bab iii estimasi model probit terurut - powered by gdl4.2 · pdf fileestimasi ordered probit...

25

BAB III

ESTIMASI MODEL PROBIT TERURUT

3.1 Pendahuluan

Model penurunan kondisi jembatan diestimasi dengan model probit

terurut. Estimasi terhadap parameter model probit terurut yaitu koefisien model

iβ dan threshold ijγ dilakukan dengan metode maksimum likelihood dengan

melibatkan peluang.

Setelah parameter dari model probit terurut didapat, dilakukan beberapa

tahap pengujian untuk mendapatkan model yang paling sesuai dan representatif.

Pengujian ini meliputi pengujian normalitas error yang menjadi asumsi awal

dalam model probit terurut. Selain itu, pengujian signifikansi koefisien juga

dilakukan untuk mendapatkan model dengan koefisien yang mempunyai pengaruh

yang signifikan.

Pada Sub bab 2.8 sebelumnya, telah dibahas mengenai model probit

terurut sebagai model penurunan kondisi jembatan. Selanjutnya pada bab ini akan

dibahas mengenai estimasi model probit terurut penurunan kondisi jembatan.

Estimasi ini meliputi estimasi koefisien koefisien iβ dan threshold ijγ yang

melibatkan peluang dengan metode maksimum likelihood. Selain itu juga dibahas

mengenai uji signifikansi koefisien iβ secara simultan dan individual untuk

menghasilkan model yang paling sesuai.

3.2 Estimasi Koefisien Model Probit Terurut

Bentuk persamaan model probit terurut seperti yang sudah dinyatakan

pada persamaan (2.21) dan (2.22) yaitu:

log inniin XU εβ += '

dan jZin = jika )1( +<≤ jiinij U γγ untuk imj −= ,..,0

ijiii γγγγ <<<<= ...0 210

ESTIMASI ORDERED PROBIT MODEL

Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan

26

dimana

Uin = laten penurunan kondisi untuk fasilitas n dalam state i

βi’ = koefisien persamaan yang akan diestimasi

Xn = variabel paling berpengaruh dari fasilitas n

εin = error, (0,1)i Nε :

Zin = perubahan kondisi pada fasilitas n

γij = threshold

i, j = nilai kondisi

m = nilai kondisi terendah

Dari persamaan-persamaan di atas, terdapat koefisien yang belum

diketahui yaitu threshold γij, i = 0,1,...,m, dan j = 0,1, ...,m-i. Koefisien ini akan

diestimasi bersamaan dengan estimasi koefisien β yang juga belum diketahui.

Dengan melakukan substitusi persamaan (2.21) pada persamaan (2.22) di

bagian threshold, akan didapat persamaan sebagai berikut:

;jZin = jika ),log(')log( )1( +<+≤ jiinniij X γεβγ imj −= ,...,0 (3.1)

Selanjutnya, dengan mengurangkan persamaan (3.1) di bagian threshold dengan

ni X'β akan didapat persamaan (3.2) di bawah ini, yaitu

;jZin = jika ,')log(')log( )1( nijiinniij XX βγεβγ −<≤− + ij ,...,0= (3.2)

Diasumsikan bahwa error εin berdistribusi Normal baku, dilambangkan

εin~N(0,1). Hal ini mengakibatkan εin mempunyai fungsi distribusi kumulatif

Normal yang diberi lambang Φ(εin). Peluang transisi dari nilai kondisi i ke nilai

kondisi i+j untuk sebuah fasilitas selama periode inspeksi adalah peluang dimana

perubahan dalam state kondisi, Zin, sama dengan j. Peluang ini sama dengan luas

daerah di bawah kurva distribusi kumulatif Φ(εin) yang dibatasi oleh threshold

Xiij 'log βγ − dan threshold niji X'log )1( βγ −+ (Madanat, 1995). Hal ini

dinyatakan dalam persamaan (3.3) sebagai berikut:

( 1)( ) (log ' log ' )in ij i n in i j i np Z j p X Xγ β ε γ β+= = − ≤ < − ; (3.3)

untuk imj −= ,...,0

Persamaan (3.3) ini ekivalen dengan persamaan



27

);'(log)'(log)( )1( niijnijiin XXjZp βγβγ −Φ−−Φ== + (3.4)

untuk imj −= ,...,0

Misalkan log γij = δij, maka didapat persamaan peluang yaitu:

);'()'()( )1( niijnijiin XXjZp βδβδ −Φ−−Φ== + untuk imj −= ,...,0 (3.5)

Ilustrasinya adalah sebagai berikut :

Gambar 3.1 Peluang probit dibatasi dengan threshold

Setelah mendapatkan persamaan (3.6) di atas, akan dilakukan estimasi

terhadap nilai koefisien koefisien βi dan threshold )(10 ,...,, imiii −γγγ . Dengan

langkah-langkah metode estimasi maksimum likelihood (MLE) akan dicari nilai

estimasi dari koefisien β dan threshold )1(10 ,...,, −iiii γγγ secara simultan. Metode

estimasi ini dipilih karena sifatnya yang konsisten, berdistribusi normal asimtotik

dan efisien. Selain itu juga dapat memberikan variansi asimtotik terkecil di bawah

semua estimator asimtotik normal.

Fungsi likelihood dari model probit terurut untuk nilai kondisi i adalah

sebagai berikut :

∏∏=

−−

=

==Ni

n

im

j

dini

njjZpL1

1

0

)( (3.6)

dimana

Li = fungsi likelihood dari model probit terurut untuk state kondisi i

Zin = perubahan kondisi pada fasilitas n

Ni = total jembatan yang berada pada nilai kondisi i

dnj = variabel dummy , dnj = 1 jika Zin =j dan dnj = 0 jika Zin ≠ j.

0 1 m-i-1 m-i

…δi0-βi’Xn δi(m-1)-βi’Xn δi1-βi’Xn δi(m-i-1)-βi’Xn



28

Persamaan log likelihood dari persamaan (3.6) di atas adalah :

1 0

* log{ ( )} ( )N m i

i in inn j

L p Z j I Z j−

= =

= = =∑∑ (3.7)

dimana ( ) 1 jika dan ( ) 0 jikain in in inI Z j Z j I Z Z j= = = = ≠ .

Persamaan (3.7) ekivalen dengan persamaan (3.8) di bawah ini :

*( 1)

1 0log { ( ) ( )} ( )

N m i

i i j i in ij i in inn j

L X X I Z jδ β δ β−

+= =

= Φ − −Φ − =∑∑ (3.8)

Untuk memperoleh nilai estimasi dari setiap koefisien iβ dan nilai

threshold, dilakukan metode maksimum likelihood dengan memaksimumkan

fungsi (3.8) di atas dengan membuat turunannya terhadap βi dan δij sama dengan

nol, yaitu

*

0i

i

Lβ

∂=

∂ dan

*

0i

ij

Lδ∂

=∂

(3.9)

Secara matematis, pemaksimuman fungsi log likelihood adalah sebagai berikut:

( 1)

1 0 ( 1)

( ) ( )* ( ) 0( ) ( )

N m ii j i in ij i ini

in inn ji i j i in ij i in

X XL X I Z jX X

φ δ β φ δ ββ φ δ β φ δ β

−+

= = +

− − + −∂= = =

∂ − − −∑ ∑ (3.10)

( 1)

1 ( 1)

( 1)

( 1)

( )* ( )( ) ( )

( )( 1) 0

( ) ( )

Ni j i in

innij i j i in ij i in

i j i inin

i j i in ij i in

XLi I Z jX X

XI Z j

X X

φ δ βδ φ δ β φ δ β

φ δ βφ δ β φ δ β

+

= +

+

+

⎛ −∂= =⎜⎜∂ − − −⎝

−− = + =

− − −

∑ (3.11)

dimana ( )φ ε adalah fungsi distribusi Normal, merupakan turunan dari fungsi

distribusi kumulatif Normal ( )εΦ .

Untuk model probit terurut, metode Newton yang dimodifikasi adalah

metode yang paling tepat untuk mengestimasi koefisien koefisien βi dan

threshold. Dengan metode tersebut, koefisien yang diestimasi dicari dengan

mengikuti gradien. Beberapa iterasi dilakukan sehingga didapat koefisien yang

paling sesuai.

Untuk memudahkan perhitungan, perlu dilakukan penentuan constrain

awal untuk threshold. Constrain awal yang biasa digunakan adalah 0δ = seperti

yang digunakan dalam program LIMDEP (Garson, 1998).



29

3.3 Pengujian Normalitas Error

Untuk model probit terurut yang didapat melalui hasil estimasi, perlu

dilakukan suatu pengujian untuk melihat kesesuaiannya dengan asumsi awal

digunakan. Asumsi awal yang diuji yaitu bahwa error berdistribusi normal

dengan rata-rata dan variansi tertentu, dinotasikan εin ~ N(µ,σ2).

Nilai error didapat dari persamaan (3.3) dan (3.4) sebagai berikut:

( 1)( ) (log ' log ' )in ij i n in i j i np Z j p X Xγ β ε γ β+= = − ≤ < −

( 1)( ) (log ' ) (log ' )in i j i n ij i np Z j X Xγ β γ β+= = Φ − −Φ − .

Sehingga untuk masing–masing jembatan, error dihitung dengan langkah–

langkah sebagai berikut:

a. Mengalikan estimasi koefisien dengan variabelnya masing–masing (βiXn).

b. Kurangkan threshold dengan βiXn, kemudian hitung nilai cdf normal-nya.

c. Hitung peluang untuk masing–masing selisih perubahan kondisinya.

d. Error didapat dari titik yang dihasilkan oleh peluang di atas.

Uji normalitas dilakukan dengan pendekatan grafis, yaitu normal

probability plot. Dasar pengambilan keputusan dilakukan dengan melihat

penyebaran data (titik) pada sumbu diagonal dari grafik yaitu:

a. Jika data menyebar acak di sekitar garis diagonal dan mengikuti arah garis

diagonal, maka model secara deskriptif memenuhi asumsi normalitas.

b. Jika data menyebar jauh dari garis diagonal atau tidak mengikuti arah garis

diagonal, maka model secara desksriptif tidak memenuhi asumsi

normalitas.

3.4 Pengujian Signifikansi Koefisien Model Probit Terurut

Setelah didapat hasil estimasi, tahap pengujian selanjutnya adalah menguji

signifikansi koefisien model. Hal ini dilakukan untuk menganalisa besarnya

pengaruh dari setiap variabel independen terhadap variabel dependen didalam

model yang dihasilkan. Pengujian dilakukan terhadap setiap koefisien yang

dihasilkan baik secara simultan (bersama-sama) maupun secara individual

(sendiri-sendiri).



30

Dalam pengujian secara simultan (bersama-sama) akan ditunjukkan

apakah semua variabel independen yang dimasukkan dalam model mempunyai

pengaruh secara bersama-sama terhadap variabel dependen. Dari hasil pengujian,

diharapkan didapat model yang paling signifikan. Jika pengujian signifikansi

koefisien secara simultan menghasilkan kesimpulan bahwa model signifikan,

maka semua variabel independen yang dimasukkan dalam model mempunyai

pengaruh secara bersama-sama terhadap variabel dependen. Model ini dapat

digunakan sebagai model penurunan kondisi jembatan. Namun jika dari pengujian

signifikansi koefisien secara simultan dihasilkan kesimpulan bahwa model tidak

signifikan, maka perlu dilakukan pengkajian ulang terhadap variabel independen

yang dimasukkan dalam model.

Dalam pengujian signifikansi koefisien secara individual akan ditunjukkan

signifikansi masing-masing variabel independen secara individual terhadap

variabel dependen. Jika pengujian signifikansi koefisien secara individual

menghasilkan kesimpulan bahwa koefisien signifikan, maka variabel independen

memberikan pengaruh yang signifikan dalam model. Namun jika pengujian

signifikansi koefisien secara individual menghasilkan kesimpulan bahwa koefisien

tidak signifikan, maka variabel independen tidak memberikan pengaruh yang

signifikan dalam model. Variabel tersebut dapat dikeluarkan dari model.

Dalam penentuan parameter model digunakan estimasi dengan metode

maksimum likelihood. Sehingga dalam pengujian signifikansi koefisien digunakan

prosedur pengujian yang sering digunakan dalam estimasi maksimum likelihood.

Pengujian secara simultan dilakukan dengan likelihood ratio test sedangkan

pengujian secara individual dilakukan dengan Wald test (Greene, 1993).

Prosedur pengujian signifikansi koefisien model probit terurut yang

dilakukan adalah sebagai berikut:

a. Pengujian secara simultan dengan likelihood ratio test

Hipotesis untuk pengujian secara simultan adalah sebagai berikut:

0 1 2: ... 0kH β β β= = = = (3.12)

1 : 0, 1, 2, ,iH i i kβ∃ ∋ ≠ = L (3.13)



31

dimana k = banyaknya koefisien.

Hipotesis nol (H0) di atas memiliki arti bahwa semua variabel

independen bukan merupakan penjelas yang signifikan terhadap variabel

dependen. Sedangkan hipotesis alternatifnya (H1) memiliki arti bahwa

semua variabel independen secara simultan merupakan penjelas yang

signifikan terhadap variabel dependen.

Statistik uji yang digunakan dalam likelihood ratio test menurut

Agresti (1996) adalah sebagai berikut: 2

1 02(log log )iG L L= − (3.14)

dimana 2iG = statistik uji likelihood ratio test

0L = maksimum likelihood untuk model nol

1L . = maksimum likelihood untuk model penuh.

Uji ini mengikuti distribusi Chi-square (χ2) dengan derajat

kebebasan (df)= k. Nilai χ2 tabel sebagai titik kritis didapat dengan tingkat

signifikansi α dan derajat kebebasan k, dengan k adalah jumlah variabel.

Pengambilan keputusan untuk likelihood ratio test didasarkan pada

hal berikut, yaitu :

Tolak H0 jika Gi2 > χ2 tabel atau jika p-value [Gi

2 model> χ2 tabel] >α.

Terima H0 jika Gi2 < χ2 tabel atau jika p-value [Gi

2 model> χ2 tabel]< α.

b. Pengujian secara individual dengan uji Wald

Hipotesis untuk pengujian secara individual adalah sebagai berikut:

H0 : βi=0 (3.15)

H1 : βi≠0 (3.16)

dimana i = 1, 2, ..., k dan k = banyaknya koefisien/ parameter.

Hipotesis nol (H0) di atas memiliki arti bahwa suatu variabel

independen tidak memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel

dependen. Jika nilai koefisien suatu variabel independen sama dengan nol,

maka variabel independen tersebut dianggap tidak memiliki pengaruh

yang signifikan. Hipotesis alternatifnya (H1) menyatakan bahwa suatu



32

variabel independen memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel

dependen. Jika nilai koefisien suatu variabel independen tidak sama

dengan nol, maka variabel independen tersebut dianggap tidak memiliki

pengaruh yang signifikan.

Statistik uji yang digunakan dalam uji Wald menurut Greene

(1993) adalah sebagai berikut :

W = z2 = 2

)ˆ(|0ˆ|⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

ββs

(3.17)

=)ˆ()0ˆ( 2

ββ

Var− (3.18)

dimana

W = statistik Wald

z = statistik normal standar

β̂ = koefisien model

s( β̂ ) = asimtotik standar error

Var ( β̂ ) = variansi.

Uji ini mengikuti distribusi Chi kuadrat (χ2) dengan derajat

kebebasan (df) 1, yang merupakan distribusi dari z2. Nilai χ2 tabel sebagai

titik kritis didapat dengan tingkat signifikansi α dan derajat kebebasan

k=1.

Pengambilan keputusan untuk Wald test didasarkan pada hal

berikut, yaitu :

Tolak H0 jika W> χ2 tabel atau jika p-value variabel model > α

Terima H0 jika W < χ2 tabel atau jika p-value variabel model> α

Tingkat signifikansi α menyatakan peluang menolak H0 padahal H0 benar.

Tingkat signifikansi α dapat juga berarti risiko maksimal yang dapat ditolerir

untuk menolak sesuatu yang telah diberikan. Tingkat signifikansi α=5% berarti

dalam 100 kali pengambilan keputusan, 5 kali salah karena menolak sesuatu yang

benar. Diharapkan tingkat signifikansi kecil agar tingkat kesalahan semakin kecil.



33

Dalam melakukan uji signifikansi koefisien, tingkat signifikansi

ditentukan tergantung masalah. Dalam kasus ini, berkaitan dengan penurunan

kondisi jembatan.

3.5 Perhitungan Peluang Transisi Nilai Kondisi

Setelah didapat model dengan nilai estimasi dari parameter βi dan

threshold, maka peluang transisi untuk setiap nilai kondisi dapat dicari. Peluang

transisi ini menyatakan besarnya peluang terjadinya penurunan kondisi jembatan

dari satu kondisi ke kondisi lain pada waktu tertentu.

Peluang transisi untuk semua perubahan nilai kondisi i pada jembatan

dihitung sebagai berikut :

)'ˆˆ(1),|(ˆ

.

.

.)'ˆˆ()'ˆˆ(),|2(ˆ

)'ˆˆ()'ˆˆ(),|1(ˆ

)'ˆˆ(),|0(ˆ

)2(

12

01

0

nimin

niiniin

niiniin

niin

XFiXimjp

XFXFiXjp

XFXFiXjp

XFiXjp

βγ

βγβγ

βγβγ

βγ

−−=−=

−−−==

−−−==

−==

−

(3.19)

dimana p̂ ( j=i | Xn,i ) = peluang transisi perubahan nilai kondisi dari nilai kondisi

i ke nilai kondisi (i+j). Untuk tujuan pengambilan keputusan pemeliharaan dan rehabilitasi

dimana metode optimasi digunakan, rata-rata peluang transisi dibutuhkan.

Penghitungan rata-rata peluang transisi ini dilakukan dengan menggunakan

persamaan sebagai berikut:

∑=

=x

x

N

nn

x

Nij iXjp

Np

1);,|(ˆ1ˆ imj −= ,....,0 (3.20)

dimana xNjip )1(ˆ + = rata-rata peluang transisi

),|(ˆ iXjp n = peluang transisi perubahan nilai kondisi dari nilai kondisi i ke

nilai kondisi (i+j) pada suatu kelompok nilai kondisi



34

Xn = vektor variabel bebas jembatan

Nx = jumlah fasilitas pada suatu kelompok nilai kondisi

G = jumlah kelompok.

Dari hasil perhitungan dengan persamaan di atas maka akan diperoleh matriks

peluang transisi untuk semua perubahan nilai kondisi sebagai berikut:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

100000ˆˆ0000ˆˆˆ000ˆˆˆˆ00ˆˆˆˆˆ0ˆˆˆˆˆˆ

4544

353433

25242322

1514131211

050403020100

pppppppppppppppppppp

P (3.21)

dimana xijp̂ = peluang transisi perubahan nilai kondisi dari nilai kondisi i ke nilai

kondisi (i+j ).

3.6 Penentuan Model Penurunan Kondisi Jembatan

Langkah–langkah dalam menentukan model penurunan kondisi jembatan

dengan model probit terurut adalah sebagai berikut:



35

Gambar 3.2 Bagan aliran langkah penentuan model penurunan kondisi jembatan

dengan model probit terurut

DATA JEMBATAN Data Nilai Kondisi Jembatan Data Perubahan Nilai Kondisi Jembatan Data Panjang Bentang Jembatan Data Lebar Jembatan Data Umur Jembatan Data AADT

Pembagian kelompok berdasarkan data nilai kondisi awal jembatan

PENGOLAHAN LIMDEP Estimasi parameter dengan MLE

Estimasi koefisien β Estimasi threshold δ atau γ

UJI NORMALITAS ERROR

MODEL PROBIT TERURUT

UJI SIGNIFIKANSI Likelihood ratio test Wald test

signifikan

belum signifikan

Ordered probit

MODEL PENURUNAN KONDISI JEMBATAN

bab iii estimasi model probit terurut - powered by gdl4.2 · pdf fileestimasi ordered probit...

Documents