STATISTIKA INDUKTIF EDISI 3

AlgifariSTIE YKPN Yogyakarta

BAB 2

Estimasi Statistik

Tujuan

Memanfaatkan kaidah-kaidah distribusi sampling untuk membuat estimasi (estimasi) rata-rata dan proporsi, menentukan besarnya sampel yang sesuai dengan tingkat kesalahan yang diinginkan

Pembahasan

• Kriteria taksiran (estimator) yang baik

• Estimasi titik dan estimasi interval

• Keunggulan dan kelemahan estimasi titik (point estimation) dan estimasi interval (interval estimation)

• Ketepatan estimasi

• Penggunaan distribusi t dan distribusi Z untuk membuat estimasi

• Sampel yang dibutuhkan untuk setiap kesalahan yang diharapkan dalam penentuan estimasi interval

•Tidak bias (Unbiasedness).

•Efisiensi (Efficiency).

•Konsistensi (Consistency).

•Kecukupan (Sufficiency).

Kriteria Penaksir (Estimator) yang Baik

Estimasi Titik dan Estimasi Interval•Estimasi titik (point estimation) adalah

nilai tunggal yang digunakan untuk menaksir (to estimate) parameter (besaran populasi) yang tidak diketahui.

•Estimasi interval merupakan interval nilai (range) yang nilai parameter populasi berada di dalamnya.

Tingkat Konfidensi (Confidence Level)

Tingkat Konfidensi

Probabilitas Terdekat

Nilai ZNilai Z yang

Sering Digunakan

90%95%99%

0,4495 atau 0,45050,475

0,4949 atau 0,4951

1,64 atau 1,651,960

2,57 atau 2,58

1,6451,9602,576

Cara membaca Tabel Distribusi Normal• Misalnya tingkat konfidensi 95%, berarti 0,95/2 = 0,475.

Nilai Z untuk tingkat konfidensi 95% adalah 1,960.

Z 0.00 0.01 . . 0.06 . . .

0.0

0.1

.

.

.

1.9 0.475

.

.

.

Cara membaca Tabel Distribusi t• Misalnya tingkat konfidensi 95% dan sampel yang digunakan (n)

adalah 10. Nilai t/2;df artinya /2 dan degree of freedom = n-1. Nilai ditentukan dengan rumus: = 1 – tingkat konfidensi. Berarti = 1 - 0,95 = 0,05. Dengan demikian nilai t yang dicari adalah t0,025;9 = 2,262.

df/ 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005

1

2

.

.

.

9 2.262

.

.

Inf. 1,960

Estimasi Titik

• Estimasi titik adalah nilai tunggal yang digunakan untuk menaksir (to estimate) parameter yang tidak diketahui. Estimasi titik untuk rata-rata populasi () dan proporsi populasi () menggunakan rata-rata sampel ( ) dan proporsi sampel (p) yang dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

• Estimasi titik untuk beda dua rata-rata populasi (µ1- µ2) ditaksir atau diestimasi dengan menggunakan beda dua rata-rata sampel ( ). Estimasi titik untuk beda dua proporsi populasi (π1- π2) ditaksir atau diestimasi dengan menggunakan beda dua proporsi sampel (p1 – p2).

21 XX

n

XX

X

n

Xp

Estimasi Interval

• Tujuan membuat estimasi interval adalah untuk mengurangi kesalahan penaksiran. Estimasi interval merupakan interval nilai (range) di mana parameter populasi berada di dalamnya.

• Pada estimasi interval terdapat batas bawah estimasi (lower limit estimate) dan batas atas estimasi (upper limit estimate). Batas bawah estimasi merupakan nilai estimasi parameter populasi terendah. Sedangkan batas atas estimasi merupakan nilai estimasi parameter populasi tertinggi.

Estimasi Rata-rata Populasi ()• Jika adalah rata-rata populasi dan adalah rata-

rata sampel, maka ditaksir sengan interval sebagai berikut:

• E adalah kesalahan estimasi (error of estimate)

• Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan E:1. Jumlah sampel2. Standar deviasi3. Populasi4. Tingkat konfidensi (confidence level) disingkat CL.

EXμEX

X

Menentukan Besarnya Kesalahan Estimasi (E)

• Besarnya kesalahan estimasi (E) untuk sampel besar (n ≥ 30), standar deviasi populasi () diketahui, jumlah anggota populasi tidak terbatas (N = ), dan tingkat konfidensi: CL = 1- adalah (Kriteria populasi tidak terbatas : banyaknya anggota populasi diketahui dan banyaknya anggota sampel kurang dari 5% anggota populasinya)

n

σ.

α/2ZE

error) (stanrardstandar kesalahan besarnyaadalah n

σσ

X

Lanjutan ...Contoh Kasus 1.Seorang manajer sebuah perusahaan asuransi ingin mengestimasi pendapatan rata-rata penduduk di suatu wilayah. Berdasarkan informasi yang diperoleh, besarnya pendapatan penduduk di wilayah tersebut berdistribusi normal dengan standar deviasi adalah Rp25.000. Sampel sebanyak 80 penduduk dipilih secara random dan dari sampel tersebut diketahui rata-rata pendapatan penduduk per bulan adalah Rp2.560.000. Dengan menggunakan tingkat konfidensi 95%, buatlan interval estimasi pendapatan rata-rata penduduk per bulan di wilayah tersebut.

Jawaban Kasus 1:• Standar deviasi populasi: = Rp25.000• Banyaknya anggota sampel: n = 80• Rata-rata sampel: = Rp2.560.000• Tingkat konfidensi : CL = 95%

X

Lanjutan ...

Besarnya kesalahan estimasi (E) adalah Rp5.478,4. Interval estimasi pendapatan rata-rata per bulan penduduk adalah Rp2.554.521,6 sampai dengan Rp2.565.478,4

EXμEX

5.478,480

25.0001,96.

n

σ.α/2ZE

5.478,42.560.000μ5.478,42.560.000

42.565.478,μ,62.5554.521

Lanjutan ...

• Besarnya kesalahan estimasi (E) untuk sampel besar (n ≥ 30), standar deviasi populasi () diketahui tidak diketahui, jumlah anggota populasi tidak terbatas (N = ), dan tingkat konfidensi: CL = 1- adalah (Kriteria populasi tidak terbatas : banyaknya anggota populasi diketahui dan banyaknya anggota sampel kurang dari 5% anggota populasinya)

n

s.

α/2ZE

error) (stanrardstandar kesalahan besarnyaadalah n

ss

X

Lanjutan ...

Contoh Kasus 2.

Sampel sebanyak 100 pedagang kaki lima di Malioboro Jogjakarta diperoleh informasi bahwa keuntungan rata-rata per hari Rp120.000 dengan standar deviasi sebesar Rp15.000. keuntungan per hari pedagang kaki lima di Maliobooro Jogjakarta diketahui berdistribusi normal. Berdasarkan data tersebut,

1. buatlah estimasi keuntungan rata-rata per hari pedagang kaki lima tersebut menggunakan estimasi titik.

2. tentukan besarnya kesalahan standar (sx) dan kesalahan estimasi (E)

keuntungan per hari pedagang kaki lima di Malioboro Jogjakarta.

3. Tentukan interval estimasi keuntungan rata-rata per hari pedagang kaki lima di Malioboro Jogjakarta menggunakan tingkat konfidensi (confidence level) adalah 95%. Tentukan batas terendah (lower limit) dan batas tertinggi (upper limit) estimasinya.

Lanjutan ...

Jawaban Kasus 2:

1. Estimasi titik: Rp120.000

2. Kesalahan standar ( ) dan kesalahan estimasi (E):

3. Interval estimasi

Rp120.000 – Rp2.940 Rp120.000 + Rp2.940 Rp117.060 Rp122.940

Batas terendah (lower limit) estimasi = Rp117.060Batas tertinggi (upper limit) estimasi = Rp122.940

Rp1.500100

Rp15.000

n

sxs

Rp2.940100

Rp15.0001,96.

n

s.α/2ZE

EXμEX

Xs

Lanjutan ...

Besarnya kesalahan estimasi (E) untuk sampel kecil (n < 30), standar deviasi populasi () diketahui, jumlah anggota populasi tidak terbatas (N = ), dan tingkat konfidensi (1- ) % adalah

df. = degree of freedom = n - 1

 Contoh Kasus 3.Isi minuman suatu merek minuman dalam kemasan kaleng diketahui berdistribusi normal dengan besarnya standar deviasi adalah 8,5 ml. Suatu penelitian dilakukan untuk mengestimasi isi minuman rata-rata minuman dalam kemasan kaleng tesebut. Penelitian menggunakan 15 kaleng minuman sebagai sampel dan dari sampel tersebut diperoleh rata-rata isi minuman adalah 246 ml. Buatlah interval estimasi isi munuman dalam kaleng tersebut mengunakan tingkat konfidensi 99%.

n

σdf.;

α/2tE

Lanjutan ...

Jawaban Kasus 3.

df. = degree of freedom = 15 – 1 = 14t0,005;14 = 2,977 (Lihat pada Tabel Distribusi t)

Besarnya kesalahan estimasi (E) adalah 6,53 ml. Interval estimasi isi minuman dalam kemasan kaleng adalah 239,47 ml sampai dengan 252,53 ml.

EXμEX

6,5315

8,52,977.

n

σdf.;α/2tE

6,53246μ6,53246

252,53μ239,47

Lanjutan ...

Besarnya kesalahan estimasi (E) untuk sampel kecil (n < 30), standar deviasi populasi () tidak diketahui, jumlah anggota populasi tidak terbatas (N = ), dan tingkat konfidensi (1- ) % adalah

n

sdf.;

α/2tE

1n

)X(Xs :deviasiStandar

2

n

ss :standarKesalahan

x

Lanjutan ...

Contoh Kasus 4. Suatu biro travel ingin menentukan waktu yang diperlukan untuk menempuh perjalanan dari kota A ke kota B. Dari 6 kali perjalanan diperoleh informasi sebagai berikut:

Waktu tempuh dari kota A ke kota B diasumsikan berdistribusi normal. Buatlah estimasi lama perjalanan dari kota A ke kota B yang sesungguhnya dengan tingkat konfidensi 95%.

Perjalanan ke.. 1 2 3 4 5 6

Waktu (Jam) 13 14 12 16 12 11

Lanjutan ...

Jawaban Kasus 4.

xs .

/2 t+ X μ

x.s

/2 t- X

73,06

79,1

n

ss

x13 =

6

78 =

n

X = X

Perjalanan X (X - ) (X - )2

1.2.3.4.5.6.

131412161211

131313131313

01-13-1-2

011914

X = 78 (X - )2 = 16

X XX

X

Lanjutan ...

t0,025;5 = 2,57 (Lihat pada Tabel Distribusi t)

Jadi estimasi waktu rata-rata yang diperlukan untuk menempuh perjalanan dari kota A ke kota B adalah 11,12 jam sampai dengan 14,88 jam.

79,116

16

1n

)X(Xs

2

73,06

79,1

n

ss

x

3)(2,57)(0,7 + 13 3)(2,57)(0,7 - 13

1,88 + 13 1,88 - 13

14,88 11,12

Hasil perhitungan MS Excel dan SPSS

Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, rata-rata sampel ( ) = 13 dengan standar deviasi sampel (s) = 1,79 dan varians (s2) = 3,2. Besarnya kesalahan standar sampel ( ) = 0,73.

Waktu (Jam)

Mean: 13

Standard Error: 0,73

Standard Deviation: 1,79

Sample Variance: 3,2

Count: 6

Descriptive Statistics

6 13.0000 .73030 1.78885 3.200

6

x

Valid N (listwise)

Statistic Statistic Std. Error Statistic Statistic

N Mean Std.Deviation

Variance

Hasil perhitungan penggunakan SPSS:

Hasil perhitungan penggunakan MS Excel:

X

Xs

Lanjutan ...

• Besarnya kesalahan estimasi (E) untuk N terbatas, yaitu n > 5% N dapat ditentukan dengan menambahkan faktor koreksi ke dalam formula menghitung kesalahan estimasi. Besarnya faktor koreksi (correction factor) adalah

• Misalnya kita ingin menentukan besarnya kesalahan estimasi (E) untuk penelitian dengan sampel besar (n > 30), standar deviasi populasi () diketahui, jumlah anggota populasi (N) terbatas dan tingkat konfidensi (1- ) %. Formulasi yang dapat digunakan adalah

1N

nN

1N

nN.

n

σ.α/2ZE

Lanjutan ...

Contoh Kasus 5.

Sebuah sampel random terdiri dari 50 skor karyawan yang diambil dari 200 karyawan peserta pendidikan diperoleh informasi skor rata-rata 75 dengan standar deviasi 10.

Pertanyaan:

1. Buatlah interval estimasi skor karyawan yang mengikuti pendidikan dengan tingkat konfidensi 95%.

2. Jika skor rata-rata dari 200 karyawan adalah 75 ± 2, tentukan tingkat konfidensinya.

Jawaban:

1. = 75 = 10 n = 50 N = 200

Populasi terbatas, karena N=200 dan n= 50/200 = 0,25 atau 25% lebih dari 5%N. Rumus menentukan kesalahan standar:

1 - N

n - N .

n =

xσ

X

Lanjutan ...

Z/2 = 1,96 (Lihat pada Tabel Distribusi Normal)

75 – 1,96(1,23) 75 + 1,96(1,23)  75 – 2,41 75 + 2,41

72,59 77,41

Jadi besarnya estimasi (estimasi) skor rata-rata karyawan peserta pelatihan adalah dari 72,59 sampai dengan 77,41.

23,11200

50200.

50

10

1 - N

n - N

nxσ

. =

σx Zα/2 + X μ σx Zα/2 - X

Lanjutan ...

2. Jika skor rata-rata dari 200 karyawan adalah 75 ± 2, maka tingkat konfidensinya adalah

Dengan menggunakan Tabel Z, probabilitas untuk Z/2 = 1,63 adalah 0,4484. Jadi tingkat konfidensinya adalah 2 x 0,4484 = 0,8968 atau 89,68%.

x.σZα/2 = E

1,63 = 1,23

2 =

σx

E = Zα/2

Estimasi untuk Proporsi Populasi ()

• Tujuan: membuat taksiran tentang besaran proporsi populasi menggunakan proporsi sampel

• Proporsi populasi () ditaksir dengan menggunakan proporsi sampel (p). Besarnya proporsi sampel (p) dan kesalahan estimasi proporsi dapat ditentukan dengan rumus:

• Estimasi titik: p• Eatimasi interval: p – E ≤ ≤ p + E

Upper Limit: p + E Lower Limit: p – E

n

Xp

n

p)p(1σ mana di

p

p/2.σ Z E

Lanjutan ...

Contoh Kasus 6.

Suatu penelitian bertujuan untuk mengestimasi proporsi yang menyatakan puas terhadap pelayanan yang diberikan oleh suatu bank swasta. Penelitian tersebut menggunakan sampel sebanyak 250 konsumen. Berdasarkan sampel tersebut diketahui 165 konsumen menyatakan puas dengan pelayanan yang diberikan oleh bank swasta. Buatlah interval proporsi yang sesungguhnya (proporsi populasi) dengan menggunakan tingkat konfidensi 99%.

Jawab:

p – E ≤ ≤ p + E

0,66 = 250

165 =

n

X = p

077,0)03,0(58,2.σ Z Ep/2

(0,077) + 0,66 (0,077) - 0,66

0,737 0,583

Lanjutan ...

Jawaban:p – E ≤ ≤ p + E

Jadi estimasi proporsi konsumen menyatakan puas dengan pelayanan yang diberikan adalah 58,3% sampai dengan 73,7%.

0,66 = 250

165 =

n

X = p

03,0250

)66,01(66,0

n

p)-p(1 = σp

077,0)03,0(58,2.σ Z Ep/2

(0,077) + 0,66 (0,077) - 0,66

0,737 0,583

Lanjutan ...

•Estimasi proporsi sampel kecil:▫np < 15 atau n(1-p) < 15; atau▫n < 20 atau np < 5 atau np(1-p) < 5

•Rumus p dan p adalah

4n

2Xp

4n

p)p(1σp

Lanjutan ...

Contoh Kasus 7. Suatu penelitian dilakukan untuk membuat interval estimasi proporsi penduduk di Jogjakarta yang pernah berlibur di Banjarmasin. Penelitian tersebut menggunakan sampel sebanyak 200 penduduk Jogjakarta dan dari sampel tersebut terdapat 3 orang penduduk yang pernah berlibur di Banjarmasin. Dengan tingkat konfidensi 95%, buatlah interval estimasi proporsi penduduk Jogjakarta yang pernah berlibur di Banjarmasin.

Jawaban:Misalnya p adalah proprosi sampel penduduk Jogjakarta yang berlibur di Banjarmasin. Besarnya p mendekati 0, karena jumlah yang sukses (yang berlibur di Banjarmasin) adalah 3 lebih kecil daripada 15. Oleh karena itu untuk menentukan p dan p menggunakan rumus penyesuaian Wilson.

Estimasi proporsi penduduk Jogjakarta yang pernah berlibur di Banjarmasin adalah 0,4% sampai dengan 4,6%.

Menentukan Ukuran Sampel (n)• Untuk estimasi rata-rata populasi

Contoh Kasus 8.Suatu penelitian bertujuan untuk mengetahui pengeluaran rata-rata rumahtangga untuk membeli sabun cuci per minggu. Berdasar hasil penelitian yang lalu diperoleh informasi besarnya standar deviasi pengeluaran rata-rata oleh rumahtangga untuk membeli sabun cuci per minggu adalah Rp28.500. Berapa banyaknya rumahtangga yang sebaiknya digunakan sebagai sampel agar pkesalahan estimasi yang diharapkan maksimum Rp6.250 dengan menggunakan tingkat konfidensi sebesar 95%?

Jawab:Jadi banyaknya keluarga yang digunakan dalam penelitian tersebut minimal 80 keluarga. (Nilai n harus dalam bilangan bulat / diskrit dan dibulatkan ke angka yang lebih besar. Jika dibulatkan ke angka yang lebih kecil, maka kesalahan estimasinya akan lebih besar daripada yang diharapkan. Ingat: jika sampel berkurang, maka kesalahan estimasi bertambah besar).

E

σ . Zα/22

=n

Lanjutan ...

• Untuk estimasi proporsi populasi

Jika tidak terdapat informasi tentang proporsi populasi, maka p(1-p) = 0,25, yaitu nilai tertinggi hasil kali antara p dan 1-p. Namun, jika proporsi populasi atau proporsi sampel (data periode lalu) diketahui, maka gunakan proporsi tersebut sebagai p.

Contoh Kasus 9.Penelitian dilakukan untuk mengetahui persentase kesalahan dalam pencatatan rekening keuangan. Jika kesalahan dalam penelitian tersebut diinginkan maksimal 6,25% dengan tingkat konfidensi 95%, tentukan banyaknya rekening yang harus digunakan sebagai sampel.

Jawab:Banyaknya pencatatan yang digunakan dalam penelitian tersebut minimal 246 rekening. (Nilai n dibulatkan ke angka yang lebih besar).

2

α/2

E

Zp).p(1n

Lanjutan ...

Contoh Kasus 10.Hasil penelitian yang telah dilakukan pada bulan yang lalu menunjukkan bahwa proporsi nasabah yang tidak bayar angsuran tepat waktu adalah 30%. Manajemen ingin memperbaharui persentase tersebut. Penelitian yang baru dilakukan menggunakan tingkat konfidensi 90%. Tentukan banyaknya nasabah yang digunakan sebagai sampel agar kesalahan estimasi yang dihasilkan tidak lebih dari 6,25%.

Jawab:Jadi banyaknya nasabah digunakan dalam penelitian tersebut minimal 207 orang. (Nilai n dibulatkan ke angka yang lebih besar).

Lanjutan ...

• Menentukan banyaknya anggota sampel (ukuran sampel) pada suatu populasi yang jumlah anggotanya diketahui, maka ukuran sampel dapat digunakan rumus Slovin sebagai berikut:

•  Kelemahan rumus Slovin:

(1) menentukan ukuran sampel hanya mempertimbangkan kesalahan estimasi maksimum yang ditoleransi (E);

(2) tidak menjelaskan karakteristik populasi yang cocok bagi rumus tersebut;

(3) rumus Slovin hanya untuk tingkat keyakinan (confidence level) mendekati 95%, karena berasumsi nilai Z = 2;

(4) rumus Slovin hanya dapat digunakan untuk mengestimasi proposi populasi.

Lanjutan ...

Contoh Kasus 11.Misalnya suatu penelitian akan dilakukan terhadap suatu populasi yang memiliki anggota 2.000. Proporsi kesalahan estimasi diharapkan tidak lebih dari 6%. Tentukan ukuran sampel (n) untuk penelitian tersebut.

Jawab:Ukuran sampel (n) untuk penelitian tersebut adalah 244.

Estimasi Beda Dua Rata-rata Populasi: Sampel Independen

• Estimasi titik:

• Estimasi Interval:

)μ(μ )XX( 2121

)μ(μ )XX(atau 1212

E )XX()μ(μ E )XX( 212121

E )XX()μ(μ E )XX(atau 121212

Lanjutan ...

• Contoh kasus estimasi titik

Contoh Kasus 12.

Lembaga riset independen melakukan penelitian untuk membuat estimasi beda antara jarak tempuh per liter bahan bakar minyak (BBM) antara sepeda motor merek AA dan sepeda morot merek BB. Penelitian tersebut menggunakan 40 sepeda motor merek AA dan 35 sepeda motor merek BB. Berdasarkan sempel tersebut diperoleh jarak tempuh rata-rata per liter BBM menggunakan sepeda motor merek AA adalah 48,6 km dan sepeda motor merek BB adalah 52,4 km. Tentukan estimasi beda jarak tempuh rata-rata per liter BBM antara sepeda motor merek AA dan sepeda motor merek BB.

Jawab:

Beda jarak tempuh rata-rata per liter BBM sepeda motor merek AA dan merek BB

dapat diestimasi dengan µ1-µ2 atau dengan µ2-µ1. Jika yang kita gunakan adalah

µ1-µ2, maka hasilnya adalah:

µ1 - µ2 = = 48,6 km – 52,4 km = - 3,8 km

Jika yang kita gunakan adalah µ2-µ1, maka hasilnya adalah:

µ2 - µ1 = = 52,4 km – 48,6 km = 3,8 km

Lanjutan ...

• Menentukan besarnya kesalahan estimasi (E) pada estimasi interval:

• Jika standar deviasi populasi () diketahui dan sampel yang digunakan dalam penelitian besar, maka kesalahan estimasi (E) beda dua rata-rata dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:

1: standar deviasi populasi 1

2: standar deviasi populasi 2

Catatan: Sampel besar adalah ukuran sampel yang diambil dari populasi 1 (n1) dan ukuran sampel dari populasi 2 (n2) lebih dari 30.

2n

22σ

1n

21σ

α/2ZE

Lanjutan ...

Contoh Kasus 13.Suatu penelitian dilakukan untuk membuat estimasi beda antara pengeluaran rata-rata untuk membeli pulsa handphone antara mahasiswa pria dan mahasiswa wanita. Misalnya diketahui standar deviasi pengeluaran untuk membeli pulsa oleh mahasiswa pria adalah Rp24.500 dan mahasiswa wanita adalah Rp18.600. Penelitian ini menggunakan sampel sebanyak 40 mahasiswa pria dan 50 mahasiswa wanita. Berdasatkan sampel tersebut diketahui rata-rata pengeluaran membeli pulsa oleh mahasiswa pria adalah Rp86.400 dan mahasiswa wanita Rp72.350. Buatlah interval estimasi beda pengeluaran rata-rata untuk membeli pulsa antara mahasiswa pria dan mahasiswa wanita dengan tingkan konfidensi 95%.

Jawab:Beda pengeluaran rata-rata untuk membeli pulsa antara mahasiswa pria dan mahasiswa wanita adalah Rp4.872,4 sampai dengan Rp23.227,6.

Lanjutan ...

• Jika standar deviasi populasi () tidak diketahui dan sampel yang digunakan dalam penelitian besar (n1 + n2 -2 30), kesalahan estimasi (E) beda dua rata-rata populasi dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:

s1: standar deviasi sampel 1

s2: standar deviasi sampel 2

2n

22s

1n

21s

α/2ZE

Lanjutan ...

Contoh Kasus 14.Sampel random di perusahaan A sebanyak 400 karyawan diperoleh informasi bahwa upah rata-rata per jam adalah Rp20.000 dan standar deviasi Rp6.000. Sedangkan sampel random karyawan di perusahaan B sebanyak 300 diperoleh informasi bahwa upah rata-rata per jam adalah Rp16.000 dan standar deviasi Rp7.500. Dengan tingkat konfidensi 95%, tentukan estimasi beda upah rata-rata per jam di perusahaan A dan perusahaan B.

Jawab:Estimasi beda (selisih) upah rata-rata yang diterima karyawan antara perusahaan A dan perusahaan B adalah Rp2.967,5 sampai dengan Rp5.032,5 di mana upah rata-rata per jam karyawan lebih tinggi dibandingkan dengan upah rata-rata karyawan per jam di perusahaan B.

Lanjutan ...

• Interval estimasi dapat juga dibuat pada kondisi di mana standar deviasi populasi () tidak diketahui dan sampel yang digunakan dalam penelitian kecil. Kesalahan estimasi (E) beda dua rata-rata populasi dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:

Catatan: Sampel kecil adalah ukuran sampel yang diambil dari populasi 1 (n1) dan ukuran sampel dari populasi 2 (n2) terdapat kurang dari 30. Atau minimal salah satu dari n1 dan n2 kurang dari 30.

21 XXα/2 df.s;tE

2121

222

211

XX n

1

n

1.

2nn

1).s(n1).s(ns

21

Lanjutan ...

Contoh Kasus 15. Sebuah penelitian dilakukan untuk membuat estimasi beda isi air rata-rata pada Air Minum Dalam Kemasan (AMDK) gelas merek SEHAT dan merek SEGAR. Data pada tabel berikut ini diperoleh dari sampel masing-masing merek AMDK.

Buatlah interval estimasi beda rata-rata isi air pada Air Minum Dalam Kemasan (AMDK) gelas merek SEHAT dan merek SEGAR dengan tingkat signifikansi 95%.

Jawab:Estimasi beda (selisih) isi rata-rata AMDK merek SEHAT dengan merek SEGAR adalah 6,44 ml sampai dengan 12,76 ml di mana ini rata-rata AMDK merek SEGAR lebih banyak.

KeteranganMerek AMDK

SEHAT SEGARSampel 12 gelas 14 gelasRata-rata Isi Air per Gelas

235,7 ml 245,3 ml

Standar Deviasi 4,6 ml 3,2 ml

• Setiap sampel memiliki sepasang data (misalnya menggunakan contoh di atas, pasangan data adalah kinerja karyawan sebelum dan sesudah pelatihan).

• Beda atau selisih nilai data populasi diberi simbol d. Dengan demikian, d menunjukkan beda (selisih) antara dua rata-rata parameter populasi yang disetimasi.

• Beda (selisih) rata-rata 2 populasi (d) dapat diestimasi dengan estimasi titik dan estimasi interval. Jika d diestimasi dengan estimasi titik, maka d diestimasi dengan rata-rata beda (selisih) antara data sampel satu dan sampel 2 ( ) yang dihitung dengan menggunakan rumus:

• d = data sampel 1 dikurang data sampel 2 atau dapat juga ditentukan dengan selisih antara data sampel 2 dan data sampel 1.

Estimasi Beda Dua Rata-rata Populasi: Observasi Berpasangan

d

n

dd

Lanjutan ...

• Beda dua rata-rata populasi untuk observasi berpasangan dapat diestimasi menggunakan estimasi interval. Formulasinya adalah sebagai berikut:

• d dapat diformulasikan dengan data sampel 1 dikurang data sampel 2, atau d = X1 – X2 dan dapat juga diformulasikan dengan data sampel 2 dikurang data sampel 1, atau d = X2 – X1.

EdEd d

ddfα/2; .stE

n

ss d

d

1)n(n

)d(dns

22

d

Lanjutan ...

Contoh Kasus 16. Waktu yang dibutuhkan setiap karyawan dalam menyelesaikan satu unit barang sebelum dan sesudah pelatihan adalah sebagai berikut:

Buatlah estimasi interval beda waktu rata-rata yang dibutuhkan karyawan dalam menyelesaikan satu unit produk sebelum dan sesudah pelatihan dengan:a. estimasi titik.b. estimasi interval menggunakan tingkat konfidensi 95%.

Jawab:c. Estimasi titik: 1,5 jamd. Estimasi interval: 0,62 jam s.d. 2,38 jam (sebelum pelatihan

lebih lama daripada sesudah pelatihan).

Karyawan ke..

1 2 3 4 5 6

Sebelum 6 8 7 10 9 7Sesudah 5 6 7 8 7 5

Estimasi Beda Dua Proporsi Populasi

• Estimasi terhadap beda dua proporsi populasi dapat dilakukan dengan menggunakan estimasi titik dan juga dapat digunakan estimasi interval. Jika proporsi populasi 1 adalah 1 dan proporsi

populasi 2 adalah 2, maka estimasi titik dan estimasi interval

beda antara proporsi populasi 1 dan proporsi populasi 2 adalah:

Estimasi titik: p1 – p2 = 1 - 2 atau

p2 – p1 = 2 - 1

Estimasi interval: E)p(p)π(πE)p(p 212121

E)p(p)π(πE)p(patau 121212

Lanjutan ...

• Rumus menentukan proprosi sampel 1 (p1), proporsi sampel 2 (p2), dan standar deviasi proporsi (p) adalah

• Besarnya kesalahan estimasi proporsi (E) adalah

2

22

1

11 n

Xpdan

n

Xp

2

22

1

11p n

)p(1p

n

)p(1pσ

pα/2 σ . ZE

Lanjutan ...

Contoh kasus 17.

Suatu penelitian bertujuan untuk membuat estimasi mengenai beda antara proporsi konsumen menyukai minuman rasa strowberry di pasar I dan pasar II. Penelitian ini menggunakan sampel sebanyak 1.000 responden di masing-masing pasar. Dari 1.000 responden di pasar I terdapat 825 responden yang menyatakan menyukai minuman rasa straoberry dan dari 1.000 responden di pasar II terdapat 760 responden yang menyukai minuman rasa stroberry. Berdasarkan data tersebut

1. buatlah estimasi beda dua proporsi konsumen yang menyukai minuman rasa strowberry antara pasar I dan pasar II dengan tingkat konfidensi 95%.

2. buatlah interval estimasi beda dua proporsi konsumen yang menyukai minuman rasa strowberry antara pasar I dan pasar II dengan tingkat konfidensi 95%.

3. Tentukan kesalahan estimasi beda proporsi konsumen yang menyukai minuman rasa stroberry di pasar I dan di pasar II dengan tingkat konfidensi 95%.

Lanjutan ...

a. Estimasi beda proporsi konsumen yang menyukai minuman rasa stroberry di pasar I dan di pasar II adalah 0,065 atau 6,5% di mana proporsi konsumen yang menyukai minuman rasa stroberry di pasar I lebih tinggi daripada di pasar II.

b. Estimasi beda (selisih) proporsi konsumen yang menyukai minuman rasa strowberry antara pasar I dan pasar II adalah 3% sampai dengan 10% di mana proporsi konsumen yang menyukai minuman rasa strowberry antara pasar I lebih tinggi daripada di pasar II.

c. Kesalahan estimasi kesalahan estimasi beda proporsi konsumen yang suka lipstick rasa stroberry di pasar I dan di pasar II adalah 0,035 atau 3,5%.