bab ini akan membahas tentang gerak acak atau random walks atau

8/10/2019 Bab Ini Akan Membahas Tentang Gerak Acak Atau Random Walks Atau

1/10

MAKALAH FISIKA STATISTIK

PEMANFAATAN PERSAMAAN RANDOM WALKS

Makalah ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fisika Statistik dengan

Dosen Pengampu Ahmad Marzuki, S.Si., PhD

Disusun oleh:

Fitria Wahyu Pinilih

S!"#$%$!#

P&'(&AM PAS)ASA&*A+A P&'(&AM STD- P+D-D-KA+ SA-+SFAK/TAS K(&A+ DA+ -/M P+D-D-KA+

+-0&S-TAS S1/AS MA&T S&AKA&TA

%$"#


2/10

Metode random walks dapat digunakan untuk mempela2ari 3anyak

4enomena seperti gerak 1ro5n, peram3atan 6ahaya melalui suatu medium,

pelemparan koin, polimer, 3ahkan pergerakan harga saham dan se3againnya.

(erak 1ro5n merupakan random walksyang dise3a3kan oleh tum3ukan

antara molekul7molekul di dalam gas atau suatu larutan. Se3agai 6ontoh

pergerakan molekul gas oksigen di udara, lintasan gerak setiap molekul 3erupa

garis lurus 82ika tidak ada tum3ukan9 dan 3er3elok 8arah dan ke6epatan 3er3eda

2ika 3ertum3ukan dengan molekul lain9 sehingga lintasan molekul seperti garis

3ergerigi. /intasan yang a6ak ini diperlihatkan pula pada peram3atan 6ahaya

melalui medium seperti 6airan susu. 1entuk polimer 2uga menyerupai 3entuk

gerakan a6ak, tetapi pada polimer ada tam3ahan ketentuan 3ah5a molekul tidak

dapat oerlap. Walaupun random walkspada hal yang 3er3eda terlihat 3er3eda,

tetapi se6ara statistik semua random walksmemiliki si4at yang hampir sama.

Se6ara uniersal mempunyai mekanisme;proses yang sama.

Pada eksperimen dengan se2umlah + koin, 2umlah dari angka7angka

83ernilai " 2ika ke2adian kepala atau 3agian depan dan $ 3erpindah se6ara a6ak


3/10

Misalkan partikel mempunyai peluang 3erpindah ke kanan yaitu p dan ke

kiri ? > " < p. Karena total peluang harus satu maka p @ ? > ". Setelah 3erpindah

se3anyak + kali, untuk mengetahui pro3a3ilitas partikel 3erada pada posisi = >

m/, dimana m adalah 3ilangan 3ulat dengan 6ara se3agai 3erikut:

Diketahui 3ah5a perpindahan maksimum dari partikel terse3ut adalah +

langkah dan m 3ernilai antara 8 n"< n%atau > n"< 8+ < n"9 atau > %n"< + 8!9

Dari rumus di atas 3isa kita simpulkan 3ah5a nilai m 2uga genap 2ika + 3ernilai

genap dan m 3ernilai gan2il 2ika + gan2il.

Diasumsikan setiap langkah dilakukan se6ara independen atau tidak

tergantung pada langkah se3elumnya. *adi setiap langkah kita dapat mem3erikan

peluang p untuk langkah ke kanan dan ? > " < p untuk langkah ke kiri. Karena ada

+ langkah yang independen, maka peluang mendapatkan satu ke2adian n" ke

kanan dan n%ke kiri adalah perkalian dari p se3anyak n"dan ? se3anyak n%.

""%"

%"

nNnnn

nsebanyaknsebanyak

qpqpqqqxppp ==

8#9

Mendapatkan n"langkah ke kanan dan n%ke kiri 3isa diperoleh dengan

3e3erapa 6ara. -ni 3erhu3ungan dengan pengaturan langkah7langkah yang ke

kanan dan ke kiri atau permutasi. *ika ada + langkah, maka permutasi 83anyaknya

pengaturan + hal yang 3er3eda9 adalah +B. Karena ada n"dan n%langkah7langkah

yang sama, maka kita harus mem3agi +B dengan 3anyaknya permutasi n"dan n%

atau n"Bn%B. *adi 3anyaknya kemungkinan mendapatkan + langkah sehingga ada n"

ke kanan dan n%ke kiri adalah

( )BB

B

BB

B

""%" nNn

N

nn

NM

== 8C9


4/10

Se3agai 6ontoh untuk +> % dan +> ! ditun2ukkan pada (am3ar % dan

Ta3el ". Pada (am3ar % terlihat 2elas 3ah5a untuk mendapatkan m> % dengan +>

! ada tiga 6ara atau 2alur yang 3isa dilalui atau digunakan. Dengan 6ara yang sama

kita 3isa memperoleh 3anyaknya 6ara atau 2alur untuk m yang 3er3eda 8lihat Ta3el

"9. Pada (am3ar % dan Ta3el " ditun2ukkan pula 3ah5a 2ika + gan2il, m 2uga

3ernilai gan2il dan 2ika + genap, m 2uga genap.

Ta3el. " *umlah 6ara untuk mendapatkan perpindahan n"langkah ke kanan dan n%langkah ke kiri

n1 n2 m cara

N= 2

2 $ % "

1 " $ %

0 % 7% "

N=

$ ! "

2 " " !

1 % 7" !

0 ! 7! "

(am3ar. %: Partikel mulai dari titik = > $ 3erpindah se6ara a6ak ke kanan dan ke

kiri dengan pro3a3ilitas p dan ? dan setiap langkah 3er2arak / > ".

*adi, pro3a3ilitas untuk langkah n" ke kanan diperoleh dengan mengalikan

pro3a3ilitas untuk satu ke2adian 8Pers. 8#99 dengan 3anyaknya 6ara mendapatkan

hal yang sama 8Pers. 8C99 adalah:

( )( )

""

BB

B

""

"

nNn

N qxpnNn

NnW

= 89


5/10

Pro3a3ilitas ini 3erhu3ungan dengan ekspansi 1inomial yang mempunyai

3entuk se3agai 3erikut:

( )( )=

=+

N

n

nNnNqxp

nNn

Nqp

$ """

""

BB

B8E9

'leh karena itu pro3a3ilitas yang dihasilkan oleh random walks ini adalah

pro3a3ilitas 1inomial.

Kita mengetahui 3ah5a nilai m 3erhu3ungan langsung dengan nilai n"

atau m > %n"< +. *adi 2ika kita tahu terdapat n"langkah ke kanan, maka kita 2uga

tahu nilai m. Dengan kata lain, mengetahui pro3a3ilitas n", ini 3erarti 2uga kita

mengetahui pro3a3ilitas untuk m. *adi pro3a3ilitas untuk partikel pada posisi m

adalah sama dengan pro3a3ilitas untuk n"yaitu

( ) ( )"nWNmPN 89

Karena ( ) ( )mNndanmNn =+=%

"

%

"%" , maka pro3a3ilitas untuk posisi m

adalah:

( ) ( ) ( )%%

B%

B%

B mNmN

N qpmNmN

N

mP

+

+= 89

*ika pro3a3ilitas p dan ? sama, persamaan di atas men2adi le3ih sederhana yaitu:

( )( ) ( )

NmNmN

NmPN

+

=%

"

B%

B%

B

8"$9

)ontoh distri3usi pro3a3ilitas random walks untuk + > "$ dan p > ? > $.C

ditun2ukkan pada (am3ar !.


6/10

(am3ar. !: Distri3usi pro3a3ilitas random walksdengan

+ > "$ dan p > ? > $.C.

Dari pro3a3ilitas Pers. 89, kita dapat memperoleh nilai rata7rata yaitu:

%" nnm = 8""9

pNn =" 8"%9

qNn =% 8"!9

( )Nqpm = 8"#9

( ) Npqmmm #:ar %%

== 8"C9

( ) Npqm %= 8"9

Ketika + 3ernilai 6ukup 3esar, distri3usi pro3a3ilitas terlihat akan le3ih halus.

*ika + G H, nilai pro3a3ilitas W+8n"9 dapat diaproksimasikan dengan:

( ) ( )

=

Npq

Npn

NpqnW

%e=p

%

" %

"

" 8"E9

Atau

( ) ( )

=

%

e=p%

"%

%

""

%"

nnnW 8"9

Fungsi pro3a3ilitas persamaan memenuhi si4at normalisasi. ntuk mem3uktikan

hal itu kita menggunakan rumus 1inomial 8pers.E9.


7/10

( ) ( )

( )

( ) ""

BB

B

$ ""

$

"

"

"

==+=

=

=

=

=

NN

N

n

mnm

N

n

NN

qp

qpnNn

N

nWmP

8"9

+ilai rata7rata "n adalah:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )pNn

qppNn

qpp

pn

qpnNn

Nn

ppn

qp

pp

nNn

Nnn

qpnnNn

Nnn

qpnNn

Nnn

nWnn

N

N

N

n

nNn

N

n

nNn

N

n

nNn

N

n

nNn

N

n

N

=+=

+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

"

"

"

"

$ ""

""

$ ""

""

$

"

""

""

$ ""

""

$

"""

"

""

"

"

"

"

""

"

""

"

BB

B

BB

B

BB

B

BB

B

8%$9

di sini kita menggunakanp

pnppn

N

= "

" dan p @ ? > ". Dari hasil di atas maka

dapat diperoleh nilai rata7rata "n yaitu:

qNpNNnNnNn ==== ""% 8%"9

Sehingga "n > 8p < ?9+. untuk menentukan ariansi dari n", kita harus

menentukan%

"n


8/10

( )

( )

( ) [ ]

( )

( )

( )

( ) pqNnpqNpNn

qpp

pn

qpnNn

Nn

ppn

qp

pp

nNn

Nnn

qpnnNn

Nnn

qpnNn

Nnn

nWnn

N

N

n

nNn

N

n

nNn

N

n

nNn

N

n

nNn

N

n

N

+=+=

+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

%

"

%

"

%

"

$ ""

"

%

"

$

%

""

""

$

%

"

""

""

$ ""

%

""

$

"

%

""

"

""

"

"

"

"

""

"

""

"

BB

B

BB

B

BB

B

BB

B

8%%9

2adi,

( ) pqNnnn == %

"

%

"":ar 8%!9

Standar deiasi yang diperoleh adalah:

pqNn =" 8%#9

Standar deiasi relati4 men2adi,

N

pq

pN

pqN

n

n==

"

"

8%C9

N

" 8%9

ntuk mendapatkan ariansi untuk m, kita menggunakan hasil untuk ariansi n",

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) pqNm

NpNNpNpNpqNNpm

NpNNpNNpNpNm

NpNNpNNnnm

NppNNnnm

NpNNnnm

NqpNnm

mmm

#:ar

#####:ar

####:ar

####:ar

"####:ar

"%##:ar

%:ar

:ar

%%%%%%%%

%%%%%%

%%%%%

"

%

"

%%%

"

%

"

%%

"

%

"

%%

"

%%

=

+++=

++=

++=

++=

+=

=

=

8%E9


9/10

deiasi standar, I8m9:

( ) pqNm %= 8%9

Distri3usi pro3a3ilitas untuk W+8n"9 untuk nilai + yang 3esar. ntuk +

", 4ungsi W+8n"9 mempunyai nilai yang ariasi 3esar di sekitar titik

maksimumnya pada n" > p+, maka kita tidak melakukan pendekatan se6ara

langsung menggunakan W+8n"9. Melainkan kita menggunakan logarithma dari

W+8n"9 yang ariasinya ke6il. Menggunakan pendekatan Taylor di sekitar a >

"n > p+,

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

an

N

an

N

NNdn

nWdan

dn

nWdanaWnW

==

++

""

%

"

"

%%

"

"

"

""

ln

%

"lnlnln

8%9

Karena posisi n"> a mempunyai nilai lnJW+8n"9 maksimum, maka

( )[ ]

an

N

dn

nWd

=""

"ln> $

ntuk mempermudah penurunan rumus, kita akan menggunakan,

( )[ ]

an

N

dn

nWd

=""

"ln> $

( )[ ]

ln98

"

%

"

"

%

"

an

NN

dn

nWdBdananWA

=

=== 8!$9

Pendekatan untuk lnJW+8n"9 men2adi,

( ) ( ) %

"ln98ln

%

"" anBAnWN 8!"9

Atau

( )98

%"

%

"

"

anB

N AenW

8!%9

Menggunaan &umus Stirling untuk 4aktorial,

ln9Bln8 xxxx 8!!9

"ln9Bln8

> xuntukxdx

xd8!#9


10/10

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) qnNpnnNnNnWN lnlnBlnBlnBln98ln """"" ++= 8!C9

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) qnNpnnNnNnnNNnWN lnlnlnBlnln98ln """"""" ++= 8!9Turunan pertama untuk persamaan di atas terhadap n",

( )( )( ) ( ) qpnNn

dn

nWd N lnlnlnlnln

""

"

" ++= 8!E9

ntuk titik maksimum dari distri3usi lnJW+8n"9 terletak pada posisi:

( )[ ]( ) ( ) qpaN

dn

nWd

an

N lnlnlna7lnln

"

%

"

"

%

++=

=

8!9

p

q

a

aN=

8!9

"npNa == 8#$9

Lasil ini sesuai dengan hasil se3elumnya. Turunan kedua adalah

( )[ ]

""

%

"

"

%"

n

"7

ln

nNdn

nWd N

= 8#"9

sehingga, koe4isien 1 men2adi

( )[ ]

%

%

"

"

%

"

"

"""

p+

"

a7+"ln

"

=

=+

=

+=

+=

+===

B

pqNpqN

pqB

qNpNpNNB

adn

nWdB

an

N

8#%9

Koe4isien A dengan melakukan proses normalisasi diperoleh,

%%

"

%

"

==

NpqA 8#!9

*adi dihasilkan se3uah distri3usi (auss,

( ) ( )

=

%

%

""

%"

%e=p

%

"

nnnW 8##9

bab ini akan membahas tentang gerak acak atau random walks atau

Documents