9)2y()x( 2221 =++− Jadi Koordinat pusat lingkaran adalah )2,( 2

1 − dan jarijarinya 3

Contoh 5Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(1, 3) dan melalui titik Q (2,5)PenyelesaianJarijari lingkaran adalah panjang :

r = PQ = 2qp

2qp )yy()xx( −+−

r = PQ = 22 )53())2(1( −+−−

r = PQ = 13)2(3 22 =−+ Jadi persamaan lingkarannya adalah (x – 1) 2 + (y 3) 2 = 13

P

O

T (x1 , y1)

T1

Q(a,b)

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




59

3. BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARANBentuk umum persamaan lingkaran didapat dengan menurunkan persamaan lingkaran yangberpusat tidak pada (0,0) berikut ini :

222 r)by()ax( =−+− → 22222 rbby2yaax2x =+−++−22222 rbaby2ax2yx =++−−+

0rbaby2ax2yx 22222 =−++−−+

0CByAxyx 22 =++++ dimana : A = 2a atau a = A21−

B = 2b atau b = B21−

C = 222 rba −+

Atau untuk mencari nilai r (jarijari lingkaran) dari pers. di atas : r = Cba 22 −+

r = ( ) ( ) CBA 2212

21 −+

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah : 0CByAxyx 22 =++++

dengan pusat di ( A21− , B2

1− ) dan jarijari r = ( ) ( ) CBA 2212

21 −+

Contoh 6Tentukan koordinat pusat dan jari jari lingkaran dengan persamaan4x 2 + 4y 2 4x + 16y 19 = 0Penyelesaian4x 2 + 4y 2 4x + 16y 19 = 0, kedua ruas dibagi 4 didapatx 2 + y 2 x + 4y 4

19 = 0A = 1, B = 4 dan C = 4

19 , maka pusat lingkaran )Jadi koordinat pusat lingkaran adalah ( A2

1− , B21− ) = ( 2

1 ,2)

dan jarijarinya r = ( ) ( ) CBA 2212

21 −−+−

r = )()2()( 41922

21 −−+−

r = 419

41 4 ++ = 9 = 3

Bandingkan jawaban ini dengan contoh 4. Lebih mudah mana ?Contoh 7Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P(1,0), Q(0,1) dan R(2,2).PenyelesaianMisal persamaan lingkaranya adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0Titik P (1,0) pada lingkaran berarti : 12 + 02 + A.1 + B.0 + C = 0

A + C = 1 atau A = 1 – C pers. 1)Titik Q (0,1) pada lingkaran berarti : 02 + 12 + A.0 + B.1 + C = 0

B + C = 1 atau B = 1 – C pers. 2)Titik R (2,2) pada lingkaran berarti : 22 + 22 + A.2 + B.2 + C = 0

2A + 2B + C = 8 pers. 3)

Substitusi pers. 1) dan pers. 2) pada pers. 3) maka didapat : 2(1 – C ) + 2(1 C) + C = 82 2C –2 –2C + C = 8 3C = 4 , maka nilai C = 3

4

Dari pers. 1) didapat A = 1 – ( 34 ) = 3

7−

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




60

Dari pers. 2) didapat B = 1 – ( 34 ) = 3

7−

Jadi persamaan lingkarannya adalah : 0yxyx 34

37

3722 =+−−+

4. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARANGaris singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik.

a. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (0,0)Misal persamaan garis singgung : y = mx + k. Sehinggaada satu titik pada lingkaran : x2 +y2 = r2 yangmemenuhi persamaan garis singgung di atas.Akibatnya : x 2 + (mx + k ) 2 = r 2

x 2 + m 2x 2 + 2mkx + k2 = r 2

(1+m2) x2 + 2mkx+ k2 – r 2 = 0;merupakan persamaan kuadrat dalam variabel x.Agar persamaan kuadrat itu mempunyai satu harga x,maka harus terpenuhi syarat diskriminan daripersamaan itu sama dengan nol, yaitu : D = 0.

(2mk)2 – 4. (1+m 2). (k 2 – r 2) = 04 m 2k 2 4 (k2 + m 2k 2 – r 2 – m 2r 2 ) = 0 4 (k 2 – r 2 – m 2r 2 ) = 0k2 – r 2(1+m 2) = 0k = 2m1r +±

Jadi persamaan garis singgungnya adalah : y = 2m1rmx +±

Persamaan garis singgung pada lingkaran 222 ryx =+ dengan gradien : m

adalah : y = 2m1rmx +±

Contoh 8Tentukan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 16 dengan gradien 3 !PenyelesaianPersamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien m adalah : y = 2m1rmx +±

y = 3 x ± 4 231 +

y = 3 x ± 4 10

b. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (a, b)Anda dapat menurunkan rumusnya dengan cara yang serupa dengan di atas. Anda dapat

menemukan persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (a,b) yaitu :y – b = 2m1r)ax(m +±−

Persamaan garis singgung pada lingkaran 222 r)by()ax( =−+− dengan gradien : m

adalah : y – b = 2m1r)ax(m +±−

Contoh 9Tentukan garis singgung pada lingkaran (x + 3)2 + (y 1)2 = 16 dengan gradien 3 !PenyelesaianPersamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dengan gradien m adalah

y – b = 2m1r)ax(m +±−

y – 1 = 2)2(14)3x(3 −+±+

r

x 2+y 2=r 2

y = mx + k

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




61

y – 1 = 549x3 ±+

y = 5410x3 ±+

c. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (0,0)Misal titik singgungnya di T (x1,y1).Persamaan garis : y – y1 = m ( x – x1)

Dengan gradien m = tg α =12

12xxyy

−−

Sehingga persamaan garis yang melalui TQ adalah

y – y1 =12

12xxyy

−−

(x – x1) pers. 1)

T pada lingkaran sehingga berlaku : 221

21 ryx =+

Q pada lingkaran sehingga berlaku : 222

22 ryx =+

21

21 yx + = 2

222 yx + atau 2

122

22

21 yyxx −=−

maka : )yy)(yy()xx)(xx( 12122121 +−=+−

21

12xxyy

−−

=12

12yyxx

++

atau )xx(yy

21

12−−

− =

12

12yyxx

++

− atau12

12xxyy

−−

=12

12yyxx

++

−

Sehingga : )xx(yyxx

yy 1212

1212 −

++

−=−

Jika Q mendekati T sehingga hampir x2 = x1 dan y2 = y1, dimana TQ = 0

)xx(yx

yy 11

11 −−=−

)xx.(xy).yy( 1111 −−=−211

211 xxxyyy +−=−

21

2111 yxxxyy +=+2

11 rxxyy =+

Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x1,y1) pada lingkaran 222 ryx =+

adalah : 211 rxxyy =+

Contoh 10Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (3,4) !PenyelesaianPersamaan garis singgung dengan titik singgung (3,4) pada lingkaran x2 + y2 = 25 adalah 3x 4y = 25

d. Titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (a, b)Persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r 2, dapat diubah menjadi(x a)(x a) + (y b)(y b) = r 2.Analogi dengan yang anda pelajari di atas, maka persamaan garis singgungnya adalah :(x1 a)(x a) + (y1 b)(y b) = r 2.

Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x1,y1) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r 2

adalah : (x1 a)(x a) + (y1 b)(y b) = r 2

x1x + y1y a( x + x1 ) – b(y + y1) + a 2 + b 2 = r 2

x1x + y1y a( x + x1 ) – b(y + y1) + a 2 + b 2 – r 2 = 0

Dari persamaan : x1x + y1y a( x + x1 ) – b(y + y1) + a 2 + b 2 – r 2 = 0, dengan mengingat : a = A21−

dan b = B21− maka didapatkan : x1x + y1y + A2

1 ( x + x1 ) + B21 (y + y1) + ( A2

1− ) 2 +( B21− ) 2 – r 2 = 0.

y – y1 = m(x –x1)

O

r

x 2+y 2=r 2

Q(x2,y2)

T(x1,y1)

garis singgung

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




62

Diingat : r = ( ) ( ) CBA 2212

21 −−+− maka : r2 = C)B()A( 2

212

21 −−+−

C = 22212

21 r)B()A( −−+−

Maka persamaan akhir yang didapat : x1x + y1y + A21 ( x + x1 ) + B2

1 (y + y1) + C = 0.

Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0adalah : x1x + y1y + A2

1 ( x + x1 ) + B21 (y + y1) + C = 0.

Contoh 11Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 + 6x – 4 y – 4 = 0 di titik (1,1) !PenyelesaianDari persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 6x – 4 y 4 =0 diperoleh A = 6, B = 4 dan C = 3. Jadi persamaangaris singgung di titik (1,1) adalah : x1x + y1y + ½A ( x + x1 ) + ½B (y + y1) + C = 0

1.x + 1.y + 3(x + 1) + ( 2)(y + 1) – 4 = 0 x + y + 3x + 3 –2y – 2 – 4 = 0 4x y – 3 = 0

Contoh 12Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 6) 2 + (y + 2) 2 = 16 di titik (2,2).PenyelesaianPersamaan garis singgung di titik (1,1) adalah : (x1 a)(x a) + (y1 b)(y b) = r 2.

(2 6)(x 6) + (2 + 2)(y + 2)) = 16 4(x 6) + 4(y + 2) = 16 atau 4x + 24 + 4y + 8 = 16

4x + 4y = 16, jika kedua ruas dikalikan ¼didapat : x y = 4(merupakan persamaan garis singgung yang diminta)

5. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR dan DALAMa. Garis Singgung Sekutu LuarPerhatikan gambar di samping.Diketahui dua buah lingkaranmasingmasing L1 dan L2

dengan jarijari berurutanadalah r1 dan r2 dengan r1 > r2,sedangkan jarak antara titikpusat lingkaran itu adalah d.

T1T2 disebut ruas garis singgung sekutu luar.Berapakah panjang ruas garis singgung sekutu luar yang menghubungkan kedua lingkarantersebut?Keterangan:d = jarak kedua pusat P1= pusat lingkaran 1 P2= pusat lingkaran 2Perhatikan ∈ P1P2Q sikusiku di Q.P2Q = T1T2 = panjang garis singgung luar (s)P1P2 = d dan P1Q = r1 – r2

Dengan teorema Pythagoras didapat : 21

221

22 )QP()PP()QP( −=

221

222 )rr()d()QP( −−=

221

22 )rr()d()QP( −−=

P1

P2

r1

r2

T1

T2

Q

dL1

L2

s

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




63

Panjang garis singgung sekutu luar antara dua lingkaran yang jarijarinya r1 dan r2 dengan r1 > r2,serta jarak antara kedua pusat lingkaran d adalah : s = 2

212 )rr()d( −−

Contoh 13Tentukan panjang garis singgung sekutu luar antara lingkaran x2 + y2 + 2x 10y + 4 = 0 dan lingkaranx2 + y2 + 12x + 14y –15 = 0.Penyelesaian :

Lingkaran x2 + y2 + 2x 10y +1 = 0 pusatnya di (1,5) dan jarijarinya 5Lingkaran x2 + y2 + 12x + 14y 15 = 0 pusatnya di (6,7) dan jarijarinya 10Jarak kedua pusat lingkaran : d = ( ) ( )22 )7(5)6(1( −−+−−−

d = 22 125 + = 14425 + = 169 = 13

Panjang garis singgung sekutu luar : s = 22 )510(13 −−

s = 25169 − = 144 = 12

b. Garis Singgung Sekutu DalamPerhatikan gambar di samping. Diketahuidua buah lingkaran masingmasing L1 danL2 dengan jarijari berurutan adalah r1 danr2, sedangkan jarak antara titik pusatlingkaran itu adalah d. T1T2 disebut garissinggung sekutu dalam.Berapakah panjang ruas garis singgungsekutu dalam yang menghubungkankedua lingkaran tersebut ?

Keterangan:d = jarak kedua pusat P1= pusat lingkaran 1 P2= pusat lingkaran 2

Penyelesaian : Buat garis melalui titik P2 yang sejajar T1T2, yaitu P2R.Buat garis melalui titik P1 yang sejajar T1T2, yaitu P1Q. ket. 1)T1T2 ⊥ P2R dan T1T2 ⊥ P1Q maka : P1Q // P2R. ket. 2)T1T2 // P1R dan T1T2 // P2Q maka : P2R // P1Q. ket. 3)

Dari ket. 1), ket. 2) dan ket. 3) dapat disimpulkan bahwa bangun P1QP2R adalah bangunpersegi panjang.Pandang ∈ P1RP2, yaitu segitiga sikusiku di R. Maka berlaku teorema phytagoras.

22

21

221 )RP()RP()PP( +=

221

221

221 )rr()TT()PP( ++=

221

221

221 )rr()PP()TT( +−=

221

22 )rr()d()s( +−=

Maka panjang garis singgung sekutu dalam adalah : 221

2 )rr()d(s +−=

Panjang garis singgung sekutu dalam antara dua lingkaran yang jarijarinya r1 dan r2, serta jarakantara kedua pusat d adalah : 2

212 )rr()d(s +−=

Contoh 14Tentukan panjang garis singgung sekutu dalam antara lingkaran x2 + y2 2x + 4y + 4 = 0dengan x2 + y2 12x 20y + 132 = 0.

Penyelesaian

Q

s

T1

T2

dP1

P2r1 r2

L1

L2

R

r1

r2

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




64

Lingkaran pusatnya x2 + y2 2x + 4y + 4 = 0 di ( 1, 2) dan jarijarinya 1Lingkaran x2 + y2 12x 20y + 132 = 0pusatnya di ( 6,10) dan jarijarinya 2Jarak kedua pusat lengkaran : d = ( ) ( )22 10)2(61 −−+− = 22 )12()5( −+− = 14425 + = 169 = 13

Panjang garis singgung sekutu dalam : 221

2 )rr()d(s +−=

22 )21()13(s +−= = 9169 − = 160 = 104

c. Rangkumana. x2 + y2 = r2 merupakan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan jarijari rb. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 merupakan persamaan lingkaran pusat (a,b) dengan jarijari rc. Bentuk umum persamaan ingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dengan pusat di

( A21− ) 2 +( B2

1− ) 2 dan jarijari r = C)B()A( 2212

21 −−+−

d. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien m adalahy = 2m1rmx +±

e. Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalahy – b = 2m1r)ax(m +±−

f. Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalahx1x + y1y = r2

g. Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x1,y1) pada persamaan lingkaran(x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah (x1 a)(x a)+ (y1 b)(y b) = r 2

h. Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x1,y1) pada persamaan lingkaranx2 + y2 + Ax + By + C = 0, adalah x1x + y1y + A2

1 ( x + x1 ) + B21 (y + y1) + C = 0.

i. Panjang garis singgung sekutu luar antara dua lingkaran yang jarijarinya r1 dan r2

dengan r1 > r2, serta jarak antara kedua pusat = d adalah : s = 221

2 )rr()d( −−

j. Panjang garis singgung sekutu dalam antara dua lingkaran yang jarijarinya r1 dan r2,serta jarak antara kedua pusat d adalah : 2

212 )rr()d(s +−=

d. Tugas Kegiatan BelajarAgar anda memahami materimateri dalam kegiatan belajar ini, kerjakan soalsoal latihanberikut ini.1. Tentukan persamaan lingkaran dengan syarat :

a) bertitik pusat di P(3,4) dan melalui O(0,0)b) melalui titik–titk K(3,1) dan L(1,3) dan titik pusatnya terletak pada garis 3x – y – 2 = 0.

2. Tentukan titik pusat dan jarijari dari lingkaran dengan persamaan x2+y2 +8x +4y+4 = 0.3. Tentukan persamaan lingkaran melalui titik K(1,1), L(1,1) dan M(2,0)4. Tentukan harga k, agar garis y = kx dan lingkaran x2 + y2 10x + 16= 0

a) berpotongan di dua titikb) bersinggunganc) tidak berpotongan

5. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik O(0,0) pada lingkaran x2 + y2 – 6x 2y + 8= 0

6. Diketahui dua buah roda yang jarak kedua As adalah 78 cm, roda pertama jarijarinya50 cm dan roda kedua 20 cm. Pada kedua roda dipasang rantai. Tentukan panjang rantaiyang tidak menempel di roda.

e. Test Formatif1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,4), (5,0) dan (0,5).2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 100 yang melalui titik (6,8)

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




65

3. Tentukan pusat dan jarijari lingkaran x2 + y2 +8x – 6y = 0 dan apa keistimewaan darilingkaran ini?

4. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar antara lingkaran x2 + y2 = 4 danx2 + y2 20x + 36 = 0

f. Kunci Jawaban Test Formatif1. Misal persamaan lingkaran yang melalui titik (3,4), (5,0) dan (5,0), adalah :

x2 + y2 +Ax + By + C= 0Titik (3,4) pada lingkaran: 9 +16 + 3A + 4B + C= 0 atau 3A + 4B +C=25Titik (5,0) pada lingkaran: 25 +0 + 5A + 0 + C= 0 atau 5A + C= 25Titik (0,5) pada lingkaran: 25 +0 – 5A + 0 + C= 0 atau –5A + C= 25.Dari tiga persamaan di atas didapat A = 0, B = 0 dan C = 25Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 25 = 0

2. Titik (6,8) pada lingkaran x2 + y2 = 10Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 100 yang melalui titik (6,8) adalah6x + 8y = 100 atau 3x + 4y = 50

3. Persamaan x2 + y2 +8x – 6y = 0 dapat diubah menjadi x2 + 8x + y2 – 6y = 0x2 + 8x + 16 + y2 – 6y + 9 = 16 + 9(x + 4)2 + (y 4)2 = 25Jadi pusat (4, 3 ) dan jarijari = 5. Anda dapat juga menggunakan cara lain.

4. Lingkaran x2 + y2 = 4 pusatnya (0,0) dan jarijarinya 2x2 + y2 20x + 36 = 0 pusatnya (10, 0) dan jarijarinya 8Jarak kedua pusat = 10Panjang garis singgung luar = 2

212 )rr(d −−

= 22 )28(10 −−

= 36100 − = 64 = 8 g. Lembar Kerja Siswa

1. Diketahui sebuah persegi yang sisisisinya dinyatakan dengan persamaan x = 2, x = 2, y = 2dan y = 2. Tentukan persamaan lingkaran yang :

a. menyinggung sisisisi persegi. b. melalui titiktitik sudut persegi.2. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya (1,1) dan menyinggung garis g: 3x + 4y – 11 =03. Tentukan pusat dan jarijari lingkaran dengan persamaan 9x2+9y2 – 6x + 12y – 4 = 0 !4. Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 a. Tentukan pusat dan jarijari lingkaran.

b. Dengan hasil dari jawaban a, gambarkan lingkaran tersebut. c. Dari hasil b, lukiskan titiktitik P (1,1), Q (5,1) dan R (4,2). Tentukan kedudukan titiknya !5. Diketahui lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 dan titik K (3, 1) a. Tentukan pusat dan jarijari lingkaran. b. Gambarkan lingkaran dan titik K pada sebuah diagram kartesius. c. Dari titik K buatlah garis singgung pada lingkaran, jika titik singgungnya adalah M maka

berapakah panjang garis singgung KM ?

2. Kegiatan Belajar 2 a. Tujuan

Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini, diharapkan siswa dapat :1. Memahami unsurunsur ellips2. Menentukan persamaan ellips jika pusat dan jarijarinya diketahui.3. Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan ellips.

b. Uraian MateriKurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri adalah Ellips.Buatlah model kerucut dari kertas manila, kemudian potong menurut bidang tidak sejajar

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




66

bidang alas tetapi tidak memotong bidang alas kerucut. Berbentuk apakah permukaankerucut yang terpotong ? Permukaan kerucut yang terpotong berbentuk ellips. Dalammatematika ellips didefinisikan sebagai himpunan titiktitik (pada bidang datar) yang jumlahjaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut TitikFokus Ellips.

1. UNSURUNSUR ELLIPSPerhatikan gambar ellips berikut ini:Keterangan:Titik O disebut koordinat titik pusat ellips. Titik A, B,C dan D disebut koordinat titiktitik puncak ellips.Titik F1 dan F2 disebut koordinat titiktitik fokus ellips.AB dan CD berturutturut disebut sumbu mayor(sumbu panjang) dan sumbu minor (sumbu pendek).AB = TF1 +TF2

2. PERSAMAAN ELLIPS DENGAN PUSAT DI (0,0)Misalkan F1F2 = 2c , merupakan jarak antara dua titikfokus. Maka F1(c,0) dan F2(c,0). Misalkan jumlah jarakyang tetap itu adalah 2a. Ambil sembarang titik padaellips missal T(x1 ,y1) dan titik O sebagai pusat ellips.

Berdasarkan definisi ellips, yaitu:TF1 + TF2 = 2a

⇔ a.2y)cx(y)cx( 21

21

21

21 =++++−

⇔ 21

21

21

21 y)cx(a.2y)cx( ++−=+−

Jika kedua ruas dikuadratkan maka didapatkan :

⇔ 21

21

21

21

221

21 y)cx(a4y)cx(a4y)cx( ++−+++=+−

⇔ 21

21

21

21

21

221

21

21 y)cx(a4y)ccx2x(a4y)ccx2x( ++−++++=++−

⇔ 21

21

21 y)cx(a4a4cx4 ++−=−−

Jika kedua ruas dibagi – 4 kemudian dikuadratkan didapatkan :⇔ { }2

12

1222

1 y)cx(a)acx( ++=+

⇔ 21

221

21

221

4221 ya)ccx2x(acax2acx( +++=++

⇔ 21

221

22222 yax)ca()ca(a +−=−

Karena a > c maka 22 ca − > 0 sehingga dapat kita misalkan 222 bca =− sehinggapersamaan diatas menjadi : 2

122

1222 yaxbba += .

Dari persamaan 21

221

222 yaxbba += apabila masingmasing ruas dibagi dengan 22ba maka

akan didapatkan : 1by

ax

2

21

2

21 =+

Karena T (x1,y1) adalah titik yang diambil, maka setiap titik pada garis ellips akan memenuhi

: 1by

ax

2

2

2

2

=+ dan ac disebut eksentrisitas numeric dan ditulis e. Karena a > c maka nilai dari

e adalah : 0 < e < 1.

Persamaan ellips dengan pusat di O (0,0) adalah : 1by

ax

2

2

2

2

=+

F2 F1

D

C

A B

T

O

O F1

T(x1,y1)

F2

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




67

Contoh 1 :Tentukan persamaan ellips yang berpusat di O(0,0) dengan sumbu panjang dan sumbupendek berturutturut : a. 8 dan 6 b. 4 dan 2Penyelesaiana. Sumbu panjang = 8, berarti a = 4. Sumbu pendek = 6, berarti b = 3

Jadi persamaan ellipsnya adalah :

13y

4x

2

2

2

2

=+ atau 19y

16x 22

=+

b. Sumbu panjang = 4, berarti a = 2. Sumbu pendek = 2, berarti b = 1Jadi persamaan ellipsnya adalah :

11y

2x

2

2

2

2

=+ atau 11y

4x 22

=+

Contoh 2 :Tentukan persamaan ellips yang titik apinya terletak pada sumbu x, simetri terhadap titik O,

sumbu panjangnya 20 dan eksentrisitas numerik e = 53

PenyelesaianSumbu panjang 2a = 20, berarti a = 10

e = 53 berarti a

c = 53 . Dari persamaan tersebut maka nilai c = 6

Karena 222 bca =− maka nilai dari b adalah :222 cab −=

222 610b −= → 64b2 =

Jadi persamaan ellips adalah : 164y

100x 22

=+

3. PERSAMAAN ELLIPS DENGAN PUSAT TIDAK PADA (0,0)Dengan cara yang sama, ambil sebarang titik pada ellips misalT(x1 ,y1) dan titik P( xo,yo) sebagai pusat ellips, maka akandidapat persamaan ellips yaitu:

1b

)yoy(a

)xox(2

21

2

21 =

−+

−

Persamaan ellips yang berpusat di P (xo,yo) adalah :

1b

)yoy(a

)xox(2

2

2

2

=−

+−

Contoh 3 :Tentukan persamaan ellips yang berpusat di (5,3) dengan sumbu panjang dan sumbu pendekberturutturut 6 dan 4.

PenyelesaianSumbu panjang = 6, berarti a = 3Sumbu pendek = 4, berarti b = 2

Jadi persamaan ellipsnya adalah : 1b

)yoy(a

)xox(2

2

2

2

=−

+−

O

F1

T(x1,y1)

F2 P(xo,yo)

xo

yo

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




68

12

))3(y(3

)5x(2

2

2

2

=−−

+−

14))3y(

9)5x( 22

=+

+−

4. SKETSA ELLIPSDapatkah anda membuat gambar ellips? Buatlah dengan langkahlangkah sebagai berikut :1. Gambarlah di bukumu titik F1, F2 dan

panjang 2a > F1F2. Tentukan titik A dan Bpada perpanjangan garis F1F2 sedemikianhingga F2B = F1A dan AB = 2a

2. F2B + F1A = (2a F1F2)3. Titik T1 diperoleh sebagai berikut:

a) Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jarijari r1 > F1Ab) Dari B busurkan lingkaran dengan jarijari 2a – r1

c) Perpotongan lingkaran pada langkah (a) dan (b) adalah titik T1.d) Lakukan langkah yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F2 dan sebaliknya.

Akan didapat titiktitik C dan D yang memenuhi definisi ellips. Hubungkan titiktitikitu dengan kurva mulus akan didapat sketsa ellips.

5. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPSGaris singgung ellips adalah suatu garis yang memotong ellips tepat pada satu titik.

a. Gradien diketahui dengan pusat P (0,0)Misal persamaan garis singgung : y = mx + k

Sehingga ada satu titik pada ellips: 1by

ax

2

2

2

2

=+ yang memenuhi persamaan garis

singgung di atas. Akibatnya : 1b

)kmx(ax

2

2

2

2

=+

+

⇔ jika kedua ruas dikalikan a2b2 didapat : b2x2 + a2 (mx + k)2 = a2b2

⇔ (b2 + a2 m2)x2 + a2k2 + 2a2mkx a2b2 = 0⇔ (b2 + a2 m2)x2 + 2a2mkx + a2(k2 b2) = 0

Garis akan menyinggung ellips, jika titiktitik potong berimpit atau memotong di satutitik. Hal ini terjadi apabila persamaan kuadrat di atas mempunyai dua akar yang samaatau apabila diskriminannya sama dengan nol.D = 0⇔ (2a2mk)2 – 4. (b2 + a2 m2). a2(k2 b2) = 0⇔ (4a4m2k2) – 4a2.( b2 k2 – b4 + a2 m2 k2 a2 m2b2) = 0⇔ b2 k2 (b2 + a2 m2 )b2 = 0⇔ k2 (b2 + a2 m2 ) = 0

⇔ k = 222 mab +±

Jadi persamaan garis singgungnya adalah :

y = mx 222 mab +±

Contoh 4 :

Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 19y

16x 22

=+ , jika garis singgung itu

membentuk sudut 45°dengan sumbu x positip.

F2 F1B A

2a

T1C

D

O A (a,0)B ( a,0)

C (0,b)

D (0,b)

y = mx + k

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




69

PenyelesaianGaris singgung itu membentuk sudut 45o dengan sumbu x positip berarti gradien m = tg 45°

m = 1. Persamaan garis singgungnya : y = mx 222 mab +±

y = 1.x 222 1.43 +±

y = x 25± atau y = x 5±Jadi persamaan garis singgunya adalah : y = x + 5 atau y = x – 5

Contoh 5 :Carilah persamaan garis singgung pada ellips x2 + 4y2 = 20 yang tegak lurus ke garis 2x – 2y –13 = 0.Penyelesaian

2x – 2y –13 = 0y = (2x –13)/2

y = x 213

Jadi gradien garis 2x – 2y –13 = 0 adalah m1 = 1. Karena garis singgung tegak lurus garis

2x – 2y –13 = 0, maka gradien garis singgung : m2 =1m

1− = 1

Persamaan ellips x2 + 4y2 = 20 dapat diubah menjadi : 15y

20x 22

=+ dengan membagi

kedua ruas dengan 20. Persamaan garis singgungnya adalah : y = mx 222 mab +±

y = 1 x 2)1.(205 −+±

y = x ± 5Jadi persamaan garis singgungnya adalah y + x – 5 = 0 atau y + x + 5 = 0

b. Gradien diketahui dengan pusat P (xo , yo)Dengan cara yang serupa dengan di atas dapat ditemukan persamaan garis singgungellips yang tidak berpusat di (0,0) misal di P (xo , yo) yaitu :

222 mab)xox(myoy +±−=−

Contoh 6 :

Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 19)2y(

16)3x( 22

=+

+− jika garis singgung itu

membentuk sudut 135° dengan sumbu x positip.PenyelesaianGaris singgung itu membentuk sudut 135° dengan sumbu x positip berarti gradien m = tg 135° = 1.

Persamaan garis singgungnya : 222 mab)xox(myoy +±−=−2)1.(169)3x(12y −+±−−=+

253x2y ±+−=+53x2y ±+−=+53x2y ++−=+ atau 53x2y −+−=+

6xy +−= atau 4xy −−=Jadi persamaan garis singgungnya adalah y + x 6 = 0 atau y + x + 4 = 0

c. Titik singgungnya diketahui dengan pusat P (0,0)Misal titik singgungnya di T (x1,y1) dan titikS (x2,y2) suatu titik pada ellips, sedangkan

persamaan ellips 1by

ax

2

2

2

2

=+ , maka berlaku :

O A (a,0)B ( a,0)

C (0,b)

D (0,b)

y = mx + k

T(x1,y1)S(x2,y2)

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




70

Untuk titik T (x1,y1) : 1by

ax

2

21

2

21 =+ pers. (1)

Untuk titik S (x2,y2) : 1by

ax

2

22

2

22 =+ pers. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :2

222

222

122

12 yaxbyaxb +=+

21

222

222

221

2 yayaxbxb −=−

)yy(a)xx(b 22

21

222

21

2 −−=−

)yy)(yy(a)xx)(xx(b 21212

21212 −+−=−+

)xx()yy(

)yy(a)xx(b

21

21

212

212

−−

=+

+−pers. (3)

Persamaan garis yang melalui T (x1,y1) dan S (x2,y2) adalah : )xx(xxyy

yy 121

211 −

−−

=−

Pers. (3) disubstitusikan akan diperoleh : )xx()yy(a)xx(b

yy 121

221

2

1 −+

+−=−

Jika titik S mendekati T sedemikian S dekat dengan T, maka hampir x2 = x1 dan y2 = y1,dimana TS = 0

)xx()y2(a)x2(b

yy 11

21

2

1 −−

=− ⇔ )xx()y(a)x(b

yy 11

21

2

1 −−

=− kedua ruas dikalikan 12 ya

)xx)(x(b)yy(ya 112

112 −−=−

0xbxxbyayya 21

21

221

21

2 =−+− ⇔ 0)xbya(xxbyya 21

221

21

21

2 =+−+

0baxxbyya 221

21

2 =−+22

12

12 baxxbyya =+

Jika kedua ruas dibagi 22 ba akan diperoleh : 1b

yya

xx2

12

1 =+

Persamaan garis singgung di titik singgung T (x1,y1) adalah :

1b

yya

xx2

12

1 =+

Contoh 7 :

Carilah persamaan garis singgung pada ellips 124y

30x 22

=+ di titik yang absisnya 5.

Penyelesaian

Titiktitik pada ellips yang absisnya 5, ordinatnya diperoleh dari : 124y

305 22

=+ ⇔ 4y 2 = ⇔ y = ± 2

Jadi titik singgungnya P(5,2) dan Q(5, 2)

Persamaan garis singgung di P adalah : 124y2

30x5

=+

Persamaan garis singgung di Q adalah : 124y2

30x5

=−

d. Titik singgungnya diketahui dengan pusat P (xo,yo)

Dengan cara yang sama seperti diatas, untuk ellips 1b

)yoy(a

)xox(2

2

2

2

=−

+−

, maka

persamaan garis singgung di titik singgung (x1,y1) adalah :

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




71

1b

)yoy)(yoy(a

)xox)(xox(2

12

1 =−−

+−−

Contoh 8 :

Carilah persamaan garis singgung pada ellips 15)3y(

20)2x( 22

=+

+−

di titik yang ordinatnya 2.

Penyelesaian :Titiktitik pada ellips yang ordinatnya 2 diperoleh absis :

15)3y(

20)2x( 22

=+

+−

15)32(

20)2x( 22

=+−

+−

151

20)2x( 2

=+−

kedua ruas dikalikan dengan 20 maka diperoleh :

204)2x( 2 =+−

02044x4x2 =−++−012x4x2 =−−

(x – 6) (x + 2) = 0x = 6 atau x = 2Jadi titik singgungnya A(6,2) atau B(2,2)

Persamaan garis singgung di A(6,2) : 15)32)(3y(

20)26)(2x(

=+−+

+−−

151).3y(

204).2x(

=+

+−


204).3y(4).2x( =++−2012y48x4 =++−

16y4x4 =+4yx =+ Jadi persamaan garis singgung di A : 04yx =−+

Persamaan garis singgung di B(2,2) : 15)32)(3y(

20)22)(2x(

=+−+

+−−−

15)1)(3y(

20)4)(2x(

=+

+−−


204).3y()4)(2x( =++−−2012y48x4 =+++−

0y4x4 =+−0yx =+− Jadi persamaan garis singgung di B : 0yx =+−

c. Rangkuman

1. Persamaan ellips dengan pusat di O (0,0) adalah : 1by

ax

2

2

2

2

=+

2. Persamaan ellips dengan pusat di titik P (xo,yo) adalah : 1b

)yoy(a

)xox(2

2

2

2

=−

+−

3. Persamaan garis singgung pada ellips 1by

ax

2

2

2

2

=+ dengan gradient m dan pusat di :

a. Titik O (0,0) adalah : y = mx 222 mab +±

b. Titik P (xo,yo) adalah : 222 mab)xox(myoy +±−=−

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




72

4. Persamaan garis singgung di T (x1,y1) dengan pusat O (0,0) adalah : 1b

yya

xx2

12

1 =+

5. Persamaan garis singgung di T (x1,y1) dengan pusat P (xo,yo) adalah :

1b

)yoy)(yoy(a

)xox)(xox(2

12

1 =−−

+−−

d. Tugas Kegiatan BelajarAgar anda memahami materi ellips ini, kerjakan soalsoal berikut secara mandiri.1. Tentukan persamaan ellips yang titik apinya terletak pada sumbu x dan simetris terhadap O

yang memenuhi syarat jarak kedua titik apinya adalah 4 dan jarak kedua garis arah arahnyaadalah 5.

2. Tentukan koordinat titiktitik api dari ellips 136y

100x 22

=+

3. Tentukan persamaan ellips yang eksentrisitas numeriknya e = 32 salah satu titik apinya F(6,0).

4. Tentukan nilai m sehingga garis y = x +m , menyinggung ellips 15y

20x 22

=+

e. Test Formatif

1. Tentukan garis arah dari ellips 136y

100x 22

=+

2. Tentukan persamaan ellips dengan pusat (1,2) dan eksentrisitasnya 54 sedangkan direktriknya

4x = 25

3. Tentukan panjang garis mayor, minor dan persamaan garis singgung pada ellips 132y

50x 22

=+

melalui titik (5, 4)4. Buatlah sketsa ellips 9x 2 + 25y 2 – 36x + 50y –164 =0. Tentukan koordinat kordinat titik fokus

dan keempat puncaknya.

f. Kunci Jawaban Test Formatif

1. Dari ellips 136y

100x 22

=+ didapat a = 10, b = 6 dan c = 8

Persamaan garis arah x = 225

8100

= dan x =225

8100

−=−

2. Eksentrisitasnya ac

54

= atau c = a54

Direktriknya 4x = 25 atau x = 425 , sedangkan x = c

a2

, dengan demikian didapat ca2

= 425 atau

c425a2 = ⇔ a5

4.425a2 = ⇔ atau a = 5 dan c = 4, akibatnya b = 3

Jadi persamaan ellipsnya adalah 19)2y(

25)1x( 22

=−

+−

3. Panjang garis mayor = 2 √50 = 10 √2 Panjang minor = 2 √32 = 8√2

Persamaan garis singgung pada ellips 132y

50x 22

=+ melalui titik (5, 4) adalah 132y4

50x5

=+

4. Ellips 9x2 + 25y2 36x + 50y –164 = 0 dapat diubah menjadi : 9x2 36x + 25y2+ 50y –164 = 0 9(x2 – 4x )+ 25(y2+ 2y) –164 = 0

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




73

9(x2 – 4x + 4 )+ 25(y2+ 2y +1) –164 = 36 + 25

9(x – 2)2 + 25(y + 1)2 = 225, kedua ruas dibagi dengan 225 didapat 19)1y(

25)2x( 22

=−

+−

Dari persamaan ini a = 5, b = 3 dan c = 4 Koordinatkordinat titik fokus adalah (6, 1) dan (2, 1) dan koordinat keempat puncaknya

adalah (7, 1), (3,1), 2, 2) dan (2, 4). Anda dapat membuat sketsa dari hasil jawaban ini.

g. Lembar Kerja Siswa1. Tentukan persamaan ellips yang pusatnya di (0,0) dengan focus di F1 (4,0) dan F2 (4,0)

serta panjang sumbu mayor 10 satuan !

2. Diketahui ellips dengan persamaan 19y

16x 22

=+

a. Selidiki letak titik A (4,3) terhadap ellips tersebut ! b. Tentukan persamaan garis singgung ellips yang melalui titik (4,3) !

3. Diketahui garis g : y = mx + 2 dan ellips yang persamaannya 12y

4x 22

=+ .

Tentukan batasbatas m, supaya :a. garis g memotong ellips di dua titik yang berlainan.b. garis g menyinggung ellips.c. garis g tidak memotong dan tidak menyinggung ellips.

4. Diketahui ellips dangan persamaan 116y

25x 22

=+ , tentukan :

a. koordinat titik puncak dan koordinat titik ujung sumbu minor. b. koordinat titik api. c. panjang sumbu mayor dan minor. d. persamaan direktris. e. panjang latus rectum . f. sketsalah ellips tersebut.

5. Diketahui ellips dangan persamaan 1y36x100 22 =+ , tentukan : a. koordinat titik puncak dan koordinat titik ujung sumbu minor. b. koordinat titik api. c. panjang sumbu mayor dan minor. d. persamaan direktris. e. panjang latus rectum . f. sketsalah ellips tersebut.


Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, diharapkan siswa dapat :1. Memahami unsurunsur parabola2. Menentukan persamaan parabola dan dapat menggambar grafiknya3. Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hiperbola.

b. Uraian MateriKurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai satu sumbu simetri adalah Parabola.Buatlah model kerucut dari kertas manila. Atau plastisin (sering disebut malam). Iris denganbidang yang tegak lurus alas kerucut. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang teriris ?Permukaan kerucut yang teriris benbentuk parabola. Parabola diperoleh dengan mengirisbangun kerucut sejajar garis pelukisnya.

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




74

Dalam matematika parabola didefinisikan sebagai himpunan titiktitik (pada bidang datar)yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu pula.Selanjutnya titik itu disebut fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis arah ataudirektriks. Parabola dapat dilukis jika diketahui garis arah dan titik fokus yang terletak padasuatu garis, di mana garis itu tegak lurus garis arah.

1. Menentukan Persamaan Parabolad. Puncaknya O (0,0)Ambil sebarang titik pada parabola misal T(xi ,yi) dantitik O sebagai puncak parabola. Tarik garis melalui Ttegak lurus garis arah yang diketahui misal di P.Hubungkan garis melalui titik T dan F. Berdasarkandefinisi parabola : TF = TP. Pandang ∈ TQF.∈ TQF merupakan segitiga sikusiku, dimanamembentuk sudut sikusiku di titik Q. Sehingga berlakuteorema phytagoras :

222 TFQFQT =+

TPTFanadim,TPQFQT 22 ==+

)pxi(QFQT 2122 +=+ = 2

21

222 )pxi(QFQT +=

+

22122 )pxi(QFQT +=+

2212

212 )pxi()xip(yi +=−+

241222

412 ppxixixipxipyi ++=+−+

pxi2yi 2 =

Titik T (xi,yi) berada pada parabola. Sehingga rumus pxi2yi 2 = akan berlaku untuksemua titik (x,y) yang berada pada parabola.

Persamaan parabola yang puncaknya O(0,0) dan sumbu simetrisnya x adalah :px2y 2 =

Contoh 1 :Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di O, sumbu simetrinya berimpit dengan sumbux dan parabola terletak di kanan sumbu y dan melalui titik (1,2)PenyelesaianMisal persamaan parabolanya y2 = 2px (karena terletak di setengah bidang bagian kiri).Titik (1,2) pada parabola berarti : 4 = 2p atau p = 2Jadi persamaan parabolanya adalah y2 = 4x

Contoh 2 :Tentukan persamaan parabola puncaknya di (0,0) dan koordinat titik apinya F(4,0).PenyelesaianMisal persamaan parabolanya y2 = 2pxKoordinat titik apinya F(4,0), berarti p2

1 = 4 atau p = 8Jadi persamaan parabolanya adalah y2 = 16x

Contoh 3 :Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di (0,0), sumbu simetrinya sumbu x danpersamaan garis arahnya x + 5 = 0.Penyelesaian

P

O

T(xi,yi)

FQ

Garis arah

p21p2

1

Keterangan :Titik F disebut titik api,koordinatnya F ( )0,p2

1 .

Titik O disebut titik puncak.Garis x = p2

1 disebut garis arah

atau direktrisSumbu x merupakan sumbusimetri dari parabola

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




75

Misal persamaan parabolanya y2 = 2pxPersamaan garis arahnya x + 5 = 0 berarti p2

1 = 5 atau p = 10Jadi persamaan parabolanya adalah y2 = 20x

e. Puncaknya P (xp,yp)Ambil sebarang titik pada parabola misal T(xi ,yi)dan titik P(a,b) sebagai puncak parabola.Tarik garis melalui T tegak lurus garis arah yangdiketahui misal di K. Hubungkan garis melaluititik T dan F.Berdasarkan definisi parabola : TF = TK.Dengan menggunakan cara yang sama seperti diatas, anda dapat menjabarkan bahwa persamaanparabola yang puncaknya P(xp,yp) dan sumbusimetrinya sejajar sumbu xadalah : (y yp)2 = 2 .p. (x xp)

Keterangan :Titik F disebut titik api, koordinatnya F( p2

1 y,p ).Titik P ( pp y,x ) disebut puncak parabola

Garis x = ap21 +− disebut garis arah atau direktris

Persamaan parabola yang puncaknya P (xp,yp) dan sumbu simetrisnyasejajar sumbu x adalah : (y yp) 2 = 2 .p. (x xp)

Contoh 4 :Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di ( 3, 4) dan dan garis arahnya x = 1PenyelesaianGaris arahnya x = 1 berarti 13p2

1 =+− atau 2p21 = maka p = 4

Jadi persamaan parabolanya adalah (y 4)2 = 8(x 3)

2. Persamaan Garis Singgung ParabolaGaris singgung parabola adalah suatu garis yang memotong parabola tepat pada satutitik.

a. Gradien diketahuia.1. Puncak titik O (0,0)Misal persamaan garis singgung : y = mx + k. Sehingga ada satu titik pada parabola :y2 = 2px yang memenuhi persamaan garis singgung di atas.Akibatnya :

(mx + k )2 = 2pxm2x2 + 2mkx+ k2 = 2pxm2x2 + (2mk2p)x+ k2 = 0 ; merupakan persamaan kuadratdalam variabel x.Agar persamaan kuadrat itu mempunyai satu harga x,maka harus terpenuhi syarat diskriminan dari persamaanitu sama dengan nol, yaitu : D = 0.(2mk2p)2 4.m2k2 = 04.(mkp)2 – 4. m2k2 = 04.(m2k2 –2mkp + p2 ) – 4m2k2 = 0 8 mkp + 4 p2 = 0

K

O

T(xi,yi)

FQ

Garis arah

p21p2

1

y

x

P(xp,yp)

x

y

y = 2px

y = mx + k

O

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




76

2 mkp + p2 = 0p.( p – 2mk) = 0

p = 0 atau p = 2mk, didapat k = m2p

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = mx + m2p

Persamaan garis singgung dengan gradient m pada parabola y2 = 2px atau puncak titik O (0,0)

adalah : y = mx + m2p

Contoh 5 :Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 2 pada parabola y2 = 8xPenyelesaiany2 = 8x berarti p = 4

Persamaan garis singgung dengan gradien 2 pada parabola y2 = 8x adalah y = mx + m2p

yaitu : y = 2x + 1

a.2. Puncak titik P (xp,yp)Dengan cara yang serupa dengan di atas, anda dapat menemukan persamaan garissinggung parabola yang berpuncak di P (xp,yp) yaitu :

Persamaan garis singgung dengan gradient m pada parabola dengan puncak P (xp,yp) adalah :

y – yp = m. (x – xp) + m2p

Contoh 6 :Tentukan persamaan garis singgung yang gradiennya membentuk sudut 45° dengan sumbu xdan menyinggung parabola (y 4)2 = 8 (x 3)Penyelesaian(y 4)2 = 8 (x 3) berarti p = 4 dan koordinat puncaknya (3,4)Gradiennya membentuk sudut 45° dengan sumbu x berarti m = 1 (masih ingat dari mana

asalnya?). Jadi persamaan garis singgungnya adalah : y –yp = m. (x –xp) + m2p

y – 4 = 1 (x – 3) + 2 atau y = x + 3

b. Titik singgung diketahuib.1. Puncak titik O (0,0)Misal titik singgungnya di P (xi,yi)Persamaan garis : y = m x + kKarena garis singgung memotong parabola yaitu ditepat satu titik, maka berlaku :(m x + k)2 = 2pxyi2 + m2 ( x – xi)2 + 2m yi ( x – xi) = 2pxm2x2 + (2mk2p)x+ k2 = 0 ; merupakan persamaankuadrat dalam variabel x. Karena ada satu titikpotong dengan parabola maka absisnya adalah :

22 mk2p

m2)p2mk2(

a2bxi

−=

−−=−= … pers. 1)

y = mx + k , maka : km

mkp.myi 2 +

−= ⇔ m

pyi = … pers. 2)

x

y

y = 2px

y = mx + k

O

P (xi,yi)

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




77

Jika mp

yi = maka nilai dari m = yip

. Jadi gradient garis singgung adalah m = yip

Karena titik P (xi,yi) terdapat pada parabola maka berlaku : xi.p2yi 2 =

Setelah dilakukan substitusi pers. 1) dan pers. 2) diperoleh nilai k = 2yi

Jadi y = 2yi

yip

+ dan jika kedua ruas dikalikan dengan yi maka akan didapatkan :

2yi

pxy.yi2

+= dan xi.p2yi 2 = maka : 2xi.p2

pxy.yi += ⇔ pxipxy.yi += atau )xix(py.yi +=

Persamaan garis singgung melalui titik P (xi,yi) pada parabola y2 = 2px adalah :)xix(py.yi +=

Contoh 7 :Tentukan persamaan garis singgung melalui titik P(2,4) pada parabola y2 = 8xPenyelesaianDari y2 = 8x didapat p = 4Titik P(2,4) terletak pada parabola y2 = 8xPersamaan garis singgung melalui titik P adalah : )xix(py.yi +=

4y = 4.(x – 2) y = x + 2

Contoh 8 :Tentukan persamaan garis singgung melalui titik P(2,3) pada parabola y2 = 8xPenyelesaianDari y2 = 8x didapat p = 4Titik P(2,3) tidak terletak pada parabola y2 = 8xMisal titik singgungnya S(xo,yo).Maka persamaan garis singgung melalui S adalah : y.yo = 4 (x + xo).Titik P(2, 3) terletak pada garis singgung maka : 3yo = 4(2+xo)atau 4xo + 3yo 8 = 0 … pers. 1)

S pada parabola, maka yo2 = 8.xo atau xo = 81 .yo2 … pers. 2)

Substitusi pers. 2) pada pers. 1) didapatkan : 4 ( 81 .yo2) + 3 yo – 8 = 0

08yo3yo.21 2 =−+

016yo.6yo 2 =−+(yo + 8) (yo – 2) = 0yo = 8 atau yo = 2

Untuk yo = 8 didapat xo = 8 dan untuk yo = 2 didapat xo = ½Jadi: Persamaan garis singgung melalui (8,8) adalah – 8y = 4.(x + 8) ⇔ x + 2y + 8 = 0. Persamaan garis singgung melalui (2, ½ ) adalah 2y = 4.(x + ½) ⇔ 2x y + 1 = 0.

b.2. Puncak titik P (xp,yp)Dengan cara yang serupa dengan di atas, anda dapat menemukan persamaan garissinggung parabola di titik T (xi,yi) yang tidak berpuncak di di P (xp,yp) yaitu :

(yi – yp) (y – yp) = p (x + xi –2xp)Persamaan garis singgung parabola puncak di P (xp,yp) dan melalui titik T (xi,yi)adalah :

(yi – yp) (y – yp) = p (x + xi –2xp)

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




78

Contoh 9 :Tentukan persamaan garis singgung melalui titik P(5, 8) pada parabola (y 4)2 = 8.(x 3)PenyelesaianDari parabola (y 4)2 = 8.(x 3) didapat p = 4 dan puncaknya (3,4)Titik (5, 8) terletak pada parabola (y 4)2 = 8(x 3)Jadi persamaan garis singgungnya adalah : (yi – yp) (y – yp) = p (x + xi –2xp)

(8 – 4) (y – 4) = 4.(x + 5 –6)12.(y – 4) = 4 .(x 1)12y + 48 = 4x – 44x + 12y = 52

c. RangkumanPersamaan parabola yang puncaknya O(0,0) dan sumbu simetrisnya x adalah : px2y 2 =Persamaan parabola yang puncaknya P (xp,yp) dan sumbu simetrisnya sejajar sumbu x adalah :

(y yp) 2 = 2 .p. (x xp)

Persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola y2 = 2px atau puncak titik O (0,0)

adalah : y = mx + m2p

Persamaan garis singgung dengan gradient m pada parabola dengan puncak P (xp,yp) adalah :

y – yp = m. (x – xp) + m2p

Persamaan garis singgung melalui titik P(xi,yi) pada parabola y2 = 2px adalah : )xix(py.yi +=Persamaan garis singgung parabola puncak di P (xp,yp) dan melalui titik T (xi,yi) adalah :

(yi – yp) (y – yp) = p (x + xi –2xp)

Grafik parabola yang berpuncak di O (0,0) antara lain :

O

Fx

y

y = ½ p

x2 = 2p.y

O

F

x

y

y = ½ p

x2 = 2p.y

OF x

y

x = ½ p

y2 = 2p.x

garis arah

garis arah

garis arah

OF x

y

x = ½ p

y2 = 2p.x

garis arah

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




79

Grafik parabola yang berpuncak di P (xp,yp)

d. Tugas Kegiatan Belajar

1. Tentukan tititk api dan persamaan garis arah parabola y 2 =24x2. Carilah persamaan garis yang menghubungkan titik M dan titik api parabola y2 =20x,

jika absis titik M adalah 7.3. Tentukan nilai k sehingga persamaan y =kx+2 menyinggung parabola y 2 =4x.4. Diketahui puncak parabola adalah A(6,3) dan persamaan garis arahnya 3x5y+1=0,

tentukan titik api dari parabola.

e. Test Formatif1. Buatlah sketsa grafik parabola y 2 = 4x dan x 2 = 4y2. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di titik pangkal O dan melalui (6,6) serta

menyinggung sumbu y.3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (2, 3) pada parabola y 2 = 8x4. Tentukan puncak, sumbu simetri, fokus dan direktrik dari parabola dengan persamaan

y2 = 6x.

f. Kunci Jawaban Test Formatif1. Parabola y 2 = 4x puncaknya (0,0), dan melalui titik (1,1), (2,4), (1, 1), (2, 4) yang dicari

dengan menggunakan tabel berikut. Anda dapat membuat sketsa sendiri !x 1 2 1 2y 1 4 1 4

Parabola x 2 = 4y puncaknya (0,0), dan melalui titik (1,4), (2,8), (1, 4), (2, 8) yang dicaridengan menggunakan tabel berikut. Anda dapat membuat sketsa sendiri !

x 1 2 1 2y 4 8 4 8

F

F

x

y

O

y = ½ pgaris arah

(xp,yp)

(x – xp)2 = 2p.(y – yp)

F

x

y

O

y = ½ pgaris arah

(xp,yp)

(x – xp)2 = 2p.(y – yp)

F

x

y

O

x = ½ p

garis arah

(xp,yp)

(y – yp)2 = 2p.(x – xp)

F

x

y

O

x = ½ p

garis arah

(xp,yp)

(y – yp)2 = 2p.(x – xp)

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




80

2. Parabola yang berpuncak di titik pangkal O dan menyingung sumbu y, bentuk umumnyaadalah x 2 = 2py. Melalui (6,6), maka 36 = 12 p, didapat p = 3

Jadi persamaan parabola yang diminta adalah x 2 = 6y3. Titik (2, 3) tidak pada parabola y 2 = 8x. Dari y 2 = 8x didapat p = 4 Misal titik singgungnya (a,b), maka persamaan garis singgungnya adalah by = 4(x + a).

Garis singgung ini melalui titik (2, 3) maka 2b = 4(3 + a) atau 4a + 2b = 12 ....(1) Sedangkan (a, b) pada parabola y2 = 8x maka berlaku b2 = 8a ......(2) Eliminasi dari (1) dan (2) didapat a = 2 dan b = 4 atau a = 4,5 dan b = 6 Jadi persamaan garis singgungnya adalah : 4y = 4( x + 2) atau y = x + 2, atau 6y = 4( x + 4,5) atau 4x + 6y + 18 = 04. Persamaan parabola y2 = 8x Puncak di (0,0) Persamaan sumbu simetri adalah y = 0 atau sumbu x Koordinat fokus adalah (2, 0); Persamaan direktrik adalah x = 2

g. Lembar Kerja Siswa1. Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di O (0,0) dengan persamaan direktrisnya

sebagai berikut : a. x = 3 b. x = 2 c. y = 3 d. y = 1

2. Tentukan koordinat titik puncak, koordinat fokus, persamaan sumbu simetris, persamaandirektris dan panjang latus rectum dari tiaptiap parabola berikut :

a. )2x.(4)1y( 2 +=− c. 019y6x2x 2 =+−−

b. )1y.(2)2x( 2 −−=+ d. 08x4y4y 2 =++−3. Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di titik P (2,4) dan fokusnya di F (5,4) !4. Parabola dengan persamaan : 08x4y4y 2 =+−+

a. nyatakan persamaan parabola itu dalam bentuk )ax.(p4)by( 2 −=− b. kemudian tentukan koordinat titik puncak, persamaan sumbu simetri, koordinat fokus,

persamaan direktris.5. Tentukan persamaanpersamaan parabola yang puncaknya di O (0,0) dengan fokus

sebagai berikut : a. F (1,0) b. F (1,0) c. F (0,2) d. F (0,2)6. Tentukan persamaan garis singgung parabola : x8y 2 = di titik (2,4) !

7. Tentukan persamaan garis singgung parabola : x6y 2 −= dengan gradien 2 !


Setelah mempelajari Kegiatan Belajar 4 ini, diharapkan siswa dapat mendeskripsikanhiperbola sesuai dengan ciricirinya.1. Memahami unsurunsur hiperbola.2. Menentukan persamaan hiperbola dan dapat menggambar grafiknya.3. Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hiperbola.

b. Uraian MateriKurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri adalahHiperbola. Hiperbola merupakan bangun datar yang diperoleh dengan mengiris bangunruang kerucut yang saling bertolak belakang memotong tegak lurus bangun kerucut tersebuttetapi tidak memotong puncak kerucut.Dalam matematika hiperbola didefinisikan sebagai himpunan titiktitik (pada bidang datar)yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Selanjutnya dua titik itu

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




81

disebut Titik Fokus Hiperbola. Jadi hiperbola dapat dilukis jika diketahui dua titik fokushiperbola dan suatu ruas garis yang panjangnya kurang dari dari jarak kedua titik fokus itudiketahui.

3. Unsurunsur HiperbolaPerhatikan gambar hiperbola berikut ini:Keterangan:Titik O disebut koordinat titik pusat HiperbolaTitik A dan B disebut koordinat titiktitik puncak hiperbola.Titik F1 dan F2 disebut koordinat titiktitik fokus hiperbola.AB dan CD berturutturut disebut sumbu mayor (sumbupanjang) dan sumbu minor (sumbu pendek).

4. Menentukan Persamaan Hiperbola2.1. Persamaan Hiperbola dengan Pusat pada O (0,0)

Misalkan c.2FF 21 = merupakan jarak antara dua titikfocus. Maka F1 (c,0) dan F2 (c,0). Misalkan selisih jarak yangtetap itu adalah 2a.Ambil sembarang titik pada hiperbola misalkan T (xi,yi) dan titik O sebagai pusat hiperbola.Berdasarkan definisi hiperbola, yaitu : a2TFTF 12 =−

a2yi)xic(yi)cxi( 2222 =+−−++

2222 yi)xic(a2yi)cxi( +−+=++

Jika kedua ruas dikuadratkan, maka :2222222 yi)xic(.a4yi)xic(a4yi)cxi( +−++−+=++

222222222 yi)xic(.a4yixic.xi2ca4yicc.xi2xi +−+++−+=+++

222 yi)xic(.a4c.xi2a4c.xi2 +−+−= ⇔ 222 yi)xic(.a4a4c.xi4 +−=−

222 yi)xic(.aac.xi +−=− Jika kedua ruas dikuadratkan maka akan didapatkan :

{ }22222 yi)xic(.a)ac.xi( +−=−222224222 yia)xic.xi2c(aaa.c.xi2c.xi ++−=+−

422222222 acayiaxiac.xi −=−− ⇔ )ac(ayia)ac(xi 22222222 −=−−

Karena c > a maka 0ac 22 >− sehingga kita misalkan 222 bac =− sehinggapersamaan di atas menjadi : 222222 bayiabxi =−

Masingmasing ruas dibagi dengan 22 ba diperoleh : 1byi

axi

2

2

2

2

=−

Karena titik T (xi,yi) berada pada hiperbola maka berlaku untuk semua titik (x,y)

pada hiperbola, sehingga disimpulkan persamaan hiperbolanya adalah : 1by

ax

2

2

2

2

=−

Garis asimtot hiperbola adalah suatu garis yang melalui pusat hiperbola dan menyinggunghiperbola di jauh tak berhingga titik. Misal persamaan garis yang melalui pusat hiperboladan memotong hiperbola : y = mx

xO

F2

T (xi,yi)

F1

yg1g2

a a

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




82

Sehingga minimal ada satu titik pada hiperbola : 1by

ax

2

2

2

2

=− yang memenuhi persamaan

garis di atas. Akibatnya : 1b

)mx(ax

2

2

2

2

=−

222222 ba)mx(abx =−

222222 ba)mab(x =− ⇔ 222

222

mabbax

−=

Maka nilai x adalah :222 mab

abx−

±= sehingga nilai y adalah :222 mab

maby−

±=

Jadi koordinatkoordinat titik potongnya adalah :

−− 222222 mab

mab,mab

ab dan

−

−

−

−222222 mab

mab,mab

ab

Jika 0mab 222 >− maka ada dua titik potong yang berlainan .Jika 0mab 222 <− maka tidak ada titik potong atau titik potongnya khayal .Jika 0mab 222 =− maka titik potongnya di jauh tak berhingga.

Hal yang terakhir menyatakan bahwa 0mab 222 =− jika m = ab

± maka garis y = mx

menyinggung hiperbola di tak berhingga.

Jadi garishgaris y = ab

± x disebut asimtotasimtot hiperbola.

Persamaan asimtot juga dapat dinyatakan dengan : 0by

axdan0b

yax

=−=+ ; dengan

membagi kedua ruas dengan b.Dari uraian materi di atas dapat diambil beberapa catatan sebagai berikut :

1. Persamaan hiperbola : 1by

ax

2

2

2

2

=−

2. Pusatnya di O (0,0) maka : Fokus di F1 (c,0) dan F2 (c,0)3. Puncaknya di A (a,0) dan B (a,0)

4. Persamaan asimtotnya : xaby ±=

5. Eksentrisitas numeriknya : 1ace >=

6. Persamaan garis arah : x = ca2

±

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




83

Contoh 1 :

Diketahui persamaan parabola 19y

16x 22

=−

Tentukan Koordinat puncak, fokus, puat, persamaan asimtot dan eksentrisitas numerik. Jugabuat sketsa hiperbolanya.Penyelesaian

Dari parabola 19y

16x 22

=−

didapat : a = 4,b= 3c 2 – a 2 = b 2

c 2 16 = 9 atau c 2 = 25, didapat c = 5(kenapa –5 tidak digunakan?)

Koordinat pusat adalah O(0,0)Koordinat puncak adalah B (4,0) dan A (4,0)Koordinat Fokus F1 (5,0) dan F2 (5,0)

Persamaan asimtot adalah x43dan yx4

3y ==

Eksentrisitas numeriknya adalah e = 45

2.2. Persamaan Hiperbola dengan Pusat pada P (xp,yp)Dengan cara yang sama, ambil sebarang titik padalingkaran misal T (xi ,yi) dan titik P (xp,yp) sebagaipusat hiperbola, maka akan didapat persamaan

hiperbola yaitu : 1b

)ypy(a

)xpx(2

2

2

2

=−

−−

Pusatnya di P (xp,yp), focus di F1(xp + c, yp) dan F2(xp – c, yp).Puncaknya di A (xp + a, yp) dan B (xp – a, yp).

Persamaan asimtotnya : )xpx(abypy −±=−

Eksentrisitas numeriknya : e = ac > 1

Contoh 2 :

Diketahui hiperbola dengan persamaan 11)8y(

3)2x( 22

=−

−−

Tentukan Koordinat puncak, fokus, puat, persamaan asimtot dan eksentrisitas numerik.Penyelesaian

Dari 11)8y(

3)2x( 22

=−

−−

didapat : a = √3 , b = 1, xp = 2, xy = 8 dan c = 2

Pusatnya di ( 2, 8)Fokus di F1(4, 8) dan F2(0, 8);Puncak di A(2 + √3 , 8) dan B(2 √3 ,8)

Persamaan asimtotnya y – 8 = )2x(3

1−±

Eksentrisitas numeriknya e =3

2 > 1

xO

F2

T (xi,yi)F1

yg= x4

3

a a

(5,0)(5,0)(4,0)(4,0)

g= x43−

xO

F2

T (xi,yi)

F1

yg1g2

a a

P(xp,yp)

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




84

c. RangkumanPersamaan parabola yang puncaknya O(0,0) dan sumbu simetrinya sumbu x adalah y 2 = 2pxPersamaan parabola yang puncaknya P(a,b) dan sumbu simetrinya sejajar sumbu x adalah :

(y – b) 2 = 2p (x – a)

Persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola y2 = 2px adalah y = mx + m2p

Persamaan garis singgung pada parabola yang berpuncak di (a,b) yaitu : y b = m(x a) + m2p

Jadi persamaan garis singgung melalui titik (x1,y1) pada parabola y2 = 2px adalah y1y = p(x + x1)Persamaan garis singgung parabola di titik T (x1,y1) yang tidak berpuncak di di (a,b) yaitu :

(y1 – b) (y – b) = p (x + x1 –2a)

d. Tugas Kegiatan Belajar 1Untuk lebih memahami apa yang anda pelajari, kerjakan latihan berikut secara mandiri.1. Tentukan persamaan hiperbola yang pusatnya di (0,0) dan panjang sumbu hiperbola

masingmasing 16 dan 12. Tentukan pula jarak antara dua fokus, persamaan direktrik,dan asimtot.

2. Tentukan persamaan hiperbola yang pusatnya di (0,0) jika eksentrisitasnya 1213

sedangkan jarak antara kedua fokus 56.3. Diketahui hiprbola 9x2 – 16y2 = 144. Tentukan direktrik (garis arah), fokus, dan

puncaknya. Gambar sketsa grafiknya !4. Diketahui hiperbola 9x2 – 16y2 – 36x – 32y 124 = 0. Tentukan direktrik (garis arah),

fokus, dan puncaknya. Gambar sketsa grafiknya !5. Temukan persamaan hiperbola yang titiktitik apinya terletak pada sumbu x, simetris

terhadap O dan melalui titik M(5,3) dan eksentrisitas numeriknya e = 2 .

e. Test Formatif KB 1

1. Diketahui hiperbola pusatnya di (0,0), eksentrisitas 1213 dan jarak kedua fokus adalah 39.

Tentukan persamaan hiperbola tersebut !2. Diketahui hiperbola x2 16y2 – 4 x –32y –28 =0. Tentukan koordinat fokus dan puncak

hiperbola !

3. Tentukan persamaan garis singgung 136y

64x 22

=− yang sejajar garis x +y + 1 = 0

4. Tentukan persamaan garis singgung 18y

24x 22

=− yang melalui titik (6, 2).

f. Kunci Jawaban Test Formatif

1. 125y

144x 22

=−

2. Jadi koordinat fokus adalah (√17 , 0) dan (√17 , 0) dan koordinat puncak parabola adalah(4, 0) dan ( 4, 0)

3. y = x ± √28

4. 18y2

24x6

=−

g. Lembar Kerja Siswa

1. Diketahui hiperbola dengan persamaan : 19y

16x 22

=− , tentukanlah :

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




85

a. koordinat titik puncak, koordinat titik ujung sumbu minor dan koordinat fokus. b. nilai eksentrisitas, persamaan direktris dan persamaan asimtot. c. panjang latus rectum. d. gambarkan sketsa hiperbola tersebut.2. Tentukan persamaan hiperbola yang berpusat di O (0,0) jika : a. fokus F1 (8,0), F2 (8,0) dan titik pucak A1 (7,0) dan A2 (7,0). b. fokus F1 (0,3), F2 (0,3) dan titik pucak A1 (0,2) dan A2 (0,2).3. Tentukan persamaan hiperbola yang pusatnya di O (0,0) jika diketahui : a. fokus di F1 (5,0) dan F2 (5,0) dengan sumbu mayor 6 satuan. b. fokus di F1 (0,5) dan F2 (0,5) dengan sumbu mayor 8 satuan.4. Tentukan persamaan hiperbola yang pusatnya di O (0,0) jika diketahui : a. sumbu utama berimpit dengan sumbux melalui titik (3,1) dan (9,5).

b. titik puncak di (6,0) dan (6,0), persamaan asimtot y = x34

− dan y = x34

5. Diketahui hiperbola dengan persamaan : 19)1y(

16)2x( 22

=+

−−

, tentukanlah :

a. koordinat titik pusat, puncak dan fokus. b. persamaan sumbu utama, sumbu sekawan, panjang sumbu mayor dan minornya. c. persamaan asimtot, nilai eksentrisitas dan persamaan direktris. d. panjang latus rectum dan sketsakanlah hiparbola tersebut !6. Tentukan persamaan hiperbola yang pusatnya di titik (3,2) dan salah satu puncaknya (7,2)

serta panjang sumbu imaginernya 6 satuan !

7. Tunjukkan bahwa garis x – y + 2 = 0 memotong hiperbola 18y

4x 22

=− di dua titik

berlainan, kemudian tentukan koordinat titiktitik potongnya.

8. Tentukan nilai a agar garis : 4x + y + a = 0 menyinggung hiperbola 148y

12x 22

=− , kemudian

tentukan titik singgungnya !

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com




86

EVALUASI KOMPETENSI

A. Pilihan Ganda1. Jarijari lingkaran dengan persamaan 011y8x6yx 22 =−−++ adalah …

a. 3 b. 4 c. 6 d. 8 e. 102. Letak titik P (√2,√3) terhadap lingkaran 07y9x4yx 22 =−−++ adalah …

a. di dalam b. di luar c. pada garis d. di pusat e. memotong3. Persamaan garis singgung lingkaran 25yx 22 =+ yang melalui titik (3,4) adalah …a. 3x – 4y – 25 = 0 c. 4y – 3x – 25 = 0 e. tidak adab. 3x + 4y + 25 = 0 d. 3x + 4y – 25 = 0

4. Suatu ellips mempunyai sumbu panjang 15 satuan dan sumbu pendek 9 satuan, maka jarakkedua fokusnya adalah …

a. 6 satuan b. 12 satuan c. 18 satuan d. 24 satuan e. 30 satuan5. Koordinat fokus ellips dengan persamaan 400y16x25 22 =+ adalah …

a. (±3,0) b. (0,±3) c. (±4,0) d. (0,±4) e. (0,±5)6. Eksentrisitas ellips dengan persamaan 180y9x5 22 =+ adalah …

a. e = 2/5 b. e = 3/7 c. e = 5/6 d. e = 2/3 e. e = 7/97. Persamaan parabola dengan titik puncak (a,b) dan fokus F (a + ½p,b) adalah …

a. 22 b)ax.(p2y +−= c. )ax.(p2by 22 −−=− e. )bx.(p2)ay( 2 −=−

b. )ax.(p2)by( 2 +=+ d. )ax.(p2)by( 2 −=−

8. Kurva lengkung 2y8x −= adalah parabola dengan puncak di …a. (8,0) b. (0,0) c. (0,8) d. (0,8) e. (8,0)

9. Koordinat fokus dari hiperbola 19y

16x 22

=− adalah …

a. (±5,0) b. (0,±5) c. (5,5) d. (0,0) e. (5,5)

10. Panjang latus rectum hiperbola 19)1y(

16)2x( 22

=+

−−

adalah …

a. 25/2 b. 16/2 c. 13/2 d. 6 e. 9/2

B. Essay1. Tentukan persamaan lingkaran dengan syarat :

a) bertitik pusat di P (3,4) dan melalui O (0,0)b) melalui titik–titik K (3,1) dan L (1,3) dan titik pusatnya terletak pada garis 3x – y – 2 = 0

2. Tentukan titik pusat dan jarijari dari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 8x + 4y + 4= 0.

3. Tentukan koordinat titiktitik api dari ellips 136y

100x 22

=+

4. Tentukan persamaan ellips yang eksentrisitas numeriknya e = 32 salah satu titik apinya

di F (6,0).5. Tentukan titik api dan persamaan garis arah parabola y2 =24x6. Diketahui hiperbola 9x2 – 16y2 – 36x – 32y 124 = 0. Tentukan direktrik (garis arah), fokus,

dan puncaknya.

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



bab€€€i w . docu­tr a c k pendahuluan a. deskripsi · pdf filecontoh€6...

Documents

bab€€€i w . docutr a c k pendahuluan a. deskripsi · pdf filecontoh€6...