3  

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Ikan

2.1.1 Ikan Lele Dumbo (Clarias sp.)

Ikan lele Dumbo merupakan hibrida dari jenis Clarias fuscus untuk induk betina yang

merupakan lele asal Taiwan dengan induk jantan yang berasal dari Afrika yaitu jenis Clarias

mosambicus (Suyanto, 1992) sehingga lele dumbo bukanlah merupakan lele yang berasal dari

indonesia.

Ikan lele merupakan ikan yang hidup di air tawar. Secara alami ikan ini bersifat

nocturnal, yang artinya aktif pada malam hari atau lebih menyukai tempat yang gelap

(Blaxer, 1969). Ikan ini bersifat karnivor, mempunyai bentuk tubuh yang memanjang dan

berkulit licin (Chen, 1976). Bentuk kepala pipih (depress) dan disekitar mulutnya terdapat

empat pasang sungut. Pada sirip dadanya terdapat patil atau duri keras yang digunakan untuk

mempertahankan diri dan kadang-kadang dipakai untuk berjalan di permukaan tanah (Huet,

1972). Ikan lele mempunyai organ arboresent yang merupakan alat pernapasan tambahan dan

memungkinkan ikan ini untuk mengambil oksigen dari udara di luar air ( Viveen et al., 1987).

Klasifikasi Ikan lele dumbo menurut Saanin (1984) dan Suyanto (1992) adalah

sebagai berikut:

Filum : Chordata

Kelas : Pisces

Subkelas : Teleostei

Ordo : Ostariophysi

Subordo : Siluroide

Famili : Clariidae

Genus : Clarias

Spesies : Clarias sp.

Untuk lebih jelas bagaimana bentuk ikan lele, perhatikan Gambar 1 dibawah ini

Gambar 1. Clarias sp (www.wikipedia.com)

4  

Tubuh ikan lele dumbo cenderung lebih panjang dan lebih besar dari pada lele lokal pada usia

yang sama Pada tubuhnya ada titik-titik putih membentuk garis memotong. Indra penglihatan

lele dumbo kurang baik karena ukuran mata yang kecil namun terdapat alat peraba berupa

empat pasang sungut yaitu satu pasang sungut hidung, satu pasang sungut maksilar dan dua

pasang sungut mandibula (Najiyati, 1992).

2.1.2 Ikan Mas (Cyprinus carpio)

Ikan mas memiliki tubuh memanjang dan sedikit pipih kesamping. Mulut terletak di

ujung tengah dan dapat disembulkan. Ikan ini mempunyai dua pasang sungut. Sungut inilah

yang merupakan salah satu pembeda antara ikan mas dengan mas koki. Ikan mas termasuk

omnivore. Suhu dan pH air untuk pertumbuhan optimal adalah 20-25 oC dan 7-8 (Susanto,

2007)

Klasifikasi ikan mas menurut Saanin (1968) dan Tim Lentera (2002) adalah sebagai

berikut:

Kingdom : Animalia

Filum : Chordata

Subfilum : Vertebrata

Superkelas : Pisces

Kelas : Osteichthyes

Subkelas : Actinopterygii

Ordo : Cypriniformes

Subordo : Cyprinoidea

Famili : Cyprinidae

Genus : Cyprinus

Spesies : Cyprinus carpio

Bentuk ikan mas diberikan pada Gambar 2 dibawah ini

Gambar 2. Cyprinus carpio (www.wikipedia.com)

5  

2.1.3 Ikan Nila Hitam (Oreochromis niloticus)

Ikan nila hitam merupakan jenis ikan air tawar yang memiliki toleransi yang tinggi

terhadap perubahan lingkungan, tahan terhadap serangan penyakit serta ikan ini termasuk

hewan pemakan segala (omnivore) (Margolang 2009).

Ikan nila mempunyai sirip punggung, sirip dubur dan sirip perut yang masing-masing

mempunyai jari-jari keras dan jari-jari lunak yang tajam seperti duri (Suyanto 1994). Ikan

nila hidup di sungai, rawa, danau, waduk dan sawah. Pada daerah tropis ikan nila hidup dan

tumbuh dengan baik sepanjang tahun pada lokasi sampai ketinggian 500 m diatas permukaan

laut (Direktorat Jendral Perikanan 1991).

Klasifikasi ikan nila menurut Trewavas (1982) dalam Suyanto (1994) adalah sebagai

berikut:

Filum : Chordata

Subfilum :Vertebrata

Kelas : Osteichytes

Subkelas : Acanthopterigii

Ordo : Percomorphi

Famili : Cichlidae

Genus : Oreochromis

Spesies : Oreochromis niloticus

Gambar 3 di bawah ini merupakan bentuk dari ikan nila hitam.

Gambar 3. Oreochromis niloticus (www.wikipedia.com)

2.2 Prinsip Kerja Hidroakustik

Deteksi dengan pengukuran gema ikan secara akustik memungkinkan untuk

menganalisis tingkah laku penyebaran, dan struktur ikan. Semua penelitian ikan secara

akustik, didasari oleh evaluasi kepadatan relative (Petit and Cotel, 1996). Metode yang

sedang dikembangkan saat ini adalah metode integrasi gema. Perkembangan teknologi ini

6  

semakin maju, membawa kita pada penerapan teknologi yang menggunakan echosounder dan

echointegrator. Teknologi ini telah membawa revolusi dalam dunia eksplorasi sumber daya

alam perairan. Sistem konvensional dalam penentuan daerah penangkapan oleh nelayan, kini

lebih terbantu lagi dengan metode akustik yang dapat menjadi referensi tepat dalam

penentuan daerah penyebaran ikan. Peralatan echo integrator digunakan untuk mendapatkan

integrasi sinyal echo dari echosounder beam tunggal, beam ganda, maupun beam terbagi atau

sonar konvensional. Tingkat ketepatan teknik ini sangat tinggi dan menguntungkan, sehingga

dapat digunakan sebagai penduga kelimpahan ikan di suatu perairan (Kailola dan Trap, 1984

dalam Natsir et.al., 2005).

Beberapa keunggulan dan keuntungan yang di dapat dengan menggunakan peralatan

metode akustik dalam pendugaan kelimpahan dan distribusi kelompok ikan (MacLennan and

Simmonds, 2005):

(1) Menghasilkan informasi tentang distribusi dan kelimpahan ikan secara tepat dan

mencakup kawasan luas.

(2) Pendugaan stok ikan dilakukan secara langsung tanpa harus bergantung kepada data

statistic perikanan

(3) Memiliki ketelitian dan ketepatan tinggi serta dapat digunakan saat metode lain tidak

bisa dgunakan

(4) Tidak berbahaya atau merusak karena frekuensi suara yang digunakan tidak

membahayakan bagi pemakai alat maupun target survey.

Prinsip dari pengoperasian metode akustik adalah dimulai dari timer yang berfungsi

sebagai penanda pulsa listrik untuk mengaktifkan pemancaran pulsa yang akan dipancarkan

oleh transmitter melalui transducer. Selanjutnya, transducer mengubah energi listrik menjadi

energi suara ketika suara akan dipancarkan ke medium. Gelombang akustik yang merambat

di kolom perairan akan mengenai target seperti ikan atau dasar perairan dimana gelombang

akustik ini akan dipantulkan kembali dalam bentuk echo dan akan diterima oleh transducer

dan mengubahnya menjadi energi listrik dan diteruskan ke receiver amplifier ini, sinyal

listrik lemah yang dihasilkan oleh transducer setelah echo diterima harus diperkuat beberapa

ribu kali sebelum diteruskan ke unit peraga untuk ditampilkan dalam bentuk echogram

(MacLennan and Simmonds, 2005)

7  

FAO (1985) menjelaskan gangguan yang biasa terjadi dalam menjalankan metode

akustik disebut noise. Noise merupakan sinyal yang tidak diinginkan yang dapat terjadi

karena beberapa faktor seperti:

(1) Faktor fisik : angin, pecahan ombak, turbulensi

(2) Faktor biologi : suara dan pergerakan binatang dibawah air

(3) Faktor artificial : deruman mesin kapal, baling-baling kapal, dan aliran air di

sekitar kapal.

2.2.1 Single-Beam Echosounder

Single-beam echosounder merupakan instrumen akustik yang paling sederhana

dengan memancarakan beam tunggal sehingga kita dapat informasi tentang kedalaman dan

target yang dilaluinya. Dengan menggunakan berbagai frekuensi yang berbeda pada

echosounder dan beam-width yang berbeda akan didapatkan hasil yang berbeda pula.

Frekuensi yang digunakan pada umumnya untuk aplikasi deteksi ikan adalah 38 kHz, 120

kHz, 200 kHz atau 420 kHz sedangkan beam –width yang digunakan berkisar antara 5o-

15o(MacLennan and Simmonds, 2005). Pada penelitian ini digunakan frekuensi 200 kHz dan

beam-width 6o.

Gambar 4. Salah satu contoh beam pattern dari BioSonics dengan frekuensi 200 Khz lebar

beam 6o dan side lobes -35dB sampai -30 dB (Solid line). Beam 5.5o dengan side lobes

sekitar -18 dB (dotted line). Sumber : (MacLennan and Simmonds, 2005)

8  

Gambar 5. Komponen single-beam echosounder pada kapal Sumber: Ozcoast (2009)

Hasil dari deteksi yang dilakukan echosounder ini selanjutnya akan ditampilkan

dalam bentuk echogram. Tampilan pada echogram berupa warna-warna yang memiliki

karakteristik sendiri, biasanya sinyal yang kuat ditandai dengan warna merah/hitam lalu

berurut secara mundur biru/abu-abu menunjukan sinyal lemah (MacLennan and Simmonds,

2005)

9  

Gambar 6. Echogram Sumber : MacLennan and Simmonds (2005)

Konsep pada single-beam echosounder dari mendeteksi target sampai

menampilkannya pada echogram dapat dilihat pada gambar dibawah ini

Gambar 7. Prinsip kerja single-beam echosounder Sumber : McLennan and Simmonds (2005)

10  

2.2.2 Near Field dan Far Field

Menurut Lurton (2002) pada saat transducer memancarkan suara maka akan terjadi

perpindahan energi pada lingkungan. Energi yang dipancarkan oleh transducer ke suatu

medium dapat menghilang seiring perambatan suara pada medium tersebut. Proses hilangnya

energi tersebut bergantung pada jarak antara titik observasi terhadap transducer. Terdapat dua

zona dimana terjadi perpindahan energi saat suara dipancarkan, zona tersebut adalah Near

field dan Far field.

Near Field (zona Fresnel) merupakan zona adanya pengaruh dari titik-titik yang

berbeda fase satu dengan lainnya pada saat transducer mentransmisikan suara (Lurton, 2002).

Sedangkan menurut MacLennan and Simmonds (2005), Near Field merupakan jarak dari

permukaan transducer sampai kejarak dimana terjadi fluktuasi yang tinggi dari intensitas atau

tekanan. Far field (zona Fraunhofer) adalah zona terjadinya perbedaan sinyal karena

pengaruh interferensi yang hilang pada wilayah tersebut. Intensitas berkurang seiring

bertambahnya kedalaman. Menurut MacLennan and Simmonds (2005), Far field merupakan

jarak dimana terjadinya fluktuasi intensitas suara ketika ditransmisikan transducer.

Menurut Larson, Brain F. (2001) jarak Near Field dapat diformulasikan sebagai

berikut :

……………………………………………………………….. (1)

Gambar 8. Ilustrasi daerah zona Fresnel (Near Field) dan zona Fraunhofer (Far Field) Sumber : (MacLennan and Simmonds, 2005)

11  

dengan a sebagai diameter transducer dan adalah panjang gelombang pulsa dari transducer

2.2.3 Kecepatan Suara

Nilai kecepatan suara di laut tidak lah konstan melainkan bervariasi antara 1450 m/s

hingga 1550 m/s. variasi ini dipengaruhi oleh suhu, salinitas, dan kedalaman. Selain terhadap

suhu dan salinitas, kecepatan juga berubah dengan adanya perubahan frekuensi atau panjang

gelombang suara yang dipancarkan menurut persamaan dimana c adalah

kecepatan suara, adalah panjang gelombang dan f adalah frekuensi. Menurut MacKaenzie

(1981) dan Munk et al. (1995) in Stewart (2007), hubungan kecepatan suara dengan suhu,

salinitas dan tekanan dapat digambarkan melalui persamaan berikut

1448.96 4.591 0.05304 0.0002374 0.01630 1.340

0.01025 35 1.675 10 7.139 10 …….(2)

Keterangan :

C = kecepatan suara (m/s)

T = suhu (oC)

S = Salinitas (permil)

Z = Kedalaman (m)

Pengukuran kecepatan suara di perairan dilaksanakan dengan tujuan untuk

menentukan dan memastikan ada atau tidaknya perubahan sifat fisik tersebut di media,

dimana gelombang bunyi dipancarkan sehingga ada kemungkinan terjadi perubahan

kecepatan gelombang bunyi selama penjalarannya (MacLennan and Simmonds, 2005).

2.2.4 Target Strength (TS)

Target Strength (TS) merupakan faktor terpenting dalam pendeteksian dan pendugaan

stok ikan dengan menggunakan metode hidroakustik. TS merupakan suatu ukuran yang dapat

menggambarkan kemampuan suatu target untuk memantulkan gelombang suara yang datang

mengenainya.

Nilai TS suatu ikan tergantung kepada ukuran dan bentuk tubuh, sudut datang pulsa,

tingkah laku atau orientasi ikan terhadap tranducer, keberadaan gelembung renang, frekuensi

atau panjang gelombang, acoustic impedance dan elemen ikan (daging, tulang, kekenyalan

12  

kulitnserta distribusi dari sirip dan ekor) walaupun pengaruh elemen terakhir ini sangat kecil

karena nilai kerapatannya tidak terlalu jauh dengan air (MacLennan and Simmonds, 2005)

Menurut Coates (1990) Menyatakan TS adalah ukuran decibel intensitas suara yang

dikembalikan oleh target, diukur pada jarak standar satu meter dari pusat target relatif

terhadap intensitas suara yang mengenai target. Johannesson dan Mitson (1983) membagi dua

definisi TS berdasarkan domain yang digunakan, yaitu intensitas target strength (TSi) dan

energi target strength (TSe). Berdasarkan intensitas target strength dapat diformulasikan

sebagai berikut :

10 log , 1 …………………………………………….(3)

dimana :

TSi = Intensitas target strength

Ir = Intensitas suara yang dipantulkan diukur pada jarak 1 meter dari target

Ii = Intensitas suara yang mengenai target

Sedangkan energi target strength diformulasikan sebagai

10 log , 1 ……………………………….……………(4)

dimana :

TSe = Energi target strength

Er = Energi suara yang dipantulkan diukur pada jarak 1 meter dari target

Ei = Energi suara yang mengenai target

Menurut Maclennan dan Simmond (2005), TS merupakan backscattering cross

section dari target yang mengembalikan sinyal dan dinyatakan dalam bentuk persamaan :

10 log …..……………………………………………………(5)

Sedangkan menurut Burczynski dan Johnson (1986) kesetaraan backscattering cross section

( ) dengan TS dinyatakan dalam persamaan :

13  

10 log ….…………………………………………………(6)

TS ikan tunggal sebagai scalling factor bagi volume back scattering strength

kelompok ikan agar diperoleh pendugaan kelimpahan ikan. Dawson dan Karlp (1990),

pendugaan baik ukuran maupun densitas ikan selalu tergantung pada distribusi target

strength.

2.2.5 Volume Backscattering Strength (Sv)

Volume backscattering strength (Sv) merupakan rasio antara intensitas yang

direfleksikan oleh suatu group single target, dimana target berada pada suatu volume air

(Lurton, 2002). MacLennan and Simmonds (2005) menyatakan bahwa Sv dari kelompok ikan

dapat ditentukan dari volume reverberasi. Teori volume reverberasi menggunakan pendekatan

liniear untuk directional transducer dengan asumsi :

(1) Ikan bersifat homogen atau terdistribusi merata dalam volume perairan.

(2) Perambatan gelombang suara pada garis lurus dimana tidak ada refleksi oleh medium

hanya spreading loss saja.

(3) Densitas yang cukup dalam satuan volume.

(4) Tidak ada Multiple Scattering.

(5) Panjang pulsa yang pendek untuk propagasi diabaikan

Total intensitas suara yang dipantulkan oleh multiple target adalah jumlah dari

intensitas suara yang dipantulkan oleh masing-masing target tunggal

… . ……..………………………………(7)

dimana n = jumlah target

Suatu grup terdiri dari n target dengan sifat-sifat akustik serupa maka diperoleh persamaan

sebagai berikut:

. ………………………………………………………………..(8)

dimana = intensitas rata-rata yang direfleksikan oleh target tunggal

Equivalent cross section rata-rata tiap target

14  

∑ ………………………………………………………………(9)

Menurut definisi 4 akan menjadi

4 …………………………………..……………………………(10)

Dengan mengganti . maka akan diperoleh

. …………………………………….………………...(11)

Jadi total intensitas dari gelombang suara yang dipantulkan oleh multiple target adalah

proposional terhadap jumlah individu target (n), scattering cross section rata-rata tiap target

dan intensitas suara yang mengenai target (Ii).

Persamaan ini merupakan dasar untuk pendugaan secara kuantitatif dari biomassa atau

stok ikan dengan metode akustik. Metode echo integration yang digunakan untuk mengukur

Sv yaitu berdasarkan pada pengukuran total power backscattered pada transduser.

2.3 Wavelet

2.3.1 Pengenalan Wavelet

Analisis Transformasi Fourier adalah sebuah perangkat matematik untuk

menstransformasikan sudut pandang kita terhadap sinyal dari domain waktu ke domain

frekuensi, tetapi transformasi Fourier mempunyai kekurangan, yaitu apabila kita melakukan

transformasi ke domain frekuensi maka informasi waktu akan hilang. Keuntungannya adalah

dapat melihat transformasi Fourier dari suatu sinyal maka adalah tidak mungkin untuk

mengetahui kapan fenomena itu terjadi.

Sebagai usaha untuk mengurangi kekurangan pada transformasi Fourier yang gagal

memberikan informasi waktu dan frekuensi secara bersamaan, Gabor memperkenalkan teknik

STFT (Short Time Fourier Transfrom) yang melakukan pemetaan sebuah sinyal ke dalam

fungsi berdimensi dua, yaitu dalam waktu dan frekuensi. STFT memberikan informasi

mengenai kapan dan pada frekuensi berapa suatu sinyal event terjadi. Tetapi, STFT memiliki

keterbatasan bahwa informasi serentak dalam waktu dan frekuensi dapat dicapai dengan

presisi yang terbatas, dibatasi oleh ukuran jendela (window) yang dipilih. Sekali dipilih

ukuran tertentu dari jendela maka jendela tersebut akan sama untuk semua frekuensi.

15  

Wavelet adalah gelombang kecil yang mempunyai energy terkonsentrasi dalam waktu

yang dapat dipakai sebagai alat analisis fenomena transien, nonstastioner, atau time varying.

Transformasi wavelet menguraikan sinyal dilatasi dan translasi wavelet (Habibie, 2007).

2.3.2 Analisis wavelet

Sebuah gelombang (wave) biasanya didefinisikan sebagai sebuah fungsi osilasi dari

waktu, misalnya sebuah gelombang sinusoidal. Sebuah wavelet merupakan gelombang

singkat (small wave) yang energinya terkonsentrasi pada suatu selang waktu untuk

memberikan analisis transien, ketidakstasioneran, atau fenomena berubah terhadap waktu

(time-varying) (Polikar, 1996). Karakteristik dari wavelet antara lain adalah berosilasi

singkat, translasi (pergeseran) dan dilatasi (skala). Berikut ini akan diperlihatkan gambar dari

sebuah sinyal biasa dan sinyal wavelet.

Gambar 9. Perbedaan sinyal biasa dengan sinyal wavelet (Mathworks, 2002)

Secara sederhana, translasi (pergeseran) pada wavelet bermaksud untuk menggeser

permulaan dari sebuah wavelet. Secara matematis, pergeseran sebuah fungsi f(t) dengan k

direpresentasikan dengan f(t-k) (The Math Works Inc, 2000)

Gambar 10. Pergesaran pada wavelet (Mathworks, 2002)

Skala (dilatasi) dalam sebuah wavelet berarti pelebaran atau penyempitan wavelet.

Seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini:

16  

Gambar 11. Scale pada wavelet (Mathworks, 2010)

Sebuah faktor skala dapat dinyatakan sebagai α. Apabila α diperkecil maka wavelet

akan menyempit dan terlihat gambaran mendetail namun tidak menyeluruh, kebalikannya

apabila α diperbesar maka wavelet akan melebar dan terlihat gambaran kasar, global namun

menyeluruh. Dengan menggunakan wavelet pada skala resolusi yang berbeda, akan diperoleh

gambaran keduanya, yaitu gambaran mendetail dan menyeluruh. Selain itu, terdapat

keterkaitan antara skala pada wavelet dengan frekuensi yang dianalisa oleh wavelet. Nilai

sekala yang kecil berkaitan dengan frekuensi tinggi sedangkan nilai skala yang besar

berkaitan dengan frekuensi rendah.

Tahap pertama analisis wavelet adalah menentukan tipe wavelet, yang disebut dengan mother

wavelet atau analyzing wavelet, yang akan digunakan. Hal ini perlu dilakukan karena fungsi

wavelet sangat bervariasi dan dikelompokan berdasarkan fungsi dasar masing-masing.

2.3.3 Transformasi wavelet

Transformasi wavelet memiliki kemampuan untuk menganalisa suatu data dalam

domain waktu dan domain frekuensi secara simultan. Analisa data pada transformasi wavelet

dilakukan dengan membagi suatu sinyal ke dalam komponen-konponen frekuensi yang

berbeda-beda dan selanjutnya masing-masing komponen frekuensi tersebut dapat dianalisa

sesuai dengan skala resolusinya. Hal ini seperti proses filtering, dimana sinyal dalam domain

17  

waktu dilewatkan ke dalam filter highpass dan lowpass dan memisahkan komponen frekuensi

tinggi dan fekuensi rendah.

Wavelet merupakan sebuah fungsi variable real t, diberi notasi dalam dalam ruang

fungsi . Fungsi ini dihasilkan oleh parameter dilatasi dan translasi, yang dinyatakan

dalam persamaan (Wang dan Nicholas, 1998):

Ψ , t a Ψ ; a 0, …………………………………...………(12)

Ψ , 2 ⁄ Ψ 2 t k ; j, k ε Z …………..…………………………………(13)

Dimana :

a = parameter dilatasi

b = parameter translasi

R= mengkondisikan nilai a dan b dalam nilai integer

2j = parameter dilatasi (parameter frekuensi atau skala)

k = parameter waktu atau lokasi ruang

Z = mengkondisikan nilai j dan k dalam nilai integer

Fungsi wavelet pada persamaan (7) dikenalkan pertama kali oleh Grossman dan Morlet,

sedangkan persamaan (8) oleh Daubechies (Polikar, 1996). Pada fungsi Grossman-Morlet, a

adalah parameter dilatasi dan b adalah parameter translasi, sedangkan pada fungsi

Daubechies, para meter dilatasi diberikan oleh 2j dan parameter translasi oleh k. Kedua fungsi

dapat dipandang sebagai mother wavelet, dan harus memenuhi kondisi (Wang dan

Nicholas, 1998):

Ψ 0………………………………………………………….(14)

yang menjamin terpenuhinya sifat ortogonalitas vektor

Pada dasarnya, transformasi wavelet dapat dibedakan menjadi dua tipe berdasarkan

nilai parameter translasi dan dilatasinya, yaitu transformasi wavelet kontinu (continue

wavelet transform) dan diskrit (discrete wavelet transform).

18  

2.4 Continous Wavelet Transfrom (CWT)

CWT menganalisa sinyal dengan perubahan skala pada window yang dianalisis,

pergeseran window dalam waktu dan perkalian sinyal serta mengintegralkan semuanya

sepanjang waktu (Polikar, 1996). Secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut:

, Ψ , . ……………………………………………..(15)

dimana Ψ , seperti pada persamaan (8), sedangkan transformasi wavelet diskrit menganalisa

suatu sinyal dengan skala yang berbeda dan mempresentasikannya kedalam skala waktu

dengan menggunakan teknik filtering, yakni menggunakan filter yang berbeda frekuensi cut

off-nya

2.5 Discrete Wavelet Transfrom (DWT)

Berdasarkan fungsi mother waveletnya, bahwa fungsi wavelet penganalisa untuk

transformasi wavelet diskrit dapat didefinisikan dalam persamaan (9). Berdasarkan

persamaan tersebut, representasi fungsi sinyal dalam domain wavelet diskrit

didefinisikan sebagai (Gonzales et al., 1993);

∑ , Ψ ,, …………………………………………………….(16)

, ini merupakan DWT dari fungsi f(t) yang dibentuk oleh inner product antara fungsi

wavelet induk dengan f(t):

, Ψ , , ………………………………………………………….(17)

sehingga f(t) disebut sebagai inverse discrete wavelet transform dapat dinyatakan dengan :

∑ Ψ , Ψ ,, ………………………………………………..(18)