Widya Setiafindari

ESTIMASI

Tujuan Pembelajaran Menjelaskan konsep-konsep dasar yang mendukung

pendugaan rata-rata populasi, persentase danvarians

Menghitung dugaan-dugaan (estimates) rata-rata populasi pada tingkat kepercayaan (level of confidence) berbeda-beda jika deviasi standard populasi tidak diketahui ataupun jika diketahui

Menghitung dugaan-dugaan persentase populasipada tingkat kepercayaan yang berbeda-beda

Menghitung dugaan-dugaan varians populasi padatingkat kepercayaan yang berbeda-beda

Memahami kapan dan bagaimana menggunakandistribusi-distribusi probabilitas yang semestinya, yang diperlukan untuk tujuan-tujuan pendugaan

Pokok Bahasan

Pengertian dan Konsep Dasar Estimasi

Pendugaan Mean Populasi

Pendugaan Persentase Populasi

Pendugaan Varians Populasi

Penentuan Ukuran Sampel

Dugaan (Estimate), Pendugaan (Estimation)

dan Penduga (Estimator)

Dugaan (Estimate) :

adalah sebuah nilai spesifik atau

kuantitas daripada sebuah statistik

misalnya: nilai mean sampel, persentase

sampel, atau varians sampel

Penduga (Estimator) :

setiap statistik (mean sampel, persentase

sampel, varians sampel, dan lain-lain) yang

digunakan untuk menduga sebuah parameter

Penduga tak-bias (unbiased estimator) : sebuah

penduga yang menghasilkan suatu distribusi

sampling yang memiliki mean sama dengan

parameter populasi yang akan diduga

Penduga terbaik (best estimator): penduga yang

memenuhi syarat-syarat sebagai suatu penduga

tak-bias dan juga memiliki varians yang terkecil

(minimum)

Dugaan (Estimate), Pendugaan (Estimation)

dan Penduga (Estimator)

Dugaan (Estimate), Pendugaan (Estimation)

dan Penduga (Estimator)

Pendugaan (Estimation) :

Keseluruhan proses yang menggunakan

sebuah penduga untuk menghasilkan

sebuah dugaan daripada parameter

Pendugaan Tunggal (Point Estimation):

angka tunggal yang digunakan untuk

menduga sebuah parameter populasi

Pendugaan Interval (Interval Estimation):

sebaran nilai-nilai yang digunakan untuk

menduga sebuah parameter populasi

Dugaan (Estimate), Pendugaan (Estimation)

dan Penduga (Estimator)

Estimasi

Adalah keseluruhan proses yang

menggunakan sebuah estimator untuk

menghasilkan sebuah estimate dari suatu

parameter.

Jenis Estimasi:

Estimasi titik, sebuah estimate titik dari

sebuah parameter θ adalah suatu angka

tunggal yang dapat dianggap sebagai nilai

yang masuk akal bagi θ.

Estimate titik yang baik diperoleh dengan

memilih statistik yang tepat dan menghitung

nilainya dari data sampel.

Statistik yang dipilih disebut sebagai

estimator titik (point estimator).

Proses mengestimasi dengan suatu angka

tunggal disebut debagai estimasi titik (point

estimation)

Estimasi

Estimasi Interval, sebuah estimate interval

(interval estimate) dari sebuah parameter θ

adalah suatu sebaran nilai-nilai yang

digunakan untuk mengestimasi θ.

Proses mengestimasi dengan suatu sebaran

nilai-nilai disebut estimasi interval (interval

estimation).

Estimasi

Contoh 1

Pabrik ban “Stonebridge” ingin menduga

penjualan rata-rata perhari. Sebuah sampel

harian yang dikumpulkan menghasilkan

rata-rata senilai $ 800. Dalam hal ini telah

dilakukan pendugaan tunggal (point

estimation), dengan menggunakan penduga

(estimator) berupa statistik mean sampel ( )

untuk menduga parameter mean populasi

(µx) dan nilai sampel x = $ 800 sebagai

dugaan (estimates) dari nilai populasi.

Konsep dasar pendugaan interval

mean populasi

Dalam prakteknya hanya satu sampel dari

populasi

Untuk menduga parameter populasi harus

diketahui sesuatu hal mengenai hubungannya

dengan mean-mean sampel.

1. Distribusi Sampling

Konsep distribusi mean-mean sampling

(sampling distribution of the means)

memberikan dasar teoritis bagi estimasi

interval dari mean populassi.

Apabila ukuran sampel cukup besar

maka distribusi mean-mean samplingnya

akan mendekati distribusi

normal/Gaussian.

Dalam kisaran dua error standard (2 ) dari

mean distribusi mean-mean sampling

tercakup 95,46 persen mean-mean sampel

yang mungkin.

Jika pengambilan 1000 sampel yang

ukurannya sama dari suatu populasi,

maka sekitar 954 mean-mean sampel

yang tersebut akan berada dalam kisaran

2 error standard pada kedua sisi dari

mean sampel.

1. Distribusi Sampling

Pertimbangan Lebar Interval

Jika prinsip sebelumnya digeneralisasi,

maka dapat diterapkan berbagai estimate

interval untuk berbagai situasi. Jika

distribusi samplingnya normal, maka

estimate interval untuk mean populasi µx

dapat dibentuk dengan cara:

Pertimbangan Lebar Interval

Tingkat Kepercayaan Dalam estimasi secara statistik selalu

ditetapkan suatu tingkat kepercayaan (level of confidence atau confidence coefficient) terhadap estimate-estimate interval yang dibuat.

Tingkat kepercayaan adalah probabilitas bahwa parameter populasi yang diduga akan termuat dalam interval estimate.

Interval-interval kepercayaan (confidence interval) adalah estimate-estimate interval berdasarkan pada tingkat kepercayaan tertentu.

Batas atas dan batas bawah interval disebut

batas-batas kepercayaan (confidence limit)

Tingkat kepercayaan ditetapkan sebelum

estimasi dilakukan.

Dengan menetapkan tingkat kepercayaan

sebesar 90 persen, artinya seseorang yang

melakukan estimasi tersebut ingin agar 90

persen yakin bahwa mean populasi akan

termuat dalam interval yang diperoleh.

Tingkat Kepercayaan

Menentukan berapa nilai z yang akan

digunakan untuk membentuk estimate

interval yang akan memuat mean populasi

sebanyak 90 persen dari keseluruhan

estimate interval yang dapat dibuat.

Nilai z dapat diperoleh dengan tabel skor z

(dengan prinsip bahwa berlaku kurva

distribusi normal pada distribusi sampling)

Tingkat Kepercayaan

Yang umumnya digunakan untuk estimasi

interval:

Tingkat Kepercayaan

Estimasi Mean Populasi

Ukuran sampel (apakah besar n > 30 atau

kecil n < 30)

Informasi tentang distribusi populasinya

(apakah distribusi normal atau tidak)

Deviasi standard populasinya (diketahui

atau tidak)

Pemilihan jenis distribusi yang menjadi

dasar estimasi.

Mengestimasi Mean jika deviasi standard

diketahui dan ukuran sampel n > 30

Jika deviasi standard populasi ( x) diketahui

dan ukuran sampel (n) lebih dari 30. error

standard mean:

Jika anggota populasi tak terhingga:

Jika anggota populasinya terhingga sejumlah

N:

Estimasi interval mean populasi dapat

dibentuk dengan cara:

Mengestimasi Mean jika deviasi standard

diketahui dan ukuran sampel n > 30

Contoh Seorang manajer di perusahaan kertas “Papirus”

ingin mengestimasi waktu rata-rata yang dibutuhkan oleh sebuah mesin baru untuk memproduksi satu rim kertas. Suatu sampel acak sejumlah 36 rim menunjukkan bahwa rata-rata waktu yang dibutuhkan adalah 1,5 menit untuk setiap rimnya. Informasi dari perusahaan pembuat mesin menyatakan bahwa deviasi standard dari waktu produksi adalah 0,30 menit dan manajer tersebut mengasumsikan hal yang sama dalam estimasinya. Berapa estimate interval yang dapat ditentukan dengan tingkat kepercayaan sebesar 95 persen?

Jawab

Dengan tingkat kepercayaan 95%, nilai z = 1,96. jadi

estimate interval dari nilai waktu rata-rata

sesungguhnya adalah:

Manajer mengestimasi dengan tingkat keyakinan 95

persen bahwa waktu rata-rata untuk memproduksi

1 rim kertas dengan mesin yang baru tersebut

adalah antara 1,402 menit sampai 1,598 menit.

Jawab

Tugas Rumah Perusahaan dagang pipa “ABC” menerima

pengiriman 100 batang pipa, dan petugas pemeriksa bagian kendali mutu ingin mengestimasi diameter rata-rata pipa tersebut untuk mengetahui apakah pipa-pipa tersebut memenuhi standard minimum. Petugas pemeriksa tersebut mengambil 50 pipa sebagai sampel dan diperoleh dari sampel bahwa rata-rata diameter adalah 2,55 inci. Dari data pengiriman selama ini deviasi standard diameter pipa yang diterima adalah 0,07 inci. Tentukan estimate interval dengan tingkat kepercayaan 99 persen.